Aula 07 mtm B MATRIZES

Aula 07 mtm B MATRIZES

Definição Tabela de números dispostos em linhas e colunas. Representação ou ou Ordem da Matriz Se uma matriz A possui m linhas e n colunas, dizemos que A tem ordem m por n e escrevemos que a ordem de A é... A m x n.

Ordem da Matriz Exemplo 1: A 3 x 2 A m x n linhas - i j - colunas -1 2 = 0 1 3 0 Exemplo 2: Calcule a quantidade de elementos de cada matriz. a)a 3 x 4 b)(a 3 x 4)² c)(a 3 x 3)² 12 elementos 0 (zero) elementos, pois a matriz A não está definida. 9 elementos

Forma Genérica a11 a1 n = am 1 a mn A m x n A 3 x 2 a a 11 12 = a21 a22 a a 31 32 Lei da Matriz Exemplo 1: (Udesc) Calcule o Tr(A) da matriz A 2 x 2 dada pela seguinte lei: Resolução: P = 2! = 2 2 2 C = 0 1 j C i, sei j a ij = P (i+j), sei = j 2 A= C = 2 2 1 2 P = 4! = 24 4 0 24 Tr(A)= DP =26

Matriz Quadrada Quando o número de linhas da matriz A for igual ao número de colunas de A, ou seja, A m x n onde..., m = n podemos dizer simplesmente matriz A de ordem n. 2-1 Exemplo A = 7 0 Exemplo 1: Classifique como Verdadeiro ou Falso. ( V ) Somente as matrizes quadradas tem diagonal. ( F ) Podemos calcular o determinante de qualquer matriz. ( V ) Pode-se calcular o traço de uma matriz, somente se ela for quadrada.

Matriz Retangular Quando o número de linhas da matriz A for diferente do número de colunas de A, ou seja, toda matriz A m x n onde... m n. 5 9 11-7 Exemplo A = 4-1 0 2 Exemplo 1: Classifique como Verdadeiro ou Falso. ( V ) (UFPR) Todo quadrado é um retângulo. ( F ) (UFPR) Toda matriz quadrada é uma matriz triangular.

Matriz Nula O m x n Quando aij = 0, i e j..... Exemplo O 0 0 0 = 0 0 0 Exemplo 1: Classifique como Verdadeiro ou Falso. ( ) (UFSC) Só existe matriz nula se ela for quadrada. F

Matriz Oposta Matriz oposta de uma matriz A = (aij)m x n é a matriz B = (bij)m x n tal que bij = - aij. Exemplo A 2-1 = -7 5 B = - A -2 1 = 7-5 Exemplo 1: Classifique como Verdadeiro ou Falso. ( ) A oposta de uma matriz nula, é sempre uma matriz nula. V

Matriz Linha Toda matriz que possui apenas uma linha, ou seja, toda matriz... A 1 x n. Exemplo A = (-7 3 1) Matriz Coluna Toda matriz que possui apenas uma coluna, ou seja, toda matriz... A m x 1. Exemplo A = 2-3

Matriz Diagonal Uma matriz quadrada Amxn=(aij) é uma matriz diagonal quando... aij R i = j e aij = 0 i j. 2 0 Exemplo A = 0-3 Exemplo 1: Classifique como Verdadeiro ou Falso. 0 0 0 ( V ) A matriz A = 0 0 0 é diagonal. 0 0 0 ( F ) Toda matriz nula é diagonal.

Matriz Escalar Matriz diagonal na qual os elementos da diagonal principal são todos iguais. 3 0 Exemplo A = 0 3 Matriz Unidade (Identidade) É a matriz diagonal de ordem n na qual satisfaz... aij = 0, i j e aij = 1, i = j. 1 0 Exemplo A = 0 1

Matriz Transposta A t É a matriz... cujas linhas são as colunas da matriz A, escritas na mesma ordem, e as colunas de..., A t são as linhas de A. Exemplo A 0-2 5 = 1 3 8 A t 0 1 = -2 3 5 8 Exemplo 1: Classifique como Verdadeiro ou Falso. ( V ) Se a matriz A é de ordem 2 x 3, então A t é de ordem 3 x 2. ( F ) A transposta de uma matriz nula é ela mesma.

Matriz Simétrica Quando os elementos de uma matriz quadrada que ocupam posições simétricas em relação a diagonal principal são iguais... A=A t. 4 8-7 Exemplo A = 8 1 3-7 3-2

Matriz Anti-simétrica Quando os elementos de uma matriz quadrada que ocupam posições simétricas em relação a diagonal principal são opostos... A=-A t. Exemplo A 0-8 7 = 8 0-3 -7 3 0

Matriz Anti-simétrica Exemplo 1: (UFSC 2005) Pode-se afirmar que a matriz A é anti-simétrica. 0 0 1 A = 0 0 0 1 0 0 Resolução: A=-A t 0 0-1 t -A = 0 0 0-1 0 0 Neste casa a matriz a é simétrica.

