Raciocínio Lógico-Quantitativo e Matemática p/ ATRFB 2016 Teoria e exercícios comentados Prof. Felipe Lessa Aula 0 O concurso da Receita Federal é, sem dúvida, um dos mais aguardados entre os concurseiros! E, para você mandar bem nesse concurso, é FUNDAMENTAL se preparar com antecedência. Assim, você sai na frente dos seus concorrentes e não é pego de surpresa quando sair o edital! Este Curso está atualizado com todas as provas aplicadas pela ESAF em 2014: AFRFB 2014, MTUR 2014 e ATA 2014 e PROVA DO MPOG/APO 2015 ********************************************************** Falando um pouquinho de mim e da minha história, me chamo Felipe Lessa, sou Auditor-Fiscal da Receita Federal do Brasil, aprovado no concurso de 2009. Sou engenheiro de telecomunicações formado pelo IME (Instituto Militar de Engenharia) na turma de 2004. Sou um desses apaixonados pela arte dos números e espero poder passar um pouco desse gosto para vocês. Afinal, dominar bem o Raciocínio Lógico é pré-requisito para ir bem em qualquer matéria. Lembro-me bem que, em 2010, no curso de formação para os aprovados na RFB, o instrutor perguntou quem era engenheiro e pude notar que mais de 60% dos aprovados levantaram a mão. Por que os engenheiros se dão bem em concursos públicos? Porque são formados para pensar logicamente! Quantas e quantas vezes eu acertei questões de Direito sem saber do que ela se tratava mas apenas usando conceitos de raciocínio lógico. É isso que eu espero passar para você nesse curso, caro aluno! Minha experiência em concursos públicos começou bem cedo: aos 14 anos. O Colégio Militar do RJ, pela primeira vez em sua história, resolveu abrir concurso para o Ensino Médio e ofereceu apenas 20 vagas... Quando comecei a estudar, meu foco passou a ser unicamente este. E sempre que as pessoas me perguntavam quantas vagas tinham, eu respondia: Dezenove, pois uma já é minha!. Dito e feito! Fiz as quatro provas do Colégio Militar e saiu o resultado: 1º LUGAR GERAL!!!!! A essa hora, você deve estar pensando: Ih... Cara metido... Precisava encher a boca pra dizer que foi 01 do Concurso? Só quer saber de contar vantagem. Mas não, caro amigo! Estou dizendo isso porque a partir de agora seu pensamento tem que ser este. Estude como se uma das n vagas já fosse Prof. Felipe Lessa www.estrategiaconcursos.com.br Página 2 de 26
Raciocínio Lógico-Quantitativo e Matemática p/ ATRFB 2016 Teoria e exercícios comentados Prof. Felipe Lessa Aula 0 sua e a cada um que perguntar quantas vagas tem para a RFB, responda: (n 1), porque uma já é minha! Por fim, quero dizer mais uma vez que é um imenso prazer poder fazer parte desta seleta equipe do Estratégia Concursos e que me empenharei ao máximo para tentar fazer parecer fácil essa matéria da qual muitos fogem e têm medo: Raciocínio Lógico-Quantitativo e Matemática. * * * Voltando aos estudos, uma estratégia que utilizei e recomendo para aqueles que não têm muito tempo para frequentar aulas, como eu não tinha, pois trabalhava e fazia mestrado, é: fujam das aulas presenciais. Muitas vezes, o que um professor leva 3 horas explicando para uma turma de 80 alunos, você aprende em 30-40 minutos de estudo bem concentrado. Ah, mas é claro: é sempre bom ter um professor com quem você pode tirar suas dúvidas. Desta