O método dos elementos finitos

CAPíTULO 1 O método dos lmntos finitos 1.1. Um brv histórico O método dos lmntos finitos MEF) surgiu lá pla quinta década do século XX, quando foram lançados os primiros computadors. Os fundamntos matmáticos do MEF já ram conhcidos havia tmpo, mas as frramntas d cálculo ntão disponívis inviabilizavam a sua implmntação utilização. Inicialmnt o MEF foi aplicado na anális d problmas da mcânica dos sólidos, mas logo a sua aplicação stndu-s à anális d outros fnômnos físicos. Esta abrangência mais o sucsso do método propiciaram o studo mais profundo xtnso dl. Da anális matmática do método rsultaram stimadors d rro critérios d stabilidad, qu garantm aos rsultados mais confiabilidad. Da anális stática passou-s à dinâmica; dos problmas inicialmnt linars passou-s aos não-linars; da anális d um único fnômno passou-s à d vários fnômnos simultânos intragnts; d intrfacs computador-usuário pouco práticas passous às intrfacs gráficas, mais amigávis intuitivas... No prsnt o MEF continua voluindo nos sus divrsos aspctos, conform dmonstra a quantidad d artigos cintíficos atualmnt publicados m torno dl. 1.. Mais um modlo Dada a riquza complxidad do mundo físico, smpr s fica aquém ao qurr ntndr dominar a sua naturza. Quando s tnta prvr o comportamnto da ralidad, rcorr-s a uma simplificação dla, dnominada modlo. O modlo admit uma gradação, no sntido d rprsntar mlhor ou pior ou d dixar à mostra um ou outro aspcto da ralidad. Por xmplo, ao analisar mcanicamnt um corpo sólido, pod-s dixar d lado fnômnos térmicos, létricos magnéticos, supondo qu não intrfiram na anális d qu é objto. Abstraindo-s dsts, pods ainda considrar, ou não, a dformação do corpo sólido, lvando rspctivamnt a um modlo d sólido dformávl, ou a um d corpo rígido. Ao mprgar um ou outro modlo, obsrvam-s mais ou mnos fnômnos. No caso da scolha d um modlo d corpo rígido, não é possívl d modo algum obsrvar a vibração qu na ralidad l sofr, tal é o nívl d simplificação dst modlo. Figura 1.1. Squência d modlos. Há uma cadia d modlos até s chgar ao modlo d lmntos finitos d um fnômno físico, conform a Fig. 1.1. No início dla, à squrda, stá o modlo físico do fnômno, qu lva m conta a gomtria, a constituição matrial a intração do corpo com o mio circundant. Part cntral nsta tapa d modlamnto é a idntificação das lis físicas nvolvidas no fnômno da rlvância d cada uma dlas para a anális prtndida. Esta rlvância é ditada plo grau d complxidad 1

1. O MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS ou d acurácia dsjado para l. O modlo matmático é o sguint na cadia. Nl, m função do modlo físico, o fnômno físico é rprsntado por um problma a valors no contorno m qu o sistma d quaçõs difrnciais as condiçõs d contorno traduzm m linguagm matmática o comportamnto do fnômno com bas na gomtria, na intração com o mio circundant nas lis físicas nl implicadas. Na squência stá o modlo numérico, no qual o MEF s insr, Fig. 1.. No modlo numérico a gomtria gralmnt sofr simplificaçõs o sistma d quaçõs difrnciais é rsolvido por mio d um método numérico. A forma final do modlo numérico é dada por mio d um sistma d quaçõs algébricas linars. No caso d s mprgar como método numérico o MEF, st sistma é dnominado modlo d lmntos finitos. A Fig. 1.3 ilustra o ncadamnto d modlos na aplicação d um fnômno da mcânica dos sólidos. Figura 1.. O método dos lmntos finitos é mais um ntr outros métodos robustos para a solução numérica do modlo matmático. Figura 1.3. Squência d modlos aplicada à viga. 1.3. Uma frramnta robusta O MEF s aplica a uma gama norm d problmas rlativos aos divrsos fnômnos físicos sujitos a uma grand varidad d intraçõs com a vizinhança ond ls ocorrm. Além disso, a stabilidad a acurácia do método stão bm studadas solidamnt amparadas m torias matmáticas, o qu lh confr robustz. Daí o su largo mprgo como frramnta para anális m vários campos da ciência da ngnharia, Fig. 1.4. Figura 1.4. Análiss d uma turbina ), um flap c) um automóvl d) plo MEF. Inicialmnt, dada a prcaridad da intrfac com o usuário, os pacots computacionais do MEF não ram tão amigávis como hoj. Então, a ntrada d dados

1.4. CONSIDERAÇÕES FINAIS 3 ra fita por mio d cartõs prfurados; num stágio mais avançado, por trminal d computador, até a substituição dos computadors d grand-port. Com o advnto dos microcomputadors, a ntrada d dados passou, inicialmnt d um arquivo prviamnt ditado contndo os dados, para as intrfacs gráficas com o usuário m inglês GUI, graphical usr intrfac), Fig. 1.5, qu mprga janlas, mous, touch-scrn, tc. para a comunicação da máquina com o usuário. É comum ncontrar o MEF intgrado a frramntas CAE computr aidd nginring) ou pacots d MEF qu prmitm importar dados d frramntas CAD computr aidd dsign), Fig. 1.6. Figura 1.5. GUI: intrfac gráfica com o usuário. Figura 1.6. CAE: computr aidd nginring. No atual stágio, a aprsntação gráfica é muito rica, prmitindo visualizar o rsultado das análiss por mio d mapas d cors, animaçõs gráficas m tmpo ral, slção d corts para visualização, tc. 1.4. Considraçõs finais Por trás das imagns mostradas acima, qu imprssionam quanto à facilidad d anális propiciada ao usuário, há uma séri d dfiniçõs fundamntos matmáticos programação computacional. As duas primiras srão vistas ao longo do curso o aluno trá contato com a última no trabalho qu srá proposto como part da avaliação. Dada a xiguidad d tmpo, o curso s rstringirá somnt a problmas unidimnsionais.

CAPíTULO Formulaçõs intgrais.1. Fundamntos matmáticos.1.1. Dfiniçõs prliminars. Algumas dfiniçõs matmáticas prévias fazm-s ncssárias para o bom ntndimnto dos fundamntos do método dos lmntos finitos. Dfinição.1 Notação d uma Equação Difrncial). Uma quação difrncial linar é dnotada d forma gnérica como: Au + f =, x Ω R n.1) u : x ux) f : x fx).a).b) ond A é um oprador difrncial linar, u é a variávl dpndnt f a indpndnt. Figura.1. Barra axialmnt carrgada, rstrita à squrda livr à dirita. Exmplo.1 Oprador difrncial). Na barra mostrada na Fig..1, a quação difrncial qu rg o dslocamnto axial é: o oprador difrncial é EA d, f = p. dx EA d dx u + p =.3) O símbolo Ω dnota o domínio da quação difrncial, ou sja, a rgião do spaço R n m qu la é válida. Ω é um conjunto abrto, portanto xclui o su contorno. Exmplo. Domínio). Na msma barra do xmplo antrior, o domínio é Ω = ], L[. Num problma bidimnsional o domínio sria, por xmplo, a rgião hachurada na Fig... 5

6. FORMULAÇÕES INTEGRAIS Figura.. Domínio Ω d um problma bidimnsional qualqur. Dfinição. Domínio Convxo Simplsmnt Conxo). Um domínio convxo simplsmnt conxo é aqul no qual quaisqur dois pontos podm sr unidos por uma linha totalmnt contida no domínio. Figura.3. Domínio simplsmnt conxo. Exmplo.3 Domínio convxo simplsmnt conxo). Figura.4. Domínio não convxo. Exmplo.4 Domínio não convxo simplsmnt conxo). Dfinição.3 Contorno ou Frontira). O contorno ou frontira d um domínio Ω, dnotado por Ω, é o su fchamnto, isto é, aquls pontos qu, não

.1. FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS 7 prtncndo ao domínio, possum uma vizinhança ε na qual xist plo mnos um ponto prtncnt a l, conform ilustrado na Fig..5. Figura.5. Ponto x sobr o contorno a sua vizinhança ε. Dfinição.4 Função Class C m Ω)). Uma função d uma ou vária variávis é d class C m Ω) s todas as suas drivadas parciais até a ordm m, inclusiv, xistm são contínuas m Ω. Exmplo.5 Função d class C Ω)). A função: { 1 + x, 1 < x ux) = 1 x, < x < +1 cujo gráfico pod sr visto na Fig..6, é d class C m Ω =] 1, +1[ Figura.6. Função d class C m ] 1, +1[. Dfinição.5 Problma a Valors no Contorno). Um problma a valors no contorno é aqula quação difrncial cuja variávl dpndnt ou suas drivadas têm sus valors prscritos no contorno Ω. Exmplo.6 Problma a Valors no Contorno). EA d u + p =, x ], L[ dx.4a) u x= =.4b) N x=l = EA d dx u = F.4c) x=l

8. FORMULAÇÕES INTEGRAIS Dfinição.6 Problma a Valors Iniciais). Um problma a valors iniciais é aqula quação difrncial cuja variávl dpndnt ou suas drivadas têm sus valors iniciais prscritos m gral m t = ). Ests problmas são gralmnt dpndnts do tmpo. Exmplo.7 Problma a Valors Iniciais). d u + k u = f, t ], T [ dt.5a) u t= = u.5b) d dt u = v.5c) t= Exmplo.8 Problma a Valors no Contorno Iniciais). a ) x x u + ρ u = fx, t), x ], L[ t ], T [.6a) t ux, t) x= = g t).6b) a x u = h t).6c) x=l ux, t) t= = u x).6d) Dfinição.7. Uma quação difrncial ou condição d contorno/inicial é dita homogêna s a variávl indpndnt for nula. Exmplo.9 Equação difrncial homogêna). d u + k u =, x ], L[ dx Exmplo.1 Condição d contorno não homogêna). u γ = g x), x γ Dfinição.8 Problma d Auto-Valor). Um problma d auto-valor é d forma gral dado da sguint forma: A u = λ u, x Ω.7a) B u γ1 =.7b) C u γ =.7c) ond B C são opradors difrnciais no contorno. O problma consist m dtrminar os auto-valors λ as rspctivas auto-funçõs u λ qu satisfaçam a quação difrncial as condiçõs d contorno do problma. Exmplo.11 Problma d Auto-Valor). Considr o problma d vibração axial d uma barra simplsmnt apoiada: EA d.1.. Rlaçõs intgrais. dx u + ρ ω u =, x ], L[.8a) u x= =.8b) EA d dx u =.8c) x=l

.1. FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS 9.1..1. Intgração por parts. a b a u d dx v dx = u v) b a a b a d u v dx.9) dx Altrnativamnt, fazndo v = d w nsta última quação: dx b u d dx w dx = u d ) b b dx w d a dx u d w dx.1) dx Substituindo agora w = d v na quação acima, obtém-s sta outra rlação intgral: dx b a ) u u d4 dx 4 v dx = d3 b dx 3 v a ) = u d3 b dx 3 v a b a b a d dx u d3 dx 3 v dx d dx u d dx d dx v ) dx.11) Aplicando intgração por parts no último trmo da Eq..11, obtém-s finalmnt, após o rarranjo dos trmos no sgundo mmbro, a rlação intgral: b ) u d4 a dx 4 v dx = d u a dx u d dx v dx + d3 b ) d dx 3 v a dx u d b dx v a.1... Alguns opradors difrnciais. b.1) Dfinição.9 Gradint d uma campo scalar). Sja u : x 1, x ) ux 1, x ), x 1, x ) Ω R um campo scalar. Dfin-s o gradint d u como: grad u := u := u 1 + u.13) x 1 x ond 1 são vtors ortonormais orintados sgundo os ixos x 1 x, rspctivamnt. O gradint é um vtor cujo módulo dá a taxa d variação do scalar na dirção sntido dss vtor. Além disto, o vtor gradint aponta a dirção da máxima variação do campo scalar no ponto. Dfinição.1 Divrgnt d um campo vtorial). Sja v : x 1, x ) vx 1, x ), x 1, x ) Ω R um campo vtorial. Dfin-s o divrgnt d v = v 1 1 + v como: div v :=. v := v 1 + v.14) x 1 x O divrgnt fornc o fluxo líquido do campo vtorial no contorno d um lmnto infinitsimal nvolvndo o ponto. O divrgnt d um campo scalar é um campo scalar. Dfinição.11 Torma do Gradint). Sja u : x 1, x ) ux 1, x ), x 1, x ) Ω R um campo scalar difrnciávl m Ω. Então a sguint rlação intgral é válida: Ω u dω = n u dγ.15) γ

1. FORMULAÇÕES INTEGRAIS Figura.7. Ponto x sobr o contorno os vtors unitários normal n) tangncial t). ond n é a normal xtrna ao contorno γ, conform indicado na Fig..7. xprssão acima s dsdobra ainda nstas duas sguints: Ω Ω u dω = x 1 u dω = x γ γ n 1 u dγ n u dγ A.16a).16b) Figura.8. Domínio simplsmnt conxo. γ 1 γ γ 3. Su contorno γ é Dfinição.1 Torma do Divrgnt). Sja v : x 1, x ) vx 1, x ), x 1, x ) Ω R um campo vtorial difrnciávl m Ω. Então a sguint rlação intgral é válida: ou Ω Ω. v dω = γ n. v dγ.17a) v 1 + ) v dω = n 1 v 1 + n v ) dγ.17b) x 1 x γ

.1. FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS 11.1..3. Intgração Dupla por Parts. Sjam u v duas funçõs scalars. É fácil mostrar qu: ou u v) = u) v + u v).18) Aplicando o Torma do Gradint à intgral m Ω da xprssão acima rsulta: u v) dω = u) v dω + u v) dω = n u v dγ.19a) Ω Ω Ω u) v dω = u v) dω + n u v dγ Ω γ qu pod sr dsdobrada m: Ω γ.19b) : Ω Ω v v u dω = u v dω + n 1 u v dγ x 1 Ω x 1 γ u dω = u v dω + n u v dγ x Ω x γ.1..4. Laplacano d uma função scalar..a).b) Dfinição.13 Laplacano d uma Função Escalar). Sja u uma função scalar. Dfin-s o laplacano d u como: u = u) := x 1 u + x u.1) Um rsultado important para os problmas bidimnsionais vm a sguir. Fazndo u = µ na Equação.a u = ν na Equação.b m sguida somando-as, obtém-s: Ω v x 1 µ + Substituindo agora µ por Ω v x u + 1 ) ν dω = µ v + ν x Ω x 1 x 1 u ν por ) x u dω = Ω ) v dω + n 1 µ + n ν) v dγ x γ.) x u nsta última quação tm-s: u v + u ) v dω + x 1 x 1 x x ) + n 1 x u + n y u v dγ.3) E mprgando a notação d laplacano dfinida acima, chga-s finalmnt a: γ v u dω = v u dω v u n dγ.4) Ω Ω γ ond u n = u é a taxa d variação d u na dirção da normal ao contorno γ n no ponto, conform indicado na Fig..9.

