Probabilidade Prof. Hemílio Fernandes Campos Coêlho Departamento de Estatística - Universidade Federal da Paraíba - UFPB
Introdução Encontramos na natureza dois tipos de fenômenos: Determinísticos e Não-determinísticos (probabilísticos ou aleatórios); 1. Determinísticos: Os resultados são sempre os mesmos e determinados pelas condições sob as quais o procedimento seja executado. Exemplos: Ponto de ebulição da água, ponto de congelamento da água, lançamento de uma pedra no vácuo, avaliação matemática da energia, força, etc. 2. Não-determinísticos: Normalmente utilizados em situações que envolvem incerteza. Ou seja, resultados que variam de uma observação para outra, mesmo em condições normais de experimentação. Exemplos: Fatores de risco (para ataque cardíaco, câncer, diabetes, etc.), As condições do experimento determinam apenas o comportamento probabilístico do resultado observável.
Experimentos aleatórios São aqueles onde o processo de experimentação está sujeito a inuências de fatores casuais que conduzem a resultados incertos. Exemplo: Lançar um dado, lançar uma moeda, retirar uma carta de um baralho, preço do dólar ao m do dia, aplicação de um novo medicamento em um grupo de pacientes com tuberculose, resultado da alteração de dose de um medicamento em pacientes com determinada doença crônica, etc.
Características de um evento aleatório Pode ser repetido indenidamente sob as mesmas condições; Podemos descrever todos os possíveis resultados, matematicamente ou não. Depois de um número grande de repetições de um experimento aleatório, ocorre uma regularidade na frequência relativa, denida anteriormente como f ri = f i n, onde f i é o número de ocorrências de um determinado resultado e n é o número total de repetições do experimento.
Conceitos Iniciais Espaço Amostral (Ω): É o conjunto de todos os possíveis resultados de um experimento aleatório. Exemplo: Lançamento de um dado: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Evento: Dado um espaço amostral Ω, associado a um experimento E qualquer, denimos como evento qualquer subconjunto desse espaço amostral. Exemplo: No caso anterior, considere o evento A, sair um número par, ou seja: A = {2, 4, 6}
Esquema Ilustrativo
Tipos de Eventos Eventos Mutuamente Exclusivos: Dois eventos, A e B, serão mutuamente exclusivos se não puderem ocorrer na mesma tentativa, isto é, a ocorrência do evento A impede a ocorrência de B. Na teoria dos conjuntos representamos que dois eventos são mutuamente exclusivos por A B =. Exemplo: A = {2, 4, 6} e B = {1, 3, 5}. Temos que A B = Eventos Não-mutuamente Exclusivos: Quando os eventos possuem elementos comuns em relação à ocorrência, estes NÃO serão mutuamente exclusivos, ou seja A B.
Esquema Ilustrativo
Esquema Ilustrativo
Probabilidade É uma medida com a qual podemos esperar a chance de ocorrência de um determinado evento A, atribuindo-a um número (valor) entre 0 e 1. O que quer dizer? Signica dizer que se temos a certeza de que um evento ocorrerá, diremos que sua probabilidade é 1 (ou 100%). Se temos certeza de que um evento NÃO ocorrerá, diremos que sua probabilidade é 0 (ou 0%). Quando a probabilidade de um evento não for nem 0 nem 1, teremos um valor P(A) entre estes dois números, o que levará à conclusões favoráveis ou não à ocorrência de um evento, ou seja: 0 P(A) 1 ou 0% P(A) 100%
continuação Quando falamos que a probabilidade de um evento está SEMPRE entre 0 e 1, signica matematicamente que, dado um evento A qualquer, Número de casos favoráveis ao evento A P(A) = Número total de casos Note que o número total de casos é igual à quantidade de elementos pertencentes à Ω.
Operações com eventos A forma de determinar o espaço amostral é através de um dispositivo gráco, em que o espaço amostral (Ω ou S) é representado por retângulos e os eventos por círculos. Esse dispositivo é chamado de Diagrama de Venn:
Representação de operações União Situações em que A ocorre, B ocorre, ou ocorrem A e B simultaneamente são chamadadas união (A B):
continuação Interseção Há situações em que A ocorre e B ocorre nos permite dizer que A e B ocorrem simultaneamente. Esta situação, denotada por A B é chamada interseção:
continuação Diferença Fala-se em diferença entre eventos quando ocorre A e não ocorre B. A operação diferença é denotada por D = A B. Note que A e B têm pontos em comum, da diferença só fazem parte os pontos de A não pertencentes a B.
continuação Complemento Fala-se em complemento ou complementar quando temos a diferença entre todo o espaço amostral e um evento em particular. O complementar de um evento A, por exemplo, é denotado por A c.
