EXERCÍCIOS DE ÁLGEBRA LINEAR

IST-1 o Semestrede2011/12 LEGM, MEC EXERCÍCIOS DE ÁLGEBRA LINEAR FICHA 4- Determinantes Vectores e valores próprios 1 1 Determinantes Pode-se definir deta, o determinante de uma matriz A M n n (K), como o valor da funçãodem n n (K)emKquesatisfazasseguintespropriedades: i) SeI n éamatrizidentidade,entãodeti n =1 ii) SeamatrizA seobtémdamatrizamultiplicandoumadassuaslinhasporα,então deta =αdeta iii) detanãosealteraseumalinhaforsubstituídapelasuasomacomoutralinha Partindo destas propriedades axiomáticas é possível mostrar que a função A det A também tem que satisfazer as seguintes: iii ) detanãosealteraseumalinhaforsubstituídapelasuasomacomomúltiplodeoutra linha iv) SeamatrizA seobtémdamatrizapermutandoduasdassuaslinhas,entãodeta = deta Com base nas propriedades acima descritas é possível calcular qualquer determinante através do método de eliminação de Gauss Por exemplo: 1 Coligidospor: JoãoFerreiraAlves,RicardoCoutinhoeJoséMFerreira 1

det 2 2 2 3 3 8 2 5 3 =det = det 2 2 2 0 0 5 0 3 1 2 2 2 0 3 1 0 0 5 = 2 3 5 det = 30det = 30 pori) poriii ) por iv) 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1/3 0 0 1 poriii ) por ii) 11 Propriedades dos determinantes Representando a matriz A através das suas linhas: a 11 a 12 a 1n A= a 21 a 22 a 2n = a n1 a n2 a nn podemos descrever a linearidade do determinante em função das suas linhas nas seguintes duas primeiras propriedades 1 det 2 det a 1 a i+a a n a 1 αa i a n 3 deta T =deta =det =αdet a 1 a i a n a 1 a i a n +det ( α) a 1 a a n 4 O determinante muda de sinal por permutação entre pares de linhas(ou de colunas) 5 deta não se altera se uma linha (ou coluna) for substituída pela sua soma com o múltiplo de outra linha(respectivamente coluna) 2 a 1 a 2 a n,

6 Se A= a 11 a 12 a 13 a 1n 0 a 22 a 23 a 2n 0 0 a 33 a 3n 0 0 0 a nn éumamatriztriangularsuperior(outriangularinferior)entãodeta=a 11 a 22 a nn 7 SeAtiverduaslinhas(ouduascolunas)iguaisentãodetA=0 8 deta=0,seativerumalinha(oucoluna)nula 9 Aslinhas(oucolunas)deAsãolinearmentedependentesseesósedetA=0 10 AéinvertívelseesósedetA 0Nestascircunstâncias 11 det(ab)=(deta)(detb) deta 1 = 1 deta 12 Outros métodos para o cálculo de determinantes Existem outros métodos directos para calcular determinantes de uma matriz n n a 11 a 12 a 1n A= a 21 a 22 a 2n a n1 a n2 a nn RegradeLaplace 2 : Paraqualqueri=1,2,,n, n n deta= ( 1) i+j a ij deta ij = a ij C ij j=1 =a i1 deta i1 a i2 deta i2 +a i3 deta i3 +( 1) i+n a in deta in =a i1 c i1 +a i2 c i2 +a i3 c i3 ++a in c in j=1 Paraqualquerj=1,2,,n, n deta= ( 1) i+j a ij deta ij = i=1 n a ij c ij i=1 =a 1j deta 1j a 2j deta 2j +a 3j deta 3j +( 1) n+j a nj deta nj =a 1j c 1j +a 2j c 2j +a 3j c 3j ++a nj c nj ondea ij éamatrizqueseobtemdeaporsupressãodalinhaiedacolunajo valorc ij =( 1) i+j deta ij échamadodecofactor(i,j)damatriza 2 PierreSimonLaplace,n Beaumont-en-Ange(Normandia)França,a23deMarçode1749,m Paris,a 5deMarçode1827 3

