Rodada #1 Raciocínio Lógico Professor Guilherme Neves Assuntos da Rodada Estrutura lógica de relações arbitrárias entre pessoas, lugares, objetos ou eventos fictícios; deduzir novas informações das relações fornecidas e avaliar as condições usadas para estabelecer a estrutura daquelas relações. Compreensão e elaboração da lógica das situações por meio de: raciocínio verbal, raciocínio matemático, raciocínio sequencial, orientação espacial e temporal, formação de conceitos, discriminação de elementos. Compreensão do processo lógico que, a partir de um conjunto de hipóteses, conduz, de forma válida, a conclusões determinadas.
a. Teoria em tópicos 1. Chama-se proposição toda oração declarativa que pode ser valorada em verdadeira ou falsa, mas não as duas. Exemplo: Paris está na Inglaterra (Falso). 2. Sendo oração, deve possuir sujeito e predicado. Portanto, expressões como Os alunos do Ponto dos Concursos não são proposições lógicas, pois não possuem predicado (verbo). 3. Sendo declarativa, não pode ser exclamativa, interrogativa, imperativa ou optativa. Desta forma, as expressões abaixo não são consideradas proposições. i) Que belo dia! (exclamativa) ii) Qual é o seu nome? (interrogativa) iii) Leia isto atenciosamente. (imperativa indica ordem) iv) Que Deus te abençoe. (optativa exprime desejo). 4. Um importante tipo de sentença que não é proposição é a chamada sentença aberta ou função proposicional. Sentença aberta é aquela em que o sujeito é um termo variável. Exemplo: Ele foi aprovado no concurso da Receita Federal em 2009. A frase acima não é uma proposição lógica, pois não pode ser classificada em V ou F, já que não sabemos quem é ele. 2
Exemplo: x + 2 = 8 A sentença acima não pode ser classificada em V ou F, pois não sabemos o valor de x. A sentença x + 2 = 8 é, portanto, uma sentença aberta (não é proposição lógica). 5. A partir de proposições dadas, podemos construir novas proposições com o auxílio de operadores lógicos. Os operadores lógicos são o modificador (advérbio não) e os conectivos. 6. O modificador é um operador lógico que troca o valor lógico das proposições. Se temos em mãos uma proposição verdadeira, então, ao aplicarmos o modificador, teremos uma proposição falsa. Da mesma forma, se temos em mãos uma proposição falsa, então, ao aplicarmos o modificador, teremos uma proposição verdadeira. 7. Os símbolos que indicam que uma proposição foi modificada são:. A proposição modificada é chamada de negação da proposição original. Exemplos: Está é uma proposição falsa. Ao aplicarmos o modificador, teremos uma proposição verdadeira. Esta frase também pode ser lida das seguintes formas: 3
8. Quando temos uma proposição simples, devemos modificar o verbo principal para negar a frase. Vejamos outro exemplo: Esta é uma proposição verdadeira. Vamos modificar o verbo e torná-la uma proposição falsa. 9. Uma tabela-verdade dispõe as relações entre os valores lógicos das proposições. Tabelas-verdade são especialmente usadas para determinar os valores lógicos de proposições construídas a partir de proposições simples. Observe a tabela que dispõe as relações entre uma proposição p e a sua negação ~p. p ~ p V F F V 10. Além do modificador, podemos construir novas proposições utilizando conectivos lógicos. 11. Os conectivos cobrados em provas são Conjunção (e), Disjunção Inclusiva (ou), Disjunção Exclusiva (ou...ou), Condicional (se..., então) e o Bicondicional (...se e somente se...). 4
12. Caso o problema fale apenas disjunção, consideraremos que se trata da Disjunção Inclusiva. 13. Os conectivos podem estar disfarçados sob expressões equivalentes. Exemplo 1: Fui à praia, mas não estudei = Fui à praia e não estudei. Exemplo 2: Quando vou à praia, não durmo = Se vou à praia, então não durmo. Exemplo 3: Penso, logo existo = Se penso, então existo. 14. A proposição Guilherme e Moraes são professores é uma proposição simples. O sujeito dessa proposição, porém, é composto. A proposição Guilherme é professor e Moraes é professor é uma proposição composta. 15. Cada um dos conectivos é representado por um símbolo. Nome do Conectivo Forma mais comum Símbolo Conjunção Disjunção (Inclusiva) Disjunção Exclusiva Condicional Bicondicional e ou Ou...ou Se..., então...se e somente se 16. Como distinguir os símbolos e? Basta colocar uma letra O ao lado dos símbolos. Observe: 5
O / O Em qual das duas situações você consegue ler OU? Na palavra da esquerda! Portanto, aquele símbolo é o ou. Consequentemente o outro é o e. Outro processo mnemônico consiste em colocar um pontinho em cima do símbolo. Vejamos: Em qual das duas situações você consegue ver a letra cursiva i? No símbolo da direita! Portanto, aquele símbolo é o e (mesmo fonema do i ). 17. Para classificar uma proposição composta em V ou F, devemos saber a regra de cada um dos conectivos. 18. Uma proposição composta pelo conectivo e (conjunção) só é verdadeira quando as duas frases componentes são verdadeiras. Se pelo menos uma das frases componentes for falsa, a proposição composta será falsa. Exemplo: Se a proposição João é pobre for falsa e se a proposição João pratica atos violentos for verdadeira, então a proposição João não é pobre, mas pratica atos violentos será verdadeira. Exemplo: A proposição 2+3 = 5 e a Lua é quadrada é falsa, pois um de seus componentes é falso. 6
