Módulo de Redução ao Primeiro Quadrante e Funções Trigonométricas Redução ao Primeiro Quadrante 7 ano E.F. Professores Tiago Miranda e Cleber Assis
Redução ao Primeiro Quadrante e Funções Trigonométricas Redução ao Primeiro Quadrante Exercícios Introdutórios Exercício. Calcule os valores dos senos, cossenos e tangentes abaixo utilizando a redução dos respectivos arcos do quadrante para o quadrante. a sen 0 b sen c sen 0 d cos 0 e cos f cos 0 g tg 0 h tg i tg 0 Exercício. Calcule os valores dos senos, cossenos e tangentes abaixo utilizando a redução dos respectivos arcos do quadrante para o quadrante. a sen 0 b sen c sen 0 d cos 0 e cos f cos 0 g tg 0 h tg i tg 0 Exercício. Calcule os valores dos senos, cossenos e tangentes abaixo utilizando a redução dos respectivos arcos do quadrante para o quadrante. a sen 0 b sen c sen 00 d cos 0 e cos f cos 00 g tg 0 h tg i tg 00 Exercícios de Fixação Exercício 7. que: Sejam os arcos trigonométricos α, β e γ, tais α e β pertencem ao quadrante e γ pertence ao quadrante; α e β são complementares; α e γ são suplementares. Nessas condições, qual a razão entre o sen β e o cos γ? Exercício 8. Exercício 9. Se sen α =, qual o valor de senα + π? Calcule o valor de cada expressão abaixo: a sen 0 + cos cos 0. b cos 00 sen 00. c cos 0 tg 0 + sen 0. Exercício 0. a sen α < 0 e cos α < 0 b sen α > 0 e tg α < 0 c cos α > 0 e tg α > 0 Exercício. Em qual quadrante se tem simultaneamente Um ângulo tem sua extremidade no quadrante e seu seno vale. Qual o valor da tangente desse ângulo? Exercício. Seja x R, com π < x < π e sec x =, qual o valor da cotg x? Exercício. No círculo trigonométrico da figura abaixo, tem-se θ = 0. Exercício. Calcule os valores das funções trigonométricas abaixo utilizando a redução dos respectivos arcos adequadamente a cada caso. a sec 0 b cossec c cotg 00 d sen 7 e cos 00 f tg 70 Qual o valor numérico do produto Exercício. Qual o valor de A = cossec 0 sec 0 cotg 0? Exercício. Dois ângulos distintos, menores que 0, têm, para seno, o mesmo valor positivo. Qual a soma desses ângulos? OA OB? Exercício. Qual o valor de cos 00? Exercício. Sendo x = 0π, quando o valor de sen x + tg x? http://matematica.obmep.org.br/ matematica@obmep.org.br
Exercícios de Aprofundamento e de Exames Exercício. I tg 9 = tg 88 II tg 78 = tg 88 III tg 8 = tg 88 IV tg 7 = tg 88 Quais estão corretas? Exercício 7. abaixo. Considere as afirmações a seguir: Observe atentamente a simetria da figura Sabendo-se que sen π = 9 sen π e sen π?, então quais os valores de Exercício 8. Um arco x é tal que sen x =. Sendo assim, qual o valor de senx + π? http://matematica.obmep.org.br/ matematica@obmep.org.br
Respostas e Soluções.. Para facilitar, lembre que o seno no quadrante tem sinal positivo, o cosseno tem sinal negativo e a tangente é então negativa. Reduzindo para o primeiro quadrante, temos a sen 0 = sen 0 = b sen = sen = c sen 0 = sen 0 =... d cos 0 = cos 0 =. e cos = cos =. f cos 0 = cos 0 =. g tg 0 = tg 0 =. h tg = tg =. i tg 0 = tg 0 =.. Observe que o seno no tem sinal negativo, o cosseno tem sinal negativo e a tangente é então positiva. Sendo assim, teremos que a sen 0 = sen 0 =. b sen = sen =. c sen 0 = sen 0 =. d cos 0 = cos 0 =. e cos = cos = f cos 0 = cos 0 =. g tg 0 = tg 0 = h tg = tg =.. i tg 0 = tg 0 =... Para facilitar, lembre que o seno no quadrante tem sinal negativo, o cosseno tem sinal positivo e a tangente é negativa. Fazendo a redução para o primeiro quadrante, temos a sen 0 = sen 0 =. b sen = sen =. c sen 00 = sen 0 =. d cos 0 = cos 0 =. e cos = cos =. f cos 00 = cos 0 =. g tg 0 = tg 0 =. h tg = tg =. i tg 00 = tg 0 =.. a sec 0 = b cossec = c cotg 00 = d sen 7 = sen = cos 0 = cos 0 =. sen = sen =. tg 00 = tg 0 =.. e cos 00 = cos 0 = cos 0 =. f tg 70 = tg 0 = tg 0 =.. Adaptado do vestibular da UEPB Temos que cossec 0 = cossec 00 = sen 00 = sen 0 =, sec 0 = sec 0 = cotg 0 = cotg = tg =. Daí, escrevemos cos 0 = cos 0 = e A = cossec 0 sec 0 cotg 0 = =. http://matematica.obmep.org.br/ matematica@obmep.org.br
. Adaptado do vestibular da UFJFMG Ângulos com mesmo seno positivo estão no primeiro e segundo quadrantes e podem ser escritos como α e 80 α. Portanto, a soma deles é α + 80 α = 80. 7. Adaptado do vestibular da UNIFORCE Como α e β são complementares, então sen α = cos β e cos α = sen β. Agora, para α e γ suplementares temos sen α = sen γ e cos α = cos γ. Por fim, a razão pedida fica sen β cos γ = cos α cos α =. 8. Perceba que α + π é o simétrico de α em relação à origem. Assim, o seno mudará de sinal mas terá o mesmo valor absoluto, ou seja, 9. a senα + π =. sen 0 + cos cos 0 = + cos cos 0 = + + = b cos 00 sen 00 = cos 0 sen 0 = cos 0 = =. = +. c cos 0 tg 0 + sen 0 = cos 0 + sen 0 = + = = 8 8. 0. Analisando o ciclo trigonométrico, temos: a b c. Seja α o ângulo em questão. Como ele pertence ao quadrante, tem cosseno negativo e tangente negativa. Dado que sen α =, podemos aplicar a fórmula fundamental chegando a sen α + cos α = + cos α = 9 + cos α = cos α = 9 cos α = cos α = ± cos α =. Portanto, concluímos que tg α =.. Perceba que x pertence ao quadrante, logo tem cosseno negativo e cotangente positiva. Com o sec x = cos x =, temos cos x = e, ao aplicar a fórmula fundamental, teremos sen x + cos x = sen x + = sen x + = sen x = sen x = sen x = ± sen x =. Portanto, concluímos que cotg x =.. Perceba que OA = cos 0 = cos 0 = e OB = cos 0 = cos 0 =. Assim, a expressão pedida equivale a OA OB = =.. Temos que 00 = 0 + 0. Então cos 00 = cos 0 = cos 0. http://matematica.obmep.org.br/ matematica@obmep.org.br
. Perceba que x = 0π ou seja, x = 0π escrever que = 0π é côngruo a π. sen x + tg x = sen π + tg π π π = sen tg = + + =. π = π π, Agora, podemos. Adaptado do vestibular da UFRGS I tg 9 = tg80 9 = tg 88 II tg 78 = tg80 78 = tg = tg 88 III tg 8 = tg8 80 = tg 88 IV tg 7 = tg0 7 = tg 88 Ficamos com I, III e IV sendo verdadeiras. 7. Adaptado do vestibular da UNIMONTES - MG Observe que 9π = π + 7π = π + 7π. Assim, concluímos que 9π é côngruo a 7π. Sendo assim, podemos fazer sen 9π = sen 7π 7π = sen π π = sen =. Analogamente, ficamos com sen π = sen π + π = sen π + π π = sen =. 8. Adaptado do vestibular da UFAM Como sen x < 0 temos x ou no III ou no IV quadrante. Ao considerarmos x + π, ficaremos com o novo arco no I ou no II quadrante. Qualquer um deles tem seno positivo e mesmo valor em módulo. Sendo assim, senx + π =. Elaborado por Tiago Miranda e Cleber Assis Produzido por Arquimedes Curso de Ensino contato@cursoarquimedes.com http://matematica.obmep.org.br/ matematica@obmep.org.br