Expansão permutacional: Designemos por P o conjunto de todas as permutações σ=(σ 1,,σ n )de{1,2,,n}obtemos, deta= σ P ǫ σ a 1σ1 a 2σ2 a nσn = σ P ǫ σ a σ1 1a σ2 2a σnn, ondeǫ σ éosinaldapermutaçãoσ(i e ǫ σ =( 1) iσ,ondei σ designaonúmerototal de inversões de σ; dada uma permutação σ dizemos que ocorre uma inversão sempre quei<j eσ i >σ j ) 13 Determinantesdematrizes2 2 e3 3 Paraocasodeumamatriz2 2, A= [ a11 a 12 a 21 a 22 deta=a 11 a 22 a 12 a 21 Uma utilização importante deste determinante prende-se com o cálculo de áreas de paralelogramosp doplanogeradospordoisvectoresv 1 =(a,b)ev 2 =(c,d)der 2 : [ áreadep = a b det = ad bc c d Relativamenteaumamatriz3 3, podemos estabelecer que A= a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 deta=a 11 a 22 a 33 +a 12 a 23 a 31 +a 13 a 21 a 32 a 11 a 23 a 32 a 12 a 21 a 33 a 13 a 22 a 31, dandoorigemàchamadaregradesarrus 3 a 11 + a 12 + a 13 a 11 a 12 a 13 a 11 a 12 a 13 ց ց ց ւ ւ ւ a 21 a 22 a 23 a 21 a 22 a 23 a 21 a 22 a 23 ց ց ց ւ ւ ւ a 31 a 32 a 33 a 31 a 32 a 33 a 31 a 32 a 33 Estes determinantes permitem a obtenção do cálculo de volumes de paralelepípedos, P, geradosportrêsvectoresv 1 =(x 1,y 1,z 1 ),v 2 =(x 2,y 2,z 2 )ev 3 =(x 3,y 3,z 3 )der 3 : x 1 y 1 z 1 volumedep = det x 2 y 2 z 2 x 3 y 3 z 3 = x 1 y 2 z 3 +x 3 y 1 z 2 +x 2 y 3 z 1 x 1 y 3 z 2 x 2 y 1 z 3 x 3 y 2 z 1 3 PierreFrédéricSarrus,n SaintAffrique(Midi-Pyrenées)França,a10deMarçode1798,m Estrasburgo, França,a20deNovembrode1861 4,

14 Matriz dos cofactores Considerando os cofactores c ij =( 1) i+j deta ij chama-se matriz dos cofactores de A à matriz cofa=[c ij i,j=1,n = c 11 c 12 c 1n c 21 c 22 c 2n c n1 c n2 c nn AmatrizcofAsatisfazaseguinterelaçãocomamatrizA M n n (K),n 2: A(cofA) T =(deta)i n Desta igualdade resulta que se A é invertível então 15 RegradeCramer 4 A 1 = 1 deta cofa SejaAx=dumsistemadenequaçõesanincógnitastalquedetA 0Entãoosistema possui uma única solução dada por x 1 = deta 1 deta, x 2= deta 2 deta,, x n= deta n deta, ondecomj=1,2,,n,a j éamatrizqueseobtémdeasubstituindoacolunajdeapelo vector coluna d 16 Exercícios Exercício 1 Use eliminação de Gauss para calcular os determinantes das seguintes matrizes: [ [ 3 1 4 1 2 1 1 a) b) c) 0 1 2 1 1 1 1 0 5 0 d) 1 0 0 1 1 0 1 1 1 e) 3 0 0 0 1 2 0 5 0 f) 1 1 1 1 1 3 0 1 1 4 Gabriel Cramer, n a 31 Julho de 1704 em Geneva, m a 4 de Janeiro de 1752 em Bagnols-sur-Cèze (França) 5

Exercício 2 Use eliminação de Gauss para calcular os determinantes das seguintes matrizes Aproveite o resultado para indicar as que são invertíveis 1 12 22 31 1 2 4 3 1 0 0 3 a) 0 3 11 16 0 0 1 10 b) 1 1 3 3 0 3 0 0 c) 1 1 0 3 0 3 1 1 0 0 0 1 0 2 2 2 0 2 2 2 d) 1 0 0 2 0 1 2 3 0 2 1 2 3 3 0 1 Exercício 3 Sabendo que calcule: a) det c) det e) d e f g h i a b c det a+d b+e c+f d e f g h i 1 0 0 3 1 1 0 3 0 0 1 1 5 2 2 2 a b c d e f g h i =5, f) b) det d) det 1 1 0 0 0 1 4 0 6 0 1 1 0 3 0 0 3 1 1 3 0 0 0 2 5 a b c 2d 2e 2f g h i a b c d 3a e 3b f 3c 2g 2h 2i Exercício4 Sabendoqueosvaloresreaisγ eδ sãotaisque: det 1 2 γ δ 1 1 =1, 1 γ+δ 2 determine det 1 2 γ δ δγ+δ 2 2δ δγ γ γ Exercício 5 Mostre que det λ 1 1 1 1 1 λ λ+1 2 2 2 2 λ λ+1 λ+2 3 3 3 λ λ+1 λ+2 λ+3 4 4 λ λ+1 λ+2 λ+3 λ+4 5 λ λ+1 λ+2 λ+3 λ+4 λ+5 =λ 6 6

