Rodada #1 Matemática Professor Guilherme Neves Assuntos da Rodada 1. Estruturas Lógicas.. Lógica de Argumentação. 3. Diagramas Lógicos. 4. Trigonometria. 5. Matrizes, Determinantes e Solução de Sistemas Lineares. 6. Álgebra (Parte 1 Conjuntos). 7. Combinações, Arranjos e Permutação. 8. Probabilidade, Variáveis Aleatórias, Principais Distribuições de Probabilidade, Estatística Descritiva, Amostragem, Teste de Hipóteses e Análise de Regressão. 9. Geometria Básica. 10. Juros Simples e Compostos, Taxas de Juros, Desconto, Equivalência de Capitais, Anuidades e Sistemas de Amortização. 11. Compreensão e elaboração da lógica das situações por meio de: raciocínio matemático (que envolvam, entre outros, conjuntos numéricos racionais e reais - operações, propriedades, problemas envolvendo as quatro operações nas formas fracionária e decimal; conjuntos numéricos complexos; números e grandezas proporcionais; razão e proporção; divisão proporcional; regra de três simples e composta; porcentagem); raciocínio sequencial; orientação espacial e temporal; formação de conceitos; discriminação de elementos.
a. Teoria em Tópicos Raciocínio Sequencial nas provas da ESAF se resumem a Progressão Aritmética e Progressão Geométrica, que também podem ser tratados como parte de Álgebra. 1. Progressão aritmética é uma sequência de números. Para que uma sequência seja classificada como uma Progressão Aritmética ela deve obedecer um determinado padrão, uma lei de formação.. Uma progressão aritmética é uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual à soma do termo anterior com uma constante r. Exemplo: (,5,8,11,14,...) Progressão aritmética de razão r = 3. 3. Observe que os aumentos são constantes. Do primeiro termo para o segundo adicionamos 3. Do segundo termo para o terceiro também adicionamos 3. Este é o nosso padrão. Ir aumentando sempre o mesmo número. 4. Este aumento é chamado de razão da Progressão Aritmética. É muito comum abreviarmos a expressão e chamar a progressão aritmética de P.A.. 5. Para calcular a razão em uma progressão aritmética devemos calcular a diferença entre qualquer termo e o termo que o antecede (antecedente).
Assim, podemos dizer que a razão (r = 3) foi calculada da seguinte maneira: r = 5 = 8 5 = 11 8 = = 3 6. Desse fato, podemos mostrar que se três números estão em progressão aritmética, o termo do meio sempre será a média aritmética dos outros dois termos. Vejamos um caso geral: considere a progressão aritmética (a, b, c). A razão dessa progressão pode ser calculada como a diferença entre dois termos consecutivos. Assim, b a = c b b = a + c b = a + c Essa propriedade é muito importante. Então lembre-se: dados três números em P.A. (progressão aritmética), o termo do meio sempre será a média aritmética dos outros dois. Vejamos um exemplo numérico: A sequência (4, 9, 14) é uma progressão aritmética de razão 5. O termo central é a média aritmética dos extremos. 9 = 4 + 14 7. Como você aplicaria essa propriedade em uma questão? Observe o seguinte exemplo. Qual o valor de x, de modo que x, (x + 1) e (x + 3) formem, nessa ordem, uma P.A.? Ora, sabemos que se três números estão em P.A., o termo do meio é a média aritmética dos outros dois. Dessa forma, 3
(x + 1) = x + (x + 3) x + x + 1 = x + x + 6x + 9 (x + x + 1) = x + 6x + 9 x + 4x + = x + 6x + 9 4x 6x = 9 x = 7 x = 7 8. O tópico mais importante da teoria de Progressão Aritmética é comumente denominado Fórmula do Termo Geral. Basicamente, essa fórmula serve para descobrir qualquer termo de uma Progressão Aritmética. Voltemos àquela P.A. do início da teoria: (, 5, 8, 11, 14,...). Se quisermos calcular o próximo termo, basta efetuar 14 +3 = 17. E o próximo? 17 + 3 = 0. E assim, ad infinitum. Bom, calcular termos próximos é muito fácil. O problema surge assim: Qual o milésimo termo dessa progressão? Obviamente não iremos adicionar a razão 3 diversas vezes. Deve haver um método eficaz (e existe!!). 9. A fórmula do termo geral, que resolve o problema do tópico anterior, é a seguinte: a n = a 1 + (n 1) r 4
Em que a 1 é o primeiro termo, r é a razão da progressão e a n é o termo de ordem n (nésimo termo). Por exemplo, se queremos calcular o milésimo termo, deveremos efetuar: a 1.000 = a 1 + (1.000 1) r a 1.000 = a 1 + 999 r a 1.000 = + 999 3 a 1.000 =.999 10. O ruim desta fórmula é que ficamos presos a só poder calcular os termos da progressão se soubermos quem é o primeiro termo. Porém, podemos fazer uma modificação nesta fórmula de forma que conhecendo um termo qualquer da progressão e a razão, poderemos calcular qualquer outro termo da progressão. Vejamos um exemplo: Suponha que o décimo termo (a 10 ) de uma progressão aritmética seja igual a 5 e a razão seja igual a 4. Qual o vigésimo sétimo termo dessa progressão? Se você prestar bem atenção à fórmula a n = a 1 + (n 1) r perceberá que não poderemos utilizá-la da forma como está disposta. Pois só podemos utilizá-la se soubermos o valor do primeiro termo. Vamos fazer uma analogia. Imagine que você se encontra no décimo andar de um prédio e precisa subir para o vigésimo sétimo andar. Quantos andares preciso subir? A resposta é 17 andares. É o mesmo que acontece com os termos de uma P.A.: Se estamos no décimo termo e preciso me deslocar até o vigésimo sétimo termo, preciso avançar 17 termos (7 10 = 17). E para avançar cada termo, devemos adicionar a razão. Assim, 5
