Lei dos Senos e Cossenos Professora Renata Fonsea GABARITO ) Algebrópolis, Geoetrópolis e Aritetrópolis são idades do país Mateatiquistão, loalizadas onfore a figura A partir dos dados forneidos, deterine a distânia aproiada de Geoetrópolis a Algebrópolis Considere, Solução Enontrando o tereiro ângulo aplia-se a Lei dos senos: sen0º senº (,) 7k ) ado o triângulo A e sabendo que o lado a ede, o lado b ede 0 e o ângulo forado por estes lados é 0º, qual é o valor do lado do triângulo? Solução Observe que o triângulo não é retângulo Apliando a lei dos ossenos e relação ao ângulo C (oposto ao lado prourado), teos: a b abosc () (0) 00 0 9 ()(0)osC 0 9 ) ado o triângulo abaio, e sabendo que dois de seus ângulos são de o e o respetivaente e que o lado e ou ede 8, quais são os valores dos lados b e? ados: senº = 0,; sen0º = 0,8 e senº = 0,70 Solução Observe que o triângulo não é retângulo e que A = 0º Apliando a lei dos senos e relação aos lados e b (opostos aos ângulos C e B), teos:
a b sena senb 8(0,) b, 0,8 8(0,70) 0,8, 8 sen0º b senº senº ) No paralelograo desenhado abaio, obtenha a edida da diagonal aior Solução Observe que a diagonal é o lado oposto ao ângulo de 0º Apliando a lei dos ossenos e relação ao ângulo C (oposto à diagonal prourada), teos: a () b () 9 osc ( 7,08 abosc ()()osc ) 7 ) Sabendo que e u triângulo qualquer seus lados ede respetivaente, e 7, qual o valor do osseno do ângulo C deste triângulo? Solução Esta situação apresenta soente lados e o ângulo prourado está oposto ao lado edindo Apliando a lei dos ossenos e relação ao ângulo C, teos: a (7) b () abosc (7)() osc 9 9 osc osc 8 osc 0,79 ) U triângulo é tal que AB = e AC = Calule a edida do lado sabendo que os ângulos internos dos vérties B e C são tais que B = C Solução O lado AC está oposto ao ângulo B O lado AB está oposto ao ângulo C Apliando a lei dos senos, teos: osc Voltando ao problea, teos: O tero () pode ser desenvolvido oo:
(osc) osc osc Logo C = 0º e B = C = 0º Esse resultado india que o tereiro ângulo vale 90º e o triângulo é retângulo O lado oposto ao ângulo reto é hipotenusa e vale: a 8 7) No triângulo da figura, = 0º, y = º e AC ede Calule o lado Solução O ângulo B vale: 80º - (0º + º) = º Apliando a lei dos senos, teos: senb sen senº sen 0º 9) Considere u triângulo ujos lados ede, e 9 Qual a área de u quadrado ujo lado é a ediana relativa ao aior lado do triângulo onsiderado e entíetros quadrados? Solução Apliando a lei dos ossenos, teos: i) 9 0 ()(9) os y os y 90 70 90 ii) 9 9 ()( ) os y 8 70 ( ) 0, 90 8) Calule o osseno do ângulo obtuso do triângulo A Solução Apliando a lei dos senos, teos:
sen 0º sen sen os sen 9 9 sen sen os ( obtuso) 9) Calule a soa dos lados AC e do triângulo Solução Apliando a lei dos senos, teos: i) sen 0º senº ii) Apliando a lei dos ossenos e relação ao lado AB, teos: ( ) AC ( )( AC) os0º AC ()( AC) AC AC 8 0 AC AC 8 0 AC AC 8 0 Resolvendo: AC ( ) 08 ()( 8) ( ) Coo o ângulo oposto ao lado AC é obtuso, ele é o aior lado Logo AC = ( ) Logo a soa pedida AC + será o valor AC ( ) (,7), 0) Calule o valor de os no triângulo da figura Solução Apliando a lei dos ossenos, teos: R R R 8( R R ( R)( R) os 9R ) os os 8 8R 8( R ) os
) Ua erta propriedade rural te o forato de u trapézio oo na figura As bases WZ e XY do trapézio ede 9, k e,7 k, respetivaente, e o lado YZ argeia u rio Se o ângulo XYZ é o dobro do ângulo XWZ, a edida, e k, do lado YZ que fia à arge do rio é: (A) 7, (B),7 (C),7 (), (E),7 Solução Traçando ua paralela ao lado WX, onstruíos u triângulo isóseles o os dois ângulos iguais a b Logo, o lado YZ possui a esa edida de,7k do outro lado ) U topógrafo pretende edir a distânia entre dois pontos (A e B) situados e argens opostas de u rio Para isso, ele esolheu u ponto C na arge e que está, e ediu os ângulos ACB ˆ e CA ˆ B, enontrando, respetivaente, e 7º eterine (Utilize, ) AB, sabendo que Solução Apliação da Lei dos Senos: AC ede sen0º senº (,),, ) Calule a distânia dos pontos A e B, entre os quais há ua ontanha, sabendo que suas distânias a u ponto fio M são de k e k, respetivaente A edida do ângulo AM ˆ B é igual a 0º Solução Apliação da Lei dos ossenos: 9 ()()os 0º 7k