LIMITES E DERIVADAS 131 2.7 Derivadas e Taas de Variação O problema de enconrar a rea angene a uma curva e o problema de enconrar a velocidade de um objeo envolvem deerminar o mesmo ipo de limie, como vimos na Seção 2.1. Ese ipo especial de limie é camado derivada e veremos que ele pode ser inerpreado como uma aa de variação ano nas ciências quano na engenaria. Tangenes Se uma curva C iver uma equação f e quisermos enconrar a rea angene a C em um pono P a, f a, consideramos um pono próimo, f, onde a, e calculamos a inclinação da rea secane P: m P f f a a Enão fazemos aproimar-se de P ao longo da curva C ao obrigar ender a a. Se m P ender a um número m, enão definimos a angene como a rea que passa por P e em inclinação m. (Isso implica dizer que a rea angene é a posição-limie da rea secane P quando ende a P. Veja a Figura 1.) P(a, f(a)) a (, ƒ()) ƒ() f(a) 1 Definição A rea angene à curva f em um pono P a, f a é a rea passando por P com a inclinação 0 a desde que esse limie eisa. m l a f f a a P Em nosso primeiro eemplo vamos confirmar uma conjecura que foi feia no Eemplo 1 da Seção 2.1. EXEMPLO 1 Enconre uma equação da rea angene à parábola 2 no pono P 1, 1. SOLUÇÃO Temos aqui a 1 e f 2, logo a inclinação é m l1 f f 1 1 l1 2 1 1 1 1 l1 1 1 1 1 2 l1 Usando a forma pono-inclinação da rea, enconramos que uma equação da rea angene em 1, 1 é 1 2 1 ou 2 1 Algumas vezes nos referimos à inclinação da rea angene como a inclinação da curva no pono. A ideia por derás disso é que, se dermos zoom (suficiene) em direção ao pono, a curva parecerá quase uma rea. A Figura 2 ilusra esse procedimeno para a curva 2 do Eemplo 1. uano maior for o zoom, mais indisinguível da rea angene será a parábola. Em ouras palavras, a curva se orna quase indisinguível de sua rea angene. 0 FIGURA 1 A forma pono-inclinação da equação da rea por um pono 1, 1 com uma inclinação m é: 1 m 1 TEC Visual 2.7 mosra uma animação da Figura 2.
132 CÁLCULO 2 1,5 1,1 (1, 1) (1, 1) (1, 1) 0 2 0,5 1,5 0,9 1,1 FIGURA 2 Um zoom cada vez maior da parábola 2 em orno do pono (1, 1). Há oura epressão para a inclinação da rea angene que é, às vezes, mais fácil de ser usada. Se a, enão a e, assim, a inclinação da rea secane P é (a, f(a )) m P f a f a P(a, f(a)) f(a ) f(a) (Veja a Figura 3 onde o caso 0 é ilusrado e esá à direia de P. Se aconecesse que 0, enreano, esaria à esquerda de P.) Observe que quando ende a a, ende a 0 (pois a); assim, a epressão para a inclinação da rea angene na Definição 1 fica 0 a a FIGURA 3 2 m l 0 f a f a EXEMPLO 2 Enconre uma equação da rea angene à ipérbole 3 no pono (3, 1). SOLUÇÃO Seja f 3. Enão a inclinação da rea angene em (3, 1) é 3 6 0 0 3 (3, 1) m l 0 l 0 f 3 f 3 l 0 3 3 1 1 3 l 0 3 1 3 Porano, uma equação da rea angene no pono (3, 1) é l 0 3 3 3 1 1 3 3 FIGURA 4 que se simplifica para 3 6 0. A ipérbole e sua angene esão na Figura 4. FIGURA 5 posição no insane a 0 s f(a ) f(a) f(a) f(a ) posição no insane a Velocidades Na Seção 2.1 esudamos o movimeno de uma bola abandonada de cima da Torre CN e sua velocidade foi definida como o valor-limie das velocidades médias em períodos cada vez menores. Em geral, supona que um objeo se mova sobre uma rea de acordo com a equação s f, na qual s é o deslocameno do objeo a parir da origem no insane. A função f que descreve o movimeno é camada função de posição do objeo. No inervalo de empo enre ae a, a variação na posição será de f a f a. (Veja a Figura 5.) A velocidade média nesse inervalo é velocidade média deslocameno empo f a f a que é o mesmo que a inclinação da rea secane P na Figura 6.