a 7 = a 10 + 17 r a 7 = 5 + 17 4 = 93. 11. Vamos fazer o caminho da volta : O vigésimo sétimo termo de uma progressão aritmética é igual a 93. Se a razão é igual a 4, qual o décimo termo? Ainda fazendo a analogia da P.A. com os andares de um prédio, para descer do vigésimo sétimo andar para o décimo andar, deveremos descer 17 andares. Na P.A. deveremos subtrair 17 vezes a razão (pois estamos voltando na P.A.). a 10 = a 7 17r a 10 = 93 17 4 = 5 1. É importante conhecer a fórmula que fornece a soma dos n primeiros termos de uma Progressão Aritmética. S n = (a 1 + a n ) n Por exemplo: Qual a soma dos mil primeiros termos da progressão aritmética (, 5, 8, 11,...). O primeiro passo é calcular o milésimo termo: isso já fizemos anteriormente e sabemos que a 1.000 =.999. Assim, a soma dos mil primeiros termos é dado por: S n = (a 1 + a n ) n 6
S 1.000 = (a 1 + a 1.000 ) 1.000 ( +.999) 1.000 S 1.000 = ( +.999) 1.000 S 1.000 = = 1.500.500 13. Considere uma sequência de números reais (a 1,a, a 3,, a n ). Esta sequência será chamada de Progressão Geométrica (P.G.) se cada termo, a partir do segundo, for igual ao produto do anterior com uma constante real q. 14. O número real q é denominado razão da progressão geométrica. 15. a 1 é o primeiro termo, a é o segundo termo, e assim por diante. O termo a n de ordem n é chamado n-ésimo termo. Exemplos: Progressão Geométrica Primeiro termo (a 1 ) Razão (q) (3, 6,1, 4, 48,96, ) 3 (96,48, 4, 1,6, 3, ) 96 1 (,,,,, ) 1 (1,, 4, 8, 16, 3, ) 1 (5, 0,0, 0, 0, ) 5 0 7
16. Considere uma progressão geométrica não-estacionária, ou seja, cuja razão é diferente de 0 (ver último exemplo do tópico anterior). Para calcular a razão de uma P.G., basta calcular o quociente entre dois termos consecutivos. No nosso primeiro exemplo, q = 6 3 = 1 6 = =. No nosso segundo exemplo, q = 48 96 = 4 48 = = 1. No nosso terceiro exemplo, q = = = = 1. No nosso quarto exemplo, q = 1 = 4 = =. 17. Considere a progressão geométrica (a 1,a, a 3,, a n ). Existe uma expressão que permite calcular qualquer termo da progressão conhecidos um termo qualquer e a razão (Fórmula do Termo Geral). 18. Comecemos com a expressão básica que relaciona um termo qualquer com o primeiro termo e a razão. a n = a 1 q n 1 Em que a 1 é o primeiro termo, q é a razão da progressão e a n é o termo de ordem n (nésimo termo). Exemplo: Qual o décimo primeiro termo da progressão geométrica (3, 6,1, 4, )? Queremos calcular o décimo primeiro termo, e, portanto, n = 11. Utilizemos a fórmula do termo geral: 8
a 11 = a 1 q 11 1 = a 1 q 10 a 11 = 3 10 = 3.07 19. Da mesma forma que na PA, obviamente não seremos obrigados a ficar presos a esta fórmula. Ou seja, não somos obrigados a conhecer o primeiro termo para calcular um termo qualquer da P.G. Vejamos um exemplo análogo ao da progressão aritmética. Exemplo: O décimo termo de uma progressão geométrica é igual a 4. Calcule o décimo sexto termo sabendo que a razão da progressão é 3. Devemos avançar 6 termos do décimo ao décimo sexto termo. Assim, a expressão do termo geral ficará: a 16 = a 10 q 6 a 16 = 4 3 6 =.916 0. A soma dos n termos iniciais de uma progressão geométrica é: S n = a 1 (q n 1) q 1 Exemplo: Calcule a soma dos 10 primeiros termos da P.G. (3, 6, 1,4, ). A razão, como já vimos, é igual a. 9
S 10 = 3 (10 1) 1 S 10 = a 1 (q 10 1) q 1 = 3 (1.04 1) 1 S 10 = 3.069 = 3 1.03 1. Quando a razão de uma PG é um número q tal que 1 < q < 1, é possível calcular a soma dos infinitos termos da sequência. Em outras palavras, se (a 1,a,a 3,, a n, ) é uma P.G. com razão 1 < q < 1, então: Exemplo S = a 1 + a + + a n + = a 1 1 q Calcular a soma dos infinitos termos da P.G. (9, 6, 4, ). Para calcular a razão basta dividir o segundo termo pelo primeiro: q = 6 9 = 3 Assim, S = a 1 1 q = 9 1 = 9 1/3 = 9 3 1 = 7 3 10
b. Revisão 01 QUESTÃO 01 ESAF PECFAZ - 013 A soma dos 100 primeiros termos da sequência (4, 7, 10, 13, 16,...) e igual a: a) 15.70 b) 15.410 c) 15.30 d) 15.340 e) 15.50 QUESTÃO 0 ESAF MTUR - 014 A soma dos 00 primeiros termos da progressão (4, 7, 10, 13,...) e igual a a) 60.00 b) 60.300 c) 60.100 d) 60.500 e) 60.400 QUESTÃO 03 CONSULPLAN BANESTES - 013 A progressão a seguir destaca o tempo, em minutos, gasto por Cláudio em sua caminhada de igual percurso, semanalmente: {40, 37, 34, 31, 8, 5,, 19...}. Cláudio parou de caminhar depois de completar 36 semanas de caminhada. Então, o tempo mínimo, em minutos, que Cláudio gastou para percorrer esse trajeto foi (A) 10. (B) 15. (C) 130. 11
(D) 135. (E) 140. QUESTÃO 04 CESGRANRIO PETROBRAS - 010 Qual é a soma dos múltiplos de 11 formados por 4 algarismos? (A) 4.504.500 (B) 4.505.000 (C) 4.505.500 (D) 4.506.000 (E) 4.506.500 QUESTÃO 05 CESGRANRIO PROMINP - 010 Ana, Benedita e Carmem nasceram no mesmo dia do mesmo mês, e suas idades, expressas em anos, formam, nessa ordem, uma progressão aritmética. Se, quando Ana nasceu, Carmem completou 6 anos e, em 009, Benedita comemorou seu 13 o aniversário, em que ano Carmem nasceu? (A) 1990 (B) 1993 (C) 1994 (D) 1999 (E) 001 QUESTÃO 06 CESGRANRIO PROMINP - 009 Um artista pretende dividir 40 ml de pigmento vermelho em três partes diferentes de modo que, misturando-se cada parte a 1 litro de tinta branca, ele obtenha três tons de tinta rosa (claro, médio e escuro). Se os volumes das três partes, em mililitros, formarem uma progressão aritmética de razão 50 ml, qual será, em litros, a quantidade de tinta rosa clara que esse artista terá após realizar a mistura? 1
(A) 1,05 (B) 1,09 (C) 1,18 (D) 1,50 (E) 1,90 QUESTÃO 07 CESGRANRIO EPE - 009 Uma sequência de números é tal que seus 4 primeiros termos são: T 1 = 5 T = 13 T 3 = 4 T 4 = 38 Observa-se que: 13 = 5 + 8 4 = 5 + 8 + 11 38 = 5 + 8 + 11 + 14 Conclui-se, então, que o 30 o termo (T 30 ) dessa sequência é (A) 1.380 (B) 1.455 (C) 1.500 (D) 1.545 (E).910 QUESTÃO 08 ESAF PECFAZ - 013 Em uma progressão geométrica, tem-se a 1 = e a 5 = 16. Então, a soma dos três primeiros termos dessa progressão geométrica e igual a: a) 6 b) 13