19. Uma proposição composta pelo conectivo ou (disjunção (inclusiva)) só é verdadeira se pelo menos um de seus componentes for verdadeiro. A disjunção só será falsa se os dois componentes forem falsos. Exemplo: A proposição 2+3 = 5 ou a Lua é quadrada é verdadeira, pois pelo menos um de seus componentes é verdadeiro. Exemplo: A proposição Paris está na Inglaterra ou 16=3 é falsa, pois seus dois componentes são falsos. 20. Observe que o conectivo "ou" tem um sentido inclusivo, ou seja, classificamos como verdadeira a proposição composta pelo ou que possui os dois componentes verdadeiros. 21. Ao utilizar o conectivo Ou...ou... a proposição composta só será verdadeira quando APENAS um dos componentes for verdadeiro. Se as duas frases componentes 7
forem verdadeiras, a composta será falsa. Se as duas frases forem falsas, a composta será falsa. Há exercícios em que a banca enfatiza o conectivo ou...ou... colocando a expressão mas não ambos ao final da frase. Assim, Ou p ou q = Ou p ou q, mas não ambos. 22. Na proposição condicional Se p, então q, a proposição p é o antecedente e a proposição q é o consequente. Exemplo: Se Guilherme é recifense, então é Igor é mineiro. O antecedente é a proposição Guilherme é recifense e o consequente é a proposição Igor é mineiro. A proposição Se p, então q pode ser lida como p é condição suficiente para q ou como q é condição necessária para p. 23. Uma proposição composta pelo conectivo Se..., então... só é falsa quando ocorre VF, ou seja, quando o antecedente é verdadeiro e o consequente é falso. Em qualquer outra possibilidade (VV, FV, FF) a composta será verdadeira. Exemplos: 8
24. O que precisamos saber é apenas isso: se ocorrer VF, ou seja, se o antecedente for verdadeiro e o consequente for falso, a proposição composta pelo se..., então é falsa. Em todos os outros casos a proposição composta será verdadeira. V V V V F F F V V F F V 25. Uma proposição composta pelo conectivo...se e somente se... (bicondicional) é verdadeira quando os dois componentes têm valores iguais, ou seja, VV ou FF. Se os componentes têm valores opostos (VF ou FV), a composta será falsa. 9
26. O conectivo se e somente se corresponde à conjunção (e) de dois condicionais (se...,então...). Em outras palavras, as proposições P se e somente se Q e Se P, então Q e se Q, então Q querem dizer a mesma coisa (são equivalentes). Exemplo: São equivalentes as proposições Hoje é Natal se e somente se hoje é 25/12 e Se hoje é Natal, então hoje é 25/12 e se hoje é 25/12, então hoje é Natal. A proposição p se e somente se q pode ser lida como p é condição necessária e suficiente para q ou q é condição necessária e suficiente para p. 27. Podemos resumir tudo o que foi dito sobre conectivos com a seguinte tabelaverdade. V V V V F V V V F F V V F F F V F V V V F F F F F F V V 28. Para facilitar o processo mnemônico, podemos fixar as regras que tornam as compostas verdadeiras. Conjunção As duas proposições p, q devem ser verdadeiras. Disjunção Inclusiva Ao menos uma das proposições p, q deve ser verdadeira. 10
Não pode ocorrer o caso de as duas serem falsas. Disjunção Exclusiva Apenas uma das proposições pode ser verdadeira. A proposição composta será falsa se os dois componentes forem verdadeiros ou se os dois componentes forem falsos. Condicional Não pode acontecer o caso de o antecedente ser verdadeiro e o consequente ser falso. Ou seja, não pode acontecer V(p)=V e V(q)=F. Em uma linguagem informal, dizemos que não pode acontecer VF, nesta ordem. Bicondicional Os valores lógicos das duas proposições devem ser iguais. Ou as duas são verdadeiras, ou as duas são falsas. 29. O número de linhas da tabela-verdade de uma proposição composta com n proposições simples é 2 n. Para uma proposição simples p, o número de linhas da tabela-verdade é 2, pois, pelas leis do pensamento a proposição p só pode assumir um dos dois valores lógicos: V ou F. p V F Para duas proposições p e q, o número de linhas da tabela-verdade é 2 2 = 4. SEMPRE que você for construir uma tabela-verdade envolvendo 2 proposições, começaremos com a seguinte disposição. 11
p q V V V F F V F F Para 3 proposições p, q e r, o número de linhas da tabela-verdade é 2 3 = 8. SEMPRE que você for construir uma tabela-verdade envolvendo 3 proposições, começaremos com a seguinte disposição. p q r V V V V V F V F V V F F F V V F V F F F V F F F Cada linha da tabela (fora a primeira que contém as proposições) representa uma valoração. 12
30. Tautologia é uma proposição composta que é verdadeira independentemente dos valores das proposições simples que a compõem. Vamos considerar três proposições quaisquer p, q e r. Assim, qualquer tabela-verdade envolvendo apenas estas três proposições terá linhas. Desta forma, vamos construir a tabela-verdade da proposição ( p r) (~ q r). E o que significa construir a tabela-verdade desta proposição? Significa dispor em uma tabela todas as possibilidades de valoração para esta proposição. Ou seja, estamos preocupados em responder quando é que esta proposição é verdadeira e quando é que ela é falsa. Para tal tarefa, devemos começar com a seguinte disposição: p q r V V V V V F V F V V F F F V V F V F F F V 13
