Investigação Operacional rogramação Linear (arte II) Licenciatura em ngenharia ivil Licenciatura em ngenharia do Território Licenciatura em ngenharia e rquitectura Naval / Nuno Moreira/milcar rantes/ui Marques/Marta Gomes nálise de Sensibilidade análise de sensibilidade permite: / studar a robustez da solução óptima obtida stimar a validade da solução quando os dados foram obtidos por estimativa ou eiste incerteza quanto ao seu valor eacto ctualizar solução após correcção dos dados studar a viabilidade económica de aumento dos recursos disponíveis...
/ nálise de Sensibilidade ermite estudar a alteração sofrida pela solução óptima: ao alterar os coeficientes c j da função objectivo (lucro obtido por cada unidade produzida) ao alterar os termos independentes das restrições b i (limitação aos recursos disponíveis - número de horas semanais de processamento de cada máquina) ao introduzir novas restrições (e: incluir restrições não previstas no modelo inicial) ao introduzir novas variáveis (e: lançamento de um novo produto) ao alterar os coeficientes técnicos a ij (tempo de processamento que cada produto necessita em cada máquina - rendimento) nálise de Sensibilidade aos coeficientes da FO / Solução óptima definida pelas restrições activas ( e ). Função objectivo: Ma LX X apresenta um declive m F -/ solução é óptima se o declive da FO estiver limitado pelos declives das restrições activas: m -./.-/ ; m -./.-. nálise de sensibilidade ao lucro unitário do produto LX X m F -/ m m F m - m F -/ > - -/ -/ > L o alterar os coeficientes da função objectivo, o domínio de soluções possíveis não é alterado mas a solução obtida pode deiar de ser óptima
nálise de Sensibilidade aos coeficientes da FO Uma alteração c i no coeficiente da variável X i propaga-se pelas diferentes iterações do simple. nálise de sensibilidade ao lucro unitário do produto Ma L X c X X ( c ) X c c. X. X F. X. X F. X F X ; X ; F ; F ; F.. F.. F. -L c / F X X F F F TI nálise de Sensibilidade aos coeficientes da FO F.. /. F.. /. F. /. -L c ma /. - / X X X F F F /.6 -. F. -.6 -.. -. /. F X X F F F. / -L c -. - ma 6 TI TI i i 6
nálise de Sensibilidade aos coeficientes da FO /. X X X -. F -.6. 6 6/. X. /. - -L c -. - ma X X -.. X -.. /. F -.. -. X.6 -.6 -. / -L c -. -.6 F F F F F F TI 6 TI - i 6/-. uadro com a solução óptima (sem alteração do coeficiente c ; c e c ) nálise de Sensibilidade aos coeficientes da FO solução continuará a ser óptima se ao maimizar/minimizar a função objectivo as suas derivadas em função das variáveis não básicas se mantiverem negativas/positivas ou nulas F -.. X.6 -.6 - c -.-.6 c c - > > - c -.6.6 c c c / -L -L X X X -.. c F -. F -.6 -.-.6 c -.6.6 c F TI - -- c
nálise de Sensibilidade aos coeficientes da FO / Solução óptima definida pelas restrições activas ( e ). Função objectivo: Ma LX X apresenta um declive m F -/ solução é óptima se o declive da FO estiver limitado pelos declives das restrições activas: m -./.-/ ; m -./.-. nálise de sensibilidade conjunta ao lucro unitário de ambos os produtos ( e ) L X X m F - / m m F m - m F -/ > - - / -/ > / e > L o alterar os coeficientes da função objectivo, o domínio de soluções possíveis não é alterado mas a solução obtida pode deiar de ser óptima nálise de Sensibilidade aos coeficientes da FO nálise de sensibilidade conjunta ao lucro unitário de ambos os produtos ( e ) Lc X c X > c c c c - c - c -.6 -. c.6 c c -.. c -.. c -.6 c c c > > -.. c c c.c c c / -L -L X F -.. X.6 -.6 c c X F X -.. -. -. F -.6 -.6. c -.6 c -. c.6 c F TI - - - c - c
nálise de Sensibilidade Termos Independentes o alterar o termo independente de uma restrição, a optimabilidade da solução não é alterada, mas a solução pode deiar de ser possível. ) Se a alteração ocorrer numa restrição não activa (c/ variável de folga > ), a solução óptima mantém-se inalterada: Sempre que a alteração seja no sentido de aumentar a folga da restrição. alteração não esgote a folga dessa restrição. aso contrário a solução deia de ser possível. ) Se a alteração ocorrer numa restrição activa, o valor da solução (e das variáveis básicas) é sempre alterado. No entanto, a base mantém-se desde que a alteração não torne activa outra restrição anteriormente não activa. / nálise de Sensibilidade Termos Independentes rocedimentos: ) em restrições não activas Verificar se com a alteração do termo independente (b i ) a restrição é satisfeita ) em restrições activas ecalcular a solução (com a mesma base e restrições activas) e verificar se os novos valores satisfazem as outras restrições Verifica as restrições? Sim: a solução óptima mantém-se Não: a solução passou a ser uma solução impossível Voltar a resolver o problema com a nova restrição Utilizar o SIMLX ual / 6