1. FORMULAÇÕES INTEGRAIS Figura.9. Taxa d variação d u na dirção da normal xtrna no ponto x sobr o contorno..1..5. Funcionais. Dfinição.14 Funcional). Funcional a grosso modo é uma função d função ou, mais rigorosamnt, é um oprador I qu mapia uma função u U a um scalar Iu) V, conform o squma mostrado na Fig..1. Por xmplo: ond F é uma função. Iu) = b a F x, u, u ) dx.5) Figura.1. Dscrição squmática d um funcional. Dfinição.15 Funcional Linar). Um funcional é linar s: Iα u + β v) = α Iu) + β Iv).6) para quaisqur qu sjam os scalars α β as funçõs u v. Dfinição.16 Funcional Bilinar). Um funcional Bu, v) é bilinar s for linar m cada um dos sus argumntos, isto é: Bα u + β w, v) = α B u, v) + β Bw, v) Bu, α v + β w) = α B u, v) + β Bu, w) para quaisqur qu sjam os scalars α β as funçõs u, v w..7a).7b)

.1. FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS 13 Dfinição.17 Funcional Bilinar Simétrico). Um funcional bilinar é simétrico s: para quaisqur qu sjam as funçõs u v..1..6. Cálculo Variacional. Bu, v) = Bv, u).8) Dfinição.18. O variacional d uma função u qualqur, dnotada por δ u, é a variação: δ u = α v.9) ond α é uma constant scalar v é uma função do msmo spaço d u. A Fig..11 ilustra uma possívl variação da função u o fito do fator α sobr a variação δ u. Figura.11. Variação d u: δ u = α 1 v. Variação δ u = α v, com α 1 > α. O variacional δ u rprsnta uma variação admissívl d ux) num ponto fixo x. S u é spcificado no contorno, por xmplo, o variacional δ u é nulo aí, ou sja, l satisfaz aí uma condição d contorno homogêna. Sja agora uma função F = F x, u, u ). Em analogia ao difrncial d uma função d duas variávis, a primira variação d F é: ond: δf = u F δ u + u F δ u.3) u F = lim α F x, u + α v, u ) F x, u, u ) α v.31) D forma análoga dfin-s u F. Por analogia ao cálculo d várias variávis, pod-s obtr as sguints idntidads para o oprador variacional:

14. FORMULAÇÕES INTEGRAIS i. δ F 1 ± F ) = δ F 1 ± δ F.3a) ii. δ F 1 F ) = F δ F 1 + F 1 δ F ) F1 iii. δ = F δ F 1 F 1 δ F F F.3b).3c) iv. δ F n 1 ) = nf n 1 1 δ F 1.3d) O oprador variacional admit a comutação com os opradors difrncial intgral. Sja u = α v. Então: i. d dx δ u = d dx α v = α d ) d dx v = αv = δ u = δ dx u ii. I δ u) = b a δ u dx = b a α v dx = α b a v dx = αiv) = δiu) = δ.. A forma fraca dos problmas a valors no contorno b a.33a) u dx.33b) O trmo forma fraca rfr-s a uma forma intgral do problma a valors no contorno na qual a ordm do oprador difrncial fica rduzida d m para m. Há vários modos d s obtr a forma fraca do problma a valors no contorno. São ls: o método da intgral pondrada, o método variacional o método dos trabalhos virtuais. Sndo st último mais apropriado a problmas da mcânica dos sólidos. Na aprsntação dsss métodos vai-s rcorrr à xmplificação, pois para cada oprador difrncial obtém-s uma forma fraca própria, contudo os procdimntos d obtnção s assmlham. Uma pculiaridad da forma fraca é qu part das condiçõs d contorno ficam nla xplícitas. Para xmplificar o procdimnto d aplicação dos três métodos, rcorr-s ao msmo problma a valors no contorno dscrito a sguir unidimnsional a princípio, mas qu pod sr facilmnt stndido aos bi tridimnsionais): d ax) d ) dx dx u = qx), x ], L[.34a) u x= = u.34b) ax) d u) = q.34c) dx x=l..1. Método da intgral pondrada. Passando o sgundo mmbro da Equação.34a para o primiro, multiplicando mmbro a mmbro pla função d pondração wx) finalmnt intgrando no domínio do problma, obtém-s: L d ax) d ) ) dx dx u + qx) wx) dx =.35) Obsrvando sta última quação, só há uma única função ux) qu a satisfaz para qualqur qu sja a função d pondração, w, a msma qu satisfaz a Equação.34a. Na prática procura-s para a Equação.35 uma solução aproximada da forma: u = N j=1 c jφ j + φ.36)

.. A FORMA FRACA DOS PROBLEMAS A VALORES NO CONTORNO 15 ond {φ j } N j=1 é o conjunto d funçõs d aproximação prviamnt scolhido satisfazndo a condição ssncial 1 homogêna φ é uma função qu satisfaz a condição d contorno ssncial do problma. São ncssárias N quaçõs para dtrminar os coficints c j da aproximação. Voltando à Equação.35 aplicando nla a intgração por parts uma vz, obtém-s: ou: L d dx L L a d ) ) dx u + q w dx = a d dx u d dx w dx + a w d ) L dx u + L a d dx w d dx u dx q w dx u) d Como não s conhc a priori dx x= L q w dx =.37a) a w d ) L dx u =.37b) no problma tomado como xmplo, impõ-s qu o pso w sja tal qu w x= =, rstringindo as possibilidads para o conjunto d funçõs pso. Dst modo obtém-s finalmnt a forma fraca do problma a valors no contorno original: L L a d dx w d dx u dx q w dx q wl) =.38)..1.1. Condiçõs d contorno ssnciais naturais. Cab aqui uma brv pausa para xpor a classificação dos tipos d condição d contorno. Obsrvando, por xmplo, os trmos da Equação.37b no contorno, os coficints da função pso dnominam-s variávis scundárias, suas spcificaçõs no contorno chamam-s condiçõs d contorno naturais; as variávis dpndnts xprssas na msma forma como a função pso s aprsnta no trmo d contorno dnominams variávis primárias, suas spcificaçõs no contorno chamam-s condiçõs d contorno ssnciais. Assim, no caso da citada quação, u é a variávl primária a d dx u a scundária. Logo, u x= = u a d u) = q são rspctivamnt as condiçõs d dx x=l contorno ssncial natural do problma xmplificado.... Método variacional. A forma fraca pod-s obtr também por mio da minimização d um funcional dntro d um spaço d funçõs válido para o problma a valors no contorno. Tal funcional não é m gral trivialmnt obtido.no ntanto, para problmas da mcânica dos sólidos, l coincid com a nrgia potncial lástica do sólido. Para ilustrar o método, tom-s o funcional associado ao problma a valors no contorno, Equaçõs.34: Iv) = 1 L ) d L a dx v dx q v dx vl) q, v V.39) ond V = {v : v x= = u } é o spaço d funçõs admissívis, ou sja, o conjunto d todas as funçõs qu satisfazm a condição ssncial do problma. A solução 1 A dfinição d condição d contorno ssncial natural stá mais abaixo, no itm..1.1.

16. FORMULAÇÕES INTEGRAIS procurada é aqula qu minimiza o funcional acima m V. Sja u sta solução, ntão o variacional d Iv) m u é: ou sja: L a d dx δu d dx u dx δiv) v=u = L δu q dx δul) q =.4a).4b) Nsta última quação foram aplicadas as rlaçõs variacionais apontadas na Eqs..3.33 Fazndo δu = w nsta última quação, obtém-s finalmnt a forma fraca vid a Equação.38) na qual o variacional d u dv satisfazr a condição ssncial homogêna m x =, isto é, δu x= = w x= =. Em forma abstrata o primiro mmbro da Equação.4b pod sr scrito como a difrnça ntr o funcional bilinar Bw, u) o linar lw): ond: Bw, u) lw) =.41) : Bw, u) = lw) = L L a d dx w d dx u dx w q dx + wl) q.4a).4b) Ond a Equação.41 é a rprsntação abstrata da forma fraca. Por sua vz, o funcional a sr minimizado é rprsntado abstratamnt como: o su mínimo é dado plo variacional: Iv) = 1 Bv, v) lv).43) δiv) v=u = 1 δbu, u) δlu) = Bδu, u) lδu) =.44) qu uma vz fazndo δu = w, rsulta a forma fraca abstrata, Equação.41. Comntário.1. O mprgo do funcional é important para dmonstrar a xistência unicidad da solução da forma fraca...3. Princípio dos trabalhos virtuais. O princípio dos trabalhos virtuais é uma via d acsso à obtnção da forma fraca para problmas da mcânica dos sólidos linars ou não linars. Figura.1. Barra axialmnt carrgada, rstrita à squrda livr à dirita.

.3. MÉTODOS VARIACIONAIS DE APROXIMAÇÃO 17 Sja, por xmplo, uma barra com uma rstrição axial na xtrmidad squrda, um carrgamnto axialmnt distribuído p uma força axial F aplicada na xtrmidad dirita, conform ilustra a Fig..1. Considr um dslocamnto axial virtual w ao longo da barra compatívl com a rstrição axial à dirita, ou sja, w x= =. Igualando os trabalhos virtuais xtrno intrno sobr a barra obtém-s: F wl) + L p w dx = barra N dw = L EA d dx u d w dx.45) dx ond N é a força axial, u é o dslocamnto axial ral EA é a rigidz axial da barra. Rarranjando os trmos nsta última quação rsulta a forma fraca do problma: L EA d dx w d dx u dx L w p dx F wl) =.46) Comntário.. O dslocamnto virtual w faz o papl d função pso ou d variacional d u, conform o método mprgado na obtnção da forma fraca, a rigidz EA o papl da função a..3. Métodos variacionais d aproximação Uma vz visto como chgar à forma fraca, rsta vr como obtr a solução aproximada, Equação.36. Conform o conjunto d funçõs scolhido para a função pso ou variacional d v) rlativamnt ao das funçõs d aproximação, dfin-s o método d obtnção da solução aproximada, como s vrá a sguir..3.1. O método d Rayligh-Ritz. Os coficints c j são obtidos substituindo a função pso w por uma das funçõs d aproximação φ i. Partindo da forma fraca abstrata: Bw, u) = lw) no método d Rayligh-Ritz, procura-s a solução: u N = N j=1 c jφ j + φ.47) qu a satisfaça. Para tanto é prciso dtrminar os coficints d Ritz, c j, pla susbtituição do par u N φ i na forma fraca, ou sja: Bφ i, N j=1 c jφ j + φ ) = lφ i ), i = 1,, 3,, N.48) a qual, uma vz suposta a bilinaridad do oprador B, torna-s: N j=1 Bφ i, φ j ) c j = lφ i ) Bφ i, φ ), i = 1,, 3,, N.49a) ou simplificadamnt, fazndo B ij = Bφ i, φ j ) F i = lφ i ) Bφ i, φ ): N j=1 B ij c j = F i, i = 1,, 3,, N.49b) Est dslocamnto virtual podria sr, por xmplo, o causado por uma força virtual qualqur aplicada à barra.

18. FORMULAÇÕES INTEGRAIS Esta xprssão rprsnta um sistma d N quaçõs algébricas a N incógnitas, os coficints c j, cuja solução é única dsd qu a matriz [B ij ] sja invrsívl. Um caminho altrnativo para s chgar à forma discrta do problma, Equacão.49a, part da minimização do sguint funcional: Iv) = 1 Bv, v) lv).5) com v rstrita ao spaço grado plo conjunto {φ i } N i=1, isto é, assum-s qu v sja da forma v = N j=1 v jφ j + φ. Nsts trmos, tm-s:, supondo qu o oprador bilinar sja simétrico: I v i vi=c i = N I v i =, i = 1,,, N.51) vi=c i j=1 Bφ i, φ j ) c j + Bφ i, φ ) lφ i ), i = 1,, 3,, N.5) Logo, chga-s ao msmo sistma d quaçõs algébricas, Equação.49a. As condiçõs d contorno naturais stão implicitamnt impostas na forma fraca. Já as ssnciais são impostas por mio d uma scolha apropriada d φ j φ, ou sja, stas dvm sr slcionadas d modo a vrificar: u x=x = u = φ x ).53a) φ j x=x =, j = 1,, 3,, N.53b) Esta última xigência, Equação.53b, dv-s à ncssidad da função pso sr homogêna no contorno ssncial. Outras xigências ao conjunto {φ i } N i=1 são ncssárias: 1) o conjunto dv sr suficintmnt difrnciávl para atndr o oprador bilinar B, ); ) a matriz [B ij ] dv sr invrsívl; 3) o conjunto dv sr complto, ou sja, dv sr capaz d rproduzir qualqur lmnto do spaço d função utilizado. Por xmplo, o conjunto d polinômios do sgundo grau {x, x } não é complto no spaço d polinômios do sgundo grau, pois não gra todo qualqur polinômio dss spaço, por xmplo, o polinômio x + x + 1..3.. O método dos rsíduos pondrados. O método dos rsíduos pondrados é uma gnralização do método d Rayligh-Ritz na qual as funçõs pso são scolhidas d um conjunto indpndnt do das funçõs d aproximação {φ i } N i=1. Partindo da quação difrncial do problma a valors no contorno, Equação.1, suponha qu a solução aproximada para la sja como na Equação.47. Substituindo sta última quação na pnúltima obtém-s o rsíduo: N ) r = Au N ) f = A c jφ j + φ f.54) j=1 Impõ-s finalmnt qu a intgral pondrada do rsíduo sja nula no domínio do problma:

.3. MÉTODOS VARIACIONAIS DE APROXIMAÇÃO 19 Ω ψ i r dω =.55) ond ψ i é a função d pondração, qu é distinta das φ j. As xigências para φ φ j é qu tnham drivadas não idnticamnt nulas até a ordm do oprador A, satisfaçam todas as condiçõs d contorno, sjam linarmnt indpndnts sjam d uma class d funçõs compatívl com o oprador difrncial da quação govrnant do problma. Na prática φ j satisfaz todas as condiçõs d contorno homogênas φ todas as não-homogênas. Comntário.3. Obsrv qu as xigências d continuidad do método dos rsíduos pondrados são mais svras qu as do d Rayligh-Ritz..3..1. O método d Ptrov-Galrkin. Quando ψ i φ i, o método dos rsíduos pondrados dnomina-s método d Ptrov-Galrkin. Supondo qu o oprador difrncial A da Equação.47 sja linar, pod-s rscrvr a Equação.55 como: ou simplsmnt: N j=1 [ ] ψ i Aφ j ) dω c j = Ω Ω ψ i f Aφ )) dω.56a) ond: : N A ij = F i = Ω j=1 A ij c j = F i.56b) Ω ψ i Aφ j ) dω A ji ψ i f Aφ )) dω.56c).56d).3... O método d Galrkin. Quando a função pso ψ i é igual à função d aproximação φ i, o método dos rsíduos pondrados é conhcido como método d Galrkin. Fazndo as dvidas adaptaçõs às Equaçõs.56, obtêm-s: ond: : N A ij = F i = Ω j=1 A ij c j = F i.57a) Ω φ i Aφ j ) dω A ji φ i f Aφ )) dω.57b).57c) Os métodos d Galrkin d Rayligh-Ritz difrm ntr si quanto ao uso da intgral pondrada. Enquanto no primiro a solução aproximada é imposta dirtamnt na intgral pondrada, no sgundo la é introduzida na forma fraca. Logo, o método d Galrkin tm xigências mais svras quanto à ordm d difrnciação

. FORMULAÇÕES INTEGRAIS das funçõs φ i. Cab obsrvar também qu no método d Galrkin as funçõs φ i dvm satisfazr todas as condiçõs d contorno homogênas φ todas as nãohomogênas. Ambos os métodos, Rayligh-Ritz Galrkin, obtêm a msma solução quando: 1) ambos utilizam as msmas funçõs d aproximação φ i ; ) as condiçõs d contorno são só ssnciais..3..3. O método dos mínimos quadrados. Nst método obtêm-s os coficints c i da solução aproximada minimizando a intgral do quadrado do rsíduo no domínio do problma, a qual s torna uma função N-dimnsional: F c i ) = Logo, procuram-s os coficints c i qu satisfaçam: ou simplsmnt: Ω r dω.58) F = r r dω =.59) c i Ω c i Ω r c i r dω =.6) Obsrv a smlhança ntr as Equaçõs.6.55. A difrnça stá m qu a função pso é spcífica na primira, a drivada do rsíduo m rlação ao coficint c i, nquanto nsta última la é qualqur dsd qu rspitadas as rstriçõs do método dos rsíduos pondrados. Após substituir a aproximação xprssa pla Equação.47 na Equação.6, supondo qu o oprador difrncial A sja linar obsrvando qu: ψ i = pod-s rscrvr a Equação.6 como: N j=1 c j ou m forma compacta: Ω Aφ i ) Aφ j ) dω = c i r = Aφ i ).61) Ω Aφ i ) f Aφ )) dω.6) ond: : N A ij = A ji = F i = Ω j=1 A ij c j = F i.63) Ω Aφ i ) Aφ j ) dω.64) Aφ i ) f Aφ )) dω.65) Comntário.4. A matriz [A ij ] é simétrica a ordm do oprador difrncial na Equação.64 é a própria do oprador A, isto é, o método dos mínimos quadrados xig suavidad mais svra para as funçõs φ i do qu o método d Rayligh-Ritz.