F F F Neste começo de tabela, estão dispostas todas as possibilidades de valorações destas 3 proposições. Observe que há um padrão na construção deste início. Na primeira coluna, temos 4 V seguidos de 4 F. Na segunda coluna temos 2 V seguidos de 2 F alternadamente. Por fim, na terceira coluna temos V e F que se alternam. Pois bem toda tabela-verdade envolvendo três proposições começa assim. Queremos construir a tabela-verdade da proposição ( p r) (~ q r). Observe que não aparece a proposição propriamente dia e sim a sua negação. Portanto, o primeiro passo é construir a negação de. Lembre-se que se uma proposição é verdadeira, a sua negação é falsa e reciprocamente. p q r ~ q V V V F V V F F V F V V V F F V F V V F F V F F F F V V F F F V Valores opostos!! 14
Vamos obedecer a ordem de preferência. Vamos construir as proposições compostas que estão dentro dos parênteses. Comecemos por. Devemos conectar a proposição com a proposição através do conectivo e. Lembre-se que uma proposição composta pelo e só é verdadeira quando os dois componentes são verdadeiros. Vamos selecionar as linhas em que ambas e são verdadeiras. Todas as outras possibilidades tornam a composta falsa. p q r ~ q p r V V V F V V V F F F V F V V V V F F V F F V V F F F V F F F F F V V F F F F V F Vamos agora construir a segunda proposição composta que está dentro de parênteses:. Lembre-se que uma proposição composta pelo conectivo ou é verdadeira quando pelo menos um dos dois componentes for verdadeiro. Vamos nos focar apenas nas linhas em que pelo menos uma das duas ou for verdadeira. 15
p q r ~ q p r ~ q r V V V F V V V V F F F F V F V V V V V F F V F V F V V F F V F V F F F F F F V V F V F F F V F V Observe que tanto na linha 2 quanto na linha 6 as duas proposições são falsas, e portanto, a composta construída é falsa nestes casos. Podemos agora, finalmente construir a composta ( p r) (~ q r). Lembre-se que há apenas um caso em que a composta pelo se..., então é falsa: quando o primeiro componente for verdadeiro e o segundo componente falso. Vamos olhar apenas as duas últimas colunas. Vejamos cada linha de per si: 1ª linha: V V (o condicional é verdadeiro). 2ª linha: F F (o condicional é verdadeiro). 3ª linha: V V (o condicional é verdadeiro). 4ª linha: F V (o condicional é verdadeiro). 5ª linha: F V (o condicional é verdadeiro). 16
6ª linha: F F (o condicional é verdadeiro). 7ª linha: F V (o condicional é verdadeiro). 8ª linha: F V (o condicional é verdadeiro). Desta forma: p q r ~ q p r ~ q r ( p r) (~ q r) V V V F V V V V V F F F F V V F V V V V V V F F V F V V F V V F F V V F V F F F F V F F V V F V V F F F V F V V Concluímos que a proposição composta ( p r) (~ q r) é sempre verdadeira, independentemente dos valores atribuídos às proposições. Dizemos então que a proposição ( p r) (~ q r) é uma tautologia (ou proposição logicamente verdadeira). 31. Contradição é uma proposição composta que é falsa independentemente dos valores das proposições simples que a compõem. 17
Para verificar se uma proposição é uma contradição, devemos construir a sua tabelaverdade. 32. Contingência é uma proposição composta que assume valores V ou F a depender dos valores das proposições componentes. Para verificar se uma proposição é uma contingência, devemos construir a sua tabelaverdade. 33. Grosso modo, duas proposições são logicamente equivalentes quando elas dizem a mesma coisa. Por exemplo: Eu joguei o lápis. O lápis foi jogado por mim. As duas proposições acima têm o mesmo significado. Elas querem dizer a mesma coisa!! Quando uma delas for verdadeira, a outra também será. Quando uma delas for falsa, a outra também será. Dizemos, portanto, que elas são logicamente equivalentes. Em símbolos, escrevemos. 34. Para mostrar que duas proposições são equivalentes, devemos construir as tabelas-verdade e verificar se elas possuem as mesmas valorações em todas as linhas. Exemplo: Mostre que são equivalentes as proposições, e. Precisamos apenas construir a tabela-verdade. 18
p q ~ q ~ p p q ~ q ~ p ~ p q V V F F V V V V F V F F F F F V F V V V V F F V V V V V Como os valores lógicos das três proposições são iguais, elas são ditas logicamente equivalentes. 35. As proposições equivalentes do tópico anterior são responsáveis por 99% das questões de concurso sobre este assunto. Portanto, não se preocupe. Você não precisará construir uma tabela para resolver a questão da sua prova (afirmo isso com 99% de probabilidade de acertar. Rs...). Portanto, memorize as seguintes equivalências: 36. A equivalência permite construir uma proposição composta pelo se...,então... a partir de outra proposição composta pelo se...,então. Para tanto, basta negar os dois componentes e trocar a ordem. Exemplo: São equivalentes as proposições Se bebo, então não dirijo e Se dirijo, então não bebo. 19
37. A equivalência permite construir uma proposição composta pelo ou a partir de uma composta pelo se...,então.... Para tanto, basta negar o primeiro componente. Exemplo: São equivalentes as proposições Penso, logo existo e Não penso ou existo. 38. Para negar uma proposição composta pelo conectivo ou, deve-se negar os componentes e trocar o conectivo por e. Exemplo: A negação de Corro ou não durmo é Não corro e durmo. 39. Para negar uma proposição composta pelo conectivo e, deve-se negar os componentes e trocar o conectivo por ou. Exemplo: A negação de Corro e não durmo é Não corro ou durmo. 40. Para negar uma proposição composta pelo Se...,então... : copie o antecedente, negue o consequente e troque o conectivo por e. Em outras palavras, copie a primeira parte, negue a segunda e troque por e. Exemplo: A negação de Penso, logo existo é Penso e não existo. 41. Proposições quantificadas são aquelas utilizam expressões como Todo, Nenhum, Algum. 20