Exercício6 Calculeodeterminantedamatrizn n λ λ λ λ 1 λ+1 1 1 B= 1 1 λ+1 1 1 1 1 1 λ+1 Exercício 7 Mostre que det 1 1 1 λ 1 λ 2 λ 3 λ 2 1 λ 2 2 λ 2 3 =(λ 3 λ 2 )(λ 3 λ 1 )(λ 2 λ 1 ) Exercício 8 Utilize sucessivamente a regra de Laplace para calcular os determinantes das matrizes indicadas a seguir a) 1 0 3 1 3 1 b) 1 1 0 2 3 1 c) 1 1 1 2 3 1 0 0 3 1 6 0 5 6 3 1 1 0 0 0 1 2 4 3 1 0 0 3 d) 1 1 3 3 0 3 0 0 e) 1 1 0 3 0 0 1 1 f) 1 4 0 6 0 1 1 0 3 0 0 3 1 1 3 0 2 2 2 5 2 2 2 0 0 0 2 5 Exercício9 Uma matriz cujas entradas são 0 ou 1 tem determinante igual a 0, 1 ou 1Verdadeiro ou falso? Exercício 10 Através da regra de Sarrus calcule os determinantes das seguintes matrizes: 1 0 3 1 1 0 1 1 1 a) 1 3 1 b) 2 3 1 c) 2 3 1 0 0 3 1 6 0 5 6 3 Exercício 11 Calcule as áreas dos paralelogramos cujos vértices são: a)(0,0),( 1,3),(4, 5)e(3, 2) b)( 1,0),(0,5),(1, 4)e(2,1) c)(0, 2),(6, 1),( 3,1)e(3,2) Exercício 12 Calcule os volumes dos paralelepípedos gerados pelos vectores u, v e w onde: a)u=(1,0, 2),v=(1,2,4)ew=(7,1,0) b)u=(1,4,0),v=( 2, 5,2)ew=( 1,2 1) 7

Exercício 13 Calcule os determinantes das matrizes A= 1 0 1 0 1 5 eb= 2 2 2 0 2 2 3 0 1 1 1 2 Eainda: a)det(3a)b)det(a 3 B 2 )c)det(a 1 B T )d)det(a 4 B 2 ) Exercício 14 i) Para as matrizes indicadas a seguir verifique a validade da fórmula: A(CofA) T =(deta)i, onde Cof A designa a matriz dos cofactores a) 0 1 2 2 4 1 1 2 0 b) 1 1 0 2 0 1 1 2 2 c) 1 0 0 1 3 0 1 1 1 d) 1 4 5 2 5 4 3 6 3 ii) Caso seja possível, determine a matriz inversa de cada uma destas matrizes Exercício 15 Use a regra de Cramer para resolver os sistemas de equações lineares: a) y+2z=1 2x+4y+z=0 x+2y=1 b) x+y=1 2x+z=1 x+2y+2z= 1 Exercício16 Sejamf 1,f 2 ef 3 funçõesdoespaçovectorialc 2 (R),dasfunçõesreaisdede variávelreal quesãoduasvezesdiferenciáveis Mostrequeseexistet 0 Rdemodoqueo determinante 5 det f 1 (t 0 ) f 2 (t 0 ) f 3 (t 0 ) f 1 (t 0) f 2 (t 0) f 3 (t 0) f 1(t 0 ) f 2(t 0 ) f 3(t 0 ) entãof 1,f 2 ef 3 sãolinearmenteindependentes 0, Exercício17 Aplicando o exercício anterior, mostre que {1,e t,te t } é constituído por funções linearmente independentes 5 Este determinante é conhecido pelo nome de wronskiano das funções f 1, f 2 e f 3 Esta condição de independência linear é devida a Josef-Maria Hoëné Wronski(n Wolsztyn, Polónia, 23 de Agosto de 1778; m Neilly-sur-Seine, França, em 8 de Agosto de 1853) 8