.3. MÉTODOS VARIACIONAIS DE APROXIMAÇÃO 1.3..4. O método da colocação. O método da colocação é um caso particular do método dos rsíduos pondrados no qual a função pso é a função dlta d Dirac: cuja uma d suas propridads é: Ω ψ i = δx x i ).66) fx) δx x i ) dω = fx i ), x i Ω.67) Logo, substituindo no método dos rsíduos pondrados a função pso pla função dlta d Dirac tm-s: Ω δx x i ) rx) dω = rx i ) =.68) Aplicando a aproximação dada pla Equação.47 nsta última rsulta: Caso o oprador A sja linar, tm-s: N ) A φ jx i ) c j + φ x i ) fx i ) =.69) j=1 ou simplificadamnt: N j=1 A φ jx i )) c j = fx i ) A φ x i )).7) N j=1 A ij c j = F i.71) Comntário.5. Obsrv qu A ij = A φ j x i )) A φ i x j )) = A ji, isto é, A ij não é simétrica. Além do mais, φ i dv sr difrnciávl até a ordm do oprador A.

CAPíTULO 3 Problmas a valors no contorno d a ordm 3.1. Introdução No capítulo antrior foram aprsntados os métodos d Rayligh-Ritz d Galrkin na solução d problmas a valors no contorno. Então, a solução aproximada foi obtida a partir d uma bas d funçõs analíticas. Entrtanto, o uso dstas limita a abrangência, pois torna-s difícil muitas vzs ajustá-las à gomtria às condiçõs d contorno. As funçõs d lmntos finitos, plo contrário, como s vrá, são facilmnt ajustávis à gomtria às condiçõs d contorno. Est capítulo aprsnta as funçõs d lmntos finitos unidimnsionais as aplica ao método d Rayligh-Ritz. 3.. Implmntação básica do método dos lmntos finitos MEF) Considr o problma unidimnsional a valors no contorno gnérico: submtido às condiçõs d contorno: d a d ) dx dx u + c u q =, x ], L[ 3.1a) u x= = u, 3.1b) a d u) = q 3.1c) dx x=l A sguir srão aprsntadas as tapas a s prcorrrm na implmntação do MEF. 3..1. 1 a Etapa: Obtnção da forma fraca. A forma fraca do problma a valors no contorno, Equação 3.1, é: L a d dx w d ) dx u + c w u dx L w q dx wl) q = 3.) cujas variávis primária scundária são rspctivamnt u d u. A primira dx formando part da condição d contorno ssncial do problma a sgunda da natural. Em x =, ond ocorr a condição d contorno ssncial, xig-s qu a função d pso w sja nula, pois não s conhc a priori dx u aí. Comntário 3.1. Obsrv mais uma vz a rdução da ordm d difrnciação da forma fort, Equação 3.1a, para a forma fraca. 3

4 3. PROBLEMAS A VALORES NO CONTORNO DE a ORDEM Rscrvndo a Equação 3. nas formas bilinar linar, obtém-s o problma variacional associado: Bw, u) lw) = 3.3) 3... a Etapa: Aproximacão da solução. Dividindo o domínio do problma a valors no contorno xmplificado, intrvalo ], L[, m N sub-intrvalos, chamados lmntos ilustrados nas Figs. 3.1 3., nls dfinm-s funçõs aproximadoras ou funçõs intrpolants ou funçõs d forma), qu fundamntam o MEF como método aproximado para os problmas a valors no contorno. Figura 3.1. Malha d lmntos finitos unidimnsional: distribuição d lmntos nós coordnada global x. Figura 3.. Elmnto finito unidimnsional: distribuição d nós, comprimnto h coordnada local χ. 3...1. Funçõs d aproximação locais. 3...1.1. Funçõs linars. Considr a aproximação linar da solução u num lmnto qualqur obtida com o auxílio da Fig. 3.3 após um rarranjo dos trmos: u = x x h u 1 + x x 1 h u 3.4) Na quação acima aparcm as assim chamadas funçõs d intrpolação locais linars associadas aos nós 1 do lmnto, Fig. 3.4: ψ 1 = x x h ψ = x x 1 h d modo qu pod-s rscrvr a Equação 3.4 como: 3.5a) 3.5b)

3.. IMPLEMENTAÇÃO BÁSICA DO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS MEF) 5 Figura 3.3. Elmnto finito linar unidimnsional: aproximação linar da variávl dpndnt u m coordnadas globais x. Figura 3.4. Elmnto finito linar unidimnsional gnérico : funçõs d forma ψ 1x) ψ associadas aos valors nodais u 1 u. u = ψ 1u 1 + ψ u 3.6) 3...1.1.1. Drivadas. Faz-s ncssário conhcr a drivada das funçõs d forma linars locais, pois assim o xig a forma fraca do problma a valors no contorno. Logo, tomando as drivadas das Eqs. 3.5a 3.5b obtêm-s: cujos gráficos stão ilustrados na Fig. 3.5. d dx ψ 1 = ψ1 = 1 3.7a) h d dx ψ = ψ = 1 3.7b) h

6 3. PROBLEMAS A VALORES NO CONTORNO DE a ORDEM Figura 3.5. Elmnto finito linar unidimnsional gnérico : drivada das funçõs d forma ψ 1x) ψ associadas aos valors nodais u 1 u. : Comntário 3.. As funçõs ψ1 ψ vrificam: ψ1x) + ψx) = 1, x [x 1, x ] 3.8a) ψ1x 1) = ψx ) = 1 3.8b) ψ 1x ) = ψ x 1) = 3.8c) 3...1.. Funçõs quadráticas. Aprsntaram-s as funçõs d intrpolação linars unidimnsionais. Agora é a vz d aprsntar as quadráticas. Para isto considr novamnt a subdivisão do domínio m lmntos, Fig. 3.1. O lmnto finito quadrático possui 3 nós, conform ilustrado na Fig. 3.6. Procura-s um polinômio quadrático u qu intrpol uma função u qualqur nsss 3 nós, isto é, ux i ) = u x i ). Uma forma d obtê-lo é por mio dos polinômios d Lagrang d grau : Figura 3.6. Elmnto quadrático unidimnsional gnérico : disposição numração nodais locais. u x) = ψ 1x) ux 1) + ψ x) ux ) + ψ 3x) ux 3) 3.9a)

3.. IMPLEMENTAÇÃO BÁSICA DO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS MEF) 7 ond as funçõs d forma ψi x) são os polinômios d Lagrang xprssos a sguir ilustrados na Fig. 3.7: ψ1x) = x x )x x 3) x 1 x )x 1 x 3 ) = 1 x ) x 1 1 1 h α x x ) 1 h ψx) = x x 1)x x 3) x x 1 )x x 3 ) = 1 x x 1 1 x ) x 1 α1 α) h h ψ3x) = x x 1)x x ) x 3 x 1 )x 3 x ) = α x x 1 1 1 1 α) h α x x ) 1 h 3.9b) 3.9c) 3.9d) ond α stá indicado na Fig. 3.6. No caso spcífico m qu o nó local stá no cntro do lmnto ou α = 1/), as funçõs d forma tornam-s: ψ 1x) = 1 x ) x 1 1 x ) x 1 h h ψ x) = 4 x x 1 h ψ 3x) = x x 1 h 1 x ) x 1 h 1 x ) x 1 h 3.1a) 3.1b) 3.1c) Figura 3.7. Elmnto quadrático unidimnsional gnérico : gráficos das funçõs d forma locais ψ 1, ψ ψ 3.

8 3. PROBLEMAS A VALORES NO CONTORNO DE a ORDEM 3...1..1. Drivadas. As drivadas das funçõs d forma quadráticas locais são: d dx ψ 1 = ψ1 x x x 3 = x 1 x )x 1 x 3 ) = 1 x x 1 α d dx ψ = ψ x x 1 x 3 = x x 1 )x x 3 ) = 1 α1 α) h 1 h h ) 1 α 1 x ) x 1 h 3.11a) 3.11b) d dx ψ 3 = ψ3 x x 1 x = x 3 x 1 )x 3 x ) = α 1 α 1 h 1 α x x ) 1 h 3.11c) cujos gráficos stão ilustrados na Fig. 3.8. No caso spcífico m qu o nó local stá no cntro do lmnto ou α = 1/), as funçõs d forma tornam-s: ψ1 = 4 x x 1 3 ) h h 4 ψ ψ 3 = 4 1 x ) x 1 h h = 1 1 4 x ) x 1 h h 3.1a) 3.1b) 3.1c) Figura 3.8. Elmnto quadrático unidimnsional gnérico : gráficos das drivadas das funçõs d forma locais.

3.. IMPLEMENTAÇÃO BÁSICA DO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS MEF) 9 Comntário 3.3. As funçõs d forma quadráticas ψi x) vrificam: ψ 1 + ψ + ψ 3 = 1, x [x 1, x 3] 3.13a) ψ 1 x 1 + ψ x + ψ 3 x 3 = x, x [x 1, x 3] 3.13b), além do mais: ψ 1 x 1) + ψ x ) + ψ 3 x 3) = x, x [x 1, x 3] 3.13c) ψ 1x 1 ) = ψ x ) = ψ 3x 3 ) = 1 3.13d) ψ 1x ) = ψ 1x 3 ) = ψ x 1 ) = ψ x 3 ) = ψ 3x 1 ) = ψ 3x ) = 3.13) 3... Propridads das funçõs d forma locais. Os comntários 3. 3.3 apontam para umas propridads comuns às duas funçõs d forma aprsntadas, a linar a quadrática, qu podm sr stndidas ainda a outras. 3...1. Propridad dlta d Kronckr. Exig-s qu as funçõs d forma d lmntos finitos sjam intrpolants justamnt nos nós x j do lmnto. Dst modo, dado um lmnto finito unidimnsional com N nós um conjunto d igual númro d funçõs d forma a l associadas, {ψi }N i=1, tm-s: ψ i x j) = δ ij, x j {x 1, x,..., x N } 3.14) ond δ ij é o dlta d Kronckr, cuja simbologia s intrprta do sguint modo: δ ij = { 1, s i = j, s i j 3.15) Isto s justifica por qu a função aproximada u, por sr intrpolant, vrifica ncssariamnt: ux i ) = u x i ) x i {x 1, x,..., x N } 3.16) 3...3. Coordnadas locais. Proximamnt srá ncssário ralizar intgraçõs sobr cada lmnto, dcorrnts da forma fraca. Para tanto para uma rprsntação mais lgant dssas intgrais, convém mprgar m cada lmnto um sistma d coordnadas locais χ, conform ilustrado na 3.9. A transformação d coordnada do sistma global x para o local χ é, portanto: ou do sistma local para o global: χ = x x i 3.17a) x = χ + x i 3.17b) Sndo assim, as funçõs d intrpolação linars locais s rscrvm m trmos da coordnada local como: ψ 1χ) = 1 χ h 3.18a)

3 3. PROBLEMAS A VALORES NO CONTORNO DE a ORDEM Figura 3.9. Coordnadas locais χ do lmnto gnérico. ψ χ) = χ h 3.18b) as quadráticas como: ψ 1χ) = ) 1 χh 1 χ ) α h ) ψχ) 1 χ = 1 χh α 1 α) ψ3χ) = α χ 1 α ond o fator α s xplica pla 3.6. No caso m qu α = 1/, tm-s: h h 1 χ ) α h ) ) ψ1χ) = 1 1 χh χh ψ χ) = 4 χ h 1 χ h ) ψ 3χ) = χ h 1 χ h ) 3.19a) 3.19b) 3.19c) 3.a) 3.b) 3.c) 3..3. 3 a Etapa: O modlo d lmntos finitos. Nsta última tapa a solução aproximada u é aplicada à forma fraca d cada lmnto. As quaçõs algébricas daí rsultants são postriormnt compatibilizadas mdiant condiçõs d continuidad quilíbrio nos nós comuns dos lmntos, rsultando um sistma d quaçõs algébricas cujas incógnitas são variávis nodais primárias ou scundárias. 3..3.1. Elmnto linar. Considr o lmnto finito linar ilustrado na 3., cujas funçõs d forma são dadas plas Equaçõs 3.18a 3.18b suas rspctivas drivadas por: d dχ ψ 1 = 1 h 3.1a)

3.. IMPLEMENTAÇÃO BÁSICA DO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS MEF) 31 d dχ ψ = 1 h 3.1b) Rstringindo o problma a valors no contorno, Equaçõs 3.1, ao lmnto acima tm-s m coordnadas locais, após algumas adaptaçõs: d a d ) dχ dχ u + c u q =, χ ], h [ 3.a) submtido às condiçõs d contorno naturais nos nós: Q 1 = Q = a d u), 3.b) dχ χ= a d dχ u) χ=h A forma fraca dst problma, gnricamnt dada por Bw, u) = lw), é: 3.c) ond: a d dχ w d ) dχ u + c w u dχ = w q dχ + w) Q 1 + wh ) Q Bw, l) = a d dχ w d ) dχ u + c w u dχ 3.3a) 3.3b) lw) = w q dχ + w) Q 1 + wh ) Q 3.3c) Admitindo como solução uma função localmnt no lmnto) aproximada d lmntos finitos u, isto é, da forma rprsntada pla Equação 3.6, tomando por funçõs pso as próprias funçõs d forma do lmntos finito, obtém-s da substituição na forma fraca: Bψ 1, ψ 1u 1 + ψ u ) = lψ 1) 3.4a) Bψ, ψ 1u 1 + ψ u ) = lψ ) ou, tndo m conta a linaridad do oprador bilinar: 3.4b) Bψ 1, ψ 1) u 1 + Bψ 1, ψ ) u = lψ 1) 3.4c), finalmnt, m forma matricial: ond: Bψ, ψ 1) u 1 + Bψ, ψ ) u = lψ ) [ ] { } K 11 K1 u 1 K 1 K u { } F = 1 F 3.4d) 3.4)