forma, você leva ao professor somente a sua dúvida e ganha tempo! No nosso curso, ainda temos os vídeos para ajudar! Para preparar este curso de RACIOCÍNIO LÓGICO-QUANTITATIVO E MATEMÁTICA P/ AFRFB 2015, tomei por base o EDITAL ESAF Nº 18, DE 07 DE MARÇO DE 2014. Nosso curso apresentará, de um modo bem interativo, a teoria que cerca a matéria, muitos exercícios resolvidos da ESAF e Vídeo-Aulas que complementam o material escrito. Quando eu achar pertinente, trarei exercícios de outras bancas. * * * * * * * Por fim, quero deixar um recado: fiquem tranquilos! Não tenham medo da Lógica! Absorvendo os conceitos que trarei neste Curso, você vai ver que ela pode ser sua melhor amiga em qualquer disciplina de qualquer concurso. Prof. Felipe Lessa www.estrategiaconcursos.com.br Página 3 de 26
Raciocínio Lógico-Quantitativo e Matemática p/ ATRFB 2016 Teoria e exercícios comentados Prof. Felipe Lessa Aula 0 6. Álgebra. 11. Raciocínio Matemático parte Aula 11 Aula 12 Aula 13 IV: Logaritmos; Radiciação e Potenciação; Fatoração Algébrica 6. Álgebra. 11. Raciocínio Matemático parte V: Sistemas de Unidade; Razões e Proporções; Escalas; Divisão Proporcional; Regra de Três Simples ou Composta 6. Álgebra. 11. Raciocínio Matemático parte VI: Teoria dos Conjuntos; Relações e Funções de primeiro e segundo grau 21/11/15 28/11/15 05/12/15 Aula 14 7. Combinações, Arranjos e Permutação 12/12/15 7. Combinações, Arranjos e Permutação Aula 15 Aula 16 Exercícios de Análise Combinatória com Probabilidade 5. Matrizes, Determinantes e Solução de Sistemas Lineares. 19/12/15 26/12/15 Aula 17 4. Trigonometria. 02/01/16 Aula 18 9. Geometria Básica 09/01/16 Aula 19 Aula 20 10. Juros Simples e Compostos, Taxas de Juros, Desconto 10. Equivalência de Capitais, Anuidades 16/01/16 23/01/16 Aula 21 10 Sistemas de Amortização 30/01/16 Agora, chega de enrolação rsrsrs! Vamos a nossa Aula Demonstrativa?!? Prof. Felipe Lessa www.estrategiaconcursos.com.br Página 5 de 26
Raciocínio Lógico-Quantitativo e Matemática p/ ATRFB 2016 Teoria e exercícios comentados Prof. Felipe Lessa Aula 0 Matriz Triangular: é a matriz quadrada em que todos os elementos acima ou abaixo da diagonal principal são iguais a zero. Exemplo: Matriz Identidade: é a matriz onde os elementos da diagonal principal são iguais a um e os demais iguais a zero. A matriz identidade tem várias propriedades interessantes. Aguarde e verás... Exemplo: Matriz Transposta: a matriz transposta A t de uma matriz A é uma nova matriz onde suas linhas são as colunas de A. Simples assim! Exemplo: Matriz Simétrica: diz-se que uma matriz é simétrica quando ela é igual a sua transposta (A=A t ou aij=aji). Repare que os elementos das linhas e colunas de mesmo índice são iguais; a linha 1 é igual à coluna 1, e assim por diante. Exemplo: Prof. Felipe Lessa www.estrategiaconcursos.com.br Página 9 de 26
