Tópico C mtm B PROGRESSÃO ARITMÉTICA

Tópico C mtm B PROGRESSÃO ARITMÉTICA

Definição Sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao anterior somado com uma constante chamada razão da progressão aritmética. Exemplo 1: Uma fábrica de automóveis produziu 400 veículos em janeiro e aumenta mensalmente sua produção de 30 veículos. Quantos veículos produziu em junho? Produção Inicial Janeiro Após 1 mês Fevereiro Após meses Março..... Após 5 meses Junho 400 430 460..... 550 + 30 + 30

Classificação PA crescente Ex.: (, 4, 6, 8...) r > 0 PA constante Ex.: (,,,...) r = 0 PA decrescente Ex.: (8, 6, 4,...) r < 0

Classificação Exemplo : Classifique como Verdadeiro ou Falso. ( V ) Se uma PA tem r > 0, então essa PA é crescente. ( F ) (UFSC 00) Se três números DISTINTOS formam uma progressão aritmética, então eles não formam uma progressão geométrica. ( V ) A PA (a +, a + 5, a + 8) é crescente. r = 3 ( F ) A PA (b + 1, 3b + 1, 4b + 1) é crescente. r = b, depende de b.

Classificação Exemplo 3: (FUVEST) Classifique a progressão ( - x + 4x 1, 7, x 4x + 6) ( - x + 4x 1, 7, x 4x + 6) 7 ( - x + 4x 1) = 7 + x - 4x + 1 = x 4x + 19 x 4x + 6 7 = x 4x + 19 Razão positiva ou negativa? y = x 4x + 19 = b² - 4ac = 4² - 4(1)(+19) = 16-76 = - 60 Independente de x, a razão (função) é sempre positiva. PA crescente É uma PA

Classificação Exemplo 3: (FUVEST) Classifique a progressão ( - x + 4x 1, 7, x 4x + 6) E se fosse positivo? x < 1 ou x > 3 PA crescente r > 0 + + + - - - - 1 3 + + + x = 1 ou x = 3 r = 0 PA constante 1 < x < 3 r < 0 PA decrescente

Notações Especiais PA de 3 termos (x r, x, x + r) PA de 4 termos (x 3r, x r, x + r, x + 3r) PA de 5 termos (x r, x r, x, x + r, x + r)

Notações Especiais Exemplo 4: (UFSC) Três lados de um triângulo retângulo estão em PA. Sabendo que sua área vale 150 cm, calcule o seu perímetro. x 3k - r 4k x 5k x + r Pitágoras (x + r)² = (x r)² + x² Área x(x r)/ = 150 Todo triângulo retângulo com os lados em PA, é um derivado ou o próprio 3, 4, 5. (4k.3k)/ = 150 1k² = 300 k² = 5 k = 5 3k 4k 5k 3(5) 4(5) 5(5) 15 0 5 P = 15 + 0 + 5 P = 60 cm

Notações Especiais Exemplo 4: (UFSC) Três lados de um triângulo retângulo estão em PA. Sabendo que sua área vale 150 cm, calcule o seu perímetro. 3 5 4 A = 4. 3/ = 6 150/6 = k² k² = 5 k = 5 P = 3 + 4 + 5 = 1 P = 1. 5 = 60 cm

Termo Geral da PA a n = a 1 + (n 1).r Exemplos: a n a 1 n r e-nésimo termo primeiro termo termo razão a) a 6 = a 1 + 5r b) a 6 = a 4 + r c) a 6 = a 10-4r

Termo Geral da PA Exemplo 5: (UDESC) Sabendo que a 3 + a 7 = 36 e a 5 + a 10 = 46, calcule : a) A razão da PA b) a 5 a) a 5 + a 10 = 46 a 3 + r + a 7 + 3r = 46 36 + 5r = 46 5r = 10 r = b) a 5 + a 10 = 46 a 5 + a 5 + 5r = 46 a 5 + 5r = 46 a 5 + 5() = 46 a 5 + 10 = 46 a 5 = 36 a 5 = 18