Observação: Algum = Existe = Pelo menos um = Existe um = Existe pelo menos um = Existe algum 42. Uma proposição do tipo Todo...é... é chamada de Proposição Universal Afirmativa (U.A.) Exemplo de U.A.: Todo recifense é pernambucano. 43. Uma proposição do tipo Todo...não é... é chamada de Proposição Universal Negativa (U.N.). A Universal Negativa também pode ser representada por Nenhum...é.... Exemplo de U.N.: Todo brasileiro não é uruguaio = Nenhum brasileiro é uruguaio. 44. Uma proposição do tipo Algum...é... é chamada de Proposição Particular Afirmativa (P.A.) Exemplo de P.A.: Algum recifense é pernambucano. 45. Uma proposição do tipo Algum... não é... é chamada de Proposição Particular Negativa (P.N.) Exemplo de P.N.: Algum carioca não é pernambucano. 46. Resumo das proposições quantificadas. 21
Proposição universal afirmativa Todo recifense é pernambucano. Proposição universal negativa Nenhum recifense é pernambucano. Proposição particular afirmativa Algum recifense é pernambucano. Proposição particular negativa Algum recifense não é pernambucano. 47. Como negar proposições quantificadas? Se for Particular, troca por Universal (e vice-versa). Se Afirmativa, troca por Negativa. Afirmação Negação Particular afirmativa ( algum... ) Universal negativa ( nenhum... ou todo... não... ) Universal negativa ( nenhum... ou Particular afirmativa ( algum... ) todo... não... ) Universal afirmativa ( todo... ) Particular negativa ( algum... não ) Particular negativa ( algum... não ) Universal afirmativa ( todo... ) Observe que se a proposição original utiliza o quantificador UNIVERSAL, a sua negação terá um quantificador PARTICULAR. Se a proposição original tem um quantificador PARTICULAR, sua negação utilizará o quantificador UNIVERSAL. Verifique ainda que se a proposição original é AFIRMATIVA, sua negação será NEGATIVA. Se a proposição original é NEGATIVA, sua negação será AFIRMATIVA. Vejamos alguns exemplos: 22
p : Algum político é honesto. p : Existe político honesto. A proposição dada é uma PARTICULAR AFIRMATIVA. Sua negação será uma UNIVERSAL NEGATIVA. ~ p : Nenhum político é honesto. ~ p : Todo político não é honesto. q : Nenhum brasileiro é europeu. q : Todo brasileiro não é europeu. A proposição dada é uma UNIVERSAL NEGATIVA. Sua negação será uma PARTICULAR AFIRMATIVA. ~ q : Algum brasileiro é europeu. ~ q : Existe brasileiro que é europeu. r : Todo concurseiro é persistente. A proposição dada é uma UNIVERSAL AFIRMATIVA. Sua negação será uma PARTICULAR NEGATIVA. ~ r : Algum concurseiro não é persistente. ~ r : Existe concurseiro que não é persistente. 23
t : Algum recifense não é pernambucano. t : Existe recifense que não é pernambucano. A proposição dada é uma PARTICULAR NEGATIVA. Sua negação será uma UNIVERSAL AFIRMARTIVA. ~ t : Todo recifense é pernambucano. 48. Como saberemos se uma questão qualquer se refere à negação? De três maneiras: i) A questão explicitamente pede a negação de uma proposição dada. ii) A questão fornece uma proposição verdadeira e pede uma falsa. iii) A questão fornece uma proposição falsa e pede uma verdadeira. 49. O estudo das proposições categóricas (que utilizam quantificadores) pode ser feito utilizando os diagramas de Euler-Venn. É habitual representar um conjunto por uma linha fechada e não entrelaçada. 50. Relembremos o significado, na linguagem de conjuntos, de cada uma das proposições categóricas. Todo A é B Todo elemento de A também é elemento de B. 24
Nenhum A é B A e B são conjuntos disjuntos, ou seja, não possuem elementos comuns. Algum A é B Os conjuntos A e B possuem pelo menos 1 elemento em comum. Algum A não é B O conjunto A tem pelo menos 1 elemento que não é elemento de B. 51. Todo A é B A proposição categórica Todo A é B é equivalente a: A é subconjunto de B. A é parte de B. A está contido em B. B contém A. B é universo de A. B é superconjunto de A. Se sabemos que a proposição Todo A é B é verdadeira, qual será o valor lógico das demais proposições categóricas? Algum A é B é necessariamente verdadeira. Nenhum A é B é necessariamente falsa. Algum A não é B é necessariamente falsa. 25
52. Algum A é B A proposição categórica Algum A é B equivale a Algum B é A. Se algum A é B é uma proposição verdadeira, qual será o valor lógico das demais proposições categóricas? Nenhum A é B é necessariamente falsa. Todo A é B e Algum A não é B são indeterminadas. Observe que quando afirmamos que Algum A é B estamos dizendo que existe pelo menos um elemento de A que também é elemento de B. 53. Nenhum A é B A proposição categórica Nenhum A é B equivale a: Nenhum B é A. Todo A não é B. Todo B não é A. A e B são conjuntos disjuntos. Se nenhum A é B é uma proposição verdadeira, qual será o valor lógico das demais proposições categóricas? 26
