1 Notas de aula da disciplina de Ana lise de Circuitos 2 Prof. Luciano Baracho Rocha Maio de 2016 Sumário Potência aparente e fator de potência... 2 Exercício 1:... 4 Exercício 2:... 5 Potência Complexa... 6 Triângulo de Potência... 9 Exercício 3:... 10 Referência: Circuitos Elétricos, 5ª edição, Charles K. Alexander e Matthew N. O. Sadiku. Mc Graw Hill, 2013. Observação: o texto precisa de uma revisão final, e pode conter erros.
2 Potência aparente e fator de potência Sabemos que se a tensão e corrente nos terminais de um circuito forem v(t) = V m cos(ωt + θ v ) e i(t) = I m cos(ωt + θ i ) ou, na forma fasorial, V = V m e jθ v e I = I m e jθ i e a potência média P = 1 2 V m. I m cos(θ v θ i ) e também onde o novo termo na equação P = V RMS I RMS cos(θ v θ i ) = S cos(θ v θ i ) é conhecido como potência aparente. S = V RMS I RMS O fator cos(θ v θ i ) é chamado fator de potência (FP). Potência aparente, em VA é o produto dos valores RMS da tensão e da corrente. A potência aparente tem esse nome porque parece que deve ser o produto da tensão com a corrente por analogia com os circuitos resistivos em CC. Ela é medida em volt-ampères ou VA para distingui-la da potência média ou real, que é medida em watts. O fator de potência é adimensional, já que é a razão entre a potência média e a potência aparente, FP = P S = cos(θ v θ i ) O ângulo θ v θ i é denominado ângulo do fator de potência, uma vez que ele é o ângulo cujo cosseno é o fator de potência. O ângulo do fator de potência é igual ao ângulo da impedância da carga se V for a tensão na carga e I a corrente através dela. Isso fica evidente a partir do fato que Como Z = V I = V me jθ v I m e jθ i = V m I m e j(θ v θ i )
3 V RMS = V 2 = V RMSe jθ v e, A impedância Z pode ser escrita I RMS = I 2 = I RMSe jθ i Z = V I = V RMS I RMS = V RMS I RMS e j(θ v θ i ) Fator de potência é o cosseno da diferença de fase entre a tensão e a corrente. Êle também é o cosseno do ângulo da impedância de carga.
4 Fator de potência deve ser visto como aquele fator pelo qual a potência aparente dever ser multiplicada para se obter a potência média ou potência real. O valor do FP varia entre 0 e 1; Para uma carga puramente resistiva a tensão e a corrente estão em fase, de modo que θ v θ i = 0, e FP=1; isto faz com que a potência aparente seja igual à potência média. + Para uma carga puramente reativa θ v θ i = 90 o e FP=0. Neste caso a potência média é zero. Entre estes dois casos diz-se que o FP está adiantado ou atrasado; Um fator de potência adiantado significa que a corrente está adiantada em relação à tensão, implicando uma carga capacitiva; Um fator de potência atrasado significa que a corrente está atrasada em relação à tensão, implicando um carga indutiva; o fator de potência afeta as contas pagas pelos consumidores de energia elétrica, como veremos mais adiante; Exercício 1: Uma carga ligada em série drena uma corrente i(t) = 4 cos(100πt + 10 ) A quando a tensão aplicada é v(t) = 120 cos(100πt 20 ) V. Determine a potência aparente e o fator de potência da carga. Estabeleça valores dos elementos que formam a carga conectada em série. Solução: Respostas:240 VA; 0,866 (adiantado); R= 25,98 Ω e C= 212,2 µ F
5 Exercício 2: Deetermine o fator de potência de todo o circuito da figura abaixo visto pela fonte. Calcule a potência média liberada pela fonte 6 Ω 30 e j30 V RMS + _ -j2 Ω 4 Ω Respostas: FP =0,9734; P= 125 W
6 Potência Complexa Considere a carga CA da figura: I + V Carga Z - Sendo que na forma fasorial V = V m e jθ v e I = I m e jθ i da tensão v(t) e da corrente i(t) a potência complexa absorvida pela carga CA é o produto da tensão e do conjugado complexo da corrente, ou seja, S = 1 2 VI considerando a regra dos sinais (passivo). Em termos de valor RMS, onde, S = V RMS I RMS V RMS = V 2 = V RMSe jθ v e, I RMS = I 2 = I RMSe jθ i Podemos escrever a equação (x) como segue, S = V RMS I RMS e j(θ v θ i ) = V RMS I RMS cos(θ v θ i ) + jv RMS I RMS sen(θ v θ i )
7 1. A magnitude (módulo) da potência complexa é a potência aparente; 2. A potência complexa é medida em volt-ampères (VA); 3. O ângulo da potência complexa é o fator de potência; A potência complexa pode ser expressa em função da impedância local Z. Z = V I = V RMS I RMS = V RMS I RMS e j(θ v θ i ) Então V RMS = Z I RMS.Substituindo essa expressão na equação (x) : 2 S = I RMS Z = V 2 RMS Z = V RMS I RMS Uma vez que Z = R + jx, a equação (x) fica: 2 S = I RMS (R + jx) = P + jq Onde P e Q são a parte real e imaginária da impedância complexa. Então: 2 P = Re(S) = I RMS R 2 Q = Im(S) = I RMS X 4. P é a potência média real e ela depende da carga. Ela é a potência média em watts liberada para uma carga; ela é a única potência útil dissipada pela carga; 5. Q depende da reatância de carga X, e é denominada de potência reativa (ou em quadratura); ela é uma medida da troca de energia entra a fonte e a parte reativa da carga; a unidade de Q é o VAR (volt-ampère reativo) para diferenciá-la da potência real medida em watts. 6. Os indutores e capacitores são elementos armazenadores de energia, não dissipam nem absorvem energia, mas trocam energia (recebendo-a e fornecendo-a) com o restante do circuito; da mesma forma a potência reativa é transferida (nos dois sentidos) entre a carga e a fonte, pois representa uma troca semperdas entre a carga e a fonte. 7. Note que: Q = 0 para cargas resistivas (FP unitário); Q < 0 para cargas capacitivas (FP adiantado); Q> 0 para carga indutivas (FP atrasado); Portanto: Potência complexa (em VA) é o produto do fasor de tensão RMS e o conjugado complexo do fasor de corrente RMS. Por ser um número complexo, sua parte real é a potência real P e a sua parte imaginária é a potência reativa Q.
8 Resumindo: Potência complexa = S = V RMS I RMS = V RMS I RMS e j(θ v θ i ) Potência real = P = Re(S) = S cos(θ v θ i ) = P + jq Potência reativa = Q = Im(S) = S sen(θ v θ i ) Fator de potência = P S = cos(θ v θ i )
9 Triângulo de Potência S Q Z X P θ θ R (a)triângulo de potência; (b) triângulo de impedância; I m S +Q (FP atrasado) θ v θ i θ v θ i P Re S Q (FP adiantado) (c)triângulo de potência
10 Exercício 3: A tensão em uma carga é v(t) = 60 cos(ωt 10 o ) V a corrente através do elemento no sentido da queda de tensão é i(t) = 1,5cos (ωt + 50 ). Determine: (a) as potências complexa e aparente; (b)as potências real e reativa;(c) o fator de potência e a impedância de carga. Respostas: 45e -j60 VA; 45 VA; 22,5 W; -38,97 VAR; 0,5 (adiantado); 40e -j60 Ω