7. Regras Básicas e Derivação 0. regra a soma: [f () + g ()] 0 = f 0 () + g 0 () 0. regra a iferença [f () g ()] 0 = f 0 () g 0 () 0. regra o routo [f () :g ()] 0 = f () g 0 () + f 0 () g () 04. regra o quociente f () g () 0 = f 0 () g () f () g 0 () g () 05. regra a caeia [f (g ())] 0 = f 0 (g ()) g 0 () 7. Princiais Notações 0. logaritmo natural e : ln ou log 0. eonencial e : e ou e () 0. seno e : sin ou sen 04. cosseno e : cos 05. tangente e : tan ou tg cotangente e : cot ou cotg 08. secante e : sec co-secante e : cosec 0. arcoseno e arcsen ou arcsin. arcocoseno e arccos. arcotangente e arctan ou arctg. arcocotangente e arccotg 4. arcosecante e arcsec 5. arcocosecante e arccosec
5 METODOS DE INTEGRAÇÃO COMP. 7 7. Fórmulas Básicas e Derivação 0. 0. 05. [n ] = n n, 8n R 0. (log jj) = [e ] = [e ()] = e 04. [a ] = a ln a, a > 0 [sen ] = cos 06. [cos ] = sen [tg ] = sec 08. [cotg ] = cosec.. 5. [sec ] = sec tg 0. [cosec ] = cosec cotg [arcsen ] =. [arctg ] = + [arccos ] = 4. [arccotg ] = + [arcsec ] = jj 6. [arccosec ] = jj 7.4 Fórmulas Básicas e Integração 0. 0. 05... 5. n = n+, se n 6= 0. n + = log jj 04. e = e 06. a = a, a > 0 e a 6= 08. ln a sen = cos 0. = arcsin. = arctan 4. + jj = arcsec 6. sec = tan cosec = cotg sec tan = sec cosec cot = cos = sen = arccos = arccotg + jj cosec = arccosec
CÁLCULO DE UMA VARIÁVEL MPMATOS 5 7.5 Integração or Substituição 0. 0. 0. 04. 05. 06. 08. 0... e 5 (res. e 5 =5 + C) sen a (res. a cos a + C; a 6= 0) sen () 7 (res. cotg + C) (res. jln 7j + C) tan (res. ln jcos j + C) cot (5 7) (res. 5 ln jsen (5 7)j + C) tan sec (res. tg + C) (cot e ) e (res. ln jsen e j + C) sen cos (res. sen + C) cos sen (res. 4 cos4 + C) + (res. + = + C) + (res. + + C). 4. 5. 6. 7. 8. 9. cos sen cos tan ln ( + ) + (res. (sen ) + C) (res. tg + C) (res. [ln ( + )] + C) cos sen + (res. sen + + C) tan + cos (res. (tg + )= + C) cos ( + sen ) (res. arcsin (res. arcsen + C) ( + sen ) + C)
54 METODOS DE INTEGRAÇÃO COMP. 7 0.... 4. 5. 6. 7. 8. 9. 0.... 4. 5. 6. 7. 8. 9. arctan + (res. arctg + C) arccos (res. arccos + C) ( + ) + + (res. ln + + + C) cos (res. sen + ln ( sen + ) + C) (res. ln jln j + C) ln ( + (res. ln jarctg j + C) ) arctan tan cos (res. 4 tg4 + C) (res. ln jarcsen j + C) arcsin cos (ln ) (res. sen (ln jj) + C) a ; a > 0 (res. a = ln a + C) e (res. e = ( + ln ) + C) e (res. e + C) e 5 + a 5 ; a > 0 (res. 5 e5 + 5 ln a a5 + C) e +4+ ( + ) (res. e +4+ + C) (a b ) a b (res. + [(a=b) (b=a) ] = ln (a=b) + C) e () + e () 6 9 9 + 4 4 (res. ln + e (res. arcsen( ) + C) (res. arcsen(=4) + C) (res. 6 arctg(=) + C) (res. arcsen( ) + C)