nálise de Sensibilidade Termos Independentes / lteração ao termo independente b da restrição activa L Limite à alteração de b mantendo a mesma solução básica óptima (conjunto de variávei básicas) Novos valores das variáveis básicas em função da variação do termo independente b nálise de Sensibilidade Termos Independentes O número de horas de trabalho da máquina M pode variar devido a avarias ou ao recurso a horas etraordinárias. ual o efeito dessa variação na solução do problema? Ma L X X. X. X F b. X. X F. X F X ; X ; F ; F ; F / Solução Óptima ossível? ase {X, X, F } F F b b b.. X. X b. X. X. X F X. -.b X -66.6.6b F. -.b b. L 66.6.b solução é possível se as variáveis básicas forem
nálise de Sensibilidade Termos Independentes O número de horas de trabalho da máquina M pode variar devido a avarias ou ao recurso a horas etraordinárias. ual o efeito dessa variação na solução do problema? Intervalo para o número de horas de trabalho da máquina M (a base mantém-se): / b. Sendo L 66.6.b Intervalo para a variação do número de horas de trabalho da máquina M (a base mantém-se): - b. b b Sendo L. b / nálise de Sensibilidade reços Sombra O preço sombra do recurso i (representado pela restrição i) é uma medida do valor marginal deste recurso, ou seja, a taa a que a função objectivo cresce se esse recurso sofrer um aumento unitário (desde que a base da solução óptima não se altere) O preço sombra do recurso i é medido pelo simétrico do coeficiente da variável de folga do recurso (F i ) na função objectivo quando definida em função das variáveis não básicas. reço sombra nulo significa que o recurso correspondente não está saturado, ou seja, que a restrição tem folga (restrição não activa) 6
/ nálise de Sensibilidade reços Sombra É possível realizar horas etraordinárias com uma das máquinas. m qual das máquinas as horas etraordinárias são mais rentáveis? Ma L X X. X. X F. X. X F. X F X ; X ; F ; F ; F X -.. X.6 -.6 F -.. -. -.6 Uma hora etraordinária na máquina {M,M,M } provocará um aumento na função objectivo de {.,.6, } se a base da solução óptima se mantiver. esposta: as horas etraordinárias deverão ser efectuadas na máquina M porque é a que apresenta um valor marginal mais elevado. -L X X F F F TI - Simétrico dos preços sombra / nálise de Sensibilidade reços Sombra m qual das máquinas a utilização de horas etraordinárias conduz a um maior incremento do lucro (mantendo a mesma base)? (cada hora etraordinária tem um custo de.) Ma L X X. X. X F. X. X F. X F X ; X ; F ; F ; F nálise da máquina : esposta: apesar do preço sombra ser inferior em M é possível um aumento maior da FO (para a mesma base) se utilizarmos as horas etraordinárias em M. b ma. h L ma ( b ). b -. b -.. nálise da máquina : b ma h L ma ( b ).6 b -. b - nálise da máquina : b ma não definido L ma ( b ) b -. b (há prejuízo para b > )
/ nálise de Sensibilidade Novas estrições o introduzir uma nova restrição, a optimalidade da solução não é alterada, mas a solução pode deiar de ser possível. rocedimentos: Verificar se a solução óptima verifica a nova restrição Sim: a solução óptima mantém-se Não: a solução passou a ser uma solução impossível Voltar a resolver o problema com a nova restrição Utilizar o SIMLX ual nálise de Sensibilidade Novas estrições / pós os produtos passarem pelas máquinas M, M e M, estes devem ser inspeccionados por um operário que tem uma capacidade de inspeccionar produtos por semana. Ma L X X. X. X F. X. X F. X F X ; X ; F ; F ; F L Solução Óptima (L) X X F F F Nova estrição X X X X solução é impossível. É necessário resolver o problema desde o princípio ou aplicar o algoritmo Simple ual.
