Lista de exercícios sobre cálculo de probabilidades, axiomas, propriedades, teorema da probabilidade total e teorema de Bayes (com respostas) 1. Quais dos valores abaixo não podem ser probabilidades? 0, 0,0001, -0,2, 3/2, 2/3, 2, 0, 2 r. -0,2; 3/2 ; 2 2. Respondas as questões que se seguem: a. Quanto é P(A), se A é o evento "Fevereiro tem 30 dias este ano"? r. 0 b. Quanto é P(A), se A é o evento "Novembro tem 30 dias este ano"? r. 1 c. Um espaço amostral consiste em 500 eventos separados, igualmente prováveis. Qual a probabilidade de cada um evento? R. 1/500 d. Em um exame de admissão, cada questão tem 5 respostas possíveis. Respondendo aleatoriamente (por palpite) a primeira questão, qual a probabilidade de acertar? R. 1/5 3. Determine a probabilidade do resultado "cara" ao jogar uma moeda. R. 0,5 4. Um experimento que consiste em jogar um par de dados comporta 36 resultados possíveis que formam o espaço amostral: {1-1,1-2,1-3,...,6-6}. Determine a probabilidade de obter o total 4 no arremesso de um par de dados. R. 1/12 5. Um estudo de 500 voos da TAM selecionados aleatoriamente mostrou que 430 chegaram no horário. Qual é a probabilidade estimada de um vôo da TAM chegar no horário? R. 0,86 6. Determinada empresa está cogitando lançar uma campanha por computador junto aos jovens de 11 a 19 anos. Em uma pesquisa com1066 desses jovens, 181 tinham um serviço de computador com acesso à internet em sua residência. Você aconselharia a empresa promover tal campanha? R. 17%, não. 7. Em uma pesquisa entre estudantes de uma faculdade, 1162 afirmara que colavam nos exames, enquanto 2468 afirmaram não colar. Selecionando aleatoriamente um desses estudantes, determine a probabilidade de ele ou ela ter colado em um exame. R. 0,319
8. Em um estudo efetuado em americanos com mais de 65 anos de idade, verificou-se que 225 tinam o mal de Alzheimer enquanto 2302 não o tinham. Escolhido aleatoriamente um americano com mais de 65 anos, qual a probabilidade estimada de ele ou ela ter o mal? Com base neste valor encontrado, você acha que o mal de Alzheimer constituí uma preocupação para as pessoas com mais de 65? R. 0,089 9. Em um estudo feito com doadores de sangue, 225 foram classificados como grupo O e 275 obtiveram classificação não-o. Qual a probabilidade estimada de uma pessoa ter sangue do grupo O? r. 0,45 10. Em uma pesquisa Ibope em 3875 residências, constatou-se que 463 tinham sua televisão ligada no canal XYZ na segunda-feira à noite. Selecionada a- leatoriamente uma casa, qual a probabilidade de ela estar ligada no canal XYZ na segunda-feira à noite? R. 0,119 11. Responda às seguintes questões: a) Selecionada uma pessoa aleatoriamente, determine a probabilidade de ele ou ela fazer aniversário na data de hoje, ignore os anos bissextos. R. 0,0274 b) Determine a probabilidade de uma pessoa fazer aniversário em novembro. R. 0,0821 12. Determinada empresa aérea transportou 59377306 passageiros no ano passado, desses 82796 foram deliberadamente impedidos de embarcar, enquanto outros 1664 passageiros foram involuntariamente impedidos, determine as seguintes probabilidades: a) de um passageiro não ter embarcado por força superior. 0,01394 b) de um passageiro ter embarcado ou não ter embarcado por vontade própria. R. 0,9985 13. Determinada operadora de cartão de crédito efetuou um estudo de fraudes em cartões de crédito, o que resultou na tabela abaixo, determine a probabilidade de: a) o tipo de fraude ter sido um cartão falsificado ou pedido por correio/telefone. R. 0,3215
b) O tipo de fraude ter sido um cartão roubado e um cartão falsificado. R. 0,1138 r. 14. Se a chance contra o evento A é a:b, onde a < b. Determine a probabilidade do evento A ocorrer. b a b 15. Na questão 11, ignorou-se os anos bissextos, recalcule os itens a e b considerando que os anos bissextos ocorrem a cada 4 anos. R. 0,02738 e 0,08213 16. Se P(A ou B) = 1/3, P(B) = 1/4 e P(A e B) = 1/5. a) Determine P(A) r. 17/60 b) A e B são eventos mutuamente excludentes? sim 17. Se A e B são mutuamente excludentes e B e C também o são, os eventos A e C devem ser mutuamente excludentes? Dê um exemplo que confirme sua resposta. R. não. 18. Dado que P(A U B) = P(A) + P(B) P(A B), estabeleça uma regra para P(A U B U C). r. fazer demonstração 19. Um fazendeiro estima que quando uma pessoa experimentada planta árvores, 90% sobrevivem, mas quando um novato as planta, apenas 50% sobrevivem, se uma árvore plantada não sobrevive, determine a probabilidade de ela ter sido plantada por um novato, sabendo-se que 2/3 das árvores são plantadas por novatos. R. 0,526 20. Para os eventos abaixo, classifique-os como independentes ou dependentes. a) Assistir a aulas de estatística e passar na disciplina de estatística. R. dependente b) Furar um pneu no trajeto para a aula e acordar tarde demais para as aulas. R. indpendente c) Eventos A e B com: P(A) = 0,4 P(B) = 0,6 P(A B) = 0,2. r. não há como afirmar. 