3 3. PROBLEMAS A VALORES NO CONTORNO DE a ORDEM K 11 = Bψ 1, ψ 1) = K 1 = K 1 = Bψ 1, ψ ) = K = Bψ, ψ ) = F 1 = lψ 1) = = a d ) d dχ ψ 1 dχ ψ 1 + c ψ1ψ 1 dχ a d ) d dχ ψ 1 dχ ψ + c ψ1ψ dχ a d ) d dχ ψ dχ ψ + c ψψ dχ ψ 1 q dχ + ψ 1) Q 1 + ψ 1h ) Q ψ 1 q dχ + Q 1 = f 1 + Q 1 3.5a) 3.5b) 3.5c) 3.5d) F = lψ ) = = ψ q dχ + ψ ) Q 1 + ψ h ) Q ψ q dχ + Q = f + Q 3.5) A Equação 3.4 é dnominada d modlo d lmntos finitos local, uma manira simplificada d rprsntá-lo é por mio da notação: [K ] {u } = {F } 3.6) ond [K ] é chamada d matriz d rigidz local ou do lmnto); {u } é o vtor d dslocamntos nodais do lmnto ou local); {F } é o vtor d carrgamntos nodais do lmnto ou local), qu por sua vz s dsdobra nos vtors d carrgamnto distribuído {f } concntrado {Q } locais ou do lmnto). 3..3.1.1. Conctividad dos lmntos. Para formar o modlo d lmntos finitos global é ncssário conctar os modlos locais ntr si. Isto s faz obsrvando umas condiçõs nos nós comuns ntr os lmntos: 1) Condição d continuidad: a variávl primária é contínua m qualqur nó da malha Fig. 3.1): u i = u = u +1 1 3.7) Figura 3.1. Continuidad da variávl primária m qualqur nó da malha.

3.. IMPLEMENTAÇÃO BÁSICA DO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS MEF) 33 ) Condição d quilíbrio: m cada nó s vrifica o balanço da variávl scundária Fig. 3.11): Q + Q +1 1 = {, s nnhuma força xtrna é aplicada no nó i. Q i, s uma força xtrna é aplicada no nó i. 3.8) Figura 3.11. Balanço da variávl scundária m qualqur nó da malha. Comntário 3.4. O trmo Equilíbrio na sgunda condição é mais apropriado para o caso m qu as variávis scundárias são forças ou momntos. No caso m qu las sjam fluxos, como m problmas d transfrência d calor, a sgunda condição torna-s um balanço d fluxos d ntrada saída no nó provnints dos lmntos adjacnts ou d font ou sorvdor localizado nss msmo nó. Tomm-s agora dois lmntos finitos adjacnts ao nó i d uma malha, conform indicado na 3.1. As quaçõs do modlo d lmntos finitos dos dois lmntos, + 1, associadas ao nó comum i são: K 1 u 1 + K u = f + Q 3.9a) K +1 11 u +1 1 + K 1 u +1 = f +1 1 + Q +1 1 3.9b) Figura 3.1. Modlos d lmntos finitos d dois lmntos adjacnts ao nó i. Somando stas duas quaçõs:

34 3. PROBLEMAS A VALORES NO CONTORNO DE a ORDEM K 1 u 1 + K u + K +1 11 u +1 1 + K +1 1 u +1 = f + f +1 1 + Q + Q +1 1 3.3a) Tndo m conta agora as duas condiçõs acima obtém-s: K 1 u i 1 + K + K +1 11 ) u i + K +1 1 u i+1 = f + f +1 1 + Q i 3.3b) Para os nós xtrmos da malha tm-s as duas sguints quaçõs, obtidas da aplicação do modlo d lmntos finitos aos lmntos xtrmos da malha, 1 + 1: K 1 11 u 1 1 + K 1 1 u 1 = f 1 1 + Q 1 1 3.31a) K E 1 u E 1 + K E u E = f E + Q E 3.31b) qu, após aplicar as duas condiçõs, a d continuidad d quilíbrio, rsultam nstas duas outras quaçõs: K 1 11 u 1 + K 1 1 u = f 1 1 + Q 1 3.31c) K E 1 u E 1 + K E u E = f E + Q E 3.31d) As Equaçõs 3.3b, 3.31c 3.31d formam o sguint sistma d N quaçõs algébricas, ond N é o númro d nós da malha: ond: [K]{u} = {F } 3.3) K11 1 K 1 1 K1 1 K 1 + K11 K1 K1 K + K11 3 K1 3 [K] = K1 3 K 3 + K11 4.... K E 1 + K11 E K1 E K1 E K E 3.33a) {u} = f1 1 + Q 1 1 f f 1 + f1 + Q 1 + Q 1 1 + Q 1 1 f f + f1 3 + Q + Q 3 1 + f1 + Q 1 f + f1 3 + Q 3 {F } = =.. f E 1 + f1 E + Q E 1 + Q E 1 f E 1 f E + Q E + f1 E + Q N 1 f E + Q N u 1 u u 3.. u E 3.33b) 3.33c)

3.. IMPLEMENTAÇÃO BÁSICA DO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS MEF) 35 Estas quaçõs corrspondm à matriz d rigidz, vtor d dslocamntos vtor d carrgamntos globais do modlo d lmntos finitos d uma malha unidimnsional cujos nós são numrados squncialmnt d 1 até N = E + 1. Not-s a sobrposição das E matrizs d rigidz vtors d carrgamntos locais. Cada coficint d um ou outro s sobrpõ a um da matriz ou vtor global. Dsta forma a matriz d rigidz ou vtor d dslocamntos global pod sr obtida a partir dos sus corrspondnts locais da matriz d conctividad [B] dos nós dos lmntos da malha. Esta matriz é formada d tal modo qu a -ésima linha s compõ dos N índics numéricos globais dos nós locais do lmnto. Por xmplo, a matriz d conctividad d uma malha unidimnsional d E lmntos finitos linars sria formada a partir das duas útlimas colunas da Tabla 3., forncndo: Numração local Elmnto ➊ ➋ 1 1 3 3 3 numração global 4. N 1. N 1 Tabla 3.1. Formação da matriz d conctividad: m cada linha da tabla tm-s a numração global dos nós 1 locais d cada lmnto.. N 1 3 [B] = 3 4.. N 1 N 3.34) Para ilustrar mlhor o papl da matriz d conctividad, considr o lmnto númro 11 d uma malha composta d lmntos linars portanto, com nós por lmnto). A linha corrspondnt da matriz d conctividad srá constituída plos índics 9 15, significando qu o nó 1 local dss lmnto corrspond ao nó 9 global o nó local ao 15 global, Figura 3.13. Dst modo o coficint K 11 matriz d rigidz local s sobrporia ao coficint K 99 da matriz global; o K 11 K 9 15 ; o K1 11 ao K 15 9 ; o K 11 11 da 1 ao ao K 15 15, Figura 3.14. D igual forma o coficint f1 11 do vtor d carrgamnto distribuído local s sobrporia ao coficint f 9 do vtor global o f 11 ao f 15, Figura 3.15. 3..3.. Elmnto quadrático. Considr o lmnto quadrático d uma malha d lmntos finitos, Fig. 3.6. No sistma d coordnadas locais as funçõs d forma quadráticas são dadas plas Eqs. 3.19. O problma a valors no contorno rstrito ao lmnto torna-s: d a d ) dχ dχ u + c u q =, χ ], h [ 3.35a) submtido às condiçõs d contorno naturais nos nós: Q 1 = a d u), 3.35b) dχ χ=

36 3. PROBLEMAS A VALORES NO CONTORNO DE a ORDEM Figura 3.13. Matriz d conctividad [B]: dstaqu para a numração global dos nós do lmnto 11. Figura 3.14. Ilustração da conctividad da matriz d rigidz local [K 11 ] na matriz d rigidz global [K]. Figura 3.15. Ilustração da conctividad do vtor d carrgamnto local [F 11 ] no vtor d carrgamnto global [F ]. Q 3 = a d dχ u) χ=h A solução aproximada no lmnto adquir a forma: 3.35c)

3.. IMPLEMENTAÇÃO BÁSICA DO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS MEF) 37 u = ψ 1u 1 + ψ u + ψ 3u 3 3.36) A forma fraca do problma rstrita ao lmnto, gnricamnt dada por Bw, u) = lw), é: ond: a d dχ w d ) dχ u + c w u dχ = w q dχ + w) Q 1 + wh ) Q 3 Bw, l) = lw) = a d dχ w d ) dχ u + c w u dχ w q dχ + w) Q 1 + wh ) Q 3 3.37a) 3.37b) 3.37c) As funçõs d pondração são as msmas das d aproximação plo fato d s star utilizando o método d Rayligh-Ritz das condiçõs d contorno srm ssnciais: {ψi }3 i=1. Substituindo, pois, a solução aproximada as funçõs d pondração uma a uma na forma fraca obtêm-s: Bψ 1, ψ 1)u 1 + Bψ 1, ψ )u + Bψ 1, ψ 3)u 3 = lψ 1) 3.38a) Bψ, ψ 1)u 1 + Bψ, ψ )u + Bψ, ψ 3)u 3 = lψ ) 3.38b) ou matricialmnt: ond: : Bψ 3, ψ 1)u 1 + Bψ 3, ψ )u + Bψ 3, ψ 3)u 3 = lψ 3) K11 K1 K13 K1 K K3 K31 K3 K33 K ij = Bψ i, ψ j ) = u 1 u u 3 = F1 F F3 3.38c) 3.39) a d ) d dχ ψ i dχ ψ j + c ψi ψj dχ 3.4) F i = lψ i ) = ψ i q dχ + ψ i ) Q 1 + ψ i h ) Q 3 3.41) Em razão da propridad dlta d Kronckr, sta última dsdobra-s m: F1 = F = F3 = ψ 1 q dχ + Q 1 ψ q dχ ψ 3 q dχ + Q 3 A Eq. 3.39 scrv-s simplificadamnt como: 3.4a) 3.4b) 3.4c)

38 3. PROBLEMAS A VALORES NO CONTORNO DE a ORDEM [ K ] { u } = { F } 3.43) qu é o modlo d lmntos finitos local d um lmnto quadrático gnérico. Obsrv qu a matriz d rigidz, o vtor dslocamnto o vtor d carrgamnto locais têm dimnsão 3 3, 3 1 3 1, rspctivamnt. 3..3..1. Conctividad dos lmntos. Sobr a conctividad dos lmntos quadráticos, obsrv qu agora são 3 nós, sndo dois nas xtrmidads um intrno ao lmnto. Est último não s concta com outro lmnto além daqul ao qual l prtnc. Só os nós xtrmos ftivamnt conctam-s a outros lmntos. A matriz d conctividad do lmnto quadrático é muito smlhant ao do lmnto linar. As linhas corrspondm a cada um dos lmntos as colunas, qu agora são 3, a cada um dos nós locais do lmnto. A Tab. 3. ilustra a formação da matriz d conctividad d uma malha d E lmntos quadráticos obsrv a ordm não squncial d numração dos nós globais), a partir da qual obtém-s: 1 4 5 3 6 [B] = 8 9 7... N 5 N 3 N 3.44) Numração local Elmnto ➊ ➋ ➌ 1 3. E 1 8. N 5 4 3 9. N 3 5 6 7. N = E + 1 Tabla 3.. Formação da matriz d conctividad: m cada linha da tabla tm-s a numração global dos nós 1, 3 locais d cada lmnto. A matriz d rigidz o vtor d carrgamnto locais, por xmplo, do lmnto da malha rfrida acima s distribuiriam plas rspctivas matriz d rigidz vtor d carrgamnto globais conform ilustra as Figs. 3.16 3.17. 3..4. Imposição das condiçõs d contorno. 3..4.1. Imposição das variávis primárias. A variávl primária prscrita no contorno é imposta dirtamnt no vtor d dslocamnto {u}, dado qu os sus valors nodais são facilmnt dtrminados por intrpolação, ou sja: u = u +1 1 = u i = ux i ) 3.45) A fim d ilustrar a imposição das variávis primárias no contorno, tom como xmplo o problma ilustrado na Fig 3.18. Na malha proposta tm-s dslocamntos nulos prscritos nos nós 1 5, ou sja, tm-s conhcidos os valors da variávl primária nsts nós: u 1 = u 5 =. As dmais variávis primárias são incógnitas do problma.

3.. IMPLEMENTAÇÃO BÁSICA DO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS MEF) 39 Figura 3.16. Ilustração da conctividad da matriz d rigidz local [K ] na matriz d rigidz global [K]. Figura 3.17. Ilustração da conctividad do vtor d carrgamnto local [F ] no vtor d carrgamnto global [F ]. Figura 3.18. Barra bi-apoiada axialmnt carrgada. 3..4.. Imposição das variávis scundárias: fluxos ou forças concntradas xtrnas. Os fluxos ou forças concntradas xtrnas, s houvr, são insridos no vtor d carrgamnto concntrado {Q}. Quanto à localização do ponto font ou d aplicação para s analisar: ponto coincidnt num nó xtrmo ponto não coincidnt num nó xtrmo do lmnto. Ants porém, srá visto como tratar fluxos forças concntradas como um caso particular d distribuição dos msmos. 3..4..1. Fluxo ou forças concntradas como distribuição. Uma força ou fluxo concntrado podm sr rprsntados por mio d uma distribuição spcial, mais spcificamnt, como o produto da intnsidad da força ou fluxo pla função dlta d Dirac dfinida na Eq. 3.46 a sguir ilustrada na Fig. 3.19: δx x ) := {, x x, x = x 3.46a)

4 3. PROBLEMAS A VALORES NO CONTORNO DE a ORDEM : + 1 δx x ) dx := lim x x x = 1 3.46b) Figura 3.19. Função dlta d Dirac no ponto x. Dcorr dsta dfinição a sguint propridad: + 1 fx) δx x ) dx = lim fx) x x x x x x = fx ) 3.47) para toda função f : x fx), R R, dfinida m x. Uma força ou um fluxo concntrado pod sr dfinido como a distribuição dada por q = Q δx x ), ond x é a coordnada do ponto font ou d aplicação Q é a sua intnsidad. Logo, ao ralizar, num lmnto qualqur, a intgral no trmo lψi ) da forma fraca para st tipo d distribuição, dcorr da propridad acima qu: lψ i ) = q ψ i dχ = Q δχ χ ) ψ i dχ = Q ψ i χ ) 3.48) 3..4... Ponto font ou d aplicação coincidnt num nó xtrmo d lmnto. Nst caso tm-s plo balanço d fluxos ou quilíbrio d forças no nó, por xmplo, i Fig 3.): Q N + Q +1) 1 = Q 3.49) ond Q é a intnsidad do fluxo ou força no nó. 3..4..3. Ponto font ou d aplicação não coincidnt num nó xtrmo d lmnto. Nst caso, supondo qu o ponto stja no intrior do lmnto da malha Fig. 3.1), o trmo lψi ) corrspondnt à distribuição dlta d Dirac da font ou força concntrada Q no ponto χ é: lψ i ) = f i = Q δχ χ ) ψ i dχ = Q ψ i χ ) 3.5) S no lmnto ainda houvr o carrgamnto ou fluxo distribuído q, tm-s:

