UNIFEI - UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBÁ PROVA DE CÁLCULO 1 PROVA DE TRANSFERÊNCIA INTERNA, EXTERNA E PARA PORTADOR DE DIPLOMA DE CURSO SUPERIOR - 16/10/2016 CANDIDATO: CURSO PRETENDIDO: OBSERVAÇÕES: 1. Prova SEM consulta; 2. A prova PODE ser feita a lápis;. PROIBIDO o uso de calculadoras e similares; 4. Duração: 2 HORAS. 5. Nas questões discursivas EXPLICITAR os cálculos. Questão 1 (10 pontos). Avalie: a) 0 b) + c) d) lim x 0 + x 2 x c) O numerador tem limite igual a enquanto o denominador tem limite 0 por valores negativos, logo o resultado é. Questão 2 (10 pontos). Considere g : R R e h : R R deriváveis, supondo que f(x) = g(x cos(h(x))) encontre f (x). a) g ( xsen(h (x)) b) g (x cos(h(x))) (cos(h(x) xh (x)sen(h(x)))) c) g (xsen(h(x))) (cos(h(x) xh (x)sen(h(x)))) d) g (xsen(h(x))) (xh (x) cos(h(x)))) b) Utilizando a regra do produto e a regra da cadeia obtemos f (x) = g (x cos(h(x))) (cos(h(x) xh (x)sen(h(x)))).
Questão (10 pontos). Considere a curva y + 2xy + x 2 = 1, encontre o coeficiente angular da reta tangente para x não nulo, quando y = 1. a) 1 b) 1 c) 2 d) 2 c) Caculando a derivada implícita obtemos, Fazendo y = 1 na curva temos y 2x + 2y = y 2 + 2x. x 2 + 2x = 0 resolvendo para x e substituindo a raiz não nula, x = 2, temos: y = 2. Questão 4 (10 pontos). Para x [0, π], determine o ponto de mínimo da função f(x) = sen(x) + cos(x). a) π 4 b) 0 c) π 6 d) π d) A derivada é dada por f (x) = cos(x) sen(x) e está definida para todo valor de x, se anulando, no intervalo do enunciado, quando x = π, logo este valor de x é ponto crítico de f. Avaliando, a função no ponto crítico e 4 nas extremidades do intervalo temos ( π ) f(0) = 1, f = 2, f(π) = 1. 4 Logo, o ponto de mínimo é x = π. Questão 5 (10 pontos). Qual o valor de a) π 2 b) 2 c) 2 d) π π 0 2x cos(x 2 )dx. b) 2
Resolvendo a integral indefinida obtemos, 2x cos(x 2 )dx = cos(x 2 ) + x 2 sen(x 2 ) + C, logo, π 0 2x cos(x 2 )dx = 2 Questão 6 (10 pontos). Estude a concavidade da função f(x) = 4x x 2 + 1 Calculando a derivada segunda temos f (x) = 8x(x2 ) (x 2 + 1) O denominador acima é sempre positivo. O numerador troca de sinal nos pontos, 0 e, logo estes pontos são os pontos de inflexão. Avaliando o sinal temos concavidade para baixo em (, ) (0, ) e concavidade para cima em (, 0) (, + ) Questão 7 (10 pontos). onde Avalie f(x) = f(x) f(0) lim x 0 x { xsen ( 1 x), se x 0 0, se x = 0. Escrevendo a expressão temos o qual não existe. ( ) 1 lim sen x 0 x Questão 8 (10 pontos). Sejam x 1 e x 2 as raízes da função f(x) = ax 2 x e sejam r 1 e r 2 as retas tangentes ao gráfico de f nos pontos x = x 1 e x = x 2, respectivamente. Para quais valores de a R as retas r 1 e r 2 são normais?