c) 30 d) 8 e) 0 QUESTÃO 09 ESAF AFRFB - 009 Um corredor esta treinando diariamente para correr a maratona em uma competição, sendo que a cada domingo ele corre a distância da maratona em treinamento e assim observou que, a cada domingo, o seu tempo diminui exatamente 10% em relação ao tempo do domingo anterior. Dado que no primeiro domingo imediatamente antes do início do treinamento, ele fez o percurso em 4 horas e 30 minutos e, no último domingo de treinamento, ele correu a distância da maratona em 3 horas, 16 minutos e 49,8 segundos, por quantas semanas ele treinou? a) 1 b) c) 3 d) 4 e) 5 QUESTÃO 10 ESAF MTUR - 014 O valor da série geométrica + 1 + 1 + 1 4 + 1 8 + 1 16 + é igual a a) 4 b) 5 c) 6 14
d) 7 e) 8 15
c. Revisão 0 QUESTÃO 11 ESAF AFRFB - 01 Uma sequência de números k 1, k, k 3, k 4,, k n é denominada Progressão Geométrica PG de n termos quando, a partir do segundo termo, cada termo dividido pelo imediatamente anterior for igual a uma constante r denominada razão. Sabe-se que, adicionando uma constante x a cada um dos termos da sequência (p-); p; (p+3) ter-seá uma PG. Desse modo, o valor de x, da razão e da soma dos termos da PG são, respectivamente, iguais a a) (6-p); /3; 1 b) (p+6); 3/; 19 c) 6; (6-p); 1 d) (6-p); 3/; 19 e) (p-6); p; 0 QUESTÃO 1 CONSUPLAN BANESTES - 013 Numa prateleira encontram-se 4 recipientes dispostos em ordem crescente, sendo que cada recipiente tem o triplo da capacidade do recipiente anterior. Considerando que a diferença entre o maior e o menor recipiente e de 5, litros, então a soma das capacidades desses 4 recipientes, em litros, e (A) 7. (B) 8. (C) 9. (D) 10. (E) 11. QUESTÃO 13 CONSUPLAN PREF. DE CAMPO VERDE - MT - 010 Qual é a soma dos termos da sequência (x -, 3x - 10, 10 + x, 5x + ), para que a 16
mesma seja uma progressão geométrica crescente? a) 5 b) 60 c) 40 d) 48 e) 64 QUESTÃO 14 CONSUPLAN BANESTES - 013 Um quadrado tem como lado o valor do 6º termo de uma progressão geométrica, no qual o 1º termo é 6 e o 4º termo é 16. Considerando que esses valores estão expressos em centímetros, então o perímetro desse quadrado é igual a a) 588 cm. b) 5830 cm. c) 583 cm. d) 5836 cm. e) 5840 cm. QUESTÃO 15 CESGRANRIO PETROBRAS - 010 Qual é o número que deve ser somado aos números 1, 5 e 7 para que os resultados dessas somas, nessa ordem, formem três termos de uma progressão geométrica? (A) 9 (B) 5 (C) 1 (D) 1 (E) 9 QUESTÃO 16 CESGRANRIO EPE - 013 17
O valor da soma infinita 1 + 1/ 1/4 + 1/8 1/16 +... é (A) 4 (B) (C) 11/8 (D) 4/3 (E) /3 QUESTÃO 17 - CONSULPLAN CBM-PA/016 A soma dos 3 primeiros termos de uma progressão aritmética de razão 4 é 1.173. Assim, o 0º termo dessa progressão é: a) 83. b) 85. c) 87. d) 88. e) 9. QUESTÃO 18 - CONSULPLAN CBM-PA/016 Em uma lanchonete recém aberta percebeu se que a cada dia visitavam três clientes a mais que no dia anterior, até o décimo dia. Sabendo que no primeiro dia foram 13 clientes a visitar a lanchonete, então o número total de clientes que visitaram a lanchonete nesses primeiros 10 dias foi igual a: a) 130. b) 15. c) 45. d) 65. e) 80. QUESTÃO 19 - CONSULPLAN CBM-PA/016 18
Em uma progressão aritmética, o quarto termo é 39 e o oitavo termo é 11. Assim, o décimo segundo termo é: a) 10. b) 11. c) 14. d) 17. e). QUESTÃO 0 - CONSULPLAN CBM-PA/016 Uma progressão aritmética de razão 5 que possui 15 termos tem a soma de seus termos igual a 795. O primeiro termo dessa sequência é: a) 1. b) 14. c) 15. d) 16. e) 18. 19
d. Revisão 03 QUESTÃO 1 - CONSULPLAN CBM-PA/016 Um celular tem seu preço de lançamento igual a R$.500,00 e a cada mês ele desvaloriza R$ 60,00 até que ele para de ser vendido quando seu preço é reduzido a menos de 0% do preço de lançamento. O mês no qual o celular para de ser vendido é o: a) 33º. b) 34º. c) 36º. d) 38º. e) 40º. QUESTÃO - CONSULPLAN CBM-PA/016 Um objeto é arremessado horizontalmente contra uma parede a 1,0 quilômetro de distância e percorre quatro metros no primeiro segundo, 11 metros no segundo, 18 metros no terceiro e, assim, sucessivamente. Dessa forma, em quantos segundos o objeto atingirá a parede? a) 14. b) 17. c) 19. d) 1. e) 3. QUESTÃO 3 - CONSULPLAN PREF. DE CASCAVEL/016 A razão de uma progressão aritmética é igual ao dobro de seu primeiro termo. Se o décimo segundo termo é 69, então a soma dos três primeiros termos dessa progressão é: a) 1. 0
b) 3. c) 5. d) 7. e) 9. QUESTÃO 4 - CONSULPLAN CM DE OLINDA/015 O primeiro e o último termo de uma progressão aritmética são, respectivamente, 43 e 430. Sendo a razão dessa progressão igual a 11, então o seu número de termos é igual a a) 36. b) 39. c) 41. d) 44. QUESTÃO 5 - CONSULPLAN PREF. DE CASCAVEL/016 Tomando-se cada lado de certo polígono de 60 lados em um certo sentido e em ordem crescente verifica-se que a partir do segundo menor lado a medida de cada um deles é,5 mm maior do que a medida do seu antecessor. Se o perímetro desse polígono é igual a 475,5 cm, então o seu menor lado mede: a) 0,8 mm. b) 3,5 mm. c) 4,8 mm. d) 0,55 cm. e),5 cm. QUESTÃO 6 - CONSULPLAN PATOS DE MINAS/015 João desenhou uma figura de 18 lados, que considerando a ordem crescente do tamanho dos lados, cada um era 5 mm maior que o anterior. Sabendo que essa figura tem 98,1 cm de perímetro, então o tamanho do menor lado, em centímetros, é: 1
a) 0,5. b) 1,. c) 1,6. d) 1,8. QUESTÃO 7 - CONSULPLAN PATOS DE MINAS/015 Analise a sequência a seguir. 6, 10, 14, 18... A soma dos 17 primeiros termos dessa sequência é: a) 45. b) 510. c) 576. d) 646. QUESTÃO 8 - CONSULPLAN PATOS DE MINAS/015 A soma dos doze termos de uma progressão aritmética é igual a 04. Considerando que a razão r dessa progressão é 4, então é correto afirmar, com relação ao sexto termo da progressão K, que a) K 6. b) 6 < K 10. c) 10 < K 15. d) 15 < K 0. QUESTÃO 9 - CONSULPLAN CBM-PA/016 Observe a sequência a seguir: x, 3x, 9x, 7x,... Sabendo que a soma dos sete primeiros termos dessa sequência é 3.79. Então o valor de x é: a).
