EQUAÇÕES EXPONENCIAIS CONTEÚDO Equações exponenciais AMPLIANDO SEUS CONHECIMENTOS Para discutir as equações exponenciais, vamos pensar sobre a seguinte situação: Imagine que você tenha em mãos uma folha retangular. Suponha agora que essa folha será dobrada ao meio papel retangular E mais uma vez a folha será dobrada ao meio Em relação a quantidade de partes, podemos dizer que ao dobrar a folha ao meio, obtivemos 2 partes. Ao dobrar ao meio pela segunda vez, obtivemos 4 partes. E se mais uma vez fizéssemos uma dobra, obteríamos 8 partes. Se a quantidade de partes obtidas for igual a 32, você saberia dizer quantas vezes a folha foi dobrada?
Para responder essa pergunta, vamos pensar sobre a seguinte relação: Quando dobramos a folha ao meio, obtivemos: Ao dobrar ao meio novamente obtivemos: Essas quantidades podem ser representadas por meio de uma potência, que neste caso, terá como base o número 2. 1 dobra 2 partes 2¹ = 2 2 dobras 4 partes 2² = 4 3 dobras 8 partes 2³ = 8 Observe que o expoente de cada potência indica no número de dobras realizadas. E o resultado da potência, representa a quantidade de partes obtidas após as dobras realizadas. Portanto, se há 32 partes, podemos, com essa informação, apresentar a seguinte equação: 2 n = 32 ( n representa o número de dobras) Esse tipo de equação, que temos uma incógnita no expoente, recebe o nome de equação exponencial. Vejamos como resolver essa equação.
O primeiro passo para resolução é representar o número 32 por meio de uma potência de base 2. 32 2 16 2 8 2 4 2 2 2 1 32 = 2 5 Substituindo o 32 pela potência, temos a equação: 2 n = 2 5 Se 2 n = 2 5, essa igualdade só será possível se n for igual a 5. Portanto, n é igual a 5 e para obter 32 partes é necessário dobrar a folha de papel 5 vezes. Dica Na resolução de equações exponenciais, muitas vezes aplicamos as propriedades de potência, por isso, se desejar, faça uma visita no capítulo que falamos sobre potência. Agora, que nós já sabemos quais equações são identificadas como equações exponenciais, vamos resolver alguns exemplos. 1º - 5 y = 125 Se, 125 = 5³ Temos: 5 y = 5 3 Portanto, y = 3 2-3 X = 1 Se 3 0 = 1, Temos: 3 x = 3 0 Portanto, x = 0 3º - 2 3x = 64 Se 64 = 2² Temos = 2 3x = 2 6 Portanto, 3x = 6 Resolvendo a equação 3x = 6, encontramos x = 2. 3x = 6 3x 6 x = 2 3 3 4º - 10 3x.10 3x = 1.000.000 Se, 1.000.000 = 10 6 Temos: 10 3x.10 3x = 10 6 Aplicando uma das propriedades de potência reduzimos 10 3x.10 3x = 10 6x
Assim, temos: 10 6x = 10 6 Portanto, 6x = 6 Resolvendo a equação 6x = 6, encontramos x = 1 5º - 4 4x = 16 1 Se, 16 = 4² Temos: 4 4x = 1 4² Sabemos que: 1 = 4-2 Logo temos: 4 4x = 4-2 4² Resolvendo a equação 4x = - 2, encontramos x = 1. 2 Dica Para rever as potências de expoentes negativos, faça uma visita ao capítulo sobre potências. 6-3 x + 3 x + 2 = 270 Fatorando temos: 3 x.(1 + 3 2 ) = 270 270 3 x.10 = 270 3 x = 10 3 x = 27 Sabemos que : 27 = 3³ Logo temos: 3 x = 3 3 x = 3 ATIVIDADES 1. Resolva as equações exponenciais: a) 2 x = 128.2 b) 16 x = 2 4 c) 3 8x + 4 = 81 x + 2
2. (SARESP 2005) Determine todos os números reais x tais que 2 x² = 2 2x a) 1 b) 2 c) 0 e 1 d) 0 e 2 3. Sabe-se que o número 5 elevado a um expoente x resulta em 625, determine o valor desses expoentes. 4. A soma de duas potências de base 2, cujos expoentes são números naturais consecutivos, é igual a 24. Determine qual é o valor desses expoentes. INDICAÇÕES Consulte os links indicados a seguir e estude um pouco mais sobre as equações exponenciais. Equações exponenciais Disponível em: http://www2.anhembi.br/html/ead01/calculo_1/lu05/lo2/index.htm O link apresenta uma breve discussão sobre o conceito que envolve as equações exponenciais Equações exponenciais Disponível em: http://www.cursinhoparamedicina.com.br/video-aulas/aulasmatematica/videoaula-equacoes-exponenciais/ O link traz um de vídeo que explora a resolução de equação exponencial. REFERÊNCIAS SMOLE, Kátia Stocco. DINIZ, Maria Ignez. GIOVANNI, José Ruy; CASTRUCCI, Giovanni; JUNIOR, Giovanni. Matemática no Ensino Médio. v.1. 6º ed. São Paulo: Saraiva, 2010. p. 181 182. SARESP. 1 Ensino Médio Noite - 2005. Disponível em: < http://saresp.fde.sp.gov.br/2005/arquivos/provas_em_2005/1%c2%b0s%c3%a9rie%20e M%20noite.pdf>. Acesso em: 27 set. 2016. 8h50min.
GABARITO 1.a) 2 x = 2 7.2 1 2 x = 2 7+1 2 x = 2 8 x = 8 b) 16 x = 2 4 4 = 2 4 (2 4 ) x = 2 4 2 4x = 2 4 2 4x = 2 4 4x = 4 x = 1 c) 81 = 3 4 3 8x+4 = 3 4.(x+2) 3 8x+1 = 3 4x + 8 8x + 4 = 4x + 8 8x 4x = 8 4 4x = 4 x = 1 2. A alternativa correta é a letra d. Se 2 x² = 2 2x, temos: x² = 2.x ou x² - 2x = 0 Para determinar os possíveis valores de x, é necessário resolver a equação do 2º grau. x² - 2x = 0 Por ser uma equação incompleta, em que não é apresentado o coeficiente c, vamos resolver pela fatoração. Para relembrar esse método resolutivo, consulte o capítulo sobre equações do 2º grau. x(x 2) = 0 x = 0 ou x 2 = 0 x = 2 Portanto, os possíveis valores para x são 0 e 2. 3. 5 x = 625 625 = 5 4 5 x = 5 4 x = 4 4.Se a soma de duas potências de base 2, em que os expoentes são números naturais consecutivos, é igual a 24, temos a seguinte equação: 2 x + 2 x + 1 = 24
Fatorando temos: 24 2 x ( 1 + 2 1 ) = 24 2 x.3 = 24 2 x = 3 2 x = 8 2 x = 2 3 x = 3