Todo A é B é necessariamente falsa. Algum A não é B é necessariamente verdadeira. Algum A é B é necessariamente falsa. 54. Algum A não é B Observe que Algum A não é B não equivale a Algum B não é A. Por exemplo, dizer que Algum brasileiro não é pernambucano não equivale a dizer que Algum pernambucano não é brasileiro. Se algum A não é B é uma proposição verdadeira, qual será o valor lógico das demais proposições categóricas? Nenhum A é B é indeterminada, pois poderia haver elementos na interseção dos conjuntos A e B. Algum A é B é indeterminada, pois pode haver ou não elementos na interseção dos conjuntos A e B. Todo A é B é necessariamente falsa. 27
b. Revisão 1 (questões) QUESTÃO 01 - CONSULPLAN 2012 - TÉCNICO JUDICIÁRIO - TSE Observe as proposições lógicas simples P, Q e R. P: Hoje é dia de Natal. Q: Eu vou ganhar presente. R: A família está feliz. As proposições ~P, ~Q, ~R são, respectivamente, as negações das proposições P, Q e R. O conectivo e é representado pelo símbolo, enquanto o conectivo ou é representado por. A implicação é representada por. A proposição composta (~P R) Q corresponde a a) Hoje é dia de Natal e a família está feliz e eu vou ganhar presente. b) Hoje não é dia de Natal e a família está feliz ou eu vou ganhar presente. c) Se hoje não é dia de Natal e a família está feliz então eu vou ganhar presente. d) Se hoje é dia de Natal ou a família está feliz então eu vou ganhar presente. QUESTÃO 02 - CONSULPLAN 2013 - SOLDADO CBM/TO Considere as proposições abaixo: I. Outubro é estação do ano e quarta feira é dia da semana. II. 8 < 11 ou 10 > 13. 28
III. Ou I é falso ou II é verdadeiro. Analisando as assertivas anteriores, é correto afirmar que a) I e II são falsas. b) somente II é falsa. c) somente III é falsa. d) I é falsa ou II é falsa. QUESTÃO 03 - CONSULPLAN 2013 - FISCAL PREF. DE CANTAGALO A negação da proposição Se Adalberto viajou, então Ana está de férias é logicamente equivalente à proposição: a) Adalberto viajou e Ana não está de férias. b) Adalberto não viajou e Ana está de férias. c) Adalberto não viajou ou Ana está de férias. d) Adalberto viajou ou Ana não está de férias. e) Nem Adalberto viajou, nem Ana está de férias. QUESTÃO 04 - CONSULPLAN 2013 CBM/TO A diretora de uma escola afirmou que todos os alunos desta escola vão mal em alguma matéria, visto que incluíra, também, alunos que vão bem em todas as matérias, ela então negou sua afirmação. Das sentenças a seguir, assinale a que expressa de maneira correta a negação da afirmação da diretora. 29
(A) Nenhum aluno dessa escola vai mal em alguma matéria. (B) Algum aluno dessa escola não vai mal em alguma matéria. (C) Qualquer aluno dessa escola não vai mal em alguma matéria. (D) Existem alunos que vão mal em alguma matéria e não pertencem a essa escola. QUESTÃO 05 - CONSULPLAN 2013 CBM/TO Sendo a afirmação Não é verdade que, se Ricardo está jogando bola, então Lucas está pulando corda, portanto, a afirmação logicamente equivalente a essa é: (A) Ricardo está jogando bola e Lucas está pulando corda. (B) Ricardo está jogando bola e Lucas não está pulando corda. (C) Ricardo não está jogando bola ou Lucas está pulando corda. (D) Ricardo está jogando bola ou Lucas não está pulando corda. QUESTÃO 06 - ESAF 2016 ANAC Sabendo que os valores lógicos das proposições simples p e q são, respectivamente, a verdade e a falsidade, assinale o item que apresenta a proposição composta cujo valor lógico é a verdade. a) ~p q q b) p q q c) p q 30
d) p q e) q (p q) QUESTÃO 07 - ESAF 2014 MTUR Assinale a opção que apresenta valor lógico falso. a) b) Se, então. c) Ou 3 1 = 2 ou 5+2=8. d) Se 7 2 = 5, então 5 + 1 = 7. e). QUESTÃO 08 - ESAF 2009 SEFAZ/SP Assinale a opção verdadeira. a) 3 = 4 e 3 + 4 =9. b) Se 3 = 3, então 3 + 4 = 9. c) Se 3 = 4, então 3 + 4 = 9. d) 3 = 4 ou 3 + 4 = 9. e) 3 = 3 se e somente se 3 + 4 = 9. QUESTÃO 09 - ESAF 2013 PECFAZ 31
Conforme a teoria da lógica proposicional, a proposição é: a) uma tautologia. b) equivalente à proposição. c) uma contradição. d) uma contingência. e) uma disjunção. QUESTÃO 10 - ESAF 2014 MTUR A proposição se Catarina é turista, então Paulo é estudante é logicamente equivalente a: a) Catarina não é turista ou Paulo não é estudante. b) Catarina é turista e Paulo não é estudante. c) Se Paulo não é estudante, então Catarina não é turista. d) Catarina não é turista e Paulo não é estudante. e) Se Catarina não é turista, então Paulo não é estudante. 32
c. Revisão 2 (questões) QUESTÃO 11 - ESAF 2013 PECFAZ A negação da proposição Brasília é a Capital Federal e os Territórios Federais integram a União é: a) Brasília não é a Capital Federal e os Territórios Federais não integram a União. b) Brasília não é a Capital Federal ou os Territórios Federais não integram a União. c) Brasília não é a Capital Federal ou os Territórios Federais integram a União. d) Brasília é a Capital Federal ou os Territórios Federais não integram a União. e) Brasília não é a Capital Federal e os Territórios Federais integram a União. QUESTÃO 12 - ESAF 2013 DNIT A proposição composta é equivalente à proposição: a) b) c) d) e) QUESTÃO 13 - ESAF 2013 STN A negação da proposição se Curitiba é a capital do Brasil, então Santos é a capital do Paraná é logicamente equivalente à proposição: 33