EXEMPLOS DE OPERAÇÕES Espaço Amostral: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} Eventos: A = {1, 4, 7, 8, 9}, B = {2, 4, 6, 8, 10}, C = {valores maiores ou iguais a 7}, D = {3, 5} Temos que: A B = {1, 2, 4, 6, 7, 8, 9, 10} B C = {2, 4, 6, 7, 8, 9, 10} A B = {4, 8} B C = {8, 10} A B C = {8} A c = {2, 3, 5, 6, 10} B c = {1, 3, 5, 7, 9} C c = {1, 2, 3, 4, 5, 6} (A B) c = {1, 2, 3, 5, 6, 7, 9, 10} (B C) c = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9} A B C D = Ω
Observações Importantes: Temos sempre certeza de que ocorrerá qualquer evento de um espaço amostral ao executarmos um experimento. A chance de ocorrer qualquer evento de Ω é o mesmo que escrever P(Ω) = 1. Se A e B são dois eventos mutuamente exclusivos (ou excludentes), então P(A B) = P(A) + P(B) Se A e B são dois eventos que NÃO são mutuamente exclusivos, então Se A =, então P(A) = 0 P(A B) = P(A) + P(B) P(A B)
continuação A e A c são eventos mutuamente exclusivos. Ou seja: A A c =. Além disso, A A c = Ω. A partir destas informações, temos uma propriedade importante sobre eventos complementares: P(A A c ) = P(A) + P(A c ) P(Ω) = P(A) + P(A c ) 1 = P(A) + P(A c ) = P(A c ) = 1 P(A) Podemos interpretar também a probabilidade como o valor correspondente à frequência relativa de um determinado resultado após a realização do experimento n vezes. A soma de todas as probabilidades de todos os n eventos n pertencentes ao espaço amostral é igual a 1, ou seja: P(A i ) = 1. i=1
EXEMPLO No exemplo anterior, Espaço Amostral: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} Eventos: A = {1, 4, 7, 8, 9}, B = {2, 4, 6, 8, 10}, C = {valores maiores ou iguais a 7} Temos que: P (A B) = P(A) + P(B) P(A B) = 5 10 + 5 10 2 10 = 8 P (B C) = P(B) + P(C) P(B C) = 5 10 + 4 10 2 10 = 7 P (A c ) = 1 P(A) = 1 5 10 = 5 10 { P (A B) c} = 1 P (A B) = 1 2 10 = 8 10 10 10
EXEMPLO Suponha o lançamento de uma moeda. Como avaliar a probabilidade de ocorrência de suas faces? O espaço amostral é dado por Ω = {C, K}, onde C =Cara e K =Coroa Note que o total de valores do espaço amostral é igual a 2. Note que cada ponto amostral (C ou K ) representam elementos pertencentes ao espaço amostral. Ou seja, temos uma descrição completa de tudo o que pode acontecer na ocorrência do experimento.