CÁLCULO DE UMA VARIÁVEL MPMATOS 55 40. 4. 4. 4. 44. 45. 46. 47. 48. 49. 4 + a 4 (res. a arctg( =a ) + C) e e cos a + sen ln ( arctan ) (res. arcsen e + C) (res. a arctg [(sen )=a] + C) (res. arcsen (ln ) + C) + (res. ln + arctg + C) + (res. 4 ( + ) = + C) + (res. 4 ( + ) = + C) e + e (res. arctg (e ) + C) cos (res. sen + C) sen sen (res. + cos = + C) + cos 50. 5. 5. cos sen 4 tan cos sen + cos (res. (sen ) (sen ) + C) (res. 5 (tg )5= + C) q (res. 6 arctg( tg ) + C) 7.6 Integração or Partes 0. e (res. e e + C) 0. ln (res. ln 4 + C) 0. sen (res. sen cos + C) 04. ln (res. ln + C) 05. arcsen (res. arcsen + + C)
56 METODOS DE INTEGRAÇÃO COMP. 7 06. 08. n ln (res. n+ n + (ln n+ ) + C) arctan (res. arctg + arctg + C) ln( + ) (res. ln + + arctg + C) arcsen (res. arcsen + + C) q q 0. arcsin + (res. arcsen + + arctg + C) arctan arctg. ( + ) (res. ( + ) + 4 4 ( + ) + arctg + C). arctan (res. arcsen. (res. ln 4. ln + + (res. ln 5. h arctg e (res. e e + e ) i + C) arcsen + C) + + + + C) 7.7 Decomosição em Frações Parciais. ( ) (res. ln j j + ln j j + C) ( ) ( ). ( + ) ( + ) ( + 5) 5 + 4 8. 4 4 4. ( ) ( + ) 5. ( ) ( ) ( 8) 6. 4 + 4 ( + ) 7. ( + ) (res. 8 ln j + j + 4 ln j + j 5 8 ln j + 5j + C) (res. 4 + ln + + + 5 ln ( ) ln ( + ) + C) (res. + j j= ln j + j (res. + ln + C) + 6 (res. ln jj + + ln j j + C) (res. ln ( + ) + + ln j + j + C) ln j + j + C)
CÁLCULO DE UMA VARIÁVEL MPMATOS 57 8. + 5 9. 0.... 4. + + ( + ) (res. + + 5 + 4 6 + 5 + (6 7) 5. 7 + (7 + ) 6. 6 + ( ) 7. 5 + 6 4 5 + 4 8. + (res. ln + ( + ) = + arctan( ) + C) (res. + ln + C) + arctan + C) + (res. 4 arctan( + ) + C ) (res. arctan( ) + C ) (res. 4 ln 5 + C ) (res. arctan ( ) + C ) (res. ln 7 + + C ) (res. ln ( + ) + ln ( )) (res. 0 ln 5 + 5 arctan(0 )) (res. + 4 ln + + 4 arctan[ 7 7 ]) 7.8 Problemas e Valor Inicial. s t = t(t ) ; s() = (res. s(t) = (t ) 4 5 ) y. = sec ; y(0) = ; y 0 (0) = 0 (res. y(t) = ln(jcos tj) + ). y t = et sen(e t ); y(ln ) = 0 (res. y(t) = cos(e t ) + ) 4. y t = ; y(0) = 0 (res. y(t) = arcsin t ) t Problema e uma artícula. Uma artícula se move e um lao ara o outro em uma reta com velociae v = = (6 sen t) m=s. Se em t = 0 tem-se = 0, etermine o valor e s quano t t = seg. (res. ( ) = 6m)
58 METODOS DE INTEGRAÇÃO COMP. 7 7.9 Integrais Trigonométricas 0. 0. 0. sin (res. cos + cos + C) sin 5 (res. cos + cos 5 cos5 + C) cos 4 sen (res. 5 cos5 + 7 cos7 + C) cos 04. sen 4 (res. csc csc + C) 05. tan (res. tan + log jcos j + C) 06. 