a) Curitiba não é a capital do Brasil e Santos não é a capital do Paraná. b) Curitiba não é a capital do Brasil ou Santos não é a capital do Paraná. c) Curitiba é a capital do Brasil e Santos não é a capital do Paraná. d) Se Curitiba não é a capital do Brasil, então Santos não é a capital do Paraná. e) Curitiba é a capital do Brasil ou Santos não é a capital do Paraná. QUESTÃO 14 - ESAF 2012 ATA/MF A proposição é logicamente equivalente à proposição: a) b) c) d) e) QUESTÃO 15 - ESAF 2012 AFRFB A afirmação A menina tem olhos azuis ou o menino é loiro tem como sentença logicamente equivalente: a) se o menino é loiro, então a menina tem olhos azuis. b) se a menina tem olhos azuis, então o menino é loiro. c) se a menina não tem olhos azuis, então o menino é loiro. d) não é verdade que se a menina tem olhos azuis, então o menino é loiro. e) não é verdade que se o menino é loiro, então a menina tem olhos azuis. 34
QUESTÃO 16 - ESAF 2012 MPOG Considere que: se o dia está bonito, então não chove. Desse modo: a) não chover é condição necessária para o dia estar bonito. b) não chover é condição suficiente para o dia estar bonito. c) chover é condição necessária para o dia estar bonito. d) o dia estar bonito é condição necessária e suficiente para chover. e) chover é condição necessária para o dia não estar bonito. QUESTÃO 17 - ESAF 2012 MPOG A negação de À noite, todos os gatos são pardos é: a) De dia, todos os gatos são pardos. b) De dia, nenhum gato é pardo. c) De dia, existe pelo menos um gato que não é pardo. d) À noite, existe pelo menos um gato que não é pardo. e) À noite, nenhum gato é pardo. QUESTÃO 18 - ESAF 2012 ATRFB A negação da proposição se Paulo estuda, então Marta é atleta é logicamente equivalente à proposição: a) Paulo não estuda e Marta não é atleta. b) Paulo estuda e Marta não é atleta. c) Paulo estuda ou Marta não é atleta. d) Se Paulo não estuda, então Marta não é atleta. e) Paulo não estuda ou Marta não é atleta. 35
QUESTÃO 19 - FCC 2014 TRF 3ª REGIÃO Diante, apenas, das premissas Nenhum piloto é médico, Nenhum poeta é médico e Todos os astronautas são pilotos, então é correto afirmar que: (A) algum astronauta é médico. (B) todo poeta é astronauta. (C) nenhum astronauta é médico. (D) algum poeta não é astronauta. (E) algum poeta é astronauta e algum piloto não é médico. QUESTÃO 20 - FCC 2013 PGE/BA Se é verdade que algum é e que nenhum é, então é necessariamente verdadeiro que: (A) algum não é. (B) algum é. (C) nenhum é. (D) algum é. (E) nenhum é. 36
d. Gabarito 1 2 3 4 5 C D A B B 6 7 8 9 10 A D C C C 11 12 13 14 15 B D C E C 16 17 18 19 20 A D B C A 37
e. Breves comentários às questões QUESTÃO 01 - CONSULPLAN 2012 - TÉCNICO JUDICIÁRIO - TSE COMENTÁRIO EM VÍDEO. QUESTÃO 02 - CONSULPLAN 2013 - SOLDADO CBM/TO COMENTÁRIO EM VÍDEO. QUESTÃO 03 - CONSULPLAN 2013 - FISCAL PREF. DE CANTAGALO COMENTÁRIO EM VÍDEO. QUESTÃO 04 - CONSULPLAN 2013 CBM/TO COMENTÁRIO EM VÍDEO. QUESTÃO 05 - CONSULPLAN 2013 CBM/TO COMENTÁRIO EM VÍDEO. QUESTÃO 06 - ESAF 2016 ANAC 38
Sabendo que os valores lógicos das proposições simples p e q são, respectivamente, a verdade e a falsidade, assinale o item que apresenta a proposição composta cujo valor lógico é a verdade. a) ~p q q b) p q q c) p q d) p q e) q (p q) Resolução As alternativas A e B devem ser lidas assim: a) (~p q) q b) (p q) q Agora sim, vamos analisar as alternativas. O enunciado diz que a proposição p é verdadeira e a proposição q é falsa. a) (~p q) q Temos (F ou F) F, que é o mesmo que F F. Como não ocorreu VF no se..., então..., a composta é verdadeira. Esta é a resposta da questão e é o gabarito oficial. b) (p q) q Temos (V ou F) F, que é o mesmo que V F. A proposição composta pelo se..., então... é falsa quando ocorre VF. Portanto, a letra B está errada. c) p q 39
p é verdadeira e q é falsa. A proposição composta pelo se..., então... é falsa quando ocorre VF. Portanto, a letra C está errada. d) p q p é verdadeira e q é falsa. A proposição composta pelo se e somente se só é verdadeira quando os dois componentes possuem o mesmo valor lógico. Como uma é V e a outra é F, a composta é falsa e a alternativa D está errada. e) q (p q) A proposição acima é composta pelo conectivo e. Estamos conectando as proposições q e p v q através do e. Ora, como q é falsa, a composta é falsa, pois uma composta do e só é verdadeira quando os dois componentes são verdadeiros. Letra A. QUESTÃO 07 - ESAF 2014 MTUR Assinale a opção que apresenta valor lógico falso. a) b) Se, então. c) Ou 3 1 = 2 ou 5+2=8. d) Se 7 2 = 5, então 5 + 1 = 7. e). Resolução a) 40
Os dois componentes são verdadeiros. Lembre-se que é justamente neste caso em que uma proposição composta pelo conectivo e é verdadeira. b) O antecedente é falso e o consequente é verdadeiro, ou seja, ocorreu FV. Uma proposição composta pelo conectivo se..., então... só é falsa quando ocorre VF, nesta ordem. A proposição composta é, portanto, verdadeira. c) Temos uma proposição composta pelo ou exclusivo. No caso deste conectivo, a proposição composta é verdadeira quando APENAS um de seus componentes é verdadeiro. Foi justamente o que ocorreu. Assim, a composta é verdadeira. d) O antecedente é verdadeiro e o consequente é falso, ou seja, ocorreu VF. Sabemos que quando ocorre VF em uma proposição composta pelo se..., então... a composta torna-se falsa. Assim, a proposição acima é falsa. e). Quando os dois componentes são iguais em uma proposição composta pelo se e somente se, a composta torna-se verdadeira. Gabarito: D. QUESTÃO 08 - ESAF 2009 SEFAZ/SP Assinale a opção verdadeira. 41