continuação Suponha que o nosso evento de interesse é: A = {sair cara} Portanto, se estamos interessados em avaliar a probabilidade de A, temos que Número de casos favoráveis ao evento A P(A) = = 1 Número total de casos 2 O evento B = {Sair coroa} também pode ser um evento de interesse. Note que. P(B) = 1 2 Note ainda que B = A c, pois A B = Ω. Dessa forma, aplicando a fórmula para eventos complementares P(B) = P(A c ) = 1 P(A) = 1 1 2
EXEMPLO Considere os dados do quadro a seguir, que mostra 15 indivíduos classicados quanto às variáveis obesidade e sedentarismo INDIVÍDUO OBESIDADE SEDENTARISMO 1 NÃO SIM 2 NÃO NÃO 3 SIM SIM 4 NÃO SIM 5 SIM NÃO 6 SIM SIM 7 NÃO NÃO 8 NÃO SIM 9 NÃO SIM 10 SIM SIM 11 NÃO NÃO 12 NÃO NÃO 13 SIM SIM 14 NÃO NÃO 15 NÃO SIM
continuação Seja A =OBESIDADE e B =SEDENTARISMO Então, uma estimativa de probabilidade de um indivíduo ser obeso, com base nos dados da amostra é: P(A) = 5 = 0, 3 = 30% 15 A probabilidade de um indivíduo ser sedentário, com base nos dados da amostra é: P(B) = 9 = 0, 6 = 60% 15
continuação A probabilidade de um indivíduo ser obeso E sedentário, com base nos dados da amostra é: P(A B) = 4 15 A probabilidade de um indivíduo ser obeso OU sedentário, com base nos dados da amostra é: P(A B) = P(A)+P(B) P(A B) = 5 15 + 9 15 4 = 0, 6667 = 66, 67% 15
Mais sobre cálculo de probabilidades Com base no que foi visto, podemos estimar uma probabilidade com base na proporção de casos da ocorrência de interesse (frequência relativa). Entretanto, uma vez estabelecida a probabilidade de um ou vários eventos, existem diversos cálculos que podem ser feitos. Alguns destes casos serão vistos de acordo com situações clássicas apresentadas a seguir.
Lei Multiplicativa Dado um evento A, com probabilidade P(A), a probabilidade de que esse evento se repita n vezes pode ser do nosso interesse. Então: Para facilitar o entendimento, vamos descrever a situação mencionada ou seja: Evento: A sair na 1 a execução do experimento = A 1 Evento: A sair na 2 a execução do experimento = A 2 Evento: A sair na 3 a execução do experimento = A 3. Evento: A sair na n a execução do experimento = A n Logo, P (o evento A ocorrer n vezes) = P (A 1 A 2 A 3 A n ) P (A 1 A 2 A 3 A n ) = P(A 1 ) P(A 2 ) P(A 3 )... P(A n )
continuação Se a ocorrência do evento A em cada uma das vezes não for afetada pelas ocorrências anteriores, dizemos que os eventos descritos anteriormente são independentes. Dessa forma, a expressão anterior é dada por P(A 1 ) P(A 2 ) P(A 3 )... P(A n ) = [P (A)] n
EXEMPLO Suponha que existam cinco possibilidades de resultados em um experimento a ser realizado, sendo dois destes resultados favoráveis ao evento A e os demais são favoráveis à ocorrência de A c. Ou seja: Ω = {,,,, }, onde A = {, } e A c = {,, }. É fácil perceber que para UMA execução do experimento, P(A) = 2 5. Suponha que agora que o experimento é realizado DUAS vezes, e temos interesse em saber a chance de A ocorrer na primeira vez e na segunda vez. A ocorrência do primeiro resultado não interfere na ocorrência do segundo. O diagrama a seguir mostra todos os possíveis resultados do experimento.
continuação 1 a vez 2 a vez É possível notar que existem 25 resultados possíveis no experimento. Ainda, é possível notar que em 4 deles ocorre o nosso evento de interesse. Ou seja: P(A) = No de resultados do evento A na 1 a vez e A na 2 a vez Número de resultados possíveis = 4 25 = P(A 1) P(A 2 )
EXEMPLO Suponha que a probabilidade de que um embrião seja xado na parede do útero é de 5%, ou 0,05. Se uma mulher recebe o implante de três embriões, qual é a probabilidade de que todos os três embriões tenham êxito? Solução: Evento A = {Embrião xado} P(A) = 0, 05 Considerando que as probabilidades sejam independentes, P(A 1 A 2 A 3 ) = P(A 1 ) P(A 2 ) P(A 3 ) = (0, 05) 3 = 0, 000125 = 0, 0125% Interpretação: Supondo que todos os embriões implantados sobrevivam ao período de gestação, a probabilidade de trigêmeos seria, neste caso, de 1,25 em 10 mil. Ou seja, de cada 10 mil tentativas, 1 ou 2 destas vai resultar em gestação de trigêmeos.
EXEMPLO Suponha que uma gaiola contém 10 camundongos, cinco de cada sexo. Considere agora que é retirado ao acaso um camundongo de cada vez para ser submetido a um teste. Ao término do teste, o animal é reintroduzido na gaiola. Denominando os eventos: F = {Fêmea} e M = {Macho}, a probabilidade de retirar uma fêmea duas vezes seguidas é: P(F 1 F 2 ) = P(F 1 ) P(F 2 ) = 0, 5 0, 5 = 0, 25 = 25%. A probabilidade de retirar quatro fêmeas seguidas é igual a P(F 1 F 2 F 3 F 4 ) = P(F 1 ) P(F 2 ) P(F 3 ) P(F 4 ) = (0, 5) 4 = 0, 0125 = 1, 25%.