/ asos articulares de L O Sr. José, industrial agrícola produtor de tomates, realizou contratos de venda num total toneladas das toneladas de tomate produzidas nas suas duas quintas (t na uinta da lfarroba e t na uinta da eterraba). e acordo com os contratos, tem que entregar t no armazém da cadeia de supermercados ronto, t na fábrica de enlatados uelata e t na fábrica de sumos essumo. Sabendo que os custos de transporte entre cada quinta e os locais de entrega são os apresentados no quadro, qual o plano de transportes que sugere. [ /ton] Formulação efinição das variáveis: ij quantidade de tomate, em toneladas, a transportar da quinta i (,) para o cliente j (,,) [ton] F custo global de transporte da colheita [ ] Função objectivo: Min F estrições: / ij ij F F
/ roblema de Transportes Formulação efinição das variáveis: c ij custo unitário de transporte de i para j ij quantidade a transportar de i para j F custo global do transporte Função objectivo: Min F estrições: j i ij i j ij ij O c ij ij i j roblema com: m origens n destinos (m n) variáveis (m n ) restrições linearmente independentes (m n ) variáveis básicas roblema de Transportes esolução pelo simple Factor multiplicativo -F -F c c -u -v c c -u -v Se ij é variável não básica então / X n c in c n -u -v n c c -u -v c -u -v Se ij é variável básica então c ij -u i -v j n c n c n -u -v n m c m c m -u m -v m c m c m -u m -v c ij c ij -u i -v j > c ij ij então a solução é óptima mn c mn c mn -u m -v n TI O O O m n u u u m v v v n
lgoritmo dos Transportes º - quilibrar o roblema [ /ton] t t t t t t t / lgoritmo dos Transportes º a) - ncontrar uma solução inicial possível linhas colunas Método do anto Noroeste. Seleccionar a variável livre do canto superior esquerdo. tribuir o máimo possível a essa variável. Se eistirem variáveis livres voltar ao passo.. Verificar o número de variáveis básicas e definir variáveis básicas nulas se necessário variáveis - variáveis básicas / t t t t t t t F ij c ij 6
lgoritmo dos Transportes º b) - ncontrar uma solução inicial possível linhas colunas Método dos ustos mínimos. Seleccionar a variável livre com custo unitário mais baiov. tribuir o máimo possível a essa variável. Se eistirem variáveis livres voltar ao passo.. Verificar o número de variáveis básicas e definir variáveis básicas nulas se necessário variáveis - variáveis básicas / t t t t t t t F lgoritmo dos Transportes º alcular u i e v j se ij é variável básica tal que c ij -u i -v j. rbitrar um valor qualquer para uma das constantes do conjunto {u i ;v j }. ara uma constante u i definida, procurar uma variável básica ij na linha i cuja constante v j ainda não esteja definida ou para uma constante v i definida, procurar uma variável básica ij na coluna j cuja constante u j ainda não esteja definida. alcular a constante ainda não definida através da epressão c ij -u i -v j. Voltar ao passo. até definir todas as constantes u i e v j / t t t t v v v v F t t t u u -6