a) 3 = 4 e 3 + 4 =9. b) Se 3 = 3, então 3 + 4 = 9. c) Se 3 = 4, então 3 + 4 = 9. d) 3 = 4 ou 3 + 4 = 9. e) 3 = 3 se e somente se 3 + 4 = 9. Resolução a) Os dois componentes são falsos. Destarte, a proposição acima é falsa, pois uma proposição composta pelo conectivo e só é verdadeira quando seus dois componentes são verdadeiros. b) Uma proposição composta pelo conectivo Se..., então... com antecedente verdadeiro e consequente falso é falsa (lembre-se que não admitimos VF no Se..., então... ). c) Uma proposição composta pelo conectivo Se..., então... só é falsa quando ocorre VF, nesta ordem. Assim, quando o antecedente é falso e o consequente também é falso, a proposição composta é verdadeira. Assim, esta é a resposta da questão. d) Para que uma proposição composta pelo conectivo ou seja verdadeira, pelo menos um de seus componentes deve ser verdadeiro. Como os dois componentes são falsos, a frase acima é falsa. 42
e) Uma proposição composta pelo conectivo se e somente se só é verdadeira quando seus dois componentes são iguais, ou seja, quando ambos são V ou ambos são F. Como os componentes têm valores lógicos opostos (um é V e o outro é F), então a composta é falsa. Gabarito: C. QUESTÃO 09 - ESAF 2013 PECFAZ Conforme a teoria da lógica proposicional, a proposição é: a) uma tautologia. b) equivalente à proposição. c) uma contradição. d) uma contingência. e) uma disjunção. Resolução Temos uma proposição composta pelo conectivo e. Vimos que o símbolo significa e. Veremos também que uma proposição composta pelo conectivo e é chamada de conjunção. Disjunção é uma proposição composta pelo conectivo ou, cujo símbolo é. Assim, já podemos descartar a letra E. 43
Vamos construir a tabela-verdade da proposição. Devemos ligar a proposição P com a sua negação através do conectivo e. Como temos apenas uma proposição simples envolvida, a nossa tabela-verdade terá apenas 2 linhas, pois há apenas dois possíveis valores lógicos para a proposição P: V ou F. V F A proposição é a negação da proposição P, ou seja, seus valores são os valores opostos aos de P. V F F V Vamos agora ligar as duas proposições P e através do conectivo e. Uma proposição composta pelo conectivo e só é verdadeira quando os dois componentes são simultaneamente verdadeiros. Observe que na primeira linha temos apenas um componente verdadeiro. O mesmo ocorre na segunda linha. Assim, concluímos que a composta é falsa nas duas linhas. 44
V F F F V F Uma proposição que é sempre falsa recebe o nome de contradição. Letra C. QUESTÃO 10 - ESAF 2014 MTUR A proposição se Catarina é turista, então Paulo é estudante é logicamente equivalente a a) Catarina não é turista ou Paulo não é estudante. b) Catarina é turista e Paulo não é estudante. c) Se Paulo não é estudante, então Catarina não é turista. d) Catarina não é turista e Paulo não é estudante. e) Se Catarina não é turista, então Paulo não é estudante. Resolução Foi dada uma proposição composta pelo se..., então.... Basicamente temos duas possibilidades: construir outra equivalente com o se..., então... ou construir uma equivalente com o conectivo ou. Para construir a equivalente com o se..., então... devemos negar de trás pra frente. Se Paulo não é estudante, então Catarina não é turista. Gabarito: C. QUESTÃO 11 - ESAF 2013 PECFAZ 45
A negação da proposição Brasília é a Capital Federal e os Territórios Federais integram a União é: a) Brasília não é a Capital Federal e os Territórios Federais não integram a União. b) Brasília não é a Capital Federal ou os Territórios Federais não integram a União. c) Brasília não é a Capital Federal ou os Territórios Federais integram a União. d) Brasília é a Capital Federal ou os Territórios Federais não integram a União. e) Brasília não é a Capital Federal e os Territórios Federais integram a União. Resolução Queremos negar uma proposição composta pelo conectivo e. A regra que fornece a negação de uma proposição composta pelo conectivo e é conhecida como Lei de De Morgan, em homenagem ao matemático Augustus De Morgan. Pois bem, para negar uma proposição composta pelo conectivo e, devemos negar os dois componentes e trocar o conectivo e pelo conectivo ou. Afirmação Brasília é a Capital Federal e os Territórios Federais integram a União Negação Brasília não é a Capital Federal ou os Territórios Federais não integram a União Letra B. QUESTÃO 12 - ESAF 2013 DNIT A proposição composta é equivalente à proposição: a) b) 46
c) d) e) Resolução Quando aparecer uma proposição que você não conheça, nem perca tempo: comece a construir uma tabela-verdade. A tabela terá 4 linhas. Começamos a tabela com p,q. Colocarei também as proposições, e. V V F F V F V F A coluna de é oposta à coluna de. A coluna de só é falsa na última linha (pois p,q são falsas). A coluna de só é V na primeira linha (pois p,q são verdadeiras). A proposição só é falsa na segunda linha, em que é F e é F. V V F V V V V F F V F F F V V V F V F F V F F V Finalmente a última coluna. Devemos ligar a proposição p (1 a coluna) com a proposição (5 a coluna) através do conectivo se..., então.... Só será falsa a segunda linha, onde ocorre VF. 47
