Funções da forma x elevado a menos n

Pré-Cálculo Humberto José Bortolossi Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense Funções da forma x elevado a menos n Parte 5 Parte 5 Pré-Cálculo 1 Parte 5 Pré-Cálculo 2 Funções da forma x elevado a menos n Funções da forma x elevado a menos n y f x x n 1 x n, com n N e x 0 1 f é uma função par se n é um número par e f é uma função ímpar se n é um número ímpar. 2 f é uma função decrescente no intervalo 0, +. 3 Se 0 < x < 1, então 1 x n < 1 x n+1. 4 Se 1 < x, então 1 x n+1 < 1 x n. Parte 5 Pré-Cálculo 3 Parte 5 Pré-Cálculo 4

Funções da forma x elevado a menos n Funções da forma x elevado a p/q fração irredutível Parte 5 Pré-Cálculo 5 Parte 5 Pré-Cálculo 6 Funções da forma x elevado a p/q fração irredutível Funções da forma x elevado a p/q fração irredutível y f x x p/q, com p Z {0}, q N e p/q fração irredutível y f x x p/q, com p Z {0}, q N e p/q fração irredutível 1 Se p > 0, q > 0eq é par, então, por definição, x p/q q x p para todo x 0. 2 Se p > 0, q > 0eq é ímpar, então, por definição, x p/q q x p para todo x R. 1 Se p < 0, q > 0eq é par, então, por definição, para todo x > 0. x p/q 1 x p/q 1 q x p 2 Se p < 0, q > 0eq é ímpar, então, por definição, para todo x R {0}. x p/q 1 x p/q 1 q x p Parte 5 Pré-Cálculo 7 Parte 5 Pré-Cálculo 8

Exemplos Funções da forma x elevado a p/q fração irredutível x 5/3 3 x 5, x R. x 3/8 8 x 3, x 0. x 5/4 1 x 5/4 4 1, x > 0. x 5 x 2/3 1 x 2/3 3 1, x 0. x 2 Por que a definição exige que a fração p/q seja irredutível? 3/2 6/4 mas 2 x 3 está definida para x 0 enquanto que 4 x 6 está definida para x R. Parte 5 Pré-Cálculo 9 Parte 5 Pré-Cálculo 10 Como calcular 3 2? Resposta: use aproximações racionais cada vez melhores de 2! E potências irracionais? Aproximação de 2 Aproximação de 3 2 1.4 3 1.4 3 7 5 4.6555367217460790... 1.41 3 1.41 3 141 100 4.7069650017165727... 1.414 3 1.414 3 707 500 4.7276950352685357... 1.4142 3 1.4142 3 7071 5000 4.7287339301711910... 1.41421 3 1.41421 3 141421 100000 4.7287858809086143... Parte 5 Pré-Cálculo 11 Parte 5 Pré-Cálculo 12

A função afim Definição A função afim Uma função f : R R chama-se afim se existem constantes a, b R tais que f x ax + b para todo x R. Exemplo de função afim: f : R R x f x 2x + 3. Parte 5 Pré-Cálculo 13 Parte 5 Pré-Cálculo 14 Proposição O gráfico de uma função afim f : x y f x ax + b é uma reta. Demonstração. Basta verificarmos que três pontos quaisquer do gráfico de f são colineares. Sejam, portanto, Cuidado! Todo gráfico de uma função afim é uma reta no plano cartesiano, mas nem toda reta no plano cartesiano é gráfico de uma função afim! P 1 x 1, ax 1 + b, P 2 x 2, ax 2 + b e P 3 x 3, ax 3 + b. Para verificar que P 1, P 2 e P 3 são colineares é necessário e suficiente que o maior dos três números dp 1, P 2, dp 2, P 3 e dp 1, P 3 seja igual à soma dos outros dois. Sem perda de generalidade, podemos supor que as abscissas x 1, x 2 e x 3 foram ordenadas de modo que x 1 < x 2 < x 3. A fórmula da distância entre dois pontos nos dá: dp 1, P 2 x 2 x 1 2 + a 2 x 2 x 1 2 x 2 x 1 1 + a 2, dp 2, P 3 x 3 x 2 1 + a 2, dp 1, P 3 x 3 x 1 1 + a 2. Daí se segue imediatamente que dp 1, P 3 dp 1, P 2 +dp 2, P 3. Parte 5 Pré-Cálculo 15 Parte 5 Pré-Cálculo 16

