Cálculo Numérico P EM33D 8 de Abril de 03 Início: 07h30min (Permanência mínima: 08h40min) Término: 0h00min Nome: GABARITO LER ATENTAMENTE AS OBSERVAÇÕES, POIS SERÃO CONSIDERADAS NAS SUA AVALIAÇÃO ) detalhar a resolução de cada questão; ) organizar a resolução; 3) resoluções incompletas ou que não possam ser compreendidas serão desconsideradas; 4) não é permitido uso de material não autorizado previamente; 5) a interpretação da prova e sua resolução é de responsabilidade do aluno; 6) respeitar a notação matemática e o rigor científico; 7) as observações anteriores serão consideradas na avaliação; 8) não retirar o grampo da prova; 9) o formulário quando autorizado será anexado à prova e avaliado. Problema. Calcule integral pela regra dos trapézios (,0 pts) e pela regra de Simpson (,0 pts) usando quatro subdivisões 4 I = x dx. Trabalhe com 7 casas decimais. Discuta os resultados comparando com o valor exato da integral I (0, pts). O intervalo [,4] é dividido em quatro intervalos [x i,x i+ ] com x i =x 0 +hi, x 0 =, i=,,3,4 e h=(b a)/n =3/4=0, 75. Assim, temos a seguinte regra dos trapézios repetida: I TR = h {f(x 0)+[f(x )+f(x )+f(x 3 )]+f(x 4 )}. Substituindo os valores da tabela abaixo: encontramos i x i f(x i ) 0, 00, 0000000, 75, 38756, 50, 58388 3 3, 5, 807756 4 4, 00, 0000000 I TR =4, 655095. Utilizando a expressão da regra de Simpson repetida para 4 subdivisões, I SR = h 3 {[f(x 0)+f(x 4 )]+4[f(x )+f(x 3 )]+[f(x )]}
encontramos I SR =4, 66607. O valor exato da integral é Encontramos 4 I= [ ] 4 [ x dx= 3 x3/ = 4 3 ]= 4 4, 6666667. 3 3 I I TR =0, 0574 e I I SR =0, 0004460. O erro associado à regra de Simpson repetida é duas ordens de grandeza menor que o associado à regra dos trapézios repetida, o que é esperado pois I=I TR +O(h ) e I=I SR +O(h 4 ). Problema. Calcule a integral 0 I = e x dx 0 utilizando a fórmula da quadratura gaussiana com dois pontos (0,8 pts). Para utilizarmos a fórmula da quadratura gaussiana buscamos uma integração sobre o intervalo [, ]. Fazendo a seguinte mudança de variáveis, x= [a+b+t(b a)] x=5+5t t= x 5 dx=5dt x=0 t=, x=0 t= temos 0 I= e x dx= 5e 5+5t dt=5 e 5+5t dt 0 Pela fórmula da quadratura gaussiana, g(t)dt=a 0 g(t 0 )+A g(t ) com t 0 = 3 /3 0, 577350, t = 3 /3=0, 577350 e A0 =A =. Assim, g(t 0 )=e 5+5t0 =0, 0003756 e g(t )=0, 08445, e, portanto Logo, g(t)dt 0, 0. I=5 g(t)dt 0, 606005.
Problema 3. [,5 pts] Mostre que o método de Euler aperfeiçoado é um método de Runge-Kutta de segunda ordem. Um método para a resolução numérica de equações diferenciais ordinárias é dito do tipo Runge- Kutta de ordem n quando: (i) é de passo um; (ii) não utiliza o cálculo de derivadas da função que define a EDO; (iii) sua expressão coincide com o método de Taylor de ordem n. O método iterativo de Euler aperfeiçoado é dado por y n+ =y n + h [f(x n,y n )+f(x n +h,y n +hf(x n,y n ))], sendo y =f(x,y(x)). Portanto, evidentemente, (i) e (ii) são satisfeitos. Expandindo f(x, y(x)) em uma série de Taylor em torno de (x n,y n ), temos ( ) ( ) { f f f(x, y) = f(x n, y n ) + (x x n ) + (y y n ) + ( ) (x x n ) f x (x n,y n) y (x n,y n) x ( ) ( ) } (y y n ) f y +(x x n )(y y n ) f (α,β) x y (α,β) sendo algum α entre x ex n e algum β entre y e y n. Assim, substituindox=x n +h e y=y n +hf(x n, y n )e retendo os termos de primeira ordem apenas, temos f(x n +h,y n +hf(x n,y n )) f(x n,y n )+h ( ) ( ) f f +h f(x n,y n ). x (x n,y