DadaumatransformaçãolinearT :E E doespaçovectoriale nelepróprio,secom v E\{0}eλescalarsetem T(v)=λv, diremosquevéumvectorprópriodet eλumseuvalorpróprio DesignandoporI:E E atransformaçãolinearidentidade,ousejaatransformação talquei(x)=x,qualquerquesejax E,temosque T(v)=λv (T λi)(v)=0 Assim,seλéumvalorprópriodeT,entãovseráumvectorprópriodeT associadoaλse esóse v Nuc(T λi)\{0} Comotal,podemosafirmarqueλéumvalorprópriodeT seesósenuc(t λi) {0}, sendoqualquerelementonãonulodenuc(t λi)umvectorprópriodet associadoaλ O subespaço de E, Nuc(T λi), é chamado de subespaço próprio associado a λ, que representaremos por E(λ): E(λ)=Nuc(T λi) 21 Vectores e valores próprios de matrizes Analogamente, podem definir-se os conceitos de valor próprio e vector próprio de uma matriza(n n)nessesentido,umvectorv 0eumescalarλsão,respectivamente,um vectorprópriodeaeumvalorprópriodea,se Av=λv 2 Vectores e valores próprios de transformações lineares OconjuntodosvaloresprópriosdeAédesignadoporespectrodamatrizAerepresentado por σ(a) Ao contrário do que sucede para uma transformação linear qualquer, para uma matriz podemos obter uma caracterização dos seus valores próprios Na verdade, atendendo a que Av=λv (A λi)v=0, sevéumvectorpróprioassociadoaovalorpróprioλ,podemosafirmarquevéumasolução nãonuladosistemahomogéneo(a λi)x=0,eportantoconcluirque λ σ(a) det(a λi)=0 Facilmente se verifica que det(a λi) é um polinómio em λ de grau n, chamado de polinómio característico de A Logo o conjunto dos valores próprios de uma matriz A é analiticamente identificado pelas raízes de um polinómio: σ(a)={λ:det(a λi)=0} 9

OconjuntodosvectoresprópriosassociadosaummesmovalorprópriodeA,éconstituídoportodososvectoresnãonulosquesãosoluçãodosistemahomogéneo(A λi)x=0, ousejanul(a λi)\{0}osubespaçonul(a λi)étambémdesignadoporespaçopróprio associadoaovalorpróprioλeigualmenterepresentadopore(λ) 22 Vectores e valores próprios de transformações lineares em espaços de dimensão finita Seja agora T : E E uma transformação linear em que o espaço E é de dimensão finita Considerandoamatriz[T B querepresentat,relativamenteaumadadabaseb de E,de [T(v) B =[T B [v B, podemos concluir que a relação é equivalente a T(v)=λv [T B [v B =λ[v B Destemodo,λéumvalorprópriodeT seesóseλ σ(a)oespaçopróprioassociadoa umvalorpróprioλ,podetambémsercaracterizadoatravésdamatriz[t B : E(λ)=Nuc(T λi)={v E:[v B Nul([T B λi)} NocasodeserE=R n ouc n comoháumaidentificaçãoentrevectoresecoordenadas na base canónica temos que E(λ)=Nuc(T λi)=nul([t E λi), onde[t E éarepresentaçãomatricialdet nabasecanónicader n ouc n 23 Diagonalização de matrizes UmamatrizD(n n)diz-seumamatrizdiagonalseforemnulostodososelementos dedqueestãoforadadiagonalprincipal: d 1 0 0 0 0 d 2 0 0 D= 0 0 d 3 0 0 0 0 d n Por exemplo, a matriz identidade é uma matriz diagonal UmamatrizA(n n)éditadiagonalizávelseforsemelhanteaumamatrizdiagonal DOuseja,seexistirumamatrizinvertível,P,ditamatrizdesemelhança,talque A=PDP 1 10

Teorema da diagonalização Uma matriz A (n n) é diagonalizável se e só se admitirnvectorespróprios,v 1,v 2,,v n,linearmenteindependentes A matriz de semelhança, P, terá como colunas as coordenadas dos vectores próprios v 1,v 2,,v n : P =[v 1 v 2 v n A matriz diagonal D= λ 1 0 0 0 0 λ 2 0 0 0 0 λ 3 0 0 0 0 λ n seráformadademaneiraqueλ j éumvalorpróprioassociadoav j,paraj=1,,n Corolário Se A tiver n valores próprios distintos então A é diagonalizável ComE umespaçodedimensãofinita(dime=n)sejat :E E umatransformação linear representada por uma matriz [T diagonalizável Nestas condições, aos n vectores próprios de [T linearmente independentes, associamos n vectores próprios de T também linearmente independentes que desse modo constituirão uma base B do espaço E A matriz diagonald=[t B semelhantea[tseráarepresentaçãodet relativamenteàbaseb 24 Exercícios Exercício18 SejaT :R 2 R 2 atransformaçãolineardefinidapor T(x 1,x 2 )=(x 1 +2x 2,2x 1 +x 2 ) econsidereosvectoresv 1 =(2,1),v 2 =( 1,1),v 3 =(2,3)ev 4 =(4,4)Identifiqueosque são vectores próprios de T Nos casos afirmativos, indique os respectivos valores próprios de T Exercício 19 Considere a transformação linear definida por T(x 1,x 2,x 3 )=(0,x 2 +3x 3,3x 2 +x 3 ) Dentreosvectoresv 1 =(2,1,1),v 2 =(0, 1,1),v 3 =(1,0,0),v 4 =( 1,1,3)ev 5 =(0,3,3), quaissãovectoresprópriosdet?equevaloresprópriosdet quelhesestãoassociados? Exercício 20 T é a transformação linear definida por: T(x 1,x 2,x 3 )=(x 1 +2x 2 +2x 3,2x 1 +x 2 +2x 3,2x 1 +2x 2 +x 3 ) Verifiquesealgunsdosvectoresv 1 =(2,1,1),v 2 =(1,1,1),v 3 =( 2,0,2),v 4 =( 1,1,3) ev 5 =( 1,1,0)sãovectoresprópriosdeTAquevaloresprópriosdeT estãoassociados? 11