b) 3. c) 4. d) 5. e) 6. QUESTÃO 30 - CONSULPLAN NATIVIDADE/014 A soma dos 3 primeiros termos de uma progressão geométrica de razão 3 é igual a 56 subtraído do 4º termo da mesma. É correto afirmar que o valor do 1º termo dessa progressão é a). b) 4. c) 6. d) 8. 3
e. Gabarito 1 3 4 5 E D D A B 6 7 8 9 10 B B A C A 11 1 13 14 15 D B B C A 16 17 18 19 0 D A D D E 1 3 4 5 B B D D D 6 7 8 9 30 B D C B B 4
f. Comentários às questões QUESTÃO 01 ESAF PECFAZ - 013 A soma dos 100 primeiros termos da sequência (4, 7, 10, 13, 16,...) e igual a: a) 15.70 b) 15.410 c) 15.30 d) 15.340 e) 15.50 Estamos diante de uma progressão aritmética (P.A.). Na progressão aritmética, cada termo é a soma do anterior com uma constante denominada razão. Na sequência do enunciado, a razão é 3, já que cada termo é igual ao anterior somado ao número 3. r = 3 Vimos a fórmula do termo geral, ou seja, uma fórmula que permite calcular qualquer termo. a n = a 1 + (n 1) r Vamos calcular o centésimo termo? Para isso, devemos fazer n = 100. a 100 = a 1 + (100 1) r a 100 = a 1 + 99 r Já vimos que a razão é igual a 3. O primeiro termo da P.A. é 4. 5
a 100 = 4 + 99 3 = 301 O centésimo termo da P.A. é 301. Estamos interessados na soma dos 100 primeiros termos da P.A.. Para tanto, devemos aplicar a fórmula dos n primeiros termos de uma progressão aritmética. S n = (a 1 + a n ) n No nosso caso, temos que n = 100. S 100 = (a 1 + a 100 ) 100 Foi por isso que eu calculei o centésimo termo da P.A.. Vamos substituir os valores. Letra E S 100 = (4 + 301) 100 = 15.50 QUESTÃO 0 ESAF MTUR - 014 A soma dos 00 primeiros termos da progressão (4, 7, 10, 13,...) e igual a a) 60.00 b) 60.300 c) 60.100 d) 60.500 e) 60.400 6
Muita criatividade, não? A mesma sequência da questão anterior! Para calcular a soma dos 00 primeiros termos, devemos calcular o 00 o termo. Para tanto, utilizaremos a fórmula do termo geral. A razão da progressão aritmética é igual a 3. a 00 = a 1 + 199r a 00 = 4 + 199 3 = 601 Agora vamos aplicar a fórmula da soma dos termos de uma progressão aritmética. S n = (a 1 + a n ) n No nosso caso, temos que n = 00. Letra D S 100 = S 00 = (a 1 + a 00 ) 00 (4 + 601) 00 = 60.500 QUESTÃO 03 CONSULPLAN BANESTES - 013 A progressão a seguir destaca o tempo, em minutos, gasto por Cláudio em sua caminhada de igual percurso, semanalmente: {40, 37, 34, 31, 8, 5,, 19...}. Cláudio parou de caminhar depois de completar 36 semanas de caminhada. Então, o tempo mínimo, em minutos, que Cláudio gastou para percorrer esse trajeto foi (A) 10. (B) 15. (C) 130. 7
(D) 135. (E) 140. Acho que a questão deveria ter sido bem clara e dizer que o padrão da sequência se mantém ao longo da semana. Mas tudo bem, vamos em frente. Temos uma progressão aritmética de razão (-3), já que os termos estão diminuindo em 3 unidades. Vamos calcular o 36 o termo desta sequência. a 36 = a 1 + 35r a 36 = 40 + 35 ( 3) = 135 Assim, na 36 a semana o percurso foi feito em 135 minutos, que é o tempo mínimo feito por Cláudio. Letra D QUESTÃO 04 CESGRANRIO PETROBRAS - 010 Qual é a soma dos múltiplos de 11 formados por 4 algarismos? (A) 4.504.500 (B) 4.505.000 (C) 4.505.500 (D) 4.506.000 (E) 4.506.500 O menor número de 4 algarismos é 1.000 e o maior número de 4 algarismos é 9.999. 8
Estamos interessados apenas nos múltiplos de 11. Para descobrir tais números, vamos dividir 1.000 por 11 e dividir 9.999 por 11. 1.000 11 10 90 Observe que o resto da divisão foi igual a 10. Se adicionarmos 1 ao número, o resto será 0. Portanto, o primeiro múltiplo de 11 maior que 1.000 é 1.001. Basta verificar: Os múltiplos de 11 maiores que 1.000 são: 1.001 11 0 91 (1.001,1.01, 1.03, ) Basta ir somando 11... Temos, portanto, uma progressão aritmética de primeiro termo 1.001 e razão 11. Vamos calcular o último termo desta progressão dividindo 9.999 por 11. 9.999 11 0 909 Como 9.999 é múltiplo de 11, então ele é o último termo da progressão. Temos a seguinte progressão: (1.001,1.01, 1.03,,9.999) Estes são todos os múltiplos de 11 com 4 dígitos. A questão pede a soma de todos estes múltiplos. Temos, então, que somar todos os termos desta progressão 9
aritmética. Para efetuar tal soma, precisamos saber quantos termos possui esta progressão. Utilizaremos a fórmula do termo geral. a n = a 1 + (n 1) r 9.999 = 1.001 + (n 1) 11 9.999 = 1.001 + 11n 11 9.999 = 990 + 11n 11n = 9.009 n = 819 Há, portanto, 819 múltiplos de 11 com 4 dígitos. Podemos agora aplicar a fórmula da soma dos n primeiros termos de uma P.A.. Letra A S n = (a 1 + a n ) n (1.001 + 9.999) 819 S n = = 4.504.500 QUESTÃO 05 CESGRANRIO PROMINP - 010 Ana, Benedita e Carmem nasceram no mesmo dia do mesmo mês, e suas idades, expressas em anos, formam, nessa ordem, uma progressão aritmética. Se, quando Ana nasceu, Carmem completou 6 anos e, em 009, Benedita comemorou seu 13 o aniversário, em que ano Carmem nasceu? (A) 1990 (B) 1993 (C) 1994 (D) 1999 30