Observações A função afim y f x a x + b 1 O gráfico de uma função afim é uma reta: a éocoeficiente angular com relação ao eixo x e b é o coeficiente linear da reta. 2 O coeficiente linear b é a ordenada do ponto de interseção da reta com o eixo y. 3 O coeficiente angular a mede a inclinação da reta: ele é igual a tangente do ângulo entre a reta e o eixo x quando a mesma escala foi usada nos dois eixos coordenados. Parte 5 Pré-Cálculo 17 Parte 5 Pré-Cálculo 18 Exercícios Proposição Dados arbitrariamente x 1, y 1, x 2, y 2 R 2, com x 1 x 2, existe uma, e somente uma, função afim f : R R tal que y f x a x + b f x 1 y 1 e f x 2 y 2. 1 f é crescente se, e somente se, a > 0. f é decrescente se, e somente se, a < 0. Demonstração. Observe que: { f x1 y 1, f x 2 y 2, { a x1 + b y 1, a x 2 + b y 2. 2 Estude a equação ax + b 0 isto é, f x 0. A resposta dependerá dos sinais de a e b. 3 Estude a inequação ax + b > 0 isto é, f x > 0. A resposta dependerá dos sinais de a e b. Assim, existe uma única função afim f : R R tal que f x 1 y 1 e f x 2 y 2 se, e somente se, o sistema linear nas variáveis a e b { a x1 + b y 1, a x 2 + b y 2, possui uma única solução. Mas, como x 1 x 2, este é o caso, a y 2 y 1 x 2 x 1, b x 2y 1 x 1 y 2 x 2 x 1. Parte 5 Pré-Cálculo 19 Parte 5 Pré-Cálculo 20

A função linear Definição A função linear Uma função f : R R chama-se linear se existe constante a R tais que f x ax para todo x R. Exemplo de função afim: f : R R x f x 2x. Parte 5 Pré-Cálculo 21 Parte 5 Pré-Cálculo 22 Observações 1 Se y f x ax é uma função linear, então f x 1 + x 2 f x 1 +f x 2 para todo x 1, x 2 R e f cx cfx para todo c, x R. 2 A função linear é o modelo matemático para os problemas de proporcionalidade. A proporcionalidade é, provavelmente, a noção matemática mais difundida na cultura de todos os povos e seu uso universal data de milênios. A função quadrática Parte 5 Pré-Cálculo 23 Parte 5 Pré-Cálculo 24

A função quadrática A função quadrática y f x a x 2 + b x + c com a 0 y f x a x 2 + b x + c 1 O gráfico de uma função quadrática é uma parábola. 2 O coeficiente c é a ordenada do ponto de interseção da parábola com o eixo y. 3 Se o coeficiente a é > 0, a parábola é côncava para cima. Se a é < 0, ela é côncava para baixo. 4 Se b 2 4 a c < 0, então a parábola não intercepta o eixo x. 5 Se b 2 4 a c > 0, então a parábola intercepta o eixo x em dois pontos de abscissas: x 1 b 2 a a x 2 b +. 2 a 6 Se b 2 4 a c 0, então a parábola intercepta o eixo x no ponto de abscissa: x 1 b 2 a. Parte 5 Pré-Cálculo 25 Parte 5 Pré-Cálculo 26 A função quadrática Completamento de quadrados Ir para o GeoGebra Parte 5 Pré-Cálculo 27 Parte 5 Pré-Cálculo 28