Exercício21 SejaT :R 2 R 2 atransformaçãolineardefinidapor T(x 1,x 2 )=(x 1 +x 2,x 1 +x 2 ) Mostre que os vectores v 1 =(1, 1) e v 2 =(1,1) determinamuma base de R 2 constituída por vectores próprios de T Nesta base, determine a representação matricial de T Exercício22 T :R 3 R 3 éatransformaçãolineardadapor: T(x 1,x 2,x 3 )=(x 2,x 2,x 2 ) Justifiquequeosvectoresv 1 =(1,0,0),v 2 =(1,1,1)ev 3 =(0,0,1)determinamumabase de R 3 constituída por vectores próprios de T Qual a representação matricial de T nesta base? Exercício23 T éatransformaçãolineardefinidaport(x 1,x 2 )=(x 1 +2x 2,3x 2 ) a) Indique o polinómio característico da matriz que representa T b) Calcule os valores próprios e os subespaços próprios de T que lhes estão associados c)determineumabaseder 2 constituídaporvectoresprópriosdetqualarepresentação matricial de T nesta base? Exercício24 Seja T : R 2 R 2 a transformação linear que na base canónica de R 2 é representada pela matriz [ 2 3 A= 3 2 a)especifiqueσ(a) b) Calcule os subespaços próprios de T c)determineumamatrizdemudançadebasep eumamatrizdiagonald taisque D=P 1 AP Exercício25 NabasecanónicadeR 2 atransformaçãolineart érepresentadapelamatriz [ 2 1 A= 0 2 a)determineσ(a) b) Calcule os subespaços próprios de T c)mostrequenãoexisteumabaseder 2 constituídaporvectoresprópriosdet Exercício26 SejaT :R 3 R 3 atransformaçãolineardefinidapor T(x 1,x 2,x 3 )=(x 2 +x 3,2x 2 +x 3,x 2 +2x 3 ) a) Indique o polinómio característico da matriz que representa T 12

b) Calcule os valores próprios e os subespaços próprios de T c)determineumabaseder 3 constituídaporvectoresprópriosdet Qualéarepresentação matricial de T nesta base? d) Designando por A a matriz que representa T na base canónica de R 3, determine uma matrizp eumamatrizdiagonaldtaisqued=p 1 AP Exercício27 T :R 3 R 3 éatransformaçãolineardadapor T(x 1,x 2,x 3 )=(3x 1,2x 2 +x 3,2x 3 ) a) Qual o polinómio característico da matriz que representa T? b) Calcule os valores próprios e os subespaços próprios de T c)mostrequenãoexisteumabaseder 3 constituídaporvectoresprópriosdet Exercício28 Seja T : R 3 R 3 a transformação linear que na base canónica de R 3 é representada pela matriz A= 9 0 0 3 7 1 3 2 8 a)determineσ(a) b) Calcule os subespaços próprios de T c)determineumamatrizp eumamatrizdiagonald taisqued=p 1 AP Exercício29 T :P 1 P 1 éumatransformaçãolinearquenabasecanónicadep 1,{1,t}, é representada pela matriz [ 1 3 A= 2 4 a)determineσ(a) b) Calcule os subespaços próprios de T c)indiqueumabasedep 2 talquearepresentaçãomatricialdet nessabasesejadiagonal Exercício30 ConsidereatransformaçãolinearT :P 2 P 2 dadapor T(p(t))=p (t)+p(t) a)relativamenteàbasecanónicadep 2,{1,t,t 2 },quematrizrepresentat? b) Qual o polinómio característico da matriz que representa T? c) Calcule os valores próprios e os subespaços próprios de T d) Pode T ser representada por uma matriz diagonal? Justifique 13