Raciocínio Lógico-Quantitativo e Matemática p/ ATRFB 2016 Teoria e exercícios comentados Prof. Felipe Lessa Aula 0 Matriz Inversa: a matriz inversa (A -1 ) de uma matriz quadrada (A) é aquela que, multiplicada por esta, resulta na matriz identidade. Assim: AA -1 = I Para achar a inversa de uma matriz 2x2, é só: 1. trocar de lugar os elementos da diagonal principal; 2. multiplicar por -1 os elementos da diagonal secundária; 3. Dividir os elementos pelo determinante de A (deta). Veremos mais adiante o conceito de determinante mas, por ora, saiba que o determinante de uma matriz 2x2 é o produto dos elementos da diagonal principal menos o produto dos elementos da diagonal secundária. Assim: ã O cálculo da inversa de matrizes de ordem superior a 2 é extremamente complicado e eu nunca vi cair em concurso! Como este é um curso voltado para o que cai em prova e não um doutorado em matemática, vou pular essa parte, ok? É suficiente para sua prova saber a inversa de uma matriz 2x2 Exemplo: Seja a Matriz A, calcule sua inversa: Ora, basta seguir a nossa fórmula mágica: Prof. Felipe Lessa www.estrategiaconcursos.com.br Página 11 de 26
Raciocínio Lógico-Quantitativo e Matemática p/ ATRFB 2016 Teoria e exercícios comentados Prof. Felipe Lessa Aula 0 Multiplicação/Divisão de Matrizes por um número real: Para multiplicar ou dividir matrizes por um número real, basta fazer a operação elemento a elemento. Exemplo: Calcule o valor de 3xA: Multiplicação de Matrizes: A multiplicação de duas matrizes A e B é um pouquinho mais complicada, mas nada impossível! Cada elemento (cij) da matriz C resultado do produto é formado pela multiplicação ordenada de cada elemento da linha i da matriz A pelos elementos da coluna j da matriz B. - Poxa vida, Professor! Não entendi nada! - Eu sei, caro Aluno! É meio enrolado mesmo! Mas vamos fazer um exemplo para clarear as ideias... Exemplo: Calcule o produto da matriz A pela matriz B. Seja a matriz C o resultado do produto AB. Cada elemento cij será assim formado: c11 = a11b11 + a12b21 c11 = 1x0 + 2x3 = 6 c12 = a11b12 + a12b22 c12 = 1x1 + 2x1 = 3 c21 = a21b11 + a22b21 Prof. Felipe Lessa www.estrategiaconcursos.com.br Página 13 de 26
SOLUÇÃO: Raciocínio Lógico-Quantitativo e Matemática p/ ATRFB 2016 Teoria e exercícios comentados Prof. Felipe Lessa Aula 0 A primeira coisa a ser feita é o produto AX. Perceba que A é 2x2 e X é 2x1. Logo, a ordem do produto AX será 2x1 Igualando AX a B, temos: Se as matrizes são iguais, é porque os elementos são iguais um a um. Logo, b = 1; a+2b=2; Substituindo o valor de b na equação acima, temos: a + 2x1 = 2 a = 0 Gabarito: Letra A * * * * * * * * * * * Prof. Felipe Lessa www.estrategiaconcursos.com.br Página 22 de 26
Raciocínio Lógico-Quantitativo e Matemática p/ ATRFB 2016 Teoria e exercícios comentados Prof. Felipe Lessa Aula 0 III. Lista das Questões Apresentadas Questão 1: ESAF - TSIET/Estradas/2013 (e mais 3 concursos) Os elementos de uma matriz A3X2, isto é, com três linhas e duas colunas, são dados por: Em que aij representa o elemento da matriz A3X2 localizado na linha i e coluna j. Então, a soma dos elementos da primeira coluna de A3X2 é igual a: a) 17 b) 15 c) 12 d) 19 e) 13 Questão 2: ESAF - AFRFB/2014 A matriz quadrada A, definida genericamente por A = aij, é dada por a11 = 0; a12 = - 4; a13 = 2; a21 = x; a22 = 0; a23 = (1 - z); a31 = y; a32 = 2z e, por último, a33 = 0. Desse modo, para que a matriz A seja uma matriz antissimétrica, os valores de a21, a23, a31 e a32 deverão ser, respectivamente, iguais a: a) 4; -2; -2; -2. b) 4; -2; 2; -2. c) 4; 2; -2; -2. d) -4; -2; 2; -2. e) -4; -2; -2; -2. Questão 3: ESAF - AFC (CGU)/Auditoria e Fiscalização/2004 