(E) 001 Vamos considerar que estamos no ano de 009. Assim, Benedita possui 13 anos. Como Carmem completou 6 anos quando Ana nasceu, então Carmem é 6 anos mais velha que Ana. Se a idade de Ana for igual a a e a idade de Carmem for igual a c, então c = a + 6. Além disso, sabemos que (a, 13, c) é uma progressão aritmética. Vamos substituir c por a + 6. A progressão ficará assim: (a, 13, a + 6) Sabemos que se três números estão em P.A., o termo do meio é a média aritmética dos outros dois. Dessa forma, 13 = a + a + 6 13 = a + 6 a + 6 = 6 a = 0 a = 10 Como c = a + 6, então c = 16. Concluímos que Carmem possui 16 anos no ano de 009. Ela nasceu em 1993 = 009 16. 31
Letra B QUESTÃO 06 CESGRANRIO PROMINP - 009 Um artista pretende dividir 40 ml de pigmento vermelho em três partes diferentes de modo que, misturando-se cada parte a 1 litro de tinta branca, ele obtenha três tons de tinta rosa (claro, médio e escuro). Se os volumes das três partes, em mililitros, formarem uma progressão aritmética de razão 50 ml, qual será, em litros, a quantidade de tinta rosa clara que esse artista terá após realizar a mistura? (A) 1,05 (B) 1,09 (C) 1,18 (D) 1,50 (E) 1,90 Vamos considerar que uma das partes (a mais clara) possua x ml de pigmento vermelho. Assim, o tom médio possuirá x + 50 ml de pigmento e a mais escura possuirá x + 100 ml de pigmento. A soma das três partes é igual a 40 ml. x + x + 50 + x + 100 = 40 3x + 150 = 40 3x = 70 x = 90 ml 3
Portanto, a parte clara possuirá 90 ml de pigmento vermelho. Como esta parte será misturada com 1 litro (1.000 ml) de tinta branca, então teremos 1.090 ml de tinta rosa clara (1,090 litro). Letra B QUESTÃO 07 CESGRANRIO EPE - 009 Uma sequência de números é tal que seus 4 primeiros termos são: T 1 = 5 T = 13 T 3 = 4 T 4 = 38 Observa-se que: 13 = 5 + 8 4 = 5 + 8 + 11 38 = 5 + 8 + 11 + 14 Conclui-se, então, que o 30 o termo (T 30 ) dessa sequência é (A) 1.380 (B) 1.455 (C) 1.500 (D) 1.545 (E).910 De acordo com o padrão estabelecido, para calcular o 30º termo teremos que somar os 30 primeiros termos da progressão aritmética (5, 8, 11, 14,...) de razão 3. Vamos calcular o 30º termo desta progressão. 33
a 30 = a 1 + 9r a 30 = 5 + 9 3 = 5 + 87 = 9 A soma dos 30 primeiros termos desta progressão será: Letra B T 30 = (a 1 + a 30 ) 30 = (5 + 9) 30 = 1.455 QUESTÃO 08 ESAF PECFAZ - 013 Em uma progressão geométrica, tem-se a 1 = e a 5 = 16. Então, a soma dos três primeiros termos dessa progressão geométrica e igual a: a) 6 b) c) 30 d) 8 e) 0 Uma sequência será chamada de Progressão Geométrica (P.G.) se cada termo, a partir do segundo, for igual ao produto do anterior com uma constante real q. O número real q é denominado razão da progressão geométrica. a 1 é o primeiro termo, a é o segundo termo, e assim por diante. O termo a n de ordem n é chamado n-ésimo termo. A questão acima indica que o primeiro termo é e o quinto termo é 16. Para uma progressão geométrica, estes termos são bem pequenos. Então poderíamos achar a razão testando valores. 34
Será que a razão é? Neste caso, cada termo será o dobro do anterior. (, 4, 8, 16, 3). Percebemos que o quinto termo não é 16 e, portanto, a razão não é. Será que a razão é 3? Neste caso, cada termo será o triplo do anterior. (, 6, 18, 54, 16). Observe que o quinto termo é igual a 16. Concluímos que de fato a razão é 3. A questão pede a soma dos três primeiros termos da P.G.: Letra A + 6 + 18 = 6 Agora vamos resolver a questão de uma maneira mais formal. E se a razão não fosse inteira, como deveríamos proceder? Vamos lá. Neste caso deveríamos saber a fórmula do termo geral de uma progressão geométrica. Esta é uma importantíssima fórmula que permite calcular qualquer termo de uma P.G.. A fórmula é a seguinte: a n = a 1 q n 1 Em que a 1 é o primeiro termo, q é a razão da progressão e a n é o termo de ordem n (nésimo termo). No nosso caso, n=5. a 5 = a 1 q 5 1 a 5 = a 1 q 4 16 = q 4 q 4 = 81 Agora perguntamos: qual o número que elevado a 4 é igual a 81? Para responder, basta fatorar o número 81 e perceber que 3 4 = 81. Portanto, 35
q = 3 Como a razão é igual a 3, os termos vão triplicando. Começamos com o número, que é o primeiro termo. (, 6, 18, 54, 16). A questão pede a soma dos três primeiros termos da P.G.: + 6 + 18 = 6 QUESTÃO 09 ESAF AFRFB - 009 Um corredor esta treinando diariamente para correr a maratona em uma competição, sendo que a cada domingo ele corre a distância da maratona em treinamento e assim observou que, a cada domingo, o seu tempo diminui exatamente 10% em relação ao tempo do domingo anterior. Dado que no primeiro domingo imediatamente antes do início do treinamento, ele fez o percurso em 4 horas e 30 minutos e, no último domingo de treinamento, ele correu a distância da maratona em 3 horas, 16 minutos e 49,8 segundos, por quantas semanas ele treinou? a) 1 b) c) 3 d) 4 e) 5 Se o tempo diminui 10%, então para calcular o próximo termo da sequência, devemos multiplicar o anterior por 100% - 10% = 90% = 0,9. Como vamos multiplicando os termos por 0,9, teremos uma progressão geométrica de razão 0,9. 36