Exercício 31 Duas matrizes quadradas A e B dizem-se semelhantes se existe uma matriz P invertíveltalqueb=p 1 APMostreque: a)qualquermatrizquadradaésemelhanteaelaprópria(aésemelhanteaa) b)seaeb sãosemelhantes,entãotambémb easãosemelhantes c)seaeb sãosemelhanteseseb ec sãosemelhantes,entãoaec sãosemelhantes d)seaeb sãosemelhanteseaédiagonalizável,entãob édiagonalizável e)seaeb sãosemelhantes,entãotêmomesmopolinómiocaracterístico 3 Valores próprios complexos MesmoqueAsejaumamatrizreal(n n),apodeadmitirvalorespróprioscomplexos Nestascondições,seλ CéumvalorprópriodeAentãoumvectorprópriovquelheesteja associadoseránecessariamenteumvectordec n : v=(v 1,,v n ),comv 1,,v n CNuma circunstância destas é possível então concluir que λ, o complexo conjugado de λ, é igualmente umvalorprópriodeaequeochamadovectorconjugadodev, évectorprópriodeaassociadoaλ v=(v 1,,v n ), 31 Exercícios Exercício 32 Resolva as seguintes equações na variável complexa z a)z 4 1=0 b)z 3 +8=0 c)z 4 +1=0 d)z(z 3) 2 +16z=0 Exercício33 SejaT :C 2 C 2 atransformaçãolineardefinidaport(z 1,z 2 )=( z 2,z 1 ) a) Calcule o polinómio da matriz que representa T b)quaisosvalorespróprioseossubespaçosprópriosdet? c)determineumabasedec 2 constituídaporvectoresprópriosdetqualéarepresentação matricial de T nesta base? Exercício34 T :C 2 C 2 éatransformaçãolinear que na base canónica dec 2 é representada pela matriz [ 0 2 A= 2 0 a) Indique o polinómio característico de A b) Calcule os valores próprios e os subespaços próprios de T c) Determine uma matriz de mudança de base P e uma matriz diagonal D tais que D = P 1 AP 14

Exercício35 SejaT :C 3 C 3 atransformaçãolineardefinidapor T(z 1,z 2,z 3 )=(z 1 +z 2 z 3,z 2,z 1 z 2 +z 3 ) a) Calcule o polinómio característico da matriz que representa T b) Determine os valores próprios e os subespaços próprios de T c)determineumabasedec 3 constituídaporvectoresprópriosdetqualéarepresentação matricial de T nesta base? d) Designando por A a matriz que representa T na base canónica de C 3, determine uma matrizdemudançadebasep eumamatrizdiagonaldtaisqued=p 1 AP Exercício 36 Considere as matrizes: [ [ 1 1 1 2 A=, B= 0 2 4 5 ec= [ 10 4 24 10 MostrequetodassãodiagonalizáveisecalculeA n,b n ec n,paran N Exercício 37 Considere as matrizes: [ 1 1 A= 1 1 eb= [ 2 1 4 2 Mostre que as matrizes A e B (não sendo diagonalizáveis enquanto matrizes reais) são diagonalizáveisenquantomatrizescomplexas CalculeA n eb n,paran N Exercício 38 A matriz A= [ a b b a coma,b R, b 0,temvalorespróprioscomplexosλ=a±ib Mostrequetransformação linear que A representa consiste na composição de uma rotação seguida de uma mudança de escala Ou seja, que A= [ ρ 0 0 ρ [ cosθ sinθ sinθ cosθ Exercício39 CombasenoexercícioanteriorcalculeA n,onde A= ParticularizeparaocálculodeA 10 ea 12 [ 1 1 1 1 15

4 Aplicação à resolução de algumas equações diferenciais Exercício40 SejaT :P 2 P 2 atransformaçãolineardefinidapor T(p(t))=p (t) 2p(t) a)qualamatrizquerepresentat nabasecanónica{1,t,t 2 }dep 2? b)mostrequet ébijectivaecalculeamatrizquerepresentat 1 namesmabase Justifique que,paraqualquerpolinómioq(t) P 2, T 1 (q(t))= 1 2 q(t) 1 4 q (t) 1 8 q (t) c)resolvaemp 2 aequaçãodiferencialp (t) 2p(t)=1+t+t 2 Exercício41 SejaT :P 2 P 2 atransformaçãolineardefinidapor T(p(t))=t 2 p (t) 2p(t) a)quematrizrepresentat nabasecanónica{1,t,t 2 }dep 2? b)determineumabasedonuct econcluaquet nãoéinjectivanemsobrejectiva c)resolvaemp 2 aequaçãodiferencialt 2 p (t) 2p(t)=1 Exercício42 NoespaçovectorialC 2 (R)dasfunçõesreaisdevariávelrealduasvezesdiferenciáveis,considereatransformaçãolinearT :C 2 (R) C 2 (R)definidapor T(f)=f 2f +f a)indiqueumabasedenuct (verexercício47daficha2) b)sabendoquef(t) 1éumasoluçãodaequaçãolinearT(f)=1,calculeaúnicasolução damesmaequaçãoqueverificaf(0)=f (0)=0 Exercício 43 Considere o sistema de equações diferenciais lineares [ [ [ x 1 (t) x1 (t) 2 1 x =A,comA= 2(t) x 2 (t) 1 2 Decidaquaisdosseguintesparesdefunçõessãosoluçõesdestesistema: ( e t,e t ),(e 3t,e 3t ), (e t,e 3t ) Exercício44 ConsidereumamatrizA R 2 2 edesignepors A oconjuntodassoluçõesdo sistema [ [ x 1 (t) x1 (t) x =A 2(t) x 2 (t) a)mostreques A comasoperaçõesusuaisdeadiçãoemultiplicaçãoporescalartemestrutura de espaço linear 16