3.. IMPLEMENTAÇÃO BÁSICA DO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS MEF) 41 Figura 3.. Ponto font ou d aplicação coincidnt com o nó xtrmo tanto do lmnto como do + 1. lψ i ) = q + Q δχ χ )) ψ i dχ = f i + Q ψ i χ ) 3.51) Um caso particular é o do ponto font ou d aplicação coincidnt com um nó intrno do lmnto, ou sja, χ = χ j : lψ i ) = { Q δχ χ j ) ψi dχ = Q ψi Q, s χ χ j ) = Q δ ij = i = χ j, s χ i χ j 3.5) Figura 3.1. Ponto font ou d aplicação não coincidnt com o nó xtrmo do lmnto. No xmplo ilustrado na Fig. 3.18, o vtor d carrgamnto concntrado global tm conhcidas as componnts: Q = Q 5 = Q 3 = Q, as dmais, Q 1 Q 5, incógnitas, as quais corrspondm às forças rativas nos apoios. 3..4.3. Solução do sistma d quaçõs algébricas. Nsta altura o modlo d lmntos finitos global s ncontra na forma d um sistma d quaçõs algébricas linars m qu part das incógnitas s ncontra no primiro mmbro variávis primárias) outra no sgundo mmbro variávis scundárias). Uma forma lgant prática d rsolvr tal sistma é rarranjar as suas linhas colunas d tal manira a obtr dois subsistmas d quaçõs, um dsacoplado outro acoplado. Explica-s a sguir st rarranjo. Partindo do sistma algébrico, Eq. 3.3, sjam {u 1 } o vtor das variávis primárias conhcidas, {u } o das variávis primárias incógnitas, {Q 1 } o das variávis scundárias incógnitas {Q } o das variávis scundárias conhcidas. Dst modo rsulta o sistma rarranjado: [ ] { } [K 11 ] [K 1 ] {u 1 } [K 1 ] [K ] {u = } cujos subsistmas citados são rspctivamnt: { } {f 1 } {f } 3.53) [K 11 ]{u 1 } + [K 1 ]{u } = {f 1 } 3.54a)

4 3. PROBLEMAS A VALORES NO CONTORNO DE a ORDEM : [K 1 ]{u 1 } + [K ]{u } = {f } 3.54b) Obsrv qu o primiro subsistma tm como incógnitas os vtors {u } {f 1 } o sgundo apnas o vtor {u }. Além disso, st último é dtrminado, ou sja: {u } = [K ] 1 {f } [K 1 ]{u 1 } ) 3.55) Lvando st rsultado ao outro subsistma, obtém-s o vtor incógnito {f 1 }: {f 1 } = [K 11 ]{u 1 } + [K 1 ][K ] 1 {f } [K 1 ]{u 1 } ) 3.56) Comntário 3.5. As soluçõs acima são apnas tóricas. Na prática não convém invrtr matrizs, principalmnt no MEF, pois a matriz a invrtr é gralmnt d dimnsõs ntr médias a grands, lvando sobrmanira o custo computacional. Há técnicas bm mnos custosas para a solução d sistma d quaçõs algébricas. 3..4.4. Pós-procssamnto da solução. No pós-procssamnto os rsultados são aprsntados para anális. Consquntmnt, para cada tipo d problma abordado as informaçõs as formas d aprsntá-las são próprias. No ntanto, algumas são comuns aos divrsos problmas são aprsntadas a sguir. As variávis primárias ou scundárias podm sr aprsntadas na forma d tabla, gráfico ou mapa d cors, conform ilustrado na Tab. 3.3 Figs. 3. 3.3, rspctivamnt. nó u [m] N [N] 1, E + 6, 36E + 3 1, 895E 4 4, 49E + 3 3, 44E 4, 78E + 4 3, 635E 4 1, 13E + 5 3, 85E 4, 55E + 1 6 3, 883E 4, E + Tabla 3.3. Dslocamntos u) forças axiais N) nodais. Para o gráfico ou mapa d cors da variávl primária ou scundária, faz-s ncssário mprgar a solução local lmnto a lmnto assim compor a solução global sua drivada m toda a malha para futuras análiss: : u = u 1 = n 1 j=1 ψ1 j u1 j u = n j=1 ψ j u j. u E = n E j=1 ψe j ue j u 1 = n 1 u = j=1 ψ1 j u 1 j u j u = n j=1 ψ j 3.57a) 3.57b). u E = n E j=1 ψe j u E j

3.. IMPLEMENTAÇÃO BÁSICA DO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS MEF) 43 Figura 3.. Aprsntação da variávis primária dslocamnto) scundárias força) m forma gráfica. Obsrv, no ntanto, qu havrá dscontinuidad da variávl scundária nos nós comuns a dois ou mais lmntos, qur tnham ou não força ou fluxo xtrno, dvido à mnor xigência d continuidad ntr lmntos. Para o cálculo dos valors nodais da variávl scundária há duas formas d procdr: 1) Simplsmnt tomar a drivada da solução aproximada local nos nós d cada lmnto: u j = u x j) = n j=1 ψ j x j)u j 3.58), após, mprgar a quação d balanço ou d quilíbrio nodal, Eq. 3.8, para assim obtr o valor da variávl scundária no nó: ) Rcorrr às quaçõs d quilíbrio, Eq. 3.56.

44 3. PROBLEMAS A VALORES NO CONTORNO DE a ORDEM Figura 3.3. Aprsntação da variávl primária tmpratura) m forma d mapa d cors. A primira é mais mprgada porqu consom mnos mmória do procssador fac à sgunda, pois nsta as matrizs [K 1 ] [K ] são, m gral, altradas plos métodos d solução d sistmas algébricos linars para a obtnção d {u }, xigindo o armaznamnto dlas.

CAPíTULO 4 Flxão d vigas Nst capítulo são tratados os problmas a valors no contorno d 4 a ordm, spcificamnt os rlativos à toria d viga d Eulr-Brmoulli. 4.1. O lmnto d viga d Eulr-Brnoulli 4.1.1. A quação govrnant da dflxão d uma viga. Considr, sm prda d gnralidad, a viga m balanço mostrada na Fig. 4.1 submtida a um carrgamnto distribuído f à força ao momnto F M, rspctivamnt, aplicados na xtrmidad livr. Do quilíbrio d forças, dcorrm as conhcidas rlaçõs difrnciais ntr momnto fltor, força cortant carrgamnto distribuído, os primiros dnotados rspctivamnt por M V 1 : V = d dx M f = d dx M 4.1a) 4.1b) Figura 4.1. Viga m balanço com carrgamnto distribuído força momnto aplicados na xtrmidad livr. A toria d Eulr-Brnoulli, por lado, fornc a rlação ntr a dflxão v o momnto fltor M: M = EI d dx v 4.) ond EI é a rigidz à flxão da viga. Substituindo a Eq. 4. na Eq. 4.1b obtém-s a quação difrncial d 4 a ordm qu govrna o comportamnto da dflxão ao longo da viga: Fig. 4. 1 Convncionalmnt srão adotados aqui os sinais para f, V M conform o indicado na 45

46 4. FLEXÃO DE VIGAS Figura 4.. Convnção d sinal para os sforços intrnos. d ) EI d dx dx v = f, x ], L[ 4.3) Por s tratar d uma quação difrncial d 4 a ordm, são ncssárias 4 condiçõs d contorno para a s obtr solução única para o problma. 4.1.. O lmnto d viga. O lmnto d viga é um sgmnto d viga com dois nós, rsultant da divisão da viga m intrvalos. A runião d todos sss lmntos forma a malha, Fig. 4.3. Em cada nó há dois graus d librdad, a dflxão v a rotação θ. Tomado isoladamnt do rstant da viga, o lmnto d viga fica sujito ao carrgamnto distribuído às forças cortants aos momntos fltors nas suas xtrmidads, conform ilustrado na Fig. 4.4. Figura 4.3. Malha d lmntos finitos para uma viga: nós lmntos. O problma a valors no contorno associado ao lmnto d viga é dado pla quação difrncial da viga d Eulr-Brnoulli, Eq. 4.3, rstrita ao lmnto, mais as condiçõs d contorno naturais nos nós. Em trmos da coordnada local χ isto fica: d ) EI d dχ dχ v = f, χ ], h [ 4.4a)

4.1. O ELEMENTO DE VIGA DE EULER-BERNOULLI 47 Figura 4.4. Elmnto d viga d Eulr-Brnoulli gnérico. [ d V1 = Q 1 = EI v)] d dχ dχ χ= 4.4b) M1 = Q = EI v) d dχ χ= [ d V = Q 3 = EI v)] d dχ dχ χ=h 4.4c) 4.4d) M = Q 4 = EI d dχ v) χ=h 4.4) 4.1..1. A forma fraca do problma rstrito ao lmnto. A forma fraca do problma obtém-s aplicando a intgral pondrada à Eq. 4.4a: [ d dχ ) ] EI d dχ v f w dχ = 4.5) ond w é a função d pondração. Fazndo uso d uma das rlaçõs intgrais dcorrnts da intgração por parts, Eq..1, obtém-s: EI d dχ w d h [ ) d dχ v dχ = w f dχ + EI dχ w d dχ v w d EI d dχ dχ v 4.6) Substituindo nsta última xprssão as condiçõs d contorno naturais, Eqs. 4.4, rsulta a forma fraca da viga d Eulr-Brnoulli: )] h EI d dχ w d + w)q 1 + dχ v dχ = ou m forma compacta: w f dχ+ d w) Q dχ χ= + wh )Q 3 + d w) Q 4 4.7) dχ χ=h

48 4. FLEXÃO DE VIGAS ond: Bw, v) = lw) 4.8a) Bw, v) = EI d dχ w d dχ v dχ 4.8b) lw) = w f dχ+ + w)q 1 + d w) Q dχ χ= + wh )Q 3 + d w) Q 4 dχ χ=h 4.8c) Comntário 4.1. A forma fraca também pod sr obtida plo método variacional, minimizando a nrgia potncial da viga, ou plo método dos trabalhos virtuais. 4.1... Funçõs d intrpolação. A forma fraca dst problma, Eq.4.7, xig qu as funçõs d intrpolação sjam d class C 1 Ω ), pois o oprador difrncial qu aparc nla é d a ordm. Por outro lado, a solução d lmntos finitos dv sr intrpoladora nos nós xtrmos, isto é, dv intrpolar os dois graus d librdad v θ nos nós: v ) = v 1 = u 1 4.9a) θ ) = v ) = θ 1 = u 4.9b) v h ) = v = u 3 4.9c) θ h ) = v h ) = θ = u 4 4.9d) Comntário 4.. Obsrv qu qualqur função intrpoladora satisfazndo as quaçõs acima garant qu a solução aproximada sja d class C 1 Ω ). Como há 4 condiçõs a satisfazr, Eq.4.9, dv-s mprgar um polinômio do 3 o grau como função d forma no lmnto: v = c + c 1 χ + c χ + c 3 χ 3 4.1) qu lva ao sguint sistma d quaçõs algébricas linars, uma vz substituído nssas condiçõs: v 1 = v ) = c 4.11a) θ 1 = v ) = c 1 4.11b) v = v h ) = c + c 1 h + c h + c 3 h 3 4.11c) θ = v h ) = c 1 c h 3c 3 h 4.11d)

4.1. O ELEMENTO DE VIGA DE EULER-BERNOULLI 49 qu, uma vz rsolvido, prmit scrvr a aproximação como: cujas funçõs d forma ψ j v x) = u 1ψ 1 + u ψ + u 3ψ 3 + u 4ψ 4 = 4 j=1 ψ j u j 4.1) são xplicitadas a sguir ilustradas nas Figs. 4.5 4.6: ) ) 3 χ χ ψ1χ) = 1 3 + 4.13a) h h ψχ) = χ 1 χ ) 4.13b) h ) ) χ ψ3χ) = 3 χh h ψ 4χ) = h χ h ) 1 χ h ) 4.13c) 4.13d) Figura 4.5. Funçõs d forma associadas ao nó local 1. Ests polinômios prtncm à família d polinômios d Hrmit. Espcificamnt, são os polinômios cúbicos d Hrmit. Suas drivadas d 1 a a ordns são rspctivamnt: ψ1 χ) = 6 ) χ 1 χh h h 4.14a) ψ χ) = 1 + 4 χ ) χ 3 4.14b) h h ψ 3 χ) = ψ1 4.14c)

5 4. FLEXÃO DE VIGAS Figura 4.6. Funçõs d forma associadas ao nó local. ψ4 χ) = χ 3 χ ) h h 4.14d) : ψ1 χ) = 6 h 1 χh ) ψ χ) = 3 χ ) h h 4.15a) 4.15b) ψ 3 χ) = ψ1 ψ4 χ) = 1 3 χ ) h h As drivadas d primira ordm stão ilustradas nas Figs. 4.7 4.8. 4.1..3. Propridads das funçõs d forma. 4.1..3.1. Propridad dlta d Kronckr. ψ i 1χ j ) = δ ij, i, j = 1, 4.15c) 4.15d) 4.16a) ψ iχ j ) =, i, j = 1, 4.16b) ψ i 1 χ j ) =, i, j = 1, 4.16c) ψ i χ j ) = δ ij, i, j = 1, 4.16d) O sinal ngativo na Eq. 4.16d s dv à convnção d qu θ = d dχ v.