LIMITES E DERIVADAS 133 Supona agora que a velocidade média seja calculada em inervalos cada vez menores a, a. Em ouras palavras, fazemos ender a 0. Como no eemplo da queda da bola, definimos velocidade (ou velocidade insanânea) v a no insane a como o limie dessas velocidades médias: s P(a, f(a)) (a, f(a )) 3 v a l 0 f a f a Isso significa que a velocidade no insane a é igual à inclinação da rea angene em P (compare as Equações 2 e 3). Agora que sabemos calcular os limies, vamos reornar ao problema da queda da bola. EXEMPLO 3 Supona que a bola foi deiada cair do poso de observação da orre, 450 m acima do solo. (a) ual a velocidade da bola após 5 segundos? (b) Com qual velocidade a bola cega ao solo? SOLUÇÃO Precisaremos enconrar a velocidade ano quando 5 quano quando a bola ainge o solo, de modo que é eficiene começar enconrando a velocidade em um insane geral a. Usando a equação de movimeno s f 4,9 2, emos 0 a a f(a ) f(a) m P velocidade média FIGURA 6 Lembre-se da Seção 2.1: A disância (em meros) percorrida após segundos é 4,9 2. v a l 0 f a f a l 0 4,9 a 2 4,9a 2 (a) A velocidade após 5 s é de v 5 9,8 5 49m/s. (b) Uma vez que o poso de observação esá 450 m acima do solo, a bola vai aingir o cão em 1, quando s 1 450, iso é, Isso fornece 4,9 a 2 2a 2 a 2 4,9 2a 2 l 0 l 0 l 0 4,9 2a 9,8a 1 2 450 4,9 4,9 2 1 450. e 1 450 9,6 s 4,9 A velocidade com que a bola ainge o cão é, porano, v 1 9,8 1 9,8 450 4,9 Derivadas Vimos que o mesmo ipo de limie aparece ao enconrar a inclinação de uma rea angene (Equação 2) ou a velocidade de um objeo (Equação 3). De fao, os limies do ipo lim l0 f a f a 94 m s surgem sempre que calculamos uma aa de variação em qualquer ramo das ciências ou engenaria, ais como a aa de uma reação química ou o cuso marginal em economia. Uma vez que esse ipo de limie ocorre amplamene, ele recebe nome e noação especiais. 4 Definição A derivada de uma função f em um número a, denoada por f a, é se o limie eisir. f a l0 f a f a f a é lido como f lina de a.