No domingo imediatamente antes do início do treinamento, ele fez o percurso em 4h 30min = 4,5 horas. No primeiro domingo de treinamento (primeiro termo da P.G.), seu tempo será igual a (4,5 0,9) horas, ou seja, a 1 = 4,5 0,9. Para transformar este tempo para segundos, devemos multiplicar por 3600, já que cada hora tem 60 minutos e cada minuto tem 60 segundos (60x60 = 3.600). Desta maneira, o primeiro termo da sequência, em segundos, é igual a: a 1 = 4,5 0,9 3.600s O último termo da sequência é igual a 3 horas, 16 minutos e 49,8 segundos. Vamos transformar este tempo para segundos. 3 horas = 3 x 3.600 s = 10.800s 16 minutos = 16 x 60 s = 960 s Somando tudo, temos: a n = 10.800 + 960 + 49,8 = 11.809,8s Vamos agora aplicar a fórmula do termo geral de uma progressão geométrica. a n = a 1 q n 1 11.809,8 = 4,5 0,9 3.600 (0,9) n 1 Observe que temos o produto 0,9 x 0,9 n-1. Para multiplicar potências de mesma base, devemos conservar a base e somar os expoentes. 0,9 (0,9) n 1 = 0,9 1+n 1 = 0,9 n Assim: 11.809,8 = 4,5 3.600 (0,9) n 37
11.809,8 = 16.00 (0,9) n (0,9) n = 11.809,8 16.00 Vamos igualar a quantidade de casas decimais e apagar as vírgulas. (0,9) n = 11.809,8 16.00,0 (0,9) n = 118.098 16.000 (0,9) n = 0,79 n = 3 Letra C QUESTÃO 10 ESAF MTUR - 014 O valor da série geométrica + 1 + 1 + 1 4 + 1 8 + 1 16 + é igual a a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 Temos uma Progressão Geométrica com infinitos termos. Para calcular a razão, devemos dividir qualquer termo por aquele que o antecede. Por exemplo, podemos dividir o segundo termo pelo primeiro. Assim, a razão é igual a 1/. 38
Para calcular o valor desta soma, vamos aplicar a fórmula vista: Letra A S = a 1 1 q = 1 1 = 1 = 1 = 4 QUESTÃO 11 ESAF AFRFB - 01 Uma sequência de números k 1, k, k 3, k 4,, k n é denominada Progressão Geométrica PG de n termos quando, a partir do segundo termo, cada termo dividido pelo imediatamente anterior for igual a uma constante r denominada razão. Sabe-se que, adicionando uma constante x a cada um dos termos da sequência (p-); p; (p+3) ter-seá uma PG. Desse modo, o valor de x, da razão e da soma dos termos da PG são, respectivamente, iguais a a) (6-p); /3; 1 b) (p+6); 3/; 19 c) 6; (6-p); 1 d) (6-p); 3/; 19 e) (p-6); p; 0 Questão muito bem feita. Em uma progressão geométrica, a razão é constante e igual ao quociente de um termo por aquele que o antecede. Assim, a razão pode ser calculada a partir da divisão do segundo termo pelo primeiro ou do terceiro termo pelo segundo. a a 1 = a 3 a a = a 1 a 3 39
Assim, em uma P.G., o quadrado do termo central é igual ao produto dos extremos. Vejamos a progressão do enunciado. Devemos adicionar o número x a cada um dos termos da sequência (p-); p; (p+3) para termos uma progressão geométrica. Isto significa que a sequência (p + x, p + x, p + 3 + x) é uma P.G.. Para facilitar o trabalho algébrico, vamos utilizar dizer que p + x = y. Assim, nossa sequência fica: (y, y, y + 3) Vimos que o quadrado do termo central é o produto dos extremos. y = (y )(y + 3) y = y + 3y y 6 0 = y 6 y = 6 Substituindo o valor de y na sequência, temos: (6, 6, 6 + 3) = (4,6,9) A razão da progressão é a divisão de um termo por aquele que o antecede. r = 6 4 = 3 A soma dos termos é 4 + 6 + 9 = 19. Como p + x = y, temos: p + x = 6 x = 6 p Letra D 40
QUESTÃO 1 CONSUPLAN BANESTES - 013 Numa prateleira encontram-se 4 recipientes dispostos em ordem crescente, sendo que cada recipiente tem o triplo da capacidade do recipiente anterior. Considerando que a diferença entre o maior e o menor recipiente e de 5, litros, então a soma das capacidades desses 4 recipientes, em litros, e (A) 7. (B) 8. (C) 9. (D) 10. (E) 11. Vamos considerar que o primeiro recipiente tem capacidade de x litros. Como cada recipiente tem o triplo da capacidade do recipiente anterior, o segundo terá 3x litros, o terceiro 9x litros e o quarto 7x litros. A diferença entre o maior e o menor recipiente e de 5, litros, portanto: 7x x = 5, 6x = 5, x = 0, A soma das capacidades desses 4 recipientes, em litros, e Letra B x + 3x + 9x + 7x = 40x = 40 0, = 8 litros QUESTÃO 13 CONSUPLAN PREF. DE CAMPO VERDE - MT - 010 41
Qual é a soma dos termos da sequência (x -, 3x - 10, 10 + x, 5x + ), para que a mesma seja uma progressão geométrica crescente? a) 5 b) 60 c) 40 d) 48 e) 64 Vimos que para calcular a razão de uma progressão geométrica devemos dividir qualquer termo por aquele que o antecede. Como a razão é constante, então: 3x 10 x 10 + x = 3x 10 O produto dos meios é igual ao produto dos extremos (multiplicar cruzado). (3x 10)(3x 10) = (x )(10 + x) 9x 30x 30x + 100 = 10x + x 0 x 9x 60x + 100 = x + 8x 0 8x 68x + 10 = 0 Para simplificar, podemos dividir os dois membros da equação por 4. x 17x + 30 = 0 Temos uma equação do segundo grau, em que a =, b = -17 e c = 30. Para resolvê-la, devemos utilizar a fórmula: x = b ± b 4ac a 4
Substituindo os valores... x = ( 17) ± ( 17) 4 30 Assim, x = 6 ou x =10/4 = 5/. x = 17 ± 49 4 x = 17 ± 7 4 Vamos substituir os dois valores na sequência original e ver qual delas fornece uma P.G. crescente. i) x = 6 (x -, 3x - 10, 10 + x, 5x + ) = (4, 8, 16, 3) Já obtivemos uma P.G. crescente de razão, já que os termos estão dobrando. Esta é a sequência que queríamos. A soma dos termos é 4 + 8 + 16 + 3 = 60. Letra B Vamos substituir x por 5/ =,5 para ver o que acontece. (x -, 3x - 10, 10 + x, 5x + ) = (0,5 ; -,5 ; 1,5 ; 14,5) Esta não é uma P.G. crescente. QUESTÃO 14 CONSUPLAN BANESTES - 013 Um quadrado tem como lado o valor do 6º termo de uma progressão geométrica, no qual o 1º termo é 6 e o 4º termo é 16. Considerando que esses valores estão expressos em centímetros, então o perímetro desse quadrado é igual a 43