4.1. O ELEMENTO DE VIGA DE EULER-BERNOULLI 51 Figura 4.7. Drivada das funçõs d forma associadas ao nó local 1. Figura 4.8. Drivada das funçõs d forma associadas ao nó local. 4.1..3.. Propridad partição da unidad. ψ 1χ) + ψ 3χ) = 1, χ Ω 4.17) 4.1.3. O modlo local d lmntos finitos. Para construir o modlo d lmntos finitos d um lmnto d viga d Eulr-Brnoulli basta substituir a forma aproximada, Eq. 4.1, na forma fraca, Eq.4.7, rsultando:

5 4. FLEXÃO DE VIGAS 4 j=1 + ψ i )Q 1 + EI d dχ ψ i ) d dχ ψ j dχ u j = ψi f dχ+ d ) dχ ψ i Q χ= + ψi h )Q 3 + d dχ ψ i ) χ=h Q 4 4.18) Tndo m conta a propridad dlta d Kronckr, Eq. 4.16, sta última quação assum a forma do modlo d lmnto finitos local: 4 j=1 ou, m forma compacta: EI d dχ ψ i ) d dχ ψ j dχ u j = ψi f dχ + Q i 4.19) ond: 4 j=1 K iju j = f i + Q i 4.) : K ij = EI d dχ ψ i d dχ ψ j dχ 4.1a) f i = ψ i f dχ 4.1b) Matricialmnt, o modlo d lmntos d um lmnto d viga d Eulr-Brnoulli é: ou sintticamnt: K11 K1 K13 K14 K1 K K3 K4 K31 K3 K33 K34 K41 K4 K43 K44 u 1 u u 3 u 4 = f1 f f3 f4 + Q 1 Q Q 3 Q 4 4.) [K ]{u } = {f } + {Q } 4.3) No caso d EI f srm constants, a matriz d rigidz o vtor d carrgamnto distribuído scrvm-s rspctivamnt: : [K ] = EI h 3 6 3 h 6 3 h 3 h h 3 h h 6 3 h 6 3 h 3 h h 3 h h {f } = fh 1 6 h 6 h 4.4a) 4.4b)

4.1. O ELEMENTO DE VIGA DE EULER-BERNOULLI 53 4.1.4. O modlo global d lmntos finitos. Como visto no capítulo antrior, a construção do modlo d lmntos finitos global raliza-s por mio do modlo local da matriz d conctividad, é o qu srá fito aqui. Ants, porém, d dar início à construção do modlo, convém obsrvar qu a xigência d continuidad d class C 1 Ω) para a solução global é atndida plas funçõs d forma do lmnto d viga d Eulr-Brnoulli, pois a propridad dlta d Kronckr garant a continuidad da dflxão da rotação na transição d um lmnto a outro; rqur-s ainda o quilíbrio d forças momntos nos nós comuns a lmntos adjacnts. Para ilustrar a implmntação do modlo d lmntos finitos, vai-s rcorrr a um xmplo simpls, uma viga m balanço, ilustrada na Fig. 4.9, à qual aplica-s uma malha formada por apnas dois lmntos d viga. Figura 4.9. Viga m balanço uniformmnt carrgada malha d lmntos finitos associada. Distingum-s na malha proposta as sguints variávis primárias: scundárias: u 1 1 = U 1 u 1 = U u 1 3 = u 1 = U 3 u 1 4 = u = U 4 u 3 = U 5 u 4 = U 6 4.5a) 4.5b) 4.5c) 4.5d) 4.5) 4.5f) Q 1 1 = Q 1 = Y 1 Q 1 = Q = M 1 Q 1 3 + Q 1 = Q 3 = 4.6a) 4.6b) 4.6c)

54 4. FLEXÃO DE VIGAS Q 1 4 + Q = Q 4 = 4.6d) Q 3 = Q 5 = F 4.6) Q 4 = Q 6 = M 4.6f) O quilíbrio d sforços no nó 1 prmit scrvr a partir das Eqs. 4. 4.5 lvadas às Eqs. 4.6: K 1 11U 1 + K 1 1U + K 1 13U 3 + K 1 14U 4 = f 1 1 + Y 1 4.7a) K 1 1U 1 + K 1 U + K 1 3U 3 + K 1 4U 4 = f 1 + M 1 4.7b) no nó : K 1 31U 1 + K 1 3U + K 1 33 + K 11)U 3 + K 1 34 + K 1)U 4 + K 13U 5 + K 14U 6 = = f 1 3 + f 1 ) + Q 1 3 + Q 1) = f 1 3 + f 1 ) 4.7c) K 1 41U 1 + K 1 4U + K 1 43 + K 1)U 3 + K 1 44 + K )U 4 + K 3U 5 + K 4 U 6 = no nó 3: = f 1 4 + f ) + Q 1 4 + Q ) = f 1 4 + f ) 4.7d) K 31U 1 + K 3U + K 33U 3 + K 34U 4 = f 3 + F 4.7) K 41U 1 + K 4U + K 43U 3 + K 44U 4 = f 4 + M 4.7f) As quaçõs acima formam o modlo global d lmntos finitos para a malha m qustão. O modlo global d lmntos finitos é comumnt scrito m forma matricial: K11 1 K1 1 K13 1 K14 1 U 1 K1 1 K 1 K3 1 K4 1 U K31 1 K3 1 K33 1 + K11 K34 1 + K1 K13 K14 U 3 K41 1 K4 1 K43 1 + K1 K44 1 + K K3 K4 = U 4 K31 K3 K33 K34 U 5 K41 K4 K43 K44 U 6 f1 1 Q 1 f 1 1 f Q 1 1 1 f Q = + 1 3 + Q 1 1 f Q 1 4 + Q 3 = 1 + f1 f4 1 + f + f 1 3 + f 1 f 1 4 + f f 3 f 4 Q 3 Q 4 f 3 f 4 Y 1 M 1 F M 4.8) Na prática a matriz d rigidz o vtor d carrgamnto distribuído globais obtêm-s por mio dos sus corrspondnts locais da matriz d conctividad da malha. Quanto à montagm da matriz vtor globais, dv-s obsrvar qu cada par d linha ou coluna, tanto local como global, stá associado a um nó. As Figs. 4.1 4.11 ilustram a alocação da matriz d rigidz do vtor d carrgamnto distribuído locais nas rspctivas matriz vtor globais por mio da matriz d conctividad, xprssa abaixo, para uma malha d 15 lmntos:

4.1. O ELEMENTO DE VIGA DE EULER-BERNOULLI 55 1 8 3 7 [B] = 6 9.. 13 15 4.9) Figura 4.1. Alocação da matriz d rigidz local do lmnto 4 na matriz global. Cada submatriz local ocupa uma das rgiõs hachuradas. Figura 4.11. Alocação do vtor d carrgamnto distribuído local do lmnto 4 no vtor global. Cada subvtor local ocupa uma das rgiõs hachuradas. Supondo qu a malha ilustrada foss composta por dois lmntos d viga iguais, o modlo global d lmntos finitos sria:

56 4. FLEXÃO DE VIGAS EI h 3 6 3h 6 3h U 1 3h h 3h h U 6 3h 1 6 3h U 3 3h h 4h 3h h = U 4 6 3h 6 3h U 5 3h h 3h h U 6 6 h = fh + 1 1 6 h Q 1 1 Q 1 Q 1 3 + Q 1 Q 1 4 + Q Q 3 Q 4 4.3) 4.1.5. Imposição das condiçõs d contorno ou d apoio. Tom-s o xmplo da Fig.4.9. Tm-s nas xtrmidads da viga condiçõs d contorno ssnciais: U 1 = u 1 1 = v) = U = u 1 = θ) = d dx v = x= 4.31a) 4.31b) naturais: [ )] d Q 3 = EI d dx dx v = F 4.3a) x=l ) Q 4 = EI d dx v = M 4.3b) x=l Tm-s ainda no nó 1 os sforços rativos Y 1 M 1, ou sja: Q 1 1 = Y 1 4.33a) Q 1 = M 1 4.33b) no nó intrmdiário,, ausência d sforços, isto é: Q 1 3 + Q 1 = 4.34a) Q 1 4 + Q = 4.34b) O modlo global d lmntos finitos do xmplo m qustão, considrando malha d dois lmntos finitos iguais, aprsnta finalmnt a forma acabada, pronta para rsolução:

4.1. O ELEMENTO DE VIGA DE EULER-BERNOULLI 57 EI h 3 6 3h 6 3h 3h h 3h h 6 3h 1 6 3h 3h h 4h 3h h 6 3h 6 3h 3h h 3h h U 3 U 4 U 5 U 6 = = f h 1 6 h 1 + 6 h Y 1 M 1 F M 4.35) cujas incógnitas são as raçõs no ngast a dflxão a rotação nos dmais nós, rspctivamnt: Y 1, M 1, U 3, U 4, U 5 U 6. O quadro da Fig. 4.1 aprsnta as condiçõs d apoios a srm impostas, tanto cinmáticas como d sforços, para alguns tipos comuns d apoios. Figura 4.1. Condiçõs d apoio cinmáticas ou d sforço para alguns tipos d apoios. 4.1.6. Solução. Sgundo a stratégia d solução do sistma d quaçõs algébricas aprsntada no Capítulo 3, tm-s para o problma a valors no contorno m foco: [ K 11 ] = EI h 3 [ 6 ] 3h 3h h 4.36)

58 4. FLEXÃO DE VIGAS [ K 1 ] = EI h 3 [ K 1 ] = EI h 3 [ K ] = EI h 3 vtor d variávis primárias conhcidas: { } { U 1 = } [ 6 3h ] 3h h 4.37) 6 3h 3h h 4.38) 1 6 3h 4h 3h h 6 3h 6 3h 4.39) 3h h 3h h 4.4a) vtor d variávis primárias incógnitas: { } U = vtor d carrgamnto distribuído Q 1 : { Q 1 } = f h 1 vtor d carrgamnto distribuído Q : { Q } = f h 1 vtor d variávis scundárias incógnitas: U 3 U 4 U 5 U 6 { } 6 h 1 6 h 4.4b) 4.4c) 4.4d) { F 1 } = { Y1 M 1 } vtor d variávis scundárias conhcidas: { } F = F M 4.4) 4.4f) Substituindo stas xprssõs nas Eq. 3.55 3.56, aqui lmbradas, rsultam: { } U = [K ] 1 {F } [K 1 ]{U 1 } ) = 5F = 6 h h M 3h + 17 4 f h 3 9F h + 6M 7f h EI 16F h 1M h + 1f h 3 1F h + 1M 8f h : 4.41)

4.1. O ELEMENTO DE VIGA DE EULER-BERNOULLI 59 { } { } F 1 = [K 11 ]{U 1 } + [K 1 ]{U F } = f h F h + f h M 4.4) As raçõs Y 1 M 1 podriam sr dtrminadas altrnativamnt por: Y 1 = Q 1 1 = d EI w) d dx dx x= d 3 = EI = dx 3 ψ1 3 U 3 + d3 dx 3 ψ1 4 U 4) = F x= 3 f h 4.43a) M 1 = Q 1 = EI w) d dx x= = d = EI dx ψ1 3 U 3 + d dx ψ1 4 U 4) = M + F h + x= 3 1 f h 4.43b) Estas últimas difrm das antriors, Eq. 4.4, d 1 f h 1 1 f h, rspctivamnt. Na prática, como a difrnça ntr ambas as altrnativas são rspctivamnt da ordm d oh) oh ), à mdida qu s diminui o tamanho h dos lmntos ou s rfina a malha, ambas altrnativas tndm ao msmo valor. 4.1.7. Pós-procssamnto da solução. Em cada lmnto da malha podms obtr informaçõs útis para anális como a dflxão, a dclividad, a força cortant ou o momnto fltor, cujos modos d obtnção são aprsntados a sguir. 4.1.7.1. Dflxão. A dflxão m cada lmnto dcorr dirtamnt da Eq. 4.1, já qu os valors nodais globais da dflxão da dclividad foram dtrminados s cuidou da condição d continuidad ntr lmntos ao longo do procsso d solução do modlo d lmntos finitos. 4.1.7.. Dclividad. A dclividad m cada lmnto dcorr da difrnciação da dflxão obtida aí. Pla msma razão apontada antriormnt, a dclividad é contínua ntr lmntos. Por causa da difrnciação, o gráfico dla no lmnto é um arco d parábola. 4.1.7.3. Momnto fltor. O momnto fltor m cada lmnto obtém-s pla difrnciação d a ordm da dflxão multiplicada pla rigidz à flxão no lmnto, suposta uniform nl, Eq. 4.44. A continuidad ntr lmntos já não é mais obsrvada. Admais, o gráfico do momnto no lmnto é uma rta, isto é, o aspcto do gráfico d momnto fltor ao longo do domínio é d uma srra. M = EI) d dx u = EI) 4 j=1 d dx ψ j u j 4.44) 4.1.7.4. Força cortant. A força cortant m cada lmnto, por sua vz, é obtida da difrnciação do momnto fltor. A Eq.4.45 tm m conta a homognidad da rigidz flxural no lmnto. Não há garantia d continuidad da força cortant ntr lmntos. O gráfico dla ao longo do domínio lmbra uma scada irrgular. V = d dx M = EI) d3 dx 3 u = EI) 4 j=1 d 3 dx 3 ψ j u j 4.45)

6 4. FLEXÃO DE VIGAS 4.1.7.5. Tnsõs. Um brv comntário sobr a obtnção das tnsõs ao longo da viga. D poss do momnto fltor da força cortant, pod-s conhcr o stado d tnsão, s for o caso, também o d dformação, m toda viga. A distribuição das tnsõs normais d cisalhamnto, bm como as dformaçõs linars angulars, podm sr xprssas na forma d mapas d cors. Para a anális d falha d matrial dútil é dsjávl aprsntar também o diagrama d cors da distribuição d tnsão d von Miss. 4.1.7.6. Raçõs d apoio. As raçõs nos apoios são obtidas conform o indicado na Sção 3..4.4. Caso s adot a primira altrnativa, o apoio stando num nó comum a dois lmnto por xmplo, os lmntos + 1), rcorr-s à Eq. 3.58 para s dtrminar Q 3 ou 4 Q 1 ou dpois mprgá-los na condição d quilíbrio obtr a ração nss apoio. 4.. Elmntos d trliça d pórtico Numa trliça ou strutura rticulada, Fig. 4.13, as pças podm assumir divrsas dirçõs. Como a matriz d rigidz os vtors d dslocamnto d carrgamnto são dfinidos para um sistma d coordnadas orintadas localmnt m rlação ao lmnto, é ncssário rprsntá-los num sistma d coordnadas comum, dnominado global, para qu haja corência física ao s montar a matriz d rigidz os vtors d carrgamnto globais. Dita corência diz rspito às componnts dos vtors d dslocamnto sforço nodais dos lmntos da malha, qu só podm sr corrtamnt adicionadas s rfridas todas a um msmo sistma d coordndas, o sistma d coordnadas globais. A Fig. 4.14 ilustra os sistmas d coordnadas locais globais. A xigência d um sistma d coordnadas comum lva a rprsntaçõs das matrizs locais nss sistma comum, obtidas por mio d transformaçõs, mostradas a sguir. Figura 4.13. Trliça squrda) pórtico dirita). 4..1. Transformacão d coordnadas. Considr na Fig. 4.14 o vtor v suas componnts no sistma d coordnadas cartsianas globais xyz, orintadas positivamnt. O sistma d coordnadas locais, xȳ z, aprsntado na msma figura, tm m comum com o primiro sistma o ixo z = z, ou sja, o par d ixos x ȳ são coplanars aos ixos x y. Com a auxílio da Fig. 4.14, a dcomposição das componnts v x, v y v z no sistma local lva rspctivamnt a: v x = v x cos α + v y sn α 4.46a) Vtor aqui dv sr intrprtado no sntido strito d sgmnto orintado no spaço com magnitud, dirção sntido.