Genericamente, qualquer elemento de uma matriz M pode ser representado por mij, onde "i" representa a linha e "j" a coluna em que esse elemento se localiza. Uma matriz X = xij, de terceira ordem, é a matriz resultante da soma das matrizes A = (aij) e B=(bij). Sabendo-se que (aij) = i 2 e que bij = (i-j) 2, então o produto dos elementos x31 e x13 é igual a: a) 16 b) 18 c) 26 d) 65 e) 169 Questão 4: ESAF -Técnico MPU Administrativa/2004 Sejam as matrizes Prof. Felipe Lessa www.estrategiaconcursos.com.br Página 23 de 26
Raciocínio Lógico-Quantitativo e Matemática p/ ATRFB 2016 Teoria e exercícios comentados Prof. Felipe Lessa Aula 0 e seja xij o elemento genérico de uma matriz X tal que X =(A.B) t, isto é, a matriz X é a matriz transposta do produto entre as matrizes A e B. Assim, a razão entre x31 e x12 é igual a a) 2 b) 1/2 c) 3 d) 1/3 e) 1 Questão 5: ESAF - TFC/1997 Se A, B e C são matrizes de ordens respectivamente iguais a (2x3), (3x4) e (4x2), então a expressão [A(BC)] 2 tem ordem igual a: a) 2 x 2 b) 3 x 3 c) 4 x 4 d) 6 x 6 e) 12 x 12 Questão 6: ESAF - AFTN/1998 Sejam as matrizes: E seja x a soma dos elementos da segunda coluna da matriz transposta de Y. Se a matriz Y é dada por Y = (AB) + C, então o valor de x é: a) -7/8 b) 4/7 c) 0 d) 1 e) 2 Questão 7: ESAF - AFRE MG/2005 A, B e C são matrizes quadradas de mesma ordem, não singulares e diferentes da matriz identidade. A matriz C é igual ao produto AZB, onde Z é também uma matriz quadrada. A matriz Z, portanto, é igual a: a) A -1 B C b) A C -1 B -1 c) A -1 C B -1 d) A B C -1 e) C -1 B -1 A -1 Prof. Felipe Lessa www.estrategiaconcursos.com.br Página 24 de 26
Raciocínio Lógico-Quantitativo e Matemática p/ ATRFB 2016 Teoria e exercícios comentados Prof. Felipe Lessa Aula 0 Questão 8: ESAF - MPOG/2003 Genericamente, qualquer elemento de uma matriz M pode ser representado por mij, onde "i" representa a linha e "j" a coluna em que esse elemento se localiza. Uma matriz X = xij, de terceira ordem, é a matriz resultante da soma das matrizes A = (aij) e B=(bij). Sabendo-se que (aij) = i 2 - j 2 e que bij = (i + j) 2, então a soma dos elementos x31 e x13 é igual a: a) 20 b) 24 c) 32 d) 64 e) 108 Questão 9: ESAF Técnico/MPU/Administrativa/2004 A matriz S = sij, de terceira ordem, é a matriz resultante da soma das matrizes A = (aij) e B=(bij). Sabendo-se que (aij) = i 2 +j 2 e que bij = i j, então a razão entre os elementos s22 e s12 da matriz S é igual a: a) 1 b) 3 c) 4 d) 2 e) 6 Questão 10: ESAF - AFC (CGU)/2001 A matriz S = sij, de terceira ordem, é a matriz resultante da soma das matrizes A = (aij) e B=(bij). Sabendo-se que (aij) = i 2 +j 2 e que bij = 2ij, então: a soma dos elementos s31 e s13 é igual a: a) 12 b) 14 c) 16 d) 24 e) 32 Questão 11: ESAF - AFC (CGU)/2002 De forma generalizada, qualquer elemento de uma matriz M pode ser representado por mij, onde i representa a linha e j a coluna em que esse elemento se localiza. Uma matriz S = sij, de terceira ordem, é a matriz resultante da soma entre as matrizes A = (aij) e B = (bij), ou seja, S = A + B. Sabendo-se que (aij) = i 2 + j 2 e que bij = (i + j) 2, então a soma dos elementos da primeira linha da matriz S é igual a: a) 17 b) 29 c) 34 d) 46 Prof. Felipe Lessa www.estrategiaconcursos.com.br Página 25 de 26