a) 588 cm. b) 5830 cm. c) 583 cm. d) 5836 cm. e) 5840 cm. Temos uma progressão geométrica em que a 1 = 6 e a 4 = 16. Pela fórmula do termo geral, temos: a 4 = a 1 q 3 16 = 6 q 3 q 3 = 7 q = 3 Isto significa que os termos da P.G. estão triplicando. Se o quarto termo é 16, o quinto termo será 16 x 3 = 486 e o sexto termo será 486 x 3 = 1.458. Achamos o lado do quadrado: 1.458 cm. Queremos saber o perímetro do quadrado. O perímetro é a soma dos quatro lados, ou seja, 1.458 x 4 = 5.83 cm. Letra C QUESTÃO 15 CESGRANRIO PETROBRAS - 010 Qual é o número que deve ser somado aos números 1, 5 e 7 para que os resultados dessas somas, nessa ordem, formem três termos de uma progressão geométrica? (A) 9 (B) 5 44
(C) 1 (D) 1 (E) 9 A maneira mais rápida de resolver esta questão é testando as alternativas. (A) 9 Vamos somar 9 aos número 1,5 e 7. ( 9 + 1, 9 + 5, 9 + 7) ( 8, 4, ) Esta é uma progressão geométrica de razão 1/. A resposta é alternativa (A). Algebricamente, resolvemos esta questão assim. Vamos considerar que o número procurado seja igual a x. Assim, a sequência (1 + x, 5 + x, 7 + x) é uma progressão geométrica. A razão de uma P.G. é o quociente entre dois termos consecutivos. Como a razão é constante, então: 5 + x 1 + x = 7 + x 5 + x O produto dos meios é igual ao produto dos extremos (multiplicar em cruz). (5 + x) (5 + x) = (1 + x) (7 + x) 5 + 5x + 5x + x² = 7 + x + 7x + x² Podemos cancelar x². 5 + 5x + 5x = 7 + x + 7x 45
10x + 5 = 8x + 7 10x 8x = 7 5 x = 18 x = 9 Letra A QUESTÃO 16 CESGRANRIO EPE - 013 O valor da soma infinita 1 + 1/ 1/4 + 1/8 1/16 +... é (A) 4 (B) (C) 11/8 (D) 4/3 (E) /3 O problema pede a soma dos infinitos termos da P.G. (, 1, 1, 1 4, 1 8, 1 16, ) Para calcular a razão desta P.G. devemos dividir qualquer termo pelo seu antecedente. Vamos dividir o segundo termo pelo primeiro. q = 1 O primeiro termo é igual a. Para calcular a soma dos infinitos termos desta P.G. devemos aplicar a fórmula vista anteriormente. Se (a 1,a, a 3,, a n, ) é uma P.G. com razão 1 < q < 1, então: 46
S = a 1 + a + + a n + = a 1 1 q S = 1 ( 1 ) = 1 + 1 = 3 Para dividir frações, repetimos o numerador, invertemos o denominador e multiplicamos. S = 3 = 4 3 Letra D QUESTÃO 17 - CONSULPLAN CBM-PA/016 A soma dos 3 primeiros termos de uma progressão aritmética de razão 4 é 1.173. Assim, o 0º termo dessa progressão é: a) 83. b) 85. c) 87. d) 88. e) 9. A relação entre o 3º termo e o primeiro termo é a que segue: a 3 = a 1 + r a 3 = a 1 + 4 = a 1 + 88 Vamos aplicar a fórmula da soma dos termos. (a 1 + a 3 ) 3 = 1.173 (a 1 + a 1 + 88) 3 = 1.173 47
Agora vamos calcular o vigésimo termo. a 1 + 88 = 1.173 3 a 1 + 88 = 10 a 1 = 14 a 1 = 7 a 0 = a 1 + 19r = 7 + 19 4 = 83 Gabarito: A QUESTÃO 18 - CONSULPLAN CBM-PA/016 Em uma lanchonete recém aberta percebeu se que a cada dia visitavam três clientes a mais que no dia anterior, até o décimo dia. Sabendo que no primeiro dia foram 13 clientes a visitar a lanchonete, então o número total de clientes que visitaram a lanchonete nesses primeiros 10 dias foi igual a: a) 130. b) 15. c) 45. d) 65. e) 80. Queremos calcular os 10 primeiros termos da PA (13,16,19,...). Primeiro calculamos o 10º termo. a 10 = a 1 + 9r = 13 + 9 3 = 40. Agora aplicamos a fórmula da soma dos termos de uma PA. S 10 = (a 1 + a 10 ) 10 = (13 + 40) 5 = 65 48
Letra D QUESTÃO 19 - CONSULPLAN CBM-PA/016 Em uma progressão aritmética, o quarto termo é 39 e o oitavo termo é 11. Assim, o décimo segundo termo é: a) 10. b) 11. c) 14. d) 17. e). Vamos utilizar a fórmula do termo geral para relacionar o quarto e oitavo termos. a 8 = a 4 + 4r 11 = 39 + 4r 4r = 8 r = 7 Aplicamos novamente a fórmula do termo geral para descobrir o 1º termo. Você pode usar o quarto ou o oitavo termo para encontrar o 1º termo. Tanto faz! a 1 = a 8 + 4r a 1 = 11 + 4 7 = 17 Letra D QUESTÃO 0 - CONSULPLAN CBM-PA/016 Uma progressão aritmética de razão 5 que possui 15 termos tem a soma de seus termos igual a 795. O primeiro termo dessa sequência é: a) 1. 49
b) 14. c) 15. d) 16. e) 18. A relação entre o 15º termo e o primeiro termo é a que segue: a 15 = a 1 + 14r a 15 = a 1 + 14 5 = a 1 + 70 Vamos aplicar a fórmula da soma dos termos. (a 1 + a 15 ) 15 = 795 (a 1 + a 1 + 70) 15 = 795 a 1 + 70 = 795 15 a 1 + 70 = 106 a 1 = 36 a 1 = 18 Letra E QUESTÃO 1 - CONSULPLAN CBM-PA/016 Um celular tem seu preço de lançamento igual a R$.500,00 e a cada mês ele desvaloriza R$ 60,00 até que ele para de ser vendido quando seu preço é reduzido a menos de 0% do preço de lançamento. O mês no qual o celular para de ser vendido é o: a) 33º. b) 34º. 50