4.. ELEMENTOS DE TRELIÇA E DE PÓRTICO 61 Figura 4.14. Sistmas d coordnadas locais traço pontilhado) globais traço chio). ou matricialmnt: vȳ = v x sn α + v y cos α v z = v z 4.46b) 4.46c) v x vȳ v z ou ainda, compactamnt: cos α sn α = sn α cos α 1 v x v y v z 4.47) { v} = [T ]{v} 4.48) A transformação invrsa, i.., do sistma local para o global é suscintamnt: {v} = [T ] T { v} 4.49) ond [T ] T = [T ] 1. 4..1.1. Transformação da matriz coluna d sforços ou dslocamntos nodais d um lmnto. Considr a matriz coluna local d sforços ou dslocamntos nodais d um lmnto, lmbrando as Eq. 4.4 4.9. Cada trinca d componnts nodais é formada plas componnts d um vtor, qu são transformadas conform a Eq. 4.49. Assim sndo, a matriz coluna global d sforços ou dslocamntos nodais dss lmnto pod sr scrita como: ou simplsmnt: { } [ ] { } {U 1 } [T {U = 1 ] T [] { Ū } [] [T ] T 1 } {Ū } 4.5) {U } = [T ] T {Ū } 4.51) ond:

6 4. FLEXÃO DE VIGAS : [T ] = {U } = { } {U 1 } {U = } U1 U U 3 U 4 U5 U6 cos α sn α [ ] sn α cos α [T 1 ] T [] [] [T ] T = 1 cos α sn α sn α cos α 1 4.5) 4.53) 4..1.. Transformação da matriz d rigidz d um lmnto. Considr o modlo d lmntos finitos d um lmnto d viga qualqur xprsso no sistma d coordnadas locais, Eq. 4.3 3. Pré-multiplicando ambos os mmbros dsta quação pla matriz d transformação transposta do lmnto, [T ] T, substiuindo {Ū }, { f } { Q } por [T ]{U }, [T ]{f } [T ]{Q }, rspctivamnt, obtém-s: [T ] T [ K ][T ]{U } = [T ] T { f } + {Q }) 4.54) da qual s idntificam, xprssos no sistma d coordnadas globais, a matriz d rigidz do lmnto: as matrizs colunas d carrgamnto: [K ] = [T ] T [ K ][T ] 4.55) {f } = [T ] T { f } 4.56) {Q } = [T ] T { Q } 4.57) Uma vz qu qu s obtêm os modlos locais d todos os lmntos, procd-s do modo habitual para formar o modlo global d lmntos finitos. 4... Elmnto d trliça. A figura abaixo, Fig. 4.15, mostra um lmnto d trliça. O su modlo local d lmntos finitos é o qu sgu: A E h 1 1 Ū1 F 1 1 1 Ū = F 4.58) d ond s idntificam imdiatamnt as matrizs d rigidz, d dslocamnto d carrgamnto no sistma d coordnadas locais. Obsrv nst caso qu cada dslocamnto ou força nodal tm apnas duas componnts, sgundo os ixos locais x ȳ. Por isso a matriz d rigidz é d dimnsão 4 4 a dimnsão das matrizs d dslocamnto d carrgamnto é 3 Obsrv qu as ltras K, U, f Q dvm lvar uma barra sobr si, porqu s rfrm ao sistma d coordnadas locais.

4.. ELEMENTOS DE TRELIÇA E DE PÓRTICO 63 Figura 4.15. Elmnto d trliça. d 4 1. Consquntmnt a matriz d transformação para st tipo d lmnto scrv-s como: cos α sn α [T ] = sn α cos α cos α sn α 4.59) sn α cos α Para s obtr as matrizs do lmnto no sistma d coordnadas globais, procd-s sgundo as Eqs. 4.55-4.57. 4..3. Elmnto d pórtico. O lmnto d pórtico, Fig. 4.16, é aqul sujito à força axial à flxão. Portanto, o su modlo local d lmntos finitos é formado pla sobrposição do modlo local d lmnto d trliça 4 com o d viga d Eulr-Brnoulli, o qu rsulta: E I h 3 µ µ Ū1 6 3h 6 3h Ū 3h h 3h h Ū3 µ µ Ū = 4 6 3h 6 3h Ū 3h h 3h h 5 Ū 6 f 1 f f 3 f 4 f 5 f 6 + Q 1 Q Q 3 Q 4 Q 5 Q 6 4.6) com µ = A h I, : Ū1 Ū Ū3 Ū4 = Ū5 Ū 6 ū 1 v 1 θ 1 ū v θ 4.61) 4 Ajustado para as 6 componnts d dslocamnto d carrgamnto.

64 4. FLEXÃO DE VIGAS Q 1 Q Q 3 Q 4 Q 5 Q 6 = X 1 Ȳ1 M 1 X Ȳ M 4.6) Figura 4.16. Elmnto d pórtico. Para s obtr as matrizs do lmnto no sistma d coordnadas globais, procd-s sgundo as msmas Eqs. 4.55-4.57. Nst caso, porém, a matriz d transformação d coordnadas é dada pla Eq. 4.53.

CAPíTULO 5 Anális do rro 5.1. Introdução O método dos lmntos finitos é na sua ssência um método aproximado. Como visto, l driva do método d Rayligh-Ritz, mprgando, como bas finita d funçõs aproximadoras, polinômios dfinidos m sub-domínios dnominados lmntos rspitando a rgularidad mínima xigida pla forma fraca do problma analisado. A finitud dssa bas d funçõs é a font tórica do rro d aproximação do MEF. Outras fonts, dcorrnt da implmntação do método, originam-s na limitação dos cálculos aritméticos, da intgração numérica da rprsntação do domínio. A sguir abordam-s stas fonts d rro, dando-s mais ênfas às rlativas à aproximação da solução do problma. 5.1.1. Erro d aproximação do domínio. Quando s subdivid o domínio do problma m lmntos, é comum, principalmnt m problmas bi tridimnsionais, qu o conjunto d lmntos não coincida com o domínio original, conform ilustra a Fig.5.1. Além disso, quando, por xmplo, s rprsnta uma strutura rticulada, os lmntos não rprsntam fiddignamnt as junçõs ntr os componnts struturais. Tnha-s m mnt, por xmplo, a xtrmidad d uma barra d trliça na qual xist um furo plo qual s un a um pino d articulação. O lmnto d trliça não rprsnta bm o campo d dformação tnsão nssa rgião do componnt. Figura 5.1. Erro d aproximação d domínio. 5.1.. Erro d intgração numérica. No MEF não s mprga a intgração xata das intgrais nvolvidas nl. Apsar d no intgrando havr um polinômio, nm smpr l aparc só, além do qu, do ponto d vista da programação computacional, para cada intgrando dvr-s-ia tr uma rotina d cálculo spcífica, o qu tornaria a codificação do MEF uma tarfa trabalhosa. Est tma do rro d intgração numérica srá tratado num capítulo a part. Basta aqui, portanto, dar uma idia gral. A intgração numérica consist m aproximar a intgral dfinida por uma somatória nvolvndo o produto do valor do intgrando m dtrminados pontos, fx i ), por psos, w i : 65

66 5. ANÁLISE DO ERRO Figura 5.. Erro d aproximação d domínio. +1 1 fx) dx N i=1 fx i) w i 5.1) Figura 5.3. Erro d intgração numérica. 5.1.3. Erro d arrdondamnto. As opraçõs aritméticas ralizadas intrnamnt plo computador stão limitadas a uma prcisão ditada plo númro d algarismos utilizados na rprsntação da mantissa d um númro ral. Nas linguagns d programação são comuns dois nívis d prcisão m ponto flutuant na bas 1: a prcisão simpls, qu rprsnta a mantissa do númro com 7 algarismos, a prcisão dupla, cuja rprsntação é com 15 algarismos. A limitação da prcisão acarrta rros d arrdondamnto ou d truncamnto, conform o computador, nas opraçõs aritméticas, os quais podm s suprpor nas sucssivas opraçõs, lvando a rsultados díspars m rlação aos xatos. Obviamnt, quanto maior a prcisão mnor o rro acumulado ao longo das msmas opraçõs. Para s tr uma idia do rro d aproximação, tom-s como xmplo a sguint opração aritmética ralizada numa máquina idalizada com prcisão d mantissa d algarismos na bas 1:

5.. MEDIDAS DO ERRO DE UMA FUNÇÃO 67 1. 1. +.4 +.18 +.3 1.5) = 1. 1. +.18 +.3 1.5) = }{{}}{{} =1. =1. = 1. 1. +.3 1.5) = 1. 1.5 1.5) =. }{{}}{{} =1.5 =. nquanto a solução xata é 7.8. Um outro xmplo é a solução do sguint sistma d quaçõs algébricas ralizada por mio da msma máquina idalizada: { 1. x + 1. y =..3 x.5 y =.5 Multiplicando a sgunda quação por. somando à primira obtém-s: 1. x =.5 ou sja, x =.5. Substituindo agora x =.5 na sgunda quação, obtém-s y =.38. A solução do msmo sistma, ralizando as opraçõs aritméticas com prcisão d 15 algarismos na mantissa, é x =.395736137667 y =.3957361376673. O rro aritmético rlativo para o valor d x é d 4.6% o d y é d.6%. 5.1.4. Erro d aproximação. Est tipo d rro dcorr da aproximação da solução por mio da bas finita d funçõs, u u h = N i= φ iu i, inrnt ao MEF, qu srá a sguir aprofundado. 5.. Mdidas do rro d uma função Para avaliar o rro d aproximação da solução obtida plo MEF é ncssário dfinir uma forma d mdir ss rro. O rro da solução obtida plo MEF é uma função = u u h. Para mdir uma função é ncssário dfinir uma mdida. A mdida, ou Norma, é um númro ral positivo atribuído às funçõs qu prmit comparar uma função a outra dntro d uma msma métrica. A métrica é um padrão d mdida qu dá corência fundamnta sta comparação. Dntro das várias métricas xistnts, vai-s aprsntar aqui apnas algumas, suficints para o propósito dst capítulo. 5..1. Norma do suprmo. A norma do suprmo stablc a sguint métrica: = máx x Ω 5.) ou sja, stablc como mdida d uma função o máximo valor dla no domínio Ω. 5... Norma L Ω) ou H Ω). Esta norma stablc como mdida d função a xprssão: = dx Ω ) 1 5.3) ou sja, a raiz quadrada da intgral no domínio Ω do módulo ao quadrado da função.

68 5. ANÁLISE DO ERRO 5..3. Norma da nrgia ou norma H m Ω). Esta norma tm como métrica a xprssão: m = Ω m i= di dx i dx ) 1 5.4) ond m é a ordm do oprador difrncial do problma a valors no contorno. Obsrv qu a norma L Ω) é um caso particular da norma da nrgia, quando m =. Além disso, m n, com m < n, a norma H n Ω) carrga mais informaçõs a rspito da função qu a norma H m Ω). 5.3. Convrgência da solução u h A solução u h do MEF convrg para a solução xata, sgundo as normas L da nrgia, rspctivamnt conform os stimadors d rro: m Ch p, p = k + 1 5.5a) m Ch p, p = k m + 1 > 5.5b) ond C é uma constant, h = máx{h } é o comprimnto caractrístico da malha p é a taxa d convrgência, qu dpnd da ordm m do oprador difrncial do problma a valors no contorno do grau k do polinômio da função d forma. O stimador d rro acima é a priori. Mais qu quantitativamnt, l dá uma noção qualitativa do comportamnto do rro. Dl podm-s infrir as providências a srm tomadas no sntido d aumntar a prcisão do MEF: 1) diminuir o tamanho caractrístico h da malha; ) aumntar o grau do polinômio k das funçõs d forma. No primiro caso tm-s o rfinamnto h, no sgundo, o rfinamnto p ou, ao s aplicar simultanamnt ambos, o rfinamnto hp. Obsrv plos stimadors acima, Eq. 5.5, qu a taxa d convrgência aumnta com o grau do polinômio k da função d forma. Por outro lado, s k + 1 m, o stimador na norma da nrgia rvla qu a solução plo MEF não convrg, ou sja, o grau k do polinômio das funçõs d forma dv sr no mínimo igual a m para qu a solução plo MEF convirja, a part da xigência d continuidad C m 1 Ω) da aproximação. Os stimadors d rro acima são função d h. Posto isto num sistma d coordnadas logarítmicas, obsrva-s qu o comportamnto do rro s aproxima assintoticamnt d uma rta d inclinacão igual à taxa d convrgência p, conform ilustra a Fig. 5.4. 5.4. Aproximação da solução u h Uma propridad da solução plo MEF é qu la tm a norma da nrgia smpr maior qu a da solução xata. Dito d outro modo, no MEF a convrgência da solução aproximada para a xata na norma da nrgia s dá por cima, isto é, a solução xata minimiza a nrgia. A título d dmonstração, considr a sguint quação difrncial d ordm m: m i= di d 1)i a i ) dx i i dx i u = f, < x < L 5.6) com a 1 x) a x) supostos positivos, cujo funcional corrspondnt a la é:

5.4. APROXIMAÇÃO DA SOLUÇÃO u h 69 Figura 5.4. Erro da solução nas normas L Ω) da nrgia: a taxa d convrgência é ditada pla inclinação das curvas. Iv) = L [ 1 m ) d i ] a i i= dx i v dx L vf dx 5.7) Sjam u a solução xata u h a solução plo MEF, ambas satisfazndo as condiçõs d contorno ssnciais do problma. Para simplificar a obtnção do rsultado qu s sgu, tom-s m = 1, ou sja: f = d ) d a 1 dx dx u 5.8) Então a difrnça ntr os funcionais d u h d u s scrv: Iu h ) Iu) = = L a 1 L [ d dx u h [ ) ) 1 d d a 1 dx u h a 1 dx u + fu u h )] dx 5.9) ) ] d L ) dx u d d dx a 1 dx dx u u u h )dx 5.1) ) ond a intgral foi dsmmbrada no trmo m f, qu foi substituido pla Eq. 5.8. Intgrando por parts a sgunda intgral à dirita vm:

7 5. ANÁLISE DO ERRO Iu h ) Iu) = L a 1 [ ) ) ] d d dx u h dx u dx + L a 1 d dx u d dx u u h)dx 5.11) Nsta última passagm, o trmo no contorno foi canclado, pois u u h ) L =, como obsrvado acima. Agrupando as intgrais novamnt obtém-s: Iu h ) Iu) = = L L a 1 a 1 [ d dx u h d dx u h d dx u ) d + ) ] dx u d dx u d dx u h dx 5.1) ) dx 5.13) D ond s conclui qu Iu h ) Iu), ou sja, a norma da nrgia é mínima na solução xata a convrgência à solução xata ocorr por cima. 5.5. Erro nodal nulo No caso d problmas d a 4 a ordns d uma única variávl idpndnt coficints constants, o valor nodal obtido plo MEF é igual ao xato, ou sja, o rro nodal é nulo.

