INTRODUÇÃO AO ESTUDO DO FLUXO DE CAIXA O estudo da matemática financeira é desenvolvido, basicamente, através do seguinte raciocínio: ao longo do tempo existem entradas de dinheiro (receitas) e saídas de dinheiro (desembolsos) nos caixas das empresas e nas finanças das pessoas. Essa circulação de valores é denominada, em seu conjunto, fluxo de caixa. Podemos representar um fluxo de caixa através do seguinte diagrama: (+) (+) (+) (+) 0 1 2 3 4 5... n tempo ( ) ( ) As receitas são sempre indicadas com setas voltadas para cima, seguidas do sinal positivo (+) e os desembolsos são sempre indicados com setas voltadas para baixo seguidas do sinal negativo ( ). O eixo horizontal representa a linha do tempo iniciada a partir de uma data inicial (data zero); a unidade de tempo pode ser expressa em qualquer período (ano, mês, dia, etc.) SÉRIE UNIFORME DE PRESTAÇÕES PERIÓDICAS Entende-se série uniforme de prestações periódicas como sendo o conjunto de pagamentos (ou recebimentos) de valor nominal igual, que se encontram dispostos em períodos de tempo constantes, ao longo de um fluxo de caixa. Se a série tiver como objetivo a constituição do capital, este será o montante da série; ao contrário, ou seja, se o objetivo for a amortização de um capital, este será o valor atual da série.
Classificação As séries uniformes de prestações periódicas mais importantes e que serão objeto de estudo desse capítulo são: Série uniforme de prestações periódicas postecipadas caracteriza-se pelo fato de os pagamentos ocorrerem no final de cada intervalo de tempo, ou seja, não existem pagamentos na data zero. Série uniforme de prestações periódicas antecipadas caracteriza-se pelo fato de os pagamentos ocorrerem no início de cada intervalo de tempo, ou seja, a primeira prestação ocorre na data zero. Série uniforme de prestações periódicas diferidas caracteriza-se pelo fato de existir uma carência entre a data zero e o primeiro pagamento da série. Obs.: As séries acima mencionadas, independentemente da sua classificação, estão inseridas no contexto de capitalização composta já vista anteriormente, ou seja, cada pagamento R será capitalizado ou descapitalizado à luz de uma taxa de juros i, durante um certo período de tempo n. Série uniforme de prestações periódicas postecipadas Esta série tem como característica principal o fato de que cada pagamento realiza-se no final de cada intervalo de tempo. Sabemos que podemos calcular o Montante (S p ) ou o Valor presente (P p ) da série em questão. Para o cálculo do montante da série, iremos nos valer do montante S do regime de capitalização composta, ou seja, o fator de acumulação de capital por operação única (F.A.C.); em contrapartida, para o cálculo do valor atual da série, utilizaremos o cálculo do desconto composto racional A r, ou seja, o fator de valor presente por operação única (F.V.P.).
Valor presente da série (P p ) Dado o fluxo abaixo, podemos encontrar o valor atual do mesmo descontando ou descapitalizando cada valor R para uma mesma data. Por convenção, iremos escolher a data zero. 0 1 2 3... n 1 n tempo Obs.: A relação n ( 1 i). i n 1 i 1 é comumente chamada de Fator de Valor Presente por Operação Múltipla e será indicada por (FVP m ). Exemplo Em certa época, foi contraída uma dívida a qual foi paga em 18 pagamentos trimestrais iguais de R$ 1.000,00 através de uma taxa de juros de 23% ao trimestre. Determinar o valor dessa dívida.
Montante da série (S p ) É a soma dos montantes de cada uma das prestações em uma determinada data. Isto posto, vamos determinar o montante da série na data n, imediatamente após a realização do último pagamento. 0 1 2 3... n 1 n tempo n ( 1 i) 1 Obs.: O quociente será chamado Fator de Acumulação de i Capital por Operação Múltipla e será denominado por (F.A.C. m ) EXERCÍCIO Um investidor depositou R$ 1.500,00 semestralmente para formar um pecúlio durante dez anos. Calcule o valor acumulado para uma taxa de 30% ao semestre.