Matriz Anti-simétrica Exemplo 2: (UFRGS) Sabendo que a matriz A é anti-simétrica calcule o valor de a + b + c + d. Resolução: a b -7 A = -2 0 c d 1 0 a = 0 c = - 1 a + b + c + d = 0 + 2-1 + 7 = 8 b = 2 d = 7

Matriz Involutiva A = A 1 Uma matriz A quadrada é involutiva quando.... Exemplo A 1 1 = 0-1 Exemplo 1: Classifique como Verdadeiro ou Falso. ( ) A matriz O 2 é uma matriz involutiva. F

Matriz Triangular Matriz quadrada, na qual os elementos situados acima (triangular inferior) ou abaixo (triangular superior) da diagonal principal são todos nulos. 2 0 0 2 6-7 Exemplo A = 2-3 0 Exemplo A = 0-3 11 5 4 1 0 0 1 Triangular inferior Exemplo 1: Classifique como Verdadeiro ou Falso. 2 0 0 ( V ) A matriz A = 0 3 0 é dita só triangular. 0 0 1 Triangular superior

Matriz Ortogonal Matriz A cuja inversa coincide com sua transposta.... Matriz Singular 1 0 Exemplo A = 0-1 Uma matriz quadrada é dita singular quando não admitir inversa, ou seja, seu determinante é nulo. 2 6 Exemplo A = 1 3 A t = A -1

Matriz Inversível Uma matriz quadrada é dita inversível ou regular, quando admite inversa, ou seja, seu determinante é diferente de zero. 5-1 2 Exemplo A = 1 0 1 0 3-2

Exemplo 1: (UEM) O diagrama abaixo representa um mapa rodoviário, mostrando, as estradas que ligam as cidades 1, 2, 3, 4. A matriz A = [ aij ]4x4 associada a este mapa é definida da seguinte forma: aij = 1 se i está ligado diretamente a j; 0 se i = j ou i não tem ligação direta com j. Sabendo que i, j referem-se às cidades do mapa e variam no conjunto {1, 2, 3, 4}, assinale o que for verdadeiro. 01. A matriz é simétrica. 02. A matriz é quadrada. 04. A matriz é inversível. 08. A matriz é diagonal. 16. A matriz é triangular.

01. ( V ) A matriz é simétrica. A = A t 02. ( V ) A matriz é quadrada. A n x n 04. ( V ) A matriz é inversível. det (A) 0 08. ( F ) A matriz é diagonal. aij R i = j e aij = 0 i j 16. ( F ) A matriz é triangular. aij = 0 i > j ou aij = 0 i < j Resolução: A= a a a a a a a a a a a a 11 12 13 14 21 22 23 24 31 32 33 a a a a 34 41 42 43 44 A= 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 Gabarito: 07

Operações com Matrizes Traço da Matriz Quadrada Soma dos elementos da sua diagonal principal. Exemplo 1: Classifique como Verdadeiro ou Falso. ( ) Tr (A) = Tr (A t ). V Igualdade de Matriz Duas matrizes são iguais se possuírem a mesma ordem e valer a igualdade... aij=bij i, j. Exemplo 1: Encontre os valores de x, y e z. 1-2 1 2z = 6 y 2x 7 x = 3 y = 7 z = -1

Operações com Matrizes Adição de Matriz Dadas as matrizes A = (aij)mxn e B = (bij)mxn é definida por A + B = C = (cij)mxn, então temos cij = aij + bij. Exemplo 1: Calcule: 1-2 1 0 + = 4 3-3 5 2-2 1 8

Operações com Matrizes Multiplicação de um Número Real por Uma Matriz O produto de um escalar α por uma matriz A, é a matriz obtida multiplicando cada elemento de A pelo escalar α. Exemplo 1: Calcule: 2 3 4 6 2 = 1 5 2 10 Multiplicação de um Número Real por Um Determinante O produto de um escalar α por um determinante, é o determinante obtido multiplicando o escalar αpor uma fila do determinante. Exemplo 1: Calcule: 2 3 4 6 2 = 1 5 1 5

Propriedades Elemento Neutro A + O = O + A = A (Válido na soma) A O = A O A = A (Não vale na diferença) Associativa (A + B) + C = A + (B + C) (A B) C A (B C) (Válido na soma) (Não vale na diferença)

Propriedades Comutativa A + B = B + A A B B A A. B B. A (Válido na soma) (Não vale na diferença) (Não vale no produto) Elemento Oposto A + (- A) = (- A) + A = O

Propriedades Transposta (A t ) t = A (nº de transposta for par A) (A t ) t ) t = A t (nº de transposta for ímpar A t ) (A + B) t = A t + B t (A. B) t = B t. A t (A m x p. B p x n ) t = (B A p m t. (B n p n x p ) t. (A p x m ) t Não são iguais, logo, não existe o produto.

Problema UCMG Classifique cada afirmação como V ou F. a. ( V ) Toda matriz identidade é necessariamente quadrada. b. ( F ) Existe matriz identidade que não é quadrada. c. ( F ) Toda matriz nula é necessariamente quadrada. d. ( V ) Existe matriz nula que não é quadrada. e. ( V ) (A t ) t = A, qualquer que seja A. f. ( F ) A t A, qualquer que seja a matriz A. g. ( V ) Se a matriz A é do tipo 2 x 3, então A t é do tipo 3 x 2.

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