134 CÁLCULO Se escrevermos a, enão a e ende a 0 se, e somene se, ende a a. Consequenemene, uma maneira equivalene de enunciar a definição da derivada, como vimos na deerminação das reas angenes, é 5 f a l a f f a a EXEMPLO 4 SOLUÇÃO Enconre a derivada da função f 2 8 9 em um número a. Da Definição 4, emos f a l0 f a f a l0 a 2 8 a 9 a 2 8a 9 a 2 2a 2 8a 8 9 a 2 8a 9 l0 2a 2 8 2a 8 l0 l0 2a 8 Definimos a rea angene à curva f no pono P a, f a como a rea que passa em P e em inclinação m dada pela Equação 1 ou 2. Uma vez que, pela Definição 4, isso é o mesmo que a derivada f a, podemos agora dizer o seguine: A rea angene a f em a, f a é a rea que passa em a, f a, cuja inclinação é igual a f a, a derivada de f em a. 2 8 9 Se usarmos a forma pono-inclinação da equação de uma rea, poderemos escrever uma equação da rea angene à curva f no pono a, f a : f a f a a 0 (3, 6) 2 FIGURA 7 EXEMPLO 5 Enconre uma equação da rea angene à parábola 2 8 9 no pono 3, 6. SOLUÇÃO Do Eemplo 4, sabemos que a derivada de f 2 8 9 no número a é f a 2a 8. Porano, a inclinação da rea angene em 3, 6 é f 3 2 3 8 2. Dessa forma, uma equação da rea angene, ilusrada na Figura 7, é 6 2 3 ou 2 Taas de Variação Supona que seja uma quanidade que depende de oura quanidade. Assim, é uma função de e escrevemos f. Se variar de 1 a 2, enão a variação em (ambém camada incremeno de ) será 2 1 e a variação correspondene em será f 2 f 1 O quociene das diferenças
LIMITES E DERIVADAS 135 f 2 f 1 2 1 ( 2, f( 2 )) é denominado aa média de variação de em relação a no inervalo 1, 2 e pode ser inerpreado como a inclinação da rea secane P na Figura 8. Por analogia com a velocidade, consideramos a aa média de variação em inervalos cada vez menores fazendo 2 ender a 1 e, porano, fazendo ender a 0. O limie dessas aas médias de variação é camado aa (insanânea) de variação de em relação a em 1, que é inerpreada como a inclinação da angene à curva f em P 1, f 1 : P(, f( )) 0 2 6 aa insanânea de variação l0 2 l 1 f 2 f 1 2 1 Reconecemos ese limie como a derivada f 1. Sabemos que uma das inerpreações da derivada f a é a inclinação da rea angene à curva f quando a. Agora emos uma segunda inerpreação: aa média de variação m P aa insanânea de variação inclinação da angene e FIGURA 8 A derivada f a é a aa insanânea de variação de f em relação a quando a. A coneão com a primeira inerpreação é que, se esboçarmos a curva f, enão a aa insanânea de variação será a inclinação da angene a essa curva no pono onde a. Isso significa que quando a derivada for grande (e, porano, a curva for íngreme como no pono P na Figura 9), os valores de mudarão rapidamene. uando a derivada for pequena, a curva será relaivamene acaada (como no pono ) e os valores de mudarão lenamene. Em paricular, se s f for a função de posição de uma parícula que se move ao longo de uma rea, enão f a será a aa de variação do deslocameno s em relação ao empo. Em ouras palavras, f a é a velocidade da parícula no insane a. A velocidade escalar da parícula é o valor absoluo da velocidade, iso é, f a. No próimo eemplo discuiremos o significado da derivada de uma função definida verbalmene. v EXEMPLO 6 Um fabricane produz peças de ecido com amano fio. O cuso, em dólares, da produção de meros de cero ecido é C f. (a) ual o significado da derivada f? uais são suas unidades? (b) Em ermos práicos, o que significa dizer que f 1 000 9? (c) O que você aca que é maior, f 50 ou f 500? E f 5 000? SOLUÇÃO (a) A derivada f é a aa de variação insanânea de C em relação a ; iso é, f significa a aa de variação do cuso de produção em relação ao número de meros produzidos. (Os economisas camam essa aa de variação de cuso marginal. Essa ideia esá discuida em mais deales nas Seções 3.7 e 4.7.) Como C f l 0 as unidades para f são iguais àquelas do quociene de diferenças C. Uma vez que C é medida em dólares e em meros, segue que a unidade para f é dólares por mero. (b) A afirmação que f 1 000 9 significa que, depois de 1 000 meros da peça erem sido fabricados, a aa segundo a qual o cuso de produção esá aumenando é $ 9/m (quando 1 000, C esá aumenando 9 vezes mais rápido que ). Uma vez que 1 é pequeno comparado com 1 000, podemos usar a aproimação f 1 000 C C 1 C e dizer que o cuso de fabricação do milésimo mero (ou do 1001º) esá em orno de $ 9. P FIGURA 9 Os valores de esão variando rapidamene em P e de modo leno em. Aqui esamos assumindo que a função cuso é bem comporada; ou seja, C não oscila muio rapidamene próimo a 1 000.