EXEMPLO A probabilidade de sortear duas vezes (sequencialmente) o mesmo camundongo (seja ele macho ou fêmea), com base no evento C i = {Camundongo i ser sorteado}, é igual a P(C i 1 C i 2 ) = P(C i 1 ) P(C i 2 ) = 0, 1 2 = 0, 01 = 1%
Eventos Dependentes Quando a ocorrência de um evento A depende da ocorrência prévia de um outro evento B, dizemos que A depende de B, e denota-se (A B) Em palavras, (A B) signica A dado B. Quando dois eventos são dependentes (ou seja, NÃO são independentes), P(A B) P(A) P(B) Em palavras, signica dizer que a probabilidade da interseção é diferente do produto das probabilidades.
EXEMPLO Suponha que um levantamento estatística efetuado em certa população vericou que: 23% de indivíduos do sexo masculino são hipertensos; 18% de indivíduos do sexo feminino são hipertensos; Nessa mesma população, 7% dos casais são hipertensos. Podemos observar neste caso que existe o que chamamos em estatística de dependência (ou associação) entre as variáveis sexo e presença de doença, pois denotando H = {O indivíduo é do sexo masculino} e M = {O indivíduo é do sexo feminino} como os eventos de interesse, P(H) = 0, 23 P(M) = 0, 18 P(H) P(M) = 0, 23 0, 18 = 0, 0414 = 4, 14% P(H M) = 0, 07 = 7% Logo: P(H M) P(H) P(M). Ou seja, H e M NÃO são independentes.
Probabilidade Condicional Quando existem dois eventos dependentes, a probabilidade de um deles é afetada pela ocorrência prévia ou não do outro. Quando a probabilidade de A um evento é afetada pela ocorrência prévia de B, dizemos que a probabilidade de A está condicionada à ocorrência de B. Ou seja, quando o evento B ocorre, há uma redução do espaço amostral, pois agora avaliamos todas as chances de ocorrência do evento A com base no evento ocorrido.
continuação De modo geral, P(A B) = P(A B) P(B) Observações: 1. Quando os eventos A e B são independentes, P(A B) = P(A) P(B A) = P(B) 2. Quando os eventos A e B NÃO são independentes, P(A B) = P(A) P(A B) = P(B) P(B A)
Esquema Ilustrativo
Esquema Ilustrativo
Esquema Ilustrativo
EXEMPLO Imagine dois eventos associados a um conjunto de indivíduos. O primeiro evento(a) é denido pela variável Presença de Cirrose e o segundo (B) pela variável É alcoólatra?. É possível estimar com estas informações, a probabilidade de um indivíduo ter cirrose dado que é alcóolatra. Para isto, é preciso vericar o número de indivíduos que apresentam simultaneamente as mesmas características, de modo a determinar P(A B), e depois disso, dividir pela probabilidade associado à B, P(B). Este tipo de situação costuma ser colocado em forma de tabelas (ou quadros), chamadas tabelas conjuntas, ou mais especicamente tabelas de contingência. Em relação ao exemplo, a tabela associada é apresentada a seguir.
continuação TÍTULO DA TABELA É alcoólatra? Eventos Totais SIM NÃO SIM a b a + b Cirrose NÃO c d c + d Totais a + c b + d a + b + c + d FONTE:
continuação Note que: a Número dos indivíduos que tem cirrose e são alcoólatras; b Número dos indivíduos que tem cirrose e NÃO são alcoólatras; c Número dos indivíduos que NÃO tem cirrose e são alcoólatras; d Número dos indivíduos que NÃO tem cirrose e NÃO são alcoólatras; a + b Total dos indivíduos que têm cirrose; c + d Total dos indivíduos que NÃO têm cirrose; a + c Total dos indivíduos que são alcoólatras; b + d Total dos indivíduos que NÃO são alcoólatras; a + b + c + d Total de indivíduos pesquisados.