[ λ1 0 b)mostrequesed=,entãoosparesdefunções(e 0 λ λ1t,0) e(0,e λ2t ) constituem 2 umabaseparas D,eportanto S D = {( c 1 e λ 1t,c 2 e λ 2t ) :c 1,c 2 R } Sugestão: mostre que se (x 1 (t),x 2 (t)) S D, então x 1 (t)e λ1t e x 2 (t)e λ 2t são funções constantes [ λ 1 c) Mostre que se J =, então os pares de funções (e 0 λ λt,0) e (te λt,e λt ) constituem umabaseparas J,eportanto S J = {( c 1 e λt +c 2 te λt,c 2 e λt) :c 1,c 2 R } Sugestão: mostre que se (x 1 (t),x 2 (t)) S J então x 2 (t)e λt é uma função constante e x 1 (t)e λt éumpolinómiocomgrau 1 d)mostrequeses éumamatrizdemudançadebaseeb=s 1 AS,entãotem-se: S A = { [ y1 (t) S y 2 (t) :(y 1 (t),y 2 (t)) S B } Exercício 45 Considere a matriz A= [ 2 1 1 2 a) Mostre que A é diagonalizável, identificando uma matriz diagonal D e uma matriz de mudançadebases taisquea=sds 1 b) Resolva o sistema de equações diferenciais { x 1 (t)=2x 1 (t)+x 2 (t) x 2 (t)=x 1(t)+2x 2 (t) Exercício 46 Considere a matriz A= [ 2 1 2 5 a) Mostre que A é diagonalizável, identificando uma matriz diagonal D e uma matriz de mudançadebases taisquea=sds 1 b) Calcule a única solução do problema de valores iniciais { x 1 (t)=2x 1 (t)+x 2 (t) x 2 (t)= 2x 1(t)+5x 2 (t),x 1(0)=1, x 2 (0)= 1 17

5 Soluções 1)a) 1b)0c)30d)1e)30f)0 3)a)5b)10c)5d)10 2)a)3b)6c)0d)18e)15f) 45 4) δγ 6)λ n,ondenéonúmerodelinhas(edecolunasdamatriz) 8)a) 9;b) 5;c) 7;d)6;e)15;f) 45 1 0 1 9) Falso; det 1 1 0 =2 0 1 1 10)a) 9b) 5c) 7 11)a)7b)14c)21 12)a)22b)15 13)detA= 2,detB=4a) 54b) 128c) 2d)1 14) a)cofa= 2 1 0 2 4 7 4 2 1,detA=1eA 1 = 1 2 4 7 4 2 0 1 2 b)cofa= c)cofa= d)cofa= 2 3 4 2 2 1 1 1 2 3 1 2 0 1 1 0 0 3 9 6 3 18 12 6 9 6 3 15)a)( 9,5, 2)b)(1,0, 1),detA= 5eA 1 =,deta=3ea 1 = 2/5 2/5 1/5 3/5 2/5 1/5 4/5 1/5 2/5 1 0 0 1/3 1/3 0 2/3 1/3 1,detA=0eAnãoéinvertível 18)v 1 ev 3 nãosãovectoresprópriosdet;v 2 évectorprópriodet associadoaovalorpróprio 1,v 4 évectorprópriodet associadoaovalorpróprio3 19)v 2,v 3 ev 5 sãovectoresprópriosdet; 2,0e4sãoosrespectivosvalorespróprios 20) v 2 é vector próprio de T associado ao valor próprio 5, v 3 e v 5 são vectores próprios associados ao valor próprio 1 [ 0 0 0 0 0 21) 22) 0 1 0 0 2 0 0 0 23)a)P(λ)=(λ 1)(λ 3) b)1e3sãoosvaloresprópriosdetossubespaçosprópriosdet são: E(1)=L{(1,0)}eE(3)=L{(1,1)} [ 1 0 c) 0 3 18