Série uniforme de prestações periódicas antecipadas Vimos, pela definição, que esta série caracteriza-se pelo fato de que os pagamentos (ou recebimentos) sempre irão ocorrer no início do intervalo de tempo. Analogamente às rendas postecipadas, podemos calcular o Valor Atual da Série (P a ) através do desconto composto racional A r, ou o Montante da série (S a ), através do cálculo do montante S relativo à capitalização composta. Valor presente da série (P a ) Dado o fluxo abaixo, para se calcular o valor atual da série, procede-se de maneira idêntica às rendas postecipadas, ou seja, descontam-se todas as parcelas para a data zero e, nesta data, as somamos: 0 1 2 3 n 1 n Notemos que a expressão E trata-se, como já vimos, do Fator de Valor Presente por Operação Múltipla (FVP m ) de n 1 termos. Sendo assim, para que nós não tenhamos de desenvolver todo um novo instrumental matemático, com novas fórmulas e tabelas, iremos nos valer do fator anteriormente mencionado com o cuidado de, em relação às séries antecipadas, utilizarmos um período a menos ( o que ocorre na data zero). P a = R [1 + (FVP m ) n 1 ]
Exemplo Calcule o valor atual de uma renda mensal antecipada, cujo valor da prestação é de R$ 1.000,00, dada uma taxa de 2% ao mês durante dez meses. Montante da série (S a ) É a soma dos valores dispostos ao longo do fluxo de caixa em uma determinada data. Visando uniformizar os procedimentos adotados ao longo do texto, vamos capitalizar os valores para a data n. 0 1 2 3... n 1 n tempo Note que a expressão E trata-se exatamente do (F.A.C. m ) Fator de Acumulação de Capital por Operação múltipla. Para efeito de uso do formulário existente, iremos assumir que o fato do (F.A.C. m ) estar sendo multiplicado por (1 + i), implica mais um período de capitalização. Isto posto, devemos ter o cuidado de somar 1 à variável n e subtraí-la do resultado final. Matematicamente ficaria: S a = R [ (FAC m ) n +1 1]
Exemplo Calcule o montante de uma renda antecipada de 15 meses, com prestações mensais de R$ 2.000,00, à taxa de 9% ao mês. Série uniforme de prestações periódicas diferidas Estudaremos, agora, um conjunto de pagamentos (ou recebimentos) que ocorrem sempre após um certo período de carência, também chamado Prazo de Diferimento. Valor atual da série (P d ) Em relação ao fluxo abaixo, vamos determinar o Valor Atual (P d ) na data zero: 0 1 2 3... m m + 1 m + 2 m + 3... m + n Notemos que a série ocorrida entre os períodos m e m+n tem o comportamento idêntico às séries postecipadas; daí pode-se calcular o Valor Atual (P d ) através do seguinte raciocínio. 1º) Calculamos o valor atual P p (séries postecipadas) na data m, ou seja, P m = R.(FVP m ) 2º) Descontamos P m através do desconto composto racional para a data zero por m períodos encontrando, dessa forma, o valor atual P d. Matematicamente, teríamos:
Exemplo Uma máquina é vendida a prazo através de oito prestações mensais de R$ 4.000,00 sendo que o primeiro pagamento só irá ocorrer após três meses da compra. Determine o preço à vista, dada uma taxa de 5% ao mês. Montante da série (S d ) Devido à inexistência de pagamentos e capitalizações durante o prazo de carência, para o cálculo do Montante (S d ) de uma série diferida, proceda de forma análoga à série postecipada, ou seja, S d = R.(FAC m ). Série uniforme de prestações periódicas com parcelas intermediárias O assunto tratado aqui é bastante comum em relação ao mundo dos negócios, principalmente no que tange ao mercado imobiliário pois, nesse mercado, podem existir situações em que os pagamentos (ou recebimentos) dispostos ao longo de um fluxo de caixa prevêem, além das prestações pré-estabelecidas, pagamentos intermediários. Nestes casos, para se encontrar o valor atual da série, devemos empregar os conceitos anteriormente vistos em relação à especificidade da série em questão e descontar as parcelas extras para a data zero somando, nesta data, tais valores ao valor atual da série. Exemplo Um apartamento está à venda nas seguintes condições: R$ 700,00 de sinal; 12 parcelas mensais e consecutivas de R$ 3500,00 sendo que a primeira ocorrerá 30 dias após o sinal; 2 parcelas semestrais de R$ 5.000,00 Dada uma taxa de 11% ao mês, calcule o preço à vista do imóvel.