lgoritmo dos Transportes º alcular ij e verificar se a solução é óptima. ara as variáveis não básicas calcular c ij através da epressão: c ij c ij -u i -v j. solução é óptima se ao minimizar/maimizar todos os coeficientes c ij forem positivos/negativos ou nulos / c c -u -v -- - c c -u -v -(-6)- c F c F -u -v F -(-6)- 6 t v t v t v t v F c < > solução não é óptima t t t u u -6 lgoritmo dos Transportes º alcular nova solução. Seleccionar a variável não básica cujo c ij é o mais negativo/positivo para entrar na base. dicionar à variável que entra na base. Subtrair e adicionar às outras variáveis básicas para respeitar as restrições. efinir como o maior valor possível tal que todas as variáveis sejam positivas ou nulas. variável que definiu o valor de será a variável a sair da base.6 Substituir o valor de, calcular a nova solução e voltar ao º passo ma / t v - t - v t v t v F t t t u u -6
/ lgoritmo dos Transportes º alcular u i e v j tal que c ij -u i -v j se ij é variável básica º alcular c ij c ij -u i -v j e verificar se a solução é óptima t v c c -u -v -- c c -u -v -(-)- 6 c F c F -u -v F -(-)- t v t v t v F solução óptima t t t F u u - lgoritmo dos Transportes nálise Sensibilidade istem dúvidas quanto ao custo unitário de transporte entre a uinta da eterraba e a fábrica de enlatados uelata. ara que valores desse custo a solução encontrada se mantém óptima? / t v c t v c c c -u -v --c - -c c c -u -v -(-)- 6 c F c F -u -v F -(-)- t v t v F t t t u u - solução é óptima se: c 6
lgoritmo dos Transportes nálise Sensibilidade evido à queda de uma ponte não é possível efectuar a ligação entre a uinta da lfarroba e a fábrica da essumo. solução mantém-se? ual a nova solução? tenção: o colocar um custo unitário igual a M, a respectiva variável deve ser nula na solução óptima (método do ig M para anular variáveis) caso contrário não eiste solução possível / t v t v M c c -u -v ---M -M < c c -u -v -(-M)- M-6 c F c F -u -v F -(-M)- M- M t v M t v F t t t u u -M solução não é óptima, deve entrar para a base lgoritmo dos Transportes nálise Sensibilidade colheita da uinta da eterraba ainda não foi realizada sendo as t uma estimativa. ara que valores da produção da uinta da eterraba a solução básica se mantém óptima? tenção: Os valores de u i, v j e c ij não se alteram pelo que a solução continuará a ser óptima enquanto a solução for possível / - F t v t v - t v t t t t v F u u - solução possível enquanto - t O t F (- )( )( ) ( - )
/ asos articulares de L orrida de arros O ndré, o ernardo, o arlos, o aniel e o duardo formam uma equipa que vai fazer uma corrida de carros em etapas em que cada um eecuta uma das etapas. urante os treinos, os tempos obtidos por cada um em cada uma das etapas foram os representados no quadro seguinte. ual a etapa que cada um deve eecutar de forma a obter o menor tempo de corrida para a equipa? tapa 6 tapa 6 tapa tapa tapa duardo aniel arlos ernardo ndré / 6 Formulação efinição das variáveis: ij variável binária de afectação da etapa i (,,,,) ao elemento da equipa j (,,,,) ( o elemento j eecuta a etapa i; o elemento j não realiza a etapa i) F tempo da equipa para realizar a corrida Função objectivo: estrições: Min F 6 6 { } ; ij
/ roblema de fectação Formulação efinição das variáveis: c ij custo de eecução da tarefa i pelo elemento j ij variável binária ( tarefa i eecutada por j; tarefa i não é eecutada por j) F custo total da afectação Função objectivo: roblema com: n tarefas Min F c ij ij i j n elementos estrições: (n n) variáveis ij esolução j i ij ij { ; } Simple lgoritmo Transportes lgoritmo Húngaro