n ) y (x n,y n ) Substituindo na expressão do método de Euler Aperfeiçoado, encontramos [ ( f y n+ =y n +hf(x n,y n )+ h x ) + (x n,y n) ( ) ] f f(x n,y n ) y (x n,y n) que é a expressão para o método de Taylor de segunda ordem. Assim, a condição (iii) é também satisfeite e, portanto, o método de Euler aperfeiçoado é um método de Runge-Kutta de segunda ordem. (α,β) + Problema 4. [,5 pts] Calcule y(0, 60) para o problema de valor inicial y y(0) = 3 = y x+ +(x+)3, utilizando os métodos de Euler e Runge-Kutta de quarta ordem com h=0, 0. Compare os resultados com os valores exatos de y(x) nos pontos x i da malha, sabendo que y(x)= (x+)4 +5(x+). Os métodos de Euler e de Runge-Kutta de quarta ordem são dados, respectivamente, por y n+ =y n +hf(x n,y n ) 3
e y n+ =y n + 6 (k +k +k 3 +k 4 ) sendo k = hf(x ( n,y n ) k = hf x n + h,y n+ k ) ( k 3 = hf x n + h,y n+ k ) k 4 = hf(x n +h,y n +k 3 ). Em todos os casos, y n =y(x n ) e x n =x 0 +nh. Assim, utilizando os valores dados x 0 =0 e y 0 =3 e o passo h=0, 0, encontramos (com 4 casas decimais): n x n y n f(x n,y n ) y(x) y(x) y n 0 0, 0000 3, 0000 7, 0000 3, 0000 0, 000 4, 4000 9, 063 4, 6368 0, 368 0, 4000 6, 3, 687 6, 808 0, 6085 3 0, 6000 8, 5360 9, 6768, 408 para o método de Euler e (com 4 casas decimais): n x n y n f n k k k 3 k 4 y(x) y(x) y n 0 0, 0000 3, 0000 7, 0000, 4000, 67, 650, 8956 3, 0000 0, 000 4, 6365 9, 4556, 89, 570, 979, 505 4, 6368 0, 0003 0, 4000 6, 803, 487, 4978, 867, 8706 3, 48 6, 808 0, 0005 3 0, 6000 9, 6759 9, 6768 0, 0009 Problema 5. [,0 pt] (a) Deduza o método implícito para resolver o problema de valor inicial y (x)=f(x,y(x)), y(x 0 )=y 0, do tipo y n+ =y n + xn+ f(x,y(x))dx xn utilizando a regra dos trapézios para calcular a integral indicada. (b) Encontre a expressão do erro cometido a cada iteração do método. (c) Compare com o método de Euler, em termos dos erros. (a) Um método implícito para a resolução do PVI acima é dado pela aproximação da integral indicada pela integral do polinômio interpolador da função integrando. Nesse caso, aproximaremos a integral pelo método dos trapézios, ou seja sendo c (a,b). a b f(x)dx= b a Assim, lembrando que x n+ =x n +h, temos (b a)3 (f(b) b(a)) f (c), x n+ h f(x,y(x))dx= [f(x n,y(x n ))+f(x n+,y(x n+ ))] h3 f (α,y(α)) x n 4
para algum α (x n,x n+ ). Assim, o método implícito obtido pela regra dos trapézios é y n+ =y n + h [f(x n,y n )+f(x n+,y n+ )], (b) sendo o erro a cada iterada dado pelo termo residual e n = h3 f (α n,y(α n )). Assumindo a segunda derivada de f contínua, existe um M n = max x (xn,x n+) f (x) e, portanto, e n h3 M n. (c) O método de Euler apresenta erros de ordem h então o método implícito aqui obtido é uma ordem de grandeza mais preciso que o método de Euler. Problema 6. [,0 pt] (a) Reduza y +g (x,y)y +g (x,y)y =g 3 (x,y) a um sistema de três equações de primeira ordem. (b) Como fica o método de Euler para esta equação? (a) A equação diferencial ordinária de ordem três dada pode ser reduzida a um sistema de três equações de primeira ordem pela definição das seguintes variáveis: y(x) w (x) y (x)=w (x) w (x) y (x)=w (x) w 3 (x) y (x)=w 3 (x). Evidenciando y na definição da EDO, encontramos Assim, fazendo as substituições, temos y =g 3 (x,y) g (x,y)y g (x,y)y. w = w w = w 3 w 3 = g 3 (x,w ) g (x,w )w g (x,w )w 3 com as seguintes condições iniciais: w (x 0 )=y(x 0 ), w (x 0 )=y (x 0 ) e w 3 (x 0 )=y (x 0 ). (b) O método de Euler para esse sistema é dado pela seguinte equação vetorial sendo w n+ =w n +hf(x n,w n ), w n = w (x n ) w (x n ),f(xn,w n )= w w 3 w 3 (x n ) g 3 (x n,w (x n )) g (x n,w (x n ))w (x n ) g (x n,w (x n ))w 3 (x n ) e, como no caso unidimensional, x n =x 0 +n.h, sendo h o tamanho do passo do método. 5