Calculando as raízes temos, x 1 = 0, x 2 = 1 a Avaliando a derivada de f, nestes pontos, temos ( ) 1 f (0) = 1, f = 1 a Logo, a equação de r 1 é da forma y = x e a equação de r 2 é da forma y = x 1/a, logo para todo valor real de a 0, estas retas são normais. No caso a = 0 não temos duas retas tangentes. Questão 9 (10 pontos). Encontre o volume do sólido gerado pela rotação em torno do eixo x da região x 2 y x com x [0, 2]. Note que as funções x 2 e x se cruzam em x = 1, assim o volume é dado pelas integrais V = π 1 0 (x 2 x 4 )dx + π 2 1 (x 4 x 2 )dx = 4π. Questão 10 (10 pontos). Encontre uma primitiva da função f(x) = sen(x) cos(2x). Temos que Calcular 2sen(x) cos(2x)dx usando, senos da diferença e soma temos 2sen(x) cos(2x)dx = (sen(5x) + sen(x)) dx = 1 cos(5x) cos(x) + C 5 4
UNIFEI - UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBÁ FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA PROVA DE TRANSFERÊNCIA INTERNA, EXTERNA E PARA PORTADOR DE DIPLOMA DE CURSO SUPERIOR - 16/10/2016 CANDIDATO: CURSO PRETENDIDO: OBSERVAÇÕES: 1. Prova SEM consulta; 2. A prova PODE ser feita a lápis;. PROIBIDO o uso de calculadoras e similares; 4. Duração: 2 HORAS. 5. Nas questões discursivas EXPLICITAR os cálculos. Questão 1 (10 pontos). Resolva para x R a) 9 b) 10 c) 11 d) 12 ( 2x 7 ) 9 x + 1 = (2x 1 ). b) Usando as propriedades de exponenciação, temos que resolver 4x 2 = 6x x = 10. Questão 2 (10 pontos). Qual o domínio da seguinte função: f(x) = log 10 ( x 2 x + 18) a) x [ 9, 6] b) x (, 2) c) x [, 2] d) x ( 9, 6) b) O argumento do Logaritmo deve ser positivo, logo devemos resolver x 2 x+18, donde temos {x R : < x < 2} Questão (10 pontos). Considere a equação 2x x + 2 = 2 Para quais valores de x ela se verifica?
a) x = 9 b) x = 2 c) x = 1 e x = 9 d) x = 2 e x = 4 a) Elevando ambos os membros ao quadrado, temos 2x x + 2 = 4 que tem soluções x = 1 e x = 9, porém somente a segunda é valida. Questão 4 (10 pontos). Sejam f e g funções com domínio em R. Para as afirmações: 1. Se f é par e g é par, então h(x) = f(x)g(x) é par; 2. Se f é ímpar e g é ímpar, então h(x) = f(x)g(x) é par;. Se f é par e g é ímpar, então h(x) = f(x)g(x) é ímpar. Se associarmos V para verdadeiro e F para falso, temos então: a) V, F, F b) V, F, V c) V, V, V d) F, F, F c) Questão 5 (10 pontos). Encontre o conjunto solução da seguinte inequação 2x 8 x + 2 0 a) x [6, + ) b) x [2, 6] c) x [ 10, 6] d) c) Usando a definição da função módulo para x < 4 temos que resolver 8 2x x + 2 0, que tem como solução x [ 10, + ) e para x 4 temos que resolver 2x 8 x + 2 0, que tem como solução x (, 6]. Fazendo a interseção, temos x [ 10, 6]. Questão 6 (10 pontos). equação Considerando x [0, π], qual o conjunto solução da seguinte cotg(x) sen(2x) = 0. Usando sen(2x) = 2sen(x) cos(x), temos 2sen 2 (x) = 1, Para o intervalo dado temos então, 2 sen(x) = ± 2 π 4 ou π 4. 2
Questão 7 (10 pontos). Sejam f e g funções com domínio em R. Suponha que f é par e g é ímpar, mostre que a composição f g(x) é uma função par. Sabemos que vale f( x) = f(x) e g( x) = g(x), assim logo, função par. f g( x) = f(g( x)) = f( g(x)) = f(g(x)) = f g(x) Questão 8 (10 pontos). Faça o gráfico da função f(x) = 2x 2 8 x + 2. Questão 9 (10 pontos). Resolva a inequação x 2 6x + 5 + 1 < x. Usando a definição da função módulo para x / (1, 5) devemos resolver x 2 6x+5+1 < x, que tem como solução x (1, 6) e para x (1, 5) devemos resolver x 2 + 6x 5 + 1 < x que tem como solução x / (1, 4), tomando a interseção temos x (4, 6). Questão 10 (10 pontos). Resolva para x e y reais { x + y = 16 log 2 x = 2 + log 2 y
Usando as propriedades do Logaritmo, temos { x + y = 15 x = 4 y isolando x na segunda e substituindo na primeira temos 5y = 15, portanto y = e daí x = 12 4