CAPíTULO 6 Intgração numérica implmntação computacional 6.1. Intgração numérica 6.1.1. Introdução. No MEF é comum tr-s qu intgrar funçõs qu não são facilmnt intgrávis, dmandando o rcurso a intgraçõs ou quadraturas) numéricas. A quadratura numérica part da aproximação do intgrando por mio d polinômios d grau tanto maior quanto maior prcisão s quira. Além d srm bons aproximadors, os polinômios são facilmnt intgrávis. Por xmplo, sja fx) a função a intgrar no intrvalo [a, b]. Aproximando f aí por mio d um conjunto complto d polinômios d grau p: fx) F x) = p a intgral aproximada d f sria, portanto: k=1 F k ψ k 6.1) com: I = p b F k k=1 a ψ k dx = p k=1 F k W k 6.) W k = b a ψ k dx 6.3) D modo gral, ao ralizar a quadratura numérica os xtrmos d intgração são padronizados d 1 a +1 para simplificação gnralização da fórmula d quadratura. Por xmplo, na intgral antrior, para ralizar a quadratura numérica sria prciso fazr uma transformação d tal modo qu o novo intrvalo d intgração foss [ 1, +1] assim prmitiss o mprgo d uma fórmula d quadratura: I = b a fx) dx = +1 1 gξ) dξ 6.4) A sguir srá visto como ralizar sta transformação d coordnadas. A fórmula da quadratura numérica, concrtamnt a quadratura d Gauss-Lgndr ou d Gauss), srá vista após sta. 6.1.. Coordnadas naturais o lmnto mstr. Sja x : ξ xξ) uma transformação bijtora qu mapia o intrvalo [ 1, +1] m [a, b], conform ilustra a Fig.??. A coordnada ξ dnomina-s d coordnada natural. Além do mais, xig-s dsta transformação qu x 1) = a x+1) = b. Por sr bijtora, la possui uma transformação invrsa x 1 fazndo o mapamnto no sntido contrário. O mprgo da coordnada natural convém ao MEF porqu prmit trabalhar com o lmnto mstr dfinido no intrvalo [ 1, +1], possibilitando ralizar qualqur aproximação m qualqur lmnto físico a partir d um único conjunto d 71

7 6. INTEGRAÇÃO NUMÉRICA E IMPLEMENTAÇÃO COMPUTACIONAL funçõs d forma, como srá visto mais adiant. Além disso, toda intgração numérica ralizada no domínio mstr pod sr fita dirtamnt pla fórmula da quadratura numérica, porqu o intrvalo d intgração já é o apropriado. Espcialmnt fácis d obtr no domínio mstr são as funçõs d forma da família d lmntos finitos lagranganos: Ψ i ξ) = ξ ξ 1)ξ ξ ) ξ ξ i 1 )ξ ξ i+1 ) ξ ξ N 1 )ξ ξ N ) ξ i ξ 1 )ξ i ξ ) ξ i ξ i 1 )ξ i ξ i+1 ) ξ i ξ N 1 )ξ i ξ N ) 6.5) com 1 = ξ 1 < ξ < ξ 3 < < ξ N = +1. Estas funçõs vrificam tanto a propridad partição da unidad como a dlta d Kronckr, cuja comprovação é imdiata a partir da dfinição. O quadro da Tab. 6.1 ilustra algumas funçõs d forma da família lagrangana. Linar N = Ψ1 = 1 1 ξ) Ψ = 1 1 + ξ) Quadrática N = 3 Ψ1 = 1 ξ 1 ξ) Ψ = 1 + ξ)1 ξ) Ψ 3 = 1 ξ 1 + ξ) Cúbica N = 4 Ψ1 = 9 16 1 ξ) 1 3 + ξ) 1 3 ξ) Ψ = 7 16 1 + ξ) 1 ξ) 1 3 ξ) Ψ 3 = 7 16 1 + ξ) 1 ξ) 1 3 + ξ) Ψ 4 = 9 16 1 + ξ) 1 3 + ξ) 1 3 ξ) Tabla 6.1. Algumas funçõs d forma da família lagrangana. 6.1.3. Aproximação da gomtria. Viu-s qu a quadratura numérica xig, na maior part das vzs, uma transformação d coordnadas. Nsta sção vai-s vr a transformação ntr a coordnada natural a física por mio das funçõs d forma d lmntos finitos do lmnto mstr. É convnint mprgar as funçõs d forma do lmnto mstr para obtr a transformação d coordnadas ntr os dois sistmas, o natural o físico, do sguint modo: x ξ) = M i=1 Ψ i ξ) x i 6.6) ond x i é a coordnada física do nó i do lmnto. Esta transformação não prsrva comprimnto nm proporção d um para outro sistma, o qu pod sr visto plo jacobiano dla: J ξ) := d dξ x = M i=1 d dξ Ψ i ξ) x i 6.7)

6.1. INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 73 Assim o difrncial d primira ordm d x s scrv: dx = J ξ)dξ 6.8) A título d xmplo, considr a transformação d um lmnto linar d coordnadas físicas nodais x 1 x : O su jacobiano srá, portanto: x = 1 1 ξ) x 1 + 1 1 + ξ) x J = x x 1 = h 6.1.4. Formulação isoparamétrica. Assim como a transformação d coordnadas, a variávl dpndnt u pod sr aproximada por mio das funçõs d forma do lmnto mstr: u ξ) = N i=1 Ψ jξ) u j 6.9) Not-s a distinção proposital ntr Ψ i Ψ i, o primiro rlativo à variávl dpndnt o sgundo à gomtria. Graças à propridad dlta d Kronckr da família d funçõs lagranganas, a aproximação acima é um intrpolant d u no lmnto mstr, ou sja, uξ i ) = u i. Consquntmnt, a condição d continuidad ntr lmntos é prsrvada, como xig o MEF. Quando tanto a gomtria como a variávl dpndnt mprgam as funçõs d forma do lmnto mstr corrspondnt, pod ocorrr o qu s indica na Tab. 6., conform o númro d nós qu s mprgam m um outro. No caso da formulação iso-paramétrica, Ψ i Ψ i. Formulação Sub-paramétrica Iso-paramétrica Supr-paramétrica Condição M < N M = N M > N Tabla 6.. Classificação das formulaçõs d lmntos finitos. 6.1.5. Intgração numérica: a quadratura d Gauss-Lgndr. Como visto antriormnt, a quadratura numérica procura aproximar o intgrando d uma função qualqur por mio d um polinômio. Na quadratura d Gauss-Lgndr ou Gauss) os polinômios mprgados são o d Lgndr. A fórmula da quaudratura d Gauss-Lgndr é: b fx) dx = +1 a 1 F ξ) dξ = r k=1 F ξ k) w k 6.1) ond ξ k w k são rspctivamnt os pontos psos d intgração, : F ξ) = fxξ))jξ) 6.11)

74 6. INTEGRAÇÃO NUMÉRICA E IMPLEMENTAÇÃO COMPUTACIONAL Os pontos psos d intgração são normalmnt tablados para cada valor do parâmtro r, o númro d pontos d intgração. A Tab. 6.3 fornc os pontos psos da quadratura d gauss-lgndr para alguns valors d r. Obsrv nla a simtria dos pontos d intgração dos psos. O parâmtro r dita o grau máximo d polinômios cujas intgrais podm sr xatamnt dtrminadas pla quadratura d Gauss-Lgndr. Ou, dito d outra forma, dado um polinômio d grau p, pod-s obtr o númro mínimo d pontos d intgração ncssário para a sua intgração xata por mio dsta quadratura. Tal r é o rsultado da divisão intira d p por acrscido d 1, ou sja: r mín = p + 1 6.1) Por xmplo, para intgrar xatamnt um polinômio d grau basta mprgar r, para um d grau 3, r, também. Númro d pontos x k w k 1 +,,, 57735691 1, +, 57735691 1, 3, 774596669, 5555555555 +,, 8888888888 +, 774596669, 5555555555 4, 8611363115, 3478548451, 339981435, 651451548 +, 339981435, 651451548 +, 8611363115, 3478548451 5, 961798459, 3696885, 538469311, 47868674 +,, 5688888888 +, 538469311, 47868674 +, 961798459, 3696885 6, 93469514, 17134493, 66193864, 36761573, 38619186, 4679139345 +, 38619186, 4679139345 +, 66193864, 36761573 +, 93469514, 17134493 Tabla 6.3. Pontos psos d intgração para a quadratura d Gauss-Lgndr. A título d xmplo, considr a intgral: I = +1 1 ξ 6 dξ = =, 85714857 7 cujo rsultado xato é. Para intgrá-la xatamnt pla quadratura d Gauss- Lgndr s rqur plo mnos: r = 6 + 1 = 4

6.1. INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 75 pontos d intgração: I = 4 k=1 ξ6 k w k =, 8611343116) 6, 3478548451 +, 339981435) 6, 651451548+ + +, 339981435) 6, 651451548 + +, 8611343116) 6, 3478548451 =, 85714857 Portanto, o rsultado é xato, como s sprava. Vja-s sta outra intgral: I = +1 1 ξ 8 dξ = =, 9 Para obtr o valor xato dla pla quadratura d Gauss-Lgndr s rqur ao mnos: r = 8 + 1 = 5 pontos d intgração. Logo, s s mprgam 4 pontos d intgração: I = 4 k=1 ξ8 k w k =, 8611343116) 8, 3478548451 +, 339981435) 8, 651451548+ + +, 339981435) 8, 651451548 + +, 8611343116) 8, 3478548451 =, 161449 rsultará um rro d aproximadamnt 5%. E s s mprgam 3 pontos: I = 3 k=1 ξ8 k w k =, 774596669) 8, 5555555556 + +, 774596669) 8, 5555555556 =, 1439999999 Como s nota, comt-s um rro d aproximadamnt 35%. 6.1.6. Estimativa do rro da quadratura d Gauss-Lgndr. Dfin-s o rro da quadratura d Gauss como: = b a fx) dx r F ξ k) w k k=1 6.13) ond F ξ) = fxξ)) h, com h = b a. Um stimador d rro da quadratura d Gauss-Lgndr é: ond f r é a r-ésima drivada d f, x [a, b] : c r h r+1 f r x) 6.14) c r = r!) 4 r + 1) [ r)!] 3 6.15)

76 6. INTEGRAÇÃO NUMÉRICA E IMPLEMENTAÇÃO COMPUTACIONAL A Tab. 6.4 traz os valors do fator c r para r variando d 1 a 1, para qu s tnha uma idia d quanto st fator influncia no rro da quadratura d Gauss-Lgndr. r c r 1 8, 3E 4, 6E 4 3 9, 9E 7 4 1, 1E 9 5 7, 9E 13 6 3, 8E 16 7 1, 3E 19 8 3, 4E 3 9 7, E 7 1 1, 1E 3 Tabla 6.4. Valors do fator c r para r d 1 até 1. Comntário 6.1. Obsrv qu o rro diminui à mdida qu s diminui o comprimnto h do intrvalo d intgração. Logo, ao s diminuir o comprimnto caractrístico da malha, o rro d intgração rduz-s na razão dos dois comprimntos lvada à r-ésima potência. Por xmplo, ao passar da malha 1, ond o comprimnto caractrístico é h 1, para a malha, ond h = 1 h 1, stima-s qu o rro da quadratura ralizada m ambas as malhas com r = 3 caia d 7 vzs. S, além disso, o númro d pontos d intgração passa d 3 para 5 ntr as duas malhas, o rro da quadratura cai ainda mais, da ordm d 11 vzs. O trmo f r x) é uma incógnita. Apnas s pod stimá-lo. Contudo, l srv d alrta ou d orintação, quanto às providências a srm tomadas, na quadratura d funçõs singulars ou quas singulars no intrvalo d intgração. 6.1.7. O modlo local d lmntos finitos no lmnto mstr. É frqunt, principalmnt m problmas bi tridimnsionais, xprssar a função d forma a gomtria no sistma d coordnadas naturais. Com isto as funçõs d forma são as msmas para o lmnto mstr as quadraturas podm sr ralizadas imdiatamnt, sm a ncssidad d novas transformaçõs d coordnadas. No ntanto, é ncssário rscrvr as intgrais da forma fraca m coordnada natural. Considr, por xmplo, a obtnção dos coficints da matriz d rigidz: K ij = x N x 1 ax) d dx ψ i d dx ψ j dx 6.16) Obsrv acima qu ψ i x) = Ψ iξx)). Da rgra da cadia tm-s, portanto: d dx ψ i = d dξ Ψ i d dx ξ = 1 J Logo, com o auxílio da Eq. 6.8, a Eq. 6.16 s rscrv como: d dξ Ψ i 6.17) ond Aξ) = axξ)). K ij = +1 1 Aξ) 1 J d dξ Ψ i d dξ Ψ j dξ 6.18)

6.. IMPLEMENTAÇÃO COMPUTACIONAL DO MEF 77 Finalmnt, aplicando a quadratura d Gauss-Lgndr a sta última intgral, tm-s: com: K ij = r k=1 F ijξ k )w k 6.19) F ijξ) = Aξ) 1 J d dξ Ψ i d dξ Ψ j 6.) 6.1.8. Númro d pontos d intgração ncssários para obtr os coficints das matrizs. Sjam os coficints das matrizs d rigidz d massa os do vtor d carrgamnto distribuído, rspctivamnt, Kij, M ij f i. Ests podm sr obtidos xatamnt pla quadratura d Gauss-Lgndr, dsd qu o jacobiano sja constant no lmnto os rspctivos coficints, a, c f, também, do contrário, não. No lmnto mstr linar, por xmplo, considrando a, c f constants, o intgrando m Kij é uma constant, m M ij é um polinômio do sgundo grau,, m fi, um d primiro grau. Logo, pla Eq. 6.13, o primiro rqur plo mnos r = 1 pontos d intgração, o sgundo r = o último r = 1. A Tab. 6.5 mostra o númro mínimo d pontos d intgração ncssário para s obtr valors xatos dsss três coficints pla quadratura d Gauss-Lgndr m lmntos linars, quadráticos cúbicos nssas condiçõs idais. Tipo d lmnto Kij Mij fi Linar 1 1 Quadrático 3 Cúbico 3 4 3 Tabla 6.5. Númro mínimo d pontos d intgração na quadratura d Gauss-Lgndr. S os coficints a, c f ou o jacobiano não form mais constants no lmnto, não s pod garantir o rsultado xato das intgrais pla quadratura d Gauss-Lgndr. Nst caso, dv-s mprgar númros d pontos d intgração maiors do qu aquls indicados na Tab. 6.5. Quanto maiors?, é o bom snso a xpriência do usuário qu vão dizr. 6.. Implmntação computacional do MEF A implmntação computacional do MEF lva m conta uma subdivisão d tarfas dispostas na sguint squência cronológica lógica: pré-procssamnto, procssamnto pós-procssamnto. No primiro ocorrm a ntrada dos dados toda manipulação prévia dls para a gração do modlo d lmntos finitos: dados da malha dos lmntos, propridads físicas gométricas, condiçõs d contorno ou iniciais carrgamntos. Nsta tapa, dpndndo do nívl d sofisticação, a ntrada d dados pod sr ralizada por mio d intrfac gráfica. É comum aqui armaznar o dados para futuras análiss do modlo. No procssamnto todos os cálculos inrnts ao MEF são ralizados. Dsd a obtnção das matrizs vtors, coficint a coficint, imposição das condiçõs d contorno ou iniciais, rarranjo das matrizs vtors, trminando com a solução do sistma d quaçõs algébricas. Alguns rsultados podm sr armaznados para postriors análiss. Finalmnt, o pós-procssamnto, tapa m qu os valors nodais obtidos na fas antrior são dispostos d modo a facilitar a anális dntro do scopo do fnômno

78 6. INTEGRAÇÃO NUMÉRICA E IMPLEMENTAÇÃO COMPUTACIONAL físico abordado. Tm-s dsd rsultados aprsntados m forma tabular, passando por plotagns d gráficos dos mais variados tipos, mapas d cors,, nos mais sofisticados, chgando até a modlos tridimnsionais animados graficamnt. A Fig. 6.1 mostra o fluxo d procssamnto d um código MEF. Figura 6.1. Fluxo d procssamnto d um código MEF.