08. cot 5 (res. 4 csc4 + csc + log jsen j + C) cos 4 (res. 4 sen cos + 8 cos sen + 8 + C) tan (res. tan + C) cos 0 sen (res. cot + C) 0. cos 4 cos 7 (res. 6 sen + sen + C). cos sin (res. 5 cos5 cos + C). cos sin 5 (res. 6 cos 6 + 5 cos 0 4 cos 4 + C) sen. cos (res. sen + C) cot 4. (res. sen 5 ( sen ) 5 + + C) sen 5. sin cos (res. + (sen )+ + (sen )+ + C) 6. sin (res. cos sen + + C) 7. sec (res. ln jsec + tan j. 8. sec (em (7) faça sec = (res. sen sec + ln jsec + tan j + C: sec +tg sec +tg sec e u = sec + tg e em (8) escreva sec = sec sec )
CÁLCULO DE UMA VARIÁVEL MPMATOS 59 9. 0.... 4. 5. 6. 7. 8. cos (res. cos sen + ) sin sec (res. sen sec + sen ln jsec + tan j + C) sin cos (res. 4 sen cos + 8 cos sen + 8 + C ) cos 6 (res. cos sen ( 6 cos4 + 5 4 cos + 5 6 ) + 5 6 + C ) cosec 4 (res. cot cot + C. Faça csc 4 = csc + csc cot ) tan 4 sec 4 (res. tan7 7 + tan5 5 + C) cos sen 4 (res. cos 6 4 cos + C ) sin 4 (res. cos sen + + C ) sec 8 (res. tan7 7 + tan5 5 + tan + tan + C ) sen sen (res. 4 sen 8 sen 4 + C ) cos 9. sen 4 (res. cot + C ) 0. sen( 4 ) cos( 4 ) (res. cos + cos + C ) Substituições Trigonométricas As integrais que envolvem as eressões a e a oem ser calculaas com auílio e substituições eseciais. As substituições mais comuns são: = a tg ; = a sen e = a sec e elas são euzias a artir as relações nos triângulos retângulos a gura abaio:
60 METODOS DE INTEGRAÇÃO COMP. 7 Substituições Trigonométricas. a muança = a tg substitui a + or a sec. a muança = a sen substitui a or a cos. a muança = a sec substitui a or a tg a 0. 0. 0. 04. 05. 06. 08. 0... (res. a arcsin (=a) + C) 4 (res. (4 ) + arcsin + C) q(a + ) (res. 4 + 8 + 5 4 5 + + 6 5 + 4 4 4 a a + + C) (res. 4 4 + 8 + 5 ln + 4 + 8 + 5 + + C) (res. ln( + 4 5) + C) q (res. ln j + + + ( + ) j + C) (res. 6 5 + arcsin( ) + C) (res. ln j + + j + C) (res. ln( + 4) + C) (res. ln( + 4 4 ) + C) 4 (res. 4 4 = + 4 + arcsin + C 8 (res. 8 arcsin + + C). + 9 4. 6 a 5. 6. 4 (res. 9 + 9 + C) (res. 6 6 + C) (res. a + a arcsec (=a) + C) (res. arcsin[(8 + ) = 4])
CÁLCULO DE UMA VARIÁVEL MPMATOS 6 7. 8. 9. 0.... + + 5 7 (res. ln j + + + + j) (res. arcsin[(6 + 7) = 09]) ( + 5) (res. ln j6 + 5 + ( + 5)j) 5 ( + ) 4 + 4 + ( ) + 66 (res. 5 ln j0 + 0 (5 )j) (res. 4 4 + 4 + + 5 4 ln j + + 4 + 4 + j) (res. + 66 ) ( + 5) ( ) (res. ( ) + 4 ln j4 + 8 ( )j) 7.0 Integral e Funções Eseciais Funções Envolveno E() e 0. tanh 0. e (res. ) e + sinh 0. e 04. (res. ) + + cosh [res.: 0) ln (cosh ) 0) ln (e ) 0) arctan (e ) 04) tanh ln tanh ln tanh + ] Funções Envolveno Raicais 0. 4 0. + 6 4 ( 6 + ) 0. 6 7 + 4 04. 5 (res. ) ( 7 + ) 7 8 + 4 5 (res. ) 05. + 06. (res. ) [res.: 0) 4 [ 4 ln( 4 4 +)] 0) 7 9 h 4 04) 4 7 + 4 7 4 + i 4 5 5 0) 6 6 + + log 4 log ( + ) 05) ( + ) 06) 5 (4 + ) ( ) ]