continuação Logo: A ( probabilidade de um indivíduo alcoólatra ter cirrose é: P Ter cirrose É alcoólatra ) = a a + c A probabilidade de um indivíduo Não-alcoólatra ter cirrose é: P (Ter cirrose Não é alcoólatra) = b b + d A probabilidade de um indivíduo com cirrose ser alcoólatra é: P (Alcoólatra Cirrose) = a a + b
continuação A probabilidade de um indivíduo com cirrose não ser alcoólatra é: P (Não-alcoólatra Cirrose) = b c + d A probabilidade de um indivíduo sem cirrose ser alcoólatra é: P (Alcoólatra Não-Cirrose) = c c + d A probabilidade de um indivíduo sem cirrose não ser alcoólatra é: P (Não-alcoólatra Não-Cirrose) = d c + d
continuação Situação aplicada: TÍTULO DA TABELA É alcoólatra? Eventos Totais SIM NÃO SIM 9 2 11 Cirrose NÃO 26 43 69 Totais 35 45 80 FONTE:
continuação Logo: ( P Ter cirrose É alcoólatra ) = 9 35 P (Ter cirrose Não é alcoólatra) = 2 45 P (Alcoólatra Cirrose) = 9 11 P (Não-alcoólatra Cirrose) = 2 11 P (Alcoólatra Não-Cirrose) = 26 69 P (Não-alcoólatra Não-Cirrose) = 43 69
Risco Relativo (Odds Ratio) O risco relativo pode ser calculado a partir das tabelas de contingência apresentadas anteriormente. É uma condição bastante utilizada em saúde, pois avalia o risco adicional de apresentar uma condição A, devido ao fato de apresentar(possuir, ou estar) em uma condição B. Denotaremos essa expressão em destaque por RR AB. Com base na tabela geral descrita anteriormente, se A = cirrose e B = alcoólatra, esse risco é: RR AB = P(A B) P(A B c ) = a a + c b b + d = a b + d a + c b = a (b + d) b (a + c)
continuação Considerando também o exemplo anterior, TÍTULO DA TABELA É alcoólatra? Eventos Totais SIM NÃO SIM 9 2 11 Cirrose NÃO 26 43 69 Totais 35 45 80 FONTE: Temos que, para A = cirrose e B = alcoólatra, RR AB = 9 45 = 5, 79 2 35 Interpretação: Estatisticamente, o risco de um indivíduo alcoólatra desenvolver cirrose é 5 vezes maior em comparação com um indivíduo não-alcoólatra.
Coeciente de associação de Yule Admitindo que título e fonte serão colocados posteriormente, temos o caso geral de informação em uma tabela de contingência (2 2): Descrição Eventos(Variáveis) Totais B B c A a b a + b Descrição A c c d c + d Totais a + c b + d a + c + b + d Se o pesquisador desejar conhecer o nível de associação entre as duas variáveis estudas na tabela, é necessário calcular o chamado coeciente de associação de Yule: ad bc Y = ad + bc
Coeciente de associação de Yule Quanto mais próximo de 1 for o valor de Y, maior será a associação entre as variáveis estudadas, no sentido de que o aumento(diminuição) em uma implica no aumento(diminuição) da outra. Quanto mais próximo de -1, maior será a associação entre as variáveis estudadas, no sentido de que o aumento(diminuição) em uma implica na diminuição(aumento) da outra. Y = 0 indica total ausência de associação.
EXEMPLO Considere a seguinte tabela que apresenta informações sobre consumo de sal e pressão arterial sistólica(pas) PAS Variáveis Totais <= 120mm Hg > 120mm Hg <= 5g/dia 24 4 28 Cons. de sal > 5g/dia 11 19 30 Totais 35 23 58 Logo, o nível de associação entre consumo de sal e PAS é 24 19 4 11 Y = = 0, 824 24 19 + 4 11 O valor 0,824 é positivo e próximo de 1, o que indica que um aumento no consumo de sal provoca também um aumento na PAS.