c) 36º. d) 38º. e) 40º. 0% do preço de lançamento = 0% de.500 = 500 reais. Após um mês do lançamento, o valor é 500 60 = 440. Após dois meses, o valor é 440 60 = 380. A sequência de valores por mês é a que segue: (440, 380, 30,...). Queremos saber em qual mês o valor será menos que 500 reais (o primeiro mês que isso ocorre). O termo geral dessa PA é a n = a 1 + (n 1)r = 440 + (n 1) ( 60). Queremos que este termo seja menor que 500. 440 + (n 1) ( 60) < 500 440 60n + 60 < 500 60n < 000 Quando precisamos multiplicar uma inequação por um número negativo, neste caso - 1, devemos inverter o sentido da desigualdade. 60n > 000 n > 33.3333 O primeiro valor de n maior que 33.333... é 34. Letra B QUESTÃO - CONSULPLAN CBM-PA/016 Um objeto é arremessado horizontalmente contra uma parede a 1,0 quilômetro de distância e percorre quatro metros no primeiro segundo, 11 metros no segundo, 18 metros no terceiro e, assim, sucessivamente. Dessa forma, em quantos segundos o objeto atingirá a parede? a) 14. b) 17. 51
c) 19. d) 1. e) 3. As distâncias formam uma PA de razão 7. (4,7,11,18,...). A soma de todos os termos é igual a 100 (1,0km = 100 metros). Queremos saber o número de termos. Vamos utilizar a fórmula do termo geral. a n = a 1 + (n 1)r = 4 + (n 1) 7 = 7n 3 Agora apliquemos a fórmula da soma dos termos. (a 1 + a n ) n = 1.00 (4 + 7n 3) n =.040 (7n + 1) n =.040 Vamos testar as alternativas. a) 14 (7x14+1)x14 = 1386 b) 17 (7x17+1)x17=040. Letra B 5
QUESTÃO 3 - CONSULPLAN PREF. DE CASCAVEL/016 A razão de uma progressão aritmética é igual ao dobro de seu primeiro termo. Se o décimo segundo termo é 69, então a soma dos três primeiros termos dessa progressão é: a) 1. b) 3. c) 5. d) 7. e) 9. Utilizemos a fórmula do termo geral para relacionar a 1 e a 1. a 1 = a 1 + 11r O enunciado afirma que r = a 1. 69 = a 1 + 11*a 1 69 = 3a 1 a 1 = 3. A razão é o dobro do primeiro termo. Portanto, a razão é 6. O segundo termo é 3 + 6 =9. O terceiro termo é 9 +6 = 15. A soma dos três primeiros termos é 3 + 9 + 15 = 7. Letra D QUESTÃO 4 - CONSULPLAN CM DE OLINDA/015 O primeiro e o último termo de uma progressão aritmética são, respectivamente, 43 e 430. Sendo a razão dessa progressão igual a 11, então o seu número de termos é igual a a) 36. b) 39. 53
c) 41. d) 44. Aplicação direta da fórmula do termo geral. a n =a 1 +(n-1)r 430 = -43 + (n-1)*11 473 = 11n 11 11n = 484 n = 44 Letra D QUESTÃO 5 - CONSULPLAN PREF. DE CASCAVEL/016 Tomando-se cada lado de certo polígono de 60 lados em um certo sentido e em ordem crescente verifica-se que a partir do segundo menor lado a medida de cada um deles é,5 mm maior do que a medida do seu antecessor. Se o perímetro desse polígono é igual a 475,5 cm, então o seu menor lado mede: a) 0,8 mm. b) 3,5 mm. c) 4,8 mm. d) 0,55 cm. e),5 cm. O menor lado tem comprimento a 1. As medidas dos lados formam uma PA de razão,5mm. A soma dos 60 termos é 4755 mm. 54
Apliquemos a fórmula do termo geral para relacionar o 1º e o 60º termo. a 60 = a 1 +59r a 60 = a 1 +59*,5 a 60 = a 1 +147,5 Apliquemos agora a fórmula da soma dos termos. (a 1 + a 60 ) 60 = 4755 (a 1 + a 1 + 147,5) 30 = 4755 a 1 + 147,5 = 158,5 a 1 = 5,5mm = 0,55cm Letra D QUESTÃO 6 - CONSULPLAN PATOS DE MINAS/015 João desenhou uma figura de 18 lados, que considerando a ordem crescente do tamanho dos lados, cada um era 5 mm maior que o anterior. Sabendo que essa figura tem 98,1 cm de perímetro, então o tamanho do menor lado, em centímetros, é: a) 0,5. b) 1,. c) 1,6. d) 1,8. O menor lado tem comprimento a 1. As medidas dos lados formam uma PA de razão 5 mm. A soma dos 18 termos é 981 mm. Apliquemos a fórmula do termo geral para relacionar o 1º e o 18º termo. a 18 = a 1 +17r a 18 = a 1 +17*5 a 18 = a 1 +85 Apliquemos agora a fórmula da soma dos termos. 55
Letra B (a 1 + a 18 ) 18 = 981 (a 1 + a 1 + 85) 9 = 981 a 1 + 85 = 109 a 1 = 1mm = 1,cm QUESTÃO 7 - CONSULPLAN PATOS DE MINAS/015 Analise a sequência a seguir. 6, 10, 14, 18... A soma dos 17 primeiros termos dessa sequência é: a) 45. b) 510. c) 576. d) 646. A sequência é uma PA de razão 4. Vamos calcular o 17º termo. a 17 = a 1 + 16r = 6 + 16 4 = 70 Agora calculamos a soma de todos os termos. Letra D S = (a 1 + a 17 ) 17 = (6 + 70) 17 = 646 QUESTÃO 8 - CONSULPLAN PATOS DE MINAS/015 56
A soma dos doze termos de uma progressão aritmética é igual a 04. Considerando que a razão r dessa progressão é 4, então é correto afirmar, com relação ao sexto termo da progressão K, que a) K 6. b) 6 < K 10. c) 10 < K 15. d) 15 < K 0. Apliquemos a fórmula do termo geral para relacionar o 1º e o 1º termo. a 1 = a 1 +11r a 1 = a 1 +11*4 a 1 = a 1 +44 Apliquemos agora a fórmula da soma dos termos. A razão é 4. (a 1 + a 1 ) 1 = 04 (a 1 + a 1 + 44) 6 = 04 a 1 + 44 = 34 a 1 = 5 A PA tem os seguintes termos: (-5,-1,3,7,11,15). O sexto termo é 15. Letra C QUESTÃO 9 - CONSULPLAN CBM-PA/016 Observe a sequência a seguir: x, 3x, 9x, 7x,... Sabendo que a soma dos sete primeiros termos dessa sequência é 3.79. Então o valor de x é: 57
a). b) 3. c) 4. d) 5. e) 6. Os termos estão triplicando. Vamos somar os 7 primeiros termos dessa sequência (PG). x+3x+9x+7x+81x+43x+79x = 379 1093x = 379 x = 3 Letra B QUESTÃO 30 - CONSULPLAN NATIVIDADE/014 A soma dos 3 primeiros termos de uma progressão geométrica de razão 3 é igual a 56 subtraído do 4º termo da mesma. É correto afirmar que o valor do 1º termo dessa progressão é a). b) 4. c) 6. d) 8. Digamos que o primeiro termo seja x. A razão é 3. Eis a PG: (x,3x,9x,7x). A soma dos 3 primeiros termos é igual a 56 subtraído do 4º termo. Assim: x+3x+9x = 7x - 56 58
14x = 56 x = 4 Letra B 59