V V F V V V V V F F V F F F F V V V F V V F F V F F V V Observe que as duas últimas colunas são idênticas. Portanto, as proposições e são equivalentes. Gabarito: D. QUESTÃO 13 - ESAF 2013 STN A negação da proposição se Curitiba é a capital do Brasil, então Santos é a capital do Paraná é logicamente equivalente à proposição: a) Curitiba não é a capital do Brasil e Santos não é a capital do Paraná. b) Curitiba não é a capital do Brasil ou Santos não é a capital do Paraná. c) Curitiba é a capital do Brasil e Santos não é a capital do Paraná. d) Se Curitiba não é a capital do Brasil, então Santos não é a capital do Paraná. e) Curitiba é a capital do Brasil ou Santos não é a capital do Paraná. Resolução Para negar uma proposição composta pelo conectivo se..., então..., repetimos o primeiro componente, colocamos o conectivo e e negamos o segundo componente. A negação pedida é Curitiba é a capital do Brasil e Santos não é a capital do Paraná. Gabarito: C. QUESTÃO 14 - ESAF 2012 ATA/MF 48
A proposição é logicamente equivalente à proposição a) b) c) d) e) Resolução A proposição do enunciado não é comum. Vamos construir a tabela-verdade. Vamos construir uma tabela com p,q, suas negações, e. Construirei ainda uma coluna com para auxiliar na construção de. V V F F V F F V F V V F F F V V A coluna de só é falsa na última linha, quando p e q são F. A coluna de só é V na primeira linha, quando p e q são V. A coluna de só é F na segunda linha, quando ocorre VF. V V F F V V V V F F V V F F F V V F V F V F F V V F F V 49
Vamos agora ligar a proposição p (primeira coluna) com a proposição (sétima coluna) através do conectivo e. A proposição só será V na primeira linha, em que os dois componentes e são V. V V F F V V V V V F F V V F F F F V V F V F V F F F V V F F V F Observe agora que as colunas de e são idênticas. Elas são equivalentes. Gabarito: E. QUESTÃO 15 - ESAF 2012 AFRFB A afirmação A menina tem olhos azuis ou o menino é loiro tem como sentença logicamente equivalente: a) se o menino é loiro, então a menina tem olhos azuis. b) se a menina tem olhos azuis, então o menino é loiro. c) se a menina não tem olhos azuis, então o menino é loiro. d) não é verdade que se a menina tem olhos azuis, então o menino é loiro. e) não é verdade que se o menino é loiro, então a menina tem olhos azuis. Resolução A proposição dada é composta pelo conectivo ou. Para construir uma equivalente com o conectivo se..., então..., devemos negar o primeiro componente. 50
Se a menina não tem olhos azuis, então o menino é loiro. Gabarito: C. QUESTÃO 16 - ESAF 2012 MPOG Considere que: se o dia está bonito, então não chove. Desse modo: a) não chover é condição necessária para o dia estar bonito. b) não chover é condição suficiente para o dia estar bonito. c) chover é condição necessária para o dia estar bonito. d) o dia estar bonito é condição necessária e suficiente para chover. e) chover é condição necessária para o dia não estar bonito. Resolução A proposição acima pode ser reescrita de duas maneiras: O dia estar bonito é condição suficiente para não chover. Não chover é condição necessária para o dia está bonito. Gabarito: A. QUESTÃO 17 - ESAF 2012 MPOG A negação de À noite, todos os gatos são pardos é: a) De dia, todos os gatos são pardos. b) De dia, nenhum gato é pardo. c) De dia, existe pelo menos um gato que não é pardo. 51
d) À noite, existe pelo menos um gato que não é pardo. e) À noite, nenhum gato é pardo. Resolução A proposição dada é uma UNIVERSAL AFIRMATIVA. Sua negação é uma PARTICULAR NEGATIVA. Gabarito: D. QUESTÃO 18 - ESAF 2012 ATRFB A negação da proposição se Paulo estuda, então Marta é atleta é logicamente equivalente à proposição: a) Paulo não estuda e Marta não é atleta. b) Paulo estuda e Marta não é atleta. c) Paulo estuda ou Marta não é atleta. d) Se Paulo não estuda, então Marta não é atleta. e) Paulo não estuda ou Marta não é atleta. Resolução Para negar uma proposição composta pelo se..., então..., devemos afirmar (copiar) o antecedente, colocar o conectivo e e negar o consequente. Observe: Gabarito: B. Afirmação Se Paulo estuda, então Marta é atleta. Negação Paulo estuda e Marta não é atleta. 52
QUESTÃO 19 - FCC 2014 TRF 3ª REGIÃO Diante, apenas, das premissas Nenhum piloto é médico, Nenhum poeta é médico e Todos os astronautas são pilotos, então é correto afirmar que (A) algum astronauta é médico. (B) todo poeta é astronauta. (C) nenhum astronauta é médico. (D) algum poeta não é astronauta. (E) algum poeta é astronauta e algum piloto não é médico. Resolução Vamos começar construindo os diagramas das seguintes proposições: Todos os astronautas são pilotos e Nenhum piloto é médico. Não temos como desenhar com precisão o diagrama da proposição Nenhum poeta é médico. Pelo diagrama, percebemos que nenhum astronauta é médico. Gabarito: C. QUESTÃO 20 - FCC 2013 PGE/BA Se é verdade que algum é e que nenhum é, então é necessariamente verdadeiro que: 53
(A) algum não é. (B) algum é. (C) nenhum é. (D) algum é. (E) nenhum é. Resolução Sempre damos preferência à construção de diagramas que envolvam quantificadores universais (todo ou nenhum). Comecemos com a proposição nenhum é. Vamos construir o diagrama de Algum é. Sabemos que existe uma interseção entre os conjuntos X e Y, mas não sabemos a relação de X e Z. Por esta razão, não deixarei completo o diagrama de X. Observe que os elementos da interseção de X e Y, não são Z. Portanto, existe elemento de X que não é elemento de Z. (A) algum não é. Gabarito: A. 54