Completamento de quadrados: exemplo 1 Lembre-se que: u + v 2 u 2 + 2 uv+v 2 e u v 2 u 2 2 uv+v 2. Completamento de quadrados: exemplo 1 Logo: x 2 8 x + 15 0 x 4 2 1 0 x 2 8 x + 15 x 2 2 x4+?? + 15 x 2 2 x4+16 16 + 15 x 4 2 1 x 4 2 1 x 4 2 1 x 4 1 x 4 1 oux 4 1 x 3oux 5. Parte 5 Pré-Cálculo 29 Parte 5 Pré-Cálculo 30 Completamento de quadrados: exemplo 2 Lembre-se que: u + v 2 u 2 + 2 uv+v 2 e u v 2 u 2 2 uv+v 2. x 2 + 3 x + 2 3 x 2 + 2 x x 2 + 2 x x + 3 2 +?? + 2 2 + 9 9 4 4 + 2 3 2 2 1 4. Completamento de quadrados: exemplo 2 x 2 + 3 x + 2 0 Logo: x + 3 2 1 2 4 0 x + 3 2 1 2 4 x + 3 2 1 2 4 x + 3 2 1 2 x + 3 2 1 2 ou x + 3 2 1 2 x 2 oux 1. Parte 5 Pré-Cálculo 31 Parte 5 Pré-Cálculo 32

Completamento de quadrados: exemplo 3 Lembre-se que: u + v 2 u 2 + 2 uv+v 2 e u v 2 u 2 2 uv+v 2. 3 2 x 2 3 x + 1 2 x 2 2 x 2 x 2 2 x 2 x 3 4 +?? + 1 4 + 9 9 16 8 + 1 3 4 2 1 8 Completamento de quadrados: exemplo 3 Logo: 2 x 2 3 x + 1 0 2 x 3 2 1 4 8 0 x 3 2 1 4 16 x 3 2 1 4 16 x 3 4 1 4 x 3 4 1 4 ou x 3 4 1 4 x 1oux 1 2. Parte 5 Pré-Cálculo 33 Parte 5 Pré-Cálculo 34 Completamento de quadrados: exemplo 4 Lembre-se que: u + v 2 u 2 + 2 uv+v 2 e u v 2 u 2 2 uv+v 2. x 2 + 2 x 1 x 2 2 x1+? +? 1 x 2 2 x1+ 1 + 1 1 2 x 1 Completamento de quadrados: exemplo 4 Logo: x 2 + 2 x 1 0 x 1 2 0 x 1 2 0 x 1 2 0 x 1 0 x 1 0 x 1. Parte 5 Pré-Cálculo 35 Parte 5 Pré-Cálculo 36

Completamento de quadrados: exemplo 5 Lembre-se que: u + v 2 u 2 + 2 uv+v 2 e u v 2 u 2 2 uv+v 2. Completamento de quadrados: exemplo 5 Logo: x 2 + 2 x + 4 0 x + 1 2 + 3 0 x 2 + 2 x + 4 x 2 + 2 x1+?? + 4 x 2 + 2 x1+ 1 1 + 4 x + 1 2 + 3 x + 1 2 3. Moral: como x + 1 2 0 para todo x R e 3 < 0, segue-se que a equação x 2 + 2 x + 4 0 não possui solução real. Parte 5 Pré-Cálculo 37 Parte 5 Pré-Cálculo 38 Completamento de quadrados: caso geral Hipótese: a 0. b ax 2 + bx+ c a x 2 + 2 x +?? + c 2 a b a x 2 + 2 x + b2 2 a 4 a 2? + c b a x 2 + 2 x + b2 2 a 4 a 2 b2 4 a + c b a x 2 + 2 x + b2 b 2 2 a 4 a 2 4 a c b a x 2 + 2 x + b2 b 2 4 ac 2 a 4 a 2 4 a a x + b 2 2 a 4 a A forma canônica do trinômio Parte 5 Pré-Cálculo 39 Parte 5 Pré-Cálculo 40