21. Dez por cento das pessoas são canhotas. a) Qual é a probabilidade de selecionar aleatoriamente 2 pessoas canhotas? R. 0,01 b) Qual é a probabilidade de que a partir de um grupo de pessoas, sejam selecionadas ao acaso 1 pessoa após a outra sem reposição e que as duas sejam canhotas? R. 0,01 c) Qual é a probabilidade no caso b, que a 1ª seja canhota e a 2ª não seja canhota? R. 0,09
22. Determine a probabilidade de responder corretamente, por palpite, as duas primeiras questões de um teste, se: a) as duas primeiras questões são do tipo verdadeiro / falso. R. 0,25 b) as duas primeiras questões são do tipo múltipla escolha com 5 possibilidades. R. 0,04 23. Três máquinas fabricam moldes não-ferrosos. A máquina A produz 1% de defeituosos, a máquina B 2% e a máquina C 5%. Cada máquina é responsável por 1/3 da produção total. Um inspetor examina um molde e constata que está com perfeito. Calcule a probabilidade de ele ter sido produzido por cada uma das máquinas. R. 0,124 0,249 0,626 24. A tabela abaixo relaciona o tipo de crime e o o nível de conhecimento do criminoso pela vítima. a) Determine a probabilidade de que, quando se escolhe 1 dos 2000 indivíduos, a pessoa escolhida tenha sido vitimada por 1 conhecido ou por um parente, sabendo-se que foi vítima de furto. R.0,209 b) Determine a probabilidade de que, quando se escolhe 1 dos 2000 indivíduos, a pessoa escolhida tenha sido furtada por um conhecido ou por um parente. R. 0,053 c) Determine a probabilidade de que, quando se escolhe 1 dos 2000 indivíduos, a pessoa escolhida tenha sido roubada ou vitimada por um conhecido ou parente. R. 0,593 d) Escolhidos aleatoriamente 2 indivíduos diferentes, determine a probabilidade de ambos terem sido vítimas de furto. R. 0,0637 e) Escolhida aleatoriamente uma das vítimas de crime constantes da tabela, determine a probabilidade de obter uma pessoa que tenha sido vitimada por alguém desconhecido ou que tenha sido vitima de homicídio. R. 0,583 f) Escolhida aleatoriamente uma das vítimas de crime constantes da tabela, determine a probabilidade de obter uma pessoa que tenha sido vítima de homicídio, dado que o criminoso é um estranho. R. 0,0107 g) Escolhida aleatoriamente uma das vítimas de crime constantes da tabela, determine a probabilidade de obter uma pessoa que tenha sido vitimado por um estranho, dado que foi vítima de homicídio. R. 0,173 h) Escolhidos aleatoriamente 2 indivíduos distintos, determine a probabilidade de ambos terem sido vítimas de criminosos desconhecidos. R.0,154
25. Para os itens abaixo, utilize a seguinte informação: a Secretaria de Saúde de determinado estado reporta uma taxa de 10% de incidência do vírus HIV na população considerada de risco, e uma taxa de 0,3% de incidência de HIV para a população em geral. Os resultados dos testes de laboratório do vírus HIV são corretos 95% das vezes. Com base nesses resultados, se selecionarmos aleatoriamente 5000 pessoas do grupo de risco e 20000 pessoas da população geral, esperamos obter os resultados da tabela abaixo. a) Escolhida aleatoriamente uma pessoa da população de risco, qual é a probabilidade de estar infectada com o vírus HIV? R. 0,095 b) Escolhida aleatoriamente uma pessoa da população geral, qual é a probabilidade de seu teste de HIV dar resultado positivo? R. 0,00285 c) Escolhida aleatoriamente uma pessoa da população de risco, qual é a probabilidade de seu teste ser positivo ou de ela estar infectada com HIV? R. 0,145 d) Escolhida aleatoriamente uma pessoa da população geral, qual é a probabilidade de seu teste ser positivo ou de ela estar infectada com HIV? R. 0,0528 e) Considerando apenas a amostra de risco, determine a probabilidade de uma pessoa ter o vírus