136 CÁLCULO (c) A aa segundo a qual o cuso de produção esá crescendo (por mero) é provavelmene menor quando 500 do que quando 50 (o cuso de fabricação do 500º mero é menor que o cuso do 50º mero), em virude da economia de escala. (O fabricane usa mais eficienemene os cusos fios de produção.) Enão f 50 f 500. Mas, à medida que a produção epande, a operação de larga escala resulane pode se ornar ineficiene, e poderiam ocorrer cusos de oras eras. Logo, é possível que a aa de crescimeno dos cusos possa crescer no fuuro. Assim, pode ocorrer que f 5.000 f 500. No eemplo a seguir esimamos a aa de variação da dívida nacional em relação ao empo. Aqui, a função é definida não por uma fórmula, mas por uma abela de valores. D 1994 414,0 1996 469,5 1998 467,3 2000 456,4 2002 442,3 EXEMPLO 7 Seja D a dívida pública brua canadense no momeno. A abela ao lado dá os valores aproimados dessa função, fornecendo as esimaivas da dívida, em meados do ano, em bilões de dólares, no período de 1994 a 2002. Inerpree e esime os valores de D 1998. SOLUÇÃO A derivada D 1998 indica a aa de variação da dívida D com relação a quando 1998, iso é, a aa de crescimeno da dívida nacional em 1998. De acordo com a Equação 3, D D 1998 D 1998 l1998 1998 Dessa forma, calculamos e abulamos os valores do quociene de diferenças (as aas médias da variação) como a seguir: D D 1998 1998 1994 13,3 1996 1,1 2000 5,5 2002 6,3 Uma Observação sobre Unidades As unidades para a aa média de variação D são as unidades para D divididas pelas unidades para, a saber, bilões de dólares por ano. A aa insanânea de variação é o limie das aas médias de variação, de modo que é medida nas mesmas unidades: bilões de dólares por ano. Da abela vemos que D 1998 siua-se em algum lugar enre 1,1 e 5,5 bilões de dólares por ano. [Aqui faremos a razoável suposição de que a dívida não fluuou muio enre 1998 e 2002.] Esimamos que a aa de crescimeno da divida nacional do Canadá em 1998 foi a média desses dois números, a saber: D 1998 3,3 bilões de dólares por ano. O sinal de menos significa que o débio esá decrescendo naquele insane. Um ouro méodo seria raçar a função de debio e esimar a inclinação da rea angene quando 1998. Nos Eemplos 3, 6 e 7, vimos rês casos específicos de aas de variação: a velocidade de um objeo é a aa de variação do deslocameno com relação ao empo; o cuso marginal é a aa de variação do cuso de produção em relação ao número de iens produzidos; a aa de variação do débio em relação ao empo é de ineresse em economia. Aqui esá uma pequena amosra de ouras aas de variação: em física, a aa de variação do rabalo com relação ao empo é camada poência. Os químicos que esudam reações químicas esão ineressados na aa de variação da concenração de um reagene em relação ao empo (camada aa de reação). Um biólogo esá ineressado na aa de variação da população de uma colônia de bacérias em relação ao empo. Na realidade, o cálculo das aas de variação é imporane em odas as ciências naurais, na engenaria e mesmo nas ciências sociais. Mais eemplos serão dados na Seção 3.7. Todas essas aas de variação são derivadas e podem, porano, ser inerpreadas como inclinações das angenes. Iso dá imporância era à solução de problemas envolvendo angenes. Sempre que resolvemos um problema envolvendo reas angenes, não esamos resolvendo apenas um problema geomérico. Esamos ambém resolvendo impliciamene uma grande variedade de problemas envolvendo aas de variação nas ciências e na engenaria.