A forma canônica do trinômio Forma canônica do trinômio: se a 0, então ax 2 + bx+ c a x + b 2 2 a b 2 4 ac 4 a Aplicação: raízes de uma equação quadrática Parte 5 Pré-Cálculo 41 Parte 5 Pré-Cálculo 42 Aplicação: raízes de uma equação quadrática Hipótese: a 0. ax 2 + bx+ c 0 a x + b 2 0 2 a 4 a a x + b 2 2 a 4 a x + b 2 2 a 4 a 2. Moral: se b 2 4 ac < 0, então 4 a 2 < 0 e x + b 2 0. 2 a Logo, a equação quadrática ax 2 + bx + c 0 não possui solução real. Aplicação: raízes de uma equação quadrática Hipótese: a 0 e b 2 4 ac 0. ax 2 + bx+ c 0 x + b 2 2 a 4 a 2 x + b 2 2 a 4 a 2 x + b 2 a 4 a 2 2 a 2a x + b 2 a 2a ou x + b 2 a + 2a x b 2 a 2a ou x b 2 a + 2a x b 2a ou x b + 2a. Parte 5 Pré-Cálculo 43 Parte 5 Pré-Cálculo 44

A fórmula de Bhaskara é de Bhaskara? O hábito de dar o nome de Bhaskara para a fórmula de resolução da equação do segundo grau se estabeleceu no Brasil por volta de 1960. Esse costume aparentemente só brasileiro não se encontra o nome de Bhaskara para essa fórmula na literatura internacional, não é adequado pois: 1. Problemas que recaem numa equação do segundo grau já apareciam, há quase 4 mil anos, em textos escritos pelos babilônios. Nesses textos o que se tinha era uma receita escrita em prosa, sem uso de símbolos que ensina como proceder para determinar as raízes em exemplos concretos com coeficientes numéricos. 2. Até o fim do século XVI não se usava fórmula para obter raízes de uma equação do segundo grau, simplesmente porque não se representavam por letras os coeficientes de uma equação. Isso passou a ser feito a partir de François Viète, matemático francês que viveu de 1540 a 1603. Logo, embora não se deva negar a importância e a riqueza da obra de Bhaskara, não é correto atribuir a ele a conhecida fórmula de resolução da equação do segundo grau. Fonte: Revista do Professor de Matemática, SBM, vol. 39, p. 54. A fórmula de Bhaskara é de Bhaskara? Problemas que recaem numa equação do segundo grau estão entre os mais antigos da Matemática. Em textos cuneiformes, escritos pelos babilônicos há quase quatro mil anos, encontramos, por exemplo, a questão de achar dois números conhecendo sua soma s e o seu produto p. Os números procurados são raízes da equação de segundo grau x 2 s x + p 0. Com efeito: se x éum dos números, então s x é o outro pois a soma dos dois números deve ser igual a s. Logo, o seu produto é igual a p xs x s x x 2, de modo que x 2 s x + p 0. Em termos geométricos, este problema pede que se determine os lados de um retângulo conhecendo o semiperímetro s e a área p. Parte 5 Pré-Cálculo 45 Parte 5 Pré-Cálculo 46 Aplicação: o gráfico de uma função quadrática Uma vez que ax 2 + bx+ c a x + b 2 b 2 4 ac, 2 a 4 a Aplicação: o gráfico de uma função quadrática segue-se que se f x x 2 e gx ax 2 + bx+ c, então gx a f x + r+s, onde r b 2 a e s 4 ac b2. 4 a Moral: o gráfico de qualquer função quadrática pode ser obtido via um alongamento/compressão vertical, uma translação horizontal e uma translação vertical do gráfico da função f x x 2. Parte 5 Pré-Cálculo 47 Parte 5 Pré-Cálculo 48

Aplicação: o gráfico de uma função quadrática Aplicação: o gráfico de uma função quadrática O vértice da parábola que é gráfico da função quadrática f x ax 2 + bx+ c a V x + b 2 2 a têm coordenadas b 2 a, 4 ac b2. 4 a b 2 4 ac 4 a, Ir para o GeoGebra Parte 5 Pré-Cálculo 49 Parte 5 Pré-Cálculo 50