[ 1 0 24)a)σ(A)={ 1,5} b)e( 1)=L{( 1,1)}eE(5)=L{(1,1)} c)d= 0 5 ep = [ 1 1 1 1 25a)σ(A)={2} b)e(2)=l{(1,0)} c)dime(2)=1 dimr 2 =2 26)a)P(λ)=λ(3 λ)(λ 1) b)0,1e3sãoosvaloresprópriosdetossubespaçosprópriossão: E(0)=L{(1,0,0)},E(1)=L{(0, 1,1)}eE(3)=L{(2,3,3)} c){(1,0,0),(0, 1,1),(2,3,3)} 0 0 0 1 0 2 d)d= 0 1 0 ep = 0 1 3 0 0 3 0 1 3 27)a)P(λ)=(3 λ)(λ 2) 2 b)2e3sãoosvaloresprópriosdetossubespaçosprópriossão: E(2)=L{(0,1,0)}eE(3)=L{(1,0,0)} c)nãoexisteumabaseder 3 formadaporvectoresprópriosdet porque dime(2)+dime(3)=2 dim R 3 28)a)σ(A)={6,9} b)e(6)=l{(0,1,1)}ee(9)=l{(2,3,0),(1,0,3)} c)p = 0 2 1 1 3 0 ed= 6 0 0 0 9 0 1 0 3 0 0 9 29)a)σ(A)={1,2} b)e(1)=l({t 3/2}),E(2)=L({t 1}) [ 1 0 c)t érepresentadapord= nabase{t 3/2,t 1} 0 2 1 1 0 30)a)A= 0 1 2 b)(1 λ) 3 0 0 1 c)1évalorprópriodete(1)=l{1} d)não: dime(1)=1 3=dimP 2 32)a)z=±1ez=±ib)z=1±i 3ez= 2 c)z= ( 2±i 2 ) /2ez= ( 2±i 2 ) /2d)z=0ez=3±4i 33)a)P(z)=z 2 +1b)±isãoosvaloresprópriosdeT;E(i)=L{(i,1)}e E( i)=l{( i,1)} 19

[ i 0 c){(i,1),( i,1)}ébasedec 2 ;D= 0 i 34)a)P(z)=z 2 +4b)±2isãoosvaloresprópriosdeT;E(2i)=L{( i,1)}e E( 2i)=L{(i,1)} c){(i,1),( i,1)}ébasedec 2 ;D= [ 2i 0 0 2i [ i i, P = 1 1 35)a)P(z)=(1 z) [ (1 z) 2 +1 b)1e1±isãoosvaloresprópriosdet; E(1)=L{(1,1,1)},E(1+i)=L{(i,0,1)}eE(1 i)=l{( i,0,1)} 1 0 0 c){(1,1,1),(i,0,1),( i,0,1)}ébasedec 2 ;D= 0 1+i 0 0 0 1 i 1 i i d)p = 1 0 0 ed 1 1 1 [ [ 1 2 36A n = n 1 0 2 n,b n 2 3 = n 3 n 1 2 2(3 n ) 2(3 n e ) 1 C n = [ 3(2 n ) 2( 2) n ( 2) n (2 n ) 6(2 n ) 6( 2) n 3( 2) n 2(2 n ) 37)A n = [ cos(nπ/4) sin(nπ/4) 2 n sin(nπ/4) cos(nπ/4) [ 2 39)A n = n/2 cos(nπ/4) 2 n/2 sin(nπ/4) 2 n/2 sin(nπ/4) 2 n/2 cos(nπ/4) 40)a) 41)a) 2 1 0 0 2 2 0 0 2 2 0 0 0 2 0 0 0 0 b) 42)a){e t,te t }b)f(t)=te t e t +1 43)Sim,sim,não [ 1 0 45)a)D= es= 0 3 [ 1 1 46)a)S= ed= 1 2 eb n = 8 n [ 1/2 1/4 1/4 0 1/2 1/2 0 0 1/2 [ 0 32 A 10 = 32 0 cos(πn/4) 1 2 sin(πn/4) 2 sin(πn/4) cos(πn/4) c) 1 t t 2 /2 [ 64 0 ; A 12 = 0 64 b){t 2 }ébasedenuctc)p(t)= 1/2+at 2,coma R [ 1 1 1 1 [ 3 0 0 4 ;b)s A ={( c 1 e t +c 2 e 3t,c 1 e t +c 2 e 3t ):c 1,c 2 R} ;b)(3e 3t 2e 4t,3e 3t 4e 4t ) 20