Problema de Particionamento de Conjuntos Eliana Fátima Nóbrega da Silveira Professor: João Soares Trabalho elaborado no âmbito da disciplina de Optimização Combinatória Disciplina da Licenciatura em Matemática 2011/2012
Introdução Neste trabalho foi proposto estudar e analisar o problema de particionamento de conjuntos e dar uma aplicação do mesmo. Este modelo de particionamento de conjuntos é muito útil em aplicações no mundo real: empresas transportadoras, alocação de recursos (transferir recursos de um empresa ou sector empresarial para outra(o) empresa ou sector), localização de instalações entre outras. Inicialmente irei apresentar o conceito do problema de particionamento de conjuntos e a formulação do mesmo através de um exemplo de aplicação. Posteriormente darei um exercício de aplicação deste modelo no qual irei formular o problema segundo as restrições dadas, poderá ser resolvido, também, com o modelo da cobertura de conjuntos, deixando a solução admissível do problema para o leitor.
Problema de Particionamento de Conjuntos O problema de particionamento de conjuntos consiste em dividir um conjunto S qualquer de m elementos em n subconjuntos,, de modo a minimizar alguma restrição. Este problema de inteiros formula-se da seguinte forma: Minimizar Sujeito a, onde A é uma matriz de zeros e uns, se e se, para e. O modelo de particionamento de conjuntos encontra-se em muitas aplicações da realidade e possibilita a redução de custo, tempo ou distâncias. Consideremos o seguinte exemplo: seja uma região qualquer que contém m áreas de venda, numeradas de 1 até m. Queremos organizar estas áreas de venda em distritos (ou seja, em grupos). O problema consiste em organizar as áreas de venda em distritos ao menor custo, isto é, como formar os subconjuntos de modo a minimizar o custo. Seja S o conjunto das áreas de venda, seja n o número de distritos formados pelas áreas de venda. Portanto, é o subconjunto j de S. Seja, para e, e seja o custo de formar o subconjunto j partindo das áreas de venda. Usando o modelo de particionamento de conjuntos define-se: { Uma vez que cada área de venda tem estar num distrito, este problema leva-nos ao seguinte modelo de particionamento de conjuntos: Minimizar Sujeito a, para cada A solução admissível é a partição que minimiza.
Exemplo de Aplicação: O problema de localização de instalações Uma região residencial está dividida em oito zonas. A melhor localização para uma estação de bombeiros em cada zona já foi determinada. Também estimaram o número médio de minutos que um carro de bombeiros demora a responder a uma emergência na zona j,, a partir de uma possível estação de bombeiros na zona i,. Uma estimativa de mais de 75 minutos indica que não é possível responder a uma emergência em tempo razoável. A matriz que se segue corresponde ao tempo médio de condução da zona i para a zona j, os espaços vazios corresponde ao tempo de condução superior ou igual a 75 minutos e esta matriz não é simétrica. Tempo médio de condução Partindo de i para j j [ ] Não é necessário haver bombeiros em cada zona, mas cada zona deve estar dentro da média de 25 minutos de tempo de condução para chegar à estação de bombeiros. Formule o problema de modo a determinar as zonas nas quais os bombeiros deverão estar localizados, com o objectivo de usar o menor número de estações de bombeiros. Formulando o problema: Minimizar Sujeito a, para cada Para determinar a matriz A consideramos 0 os elementos superiores a 25 e 1 os elementos inferiores ou igual a 25. Por exemplo para i=1, uma estação na zona 1 consegue socorrer as zonas 1 e 3 dentro do período de 25 minutos nas restantes zonas o carro de bombeiros demora mais de 25 minutos, ou seja, obtemos o seguinte vector
[ ], que corresponde à primeira coluna da matriz. O mesmo se sucede com as restantes colunas, obtendo o seguinte resultado: A = [ ] = [ ] [ ] [ ] Tal que = 0 ou 1, para qualquer j. Tendo em conta que uma estação de bombeiros pode socorrer mais que uma zona, podemos considerar que se trata de um problema da cobertura de conjuntos, apenas se encontra uma ligeira diferença nas restrições Minimizar Sujeito a, usando a mesma matriz A.
Bibliografia - MURTY, Katta; Operation Research- Deterministic Optimization Model; Pentice Hall, New Jersey; pp. 312-314. - http://www2.imm.dtu.dk/courses/02735/sppintro.pdf http://www.jstor.org/discover/10.2307/168359?uid=29057&uid=3738880&uid=2129 &uid=2&uid=70&uid=3&uid=67&uid=62&uid=29055&sid=56238073583