Noções de Epidemiologia Em algumas aplicações de saúde, a base do conhecimento é de natureza probabilística. Algumas aplicações envolvem o que chamamos em saúde de indicadores epidemiológicos Uma aplicação importante da teoria das probabilidades em saúde está relacionada à avaliação da capacidade que um determinado exame tem de acertar o verdadeiro diagnóstico. Isto acontece devido à limitação que o pesquisador possui para elaboração do exame. Ou seja, um diagnóstico é emitido de acordo com a capacidade de um exame clínico para detectar o evento de interesse. O quadro a seguir mostra de maneira esquemática os possíveis resultados associados à comparação do resultado de um exame que está sendo avaliado e o resultado denitivo ou diagnóstico denitivo ou diagnóstico de certeza.
continuação Resultado de um exame diagnóstico versus diagnóstico de certeza Diagnóstico de Certeza Doença(+) Doença( ) Totais Resultado do Exame(+) a(++) b(+ ) a + b Exame Exame( ) c( +) d( ) c + d Totais a + c b + d a + b + c + d
Conceitos Iniciais Falso-Positivo: Indivíduo sadio cujo exame resultou positivo. No quatro anterior, corresponde à letra b Para determinar a probabilidade do evento falso-positivo, basta dividir b pelo total de exames positivos, a + b. Falso-Negativo: Indivíduo doente cujo exame resultou negativo. No quatro anterior, corresponde à letra c Para determinar a probabilidade do evento falso-negativo, basta dividir c pelo total de exames negativos, c + d.
continuação Sensibilidade: É a proporção de indíviduos cujo exame revelou resultado positivo e que possuem a doença, no grupo de indivíduos doentes. Ou seja: Sensibilidade = S = a a + c A sensibilidade avalia o total de acertos do exame sobre o verdadeiro número de doentes. Quanto mais próximo de 1 estiver o valor da sensibilidade do teste, melhor será esse teste. Observação Importante: Ao fazer (1 S), o pesquisador está respondendo a seguinte pergunta: Qual a proporção de indivíduos doentes que o exame deixou de diagnosticar como tais? Essa proporção é a proporção de falso-negativos no total de pessoas doentes.
continuação Especicidade: É a proporção do número de indivíduos sadios cujo exame resultou negativo, no grupo de indivíduos sadios. Ou seja, Especicidade = E = d b + d A especicidade expressa o total de exames corretamente negativos sobre o total de indivíduos sadios. Quanto mais próxima de 1 estiver a especicadade, melhor será esse teste. Observação Importante: Ao fazer (1 E), temos a proporção é a proporção de falso-positivos no total de pessoas doentes.
continuação Valor preditivo positivo: É a proporção de indivíduos doentes com exame positivo no grupo de exames positivos. Valor Preditivo Positivo = VPD = a a + b Valor preditivo negativo: É a proporção de indivíduos sadios com exame negativo no grupo de exames negativos. Valor Preditivo Negativo = VPN = a a + b
continuação Acuidade ou Eciência Global do Teste: Verica o percentual de acerto do exame diagnóstico no grupo total de pacientes analisados. a + d Acuidade = A = a + b + c + d Prevalência: É a proporção de pacientes doentes no grupo total de pacientes analisados. a + c Prevalência = P = a + b + c + d
Observações Importantes Cienticamente já foi constatado que um teste com alta especicidade deve ser usado quando a prevalência da doença é relativamente baixa (doença rara), mesmo que o teste tenha relativamente baixa sensibilidade. O mesmo pode ser dito em relação a um teste com alta sensibilidade deve ser usado quando a prevalência da doença é alta (doença comum), mesmo que o teste tenha relativamente baixa especicidade.
Coeciente de Kappa (κ) Coeciente utilizado quando se tem interesse em testar a concordância entre dois diagnósticos diferentes, fornecidos por pesquisadores diferentes. Concordância de diagnóstico entre dois pesquisadores Diagnóstico 2 (+) ( ) Totais Diagnóstico (+) a(++) b(+ ) a + b 1 ( ) c( +) d( ) c + d Totais a + c b + d a + b + c + d A proporção da concordância observada é dada por a + d P CO = a + b + c + d Além disso, precisamos da chamada concordância causal: (a + b)(a + c) + (c + d)(b + d) P CC = (a + b + c + d) 2
Coeciente de Kappa (κ) Logo: κ = P CO P CC 1 P CC Quando há total concordância, o coeciente é igual a 1. Quando há discordância total, o coeciente é igual a 0. Para avaliar o grau de concordância, é possível avaliar a seguinte classicação: κ = 0 total discordância 0 < κ < 0, 4 concordância leve 0, 4 κ < 0, 8 concordância moderada 0, 8 κ < 1 concordância forte κ = 1 concordância perfeita