Problema 7. [,0 pt] Utilize o algoritmo do método previsor-corretor de Adams-Moulton de quarta ordem para determinar uma aproximação de y(, 40) para o problema de valor inicial { y = y y() =, utilizando h=0, 0 e o seguinte critério de parada: (k) y n+ (k ) y n+ (k) <ε= 0 4. y n+ Assuma a solução y(x)=x conhecida para determinar y i =y(x i ) para i=, e 3. O método de Adams-Moulton é dado pelo seguinte preditor: (0) y n+ =y n + h 4 (55f n 59f n + 37f n 9f n 3 ), e pelo seguinte corretor: (k) y n+ =y n + h ( ) 9f (k ) 4 n+ + 9f n 5f n +f n, sendo ( ) f n f(x n,y n ) e f (k) (k) n =f x n,y n. [Atenção: y n (k) não representa, aqui, ak-ésima derivada da função y(x) e sim ak-ésima aproximação para o valor de y(x n ) obtida pelo método iterativo!] Assim, para calcular y(, 40) com um passo de h = 0, 0, precisamos conhecer y(x i ) nos pontos x 0 =, 00, x =, 0, x =, 0 e x 3 =, 30 que, neste caso, podem ser determinados exatamente por y(x) = /x. Assim, para inicializarmos o método, utilizamos: n x n y n =/x n f n =f(x n,y n )= y n 0, 00, 000000, 000000, 0 0, 909090 0, 86446, 0 0, 833333 0, 694444 3, 30 0, 76930 0, 597 Como x 4 =, 40, queremos determinar y(, 40)=y 4. O preditor nos fornece, com n=3, y 4 (0) =y 3 + h 4 (55f 3 59f + 37f 9f 0 )=0, 74436. De posse dessa primeira aproximação, calculamos ( ) ( ) f (0) (0) (0) 4 =f x 4,y 4 = y 4 = 0.5049 e determinamos a primeira iterada do corretor (n=3 e k=): y 4 () =y 3 + h 4 (9f 4 (0) + 9f 3 5f +f ) =0, 7469. 6
Calculando o erro, y 4 () y 4 (0) y 4 () = 0, 7469 0, 74436 0, 7469 =0, 00033>ε=0, 000. Logo, necessitamos de, pelo menos, mais uma iterada do corretor. Calculando f 4 (), obtemos ( ) f () () 4 = y 4 = 0, 508, que, substituindo na expressão para o corretor (n=3, k=), nos fornece y 4 () =y 3 + h 4 Determinando o erro, encontramos y 4 () y 4 () y 4 () = (9f 4 () + 9f 3 5f +f ) =0, 7478. 0, 7478 0, 7469 0, 7478 =0, 0000<ε=0, 000. Assim, com o critério de parada ε=0 4 a solução aproximada de y(x) no ponto x=, 40 é y 4 =0, 7478. Problema 8. [,0 pts] Resolva pelo método de diferenças finitas o problema de valor de contorno com h=0, 5. y +y +y = x y(0) =, y() = 0 O método das diferenças finitas consiste em transformar o problema de valor de contorno de segunda ordem acima em um sistema de equações algébricas. Considerando as seguintes aproximações (ambas de ordem h ), y (x n ) y n+ y n +y n h e y (x n )= y n+ y n, h sendo y n =y(x n ), a EDO nos fornece Agrupando os termos, temos sujeito às condições y n+ y n +y n h + y n+ y n h +y n =x n. (+h)y n+ +(h )y n +( h)y n =h x n, x 0 =0, x n =x 0 +nh=0, 5n x 4 =, ( h) = 0, 75 y(x 0 )=y 0 =, y(x 4 )=y 4 =0, h=0, 5 (h ) =, 9375. (+h) =, 5 7
Substituindo esses valores a equação de diferenças finitas nos fornece, para n=, e 3, o seguinte sistema linear: (n=): 0, 75.(), 9375y +, 5y = h 3 =0, 0565 (n=): 0, 75y, 9375y +, 5y 3 = h 3 =0, 035 (n=3): 0, 75y, 9375y 3 = 3h 3, 5(0)=0, 046875 Explicitanto y na primeira equação, y 3 na segunda e substituindo na terceira, encontramos: y =y(0, 5), 07487, y =y(0,5) 0, 5906 e y 3 =y(0, 75) 0, 806. 8