HIV, dado que seu teste de HIV foi positivo. R. 0,95 f) Considerando apenas a amostra da população geral, determine a probabilidade de uma pessoa ter o vírus, dado que o seu teste de HIV foi negativo. R.0,05 26. Os arquivos da polícia revelam que, das vítimas de acidente automobilístico que utilizam cinto de segurança, apenas 10% sofrem ferimentos graves, enquanto que essa incidência é de 50% entre as vítimas que não utilizam o cinto de segurança. Estima-se em 60% o percentual dos motoristas que u- sam o cinto de segurança. A polícia acaba de ser chamada para investigar um acidente em que houve um indivíduo gravemente ferido. Calcule a probabilidade de ele estar usando o cinto no momento do acidente. Se a pessoa que dirigia o outro carro não sofreu ferimentos graves. Calcule a probabilidade de ela estar usando o cinto no momento do acidente. R. 0,07 e 0,729
27. Sua firma recentemente apresentou proposta para um projeto de construção. Se seu principal concorrente apresenta uma proposta, há apenas 0,25 de chance de a firma do leitor ganhar a concorrência. Se seu concorrente não apresenta proposta, há 2/3 de chance de a firma ganhar. A chance de seu principal concorrente apresentar proposta é de 50%. a) Qual a probabilidade de sua firma ganhar a concorrência? R. 0,458 b) Qual a probabilidade de seu concorrente ter apresentado proposta, dado que a firma do leitor ganhou a concorrência? R. 0,272 28. Um júri consiste em 15 pessoas que somente completaram o ensino médio e em 9 pessoas que tiveram alguma educação superior. Se um advogado seleciona ao acaso dois membros do júri para uma aguição, qual é a probabilidade de nenhum dos dois ter tido alguma educação superior? R. 0,38 29. Se for de 0,7 a probabilidade de uma pessoa entrevistada em um shopping ser contra o aumento de impostos para o financiamento de obras de saneamento, qual é a probabilidade de entrevistar 4 pessoas no shopping e as três primeiras pessoas entrevistadas serem contra o aumento de impostos, mas a quarta não ser contra? R. 0,1029 30. Com relação à questão 28, se três dos membros do júri forem escolhidos ao acaso pelo advogado, qual é a probabilidade de nenhum deles ter tido alguma educação superior? R. 0,225 31. Dentre os 30 candidatos a um cargo numa instituição financeira, alguns são casados e outros não são, alguns têm experiência e outros não, as quantidades estão expressas na tabela abaixo. Casados Solteiros Alguma experiência 6 3 Nenhuma experiência 12 9 Se o gerente da instituição escolher ao acaso o primeiro candidato a ser entrevistado, se C é o evento que corresponde ao primeiro candidato a ser entrevistado ser casado e E é o evento que corresponde ao primeiro candidato a ser entrevistado ter experiência. Calcule as seguintes probabilidades P(C E) e P(E/C) R. 0,2 e 0,3 32. A probabilidade de um ônibus da linha Rio - São Paulo partir no horário é de 0,8 e a probabilidade de o ônibus partir no horário e chegar também no horário e chegar também no horário é de 0,72. a. Qual é a probabilidade de um ônibus que parte no horário chegar também no horário? R. 0,9 b. Se há uma probabilidade de 0,75 de que tal ônibus chegar no horário, qual é a probabilidade de um ônibus que chega no horário ter partido também no horário? R. 0,96
33. Dentre os 40 volumes de bagagem embarcados num ônibus do aeroporto de Recife para o bairro de Boa Viagem, 30 são destinados ao hotel Recife Plaza e 10 são destinados ao hotel Marante Plaza. Se dois dos volumes são furtados do ônibus enquanto estava parado no semáforo, qual é a probabilidade de ambos terem por destino o hotel Recife Plaza? R. 0,557 34. Numa fábrica de enlatados, as linhas de produção I, II e III respondem por 50, 30 e 20% da produção total. Se 0,4% das latas da linha I são lacradas inadequadamente e as percentagens correspondentes às linhas II e III são 0,6% e 1,2%, respectivamente, qual é a probabilidade de uma lata lacrada impropriamente provir da linha I? R. 0,32 35. O corpo docente do departamento de matemática conta com três doutores, dois mestres e cinco graduados. Se três professores são escolhidos aleatoriamente para uma banca examinadora, obtenha as probabilidades de a banca incluir: a. Um professor de cada tipo de formação R. 0,25 b. Somente professores graduados R. 0,083 c. Um doutor e dois graduados R. 0,25