Termo Geral da PA Exemplo 6: (IME) O cometa Halley visita a terra a cada 76 anos. Sua última passagem por aqui foi em 1986. Quantas vezes ele visitou a Terra desde o nascimento de CRISTO? Em que ano foi sua primeira passagem na era cristã? PA de razão 76. a 1 é 1986. a n = a 1 + (n 1).r a n = 1986 + (n 1).( 76) a n = 1986 76n + 76 a n = 06 76n a n > 0 06 76n > 0 76n < 06 n < 7,13 n = 7 a 7 = a 1 + 6r a 7 = 1986 + 6.( 76) a 7 = 1986 1976 a 7 = 10

Termo Geral da PA Exemplo 6: (IME) O cometa Halley visita a terra a cada 76 anos. Sua última passagem por aqui foi em 1986. Quantas vezes ele visitou a Terra desde o nascimento de CRISTO? Em que ano foi sua primeira passagem na era cristã? PA de razão 76. a 1 é 1986. 1986 76-1976 6 + 1 = 7 - nº de vezes que visitou a Terra. 10 - ano da 1ª passagem.

Interpolação Aritmética Em toda sequência finita (a 1, a,, a n - 1, a n ), os termos a 1 e a n são chamados extremos e os demais são chamados meios. Interpolar ou inserir k meios aritméticos entre os números a e b, significa obter uma PA de extremos a 1 = a e a n = b, com n = k + termos. Para determinar os meios dessa PA é necessário calcular a sua razão.

Interpolação Aritmética Exemplo 7: (Uepg 010) Numa estrada existem dois telefones instalados no acostamento: um no 3 e outro no 48. Entre eles serão colocados mais 6 telefones, mantendo-se entre dois telefones consecutivos sempre a mesma distância. Nessas condições, assinale o que for correto. 01. A distância entre cada telefone será de 35. 0. Haverá um telefone no 108. 04. Se um motorista está no 165, a menor distância que ele terá que percorrer para encontrar um telefone será de 13. 08. No 73 não haverá telefone.

Interpolação Aritmética Exemplo 7: (Uepg 010) Numa estrada existem dois telefones instalados no acostamento: um no 3 e outro no 48. Entre eles serão colocados mais 6 telefones, mantendo-se entre dois telefones consecutivos sempre a mesma distância. Nessas condições, assinale o que for correto. estrada 3 38 73 108 143 178 13 48 45 48 3 = 45 45/7 = 35

Interpolação Aritmética Exemplo 7: (Uepg 010) Numa estrada existem dois telefones instalados no acostamento: um no 3 e outro no 48. Entre eles serão colocados mais 6 telefones, mantendo-se entre dois telefones consecutivos sempre a mesma distância. Nessas condições, assinale o que for correto. estrada a 1 a a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 3 a 8 = a 1 + 7r 48 = 3 + 7r 45 = 7r r = 35 38 73 108 143 178 13 a = a 1 + r = 3 + 35 = 38 a 3 = a 1 + r = 3 +.35 = 3 + 70 = 73 a 4 = 108 48 a 5 = 143 a 6 = 178 a 7 = 13

Interpolação Aritmética estrada a 1 a a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 3 38 73 108 143 165 178 13 48 45 01. A distância entre cada telefone será de 35. verdadeiro 0. Haverá um telefone no 108. verdadeiro 04. Se um motorista está no 165, a menor distância que ele terá que percorrer para encontrar um telefone será de 13. verdadeiro 08. No 73 não haverá telefone. falso 04) 178 165 = 13 165 143 = Gabarito: 07

Interpolação Aritmética Exemplo 8: (UDESC) Quantos múltiplos de 7 existem entre 0 e 1000. 1000 7-7 14 30-8 0-14 6 1000 6 = 994 a 1 = 1 a n = 994 razão 7 a n = a 1 + (n 1)r 994 = 1 + (n 1)7 973 = 7n 7 980 = 7n n = 140 São 140 múltiplos de 7 entre 0 e 1000.

Interpolação Aritmética Exemplo 9: Quantos múltiplos de 7 e 5 existem entre 0 e 1000. MMC (7, 5) = 35 Assim, deve-se verificar quantos múltiplos de 35 existem entre 0 e 1000. Exemplo 10: Quantos múltiplos de 7 ou 5 existem entre 0 e 1000. M (7) + M (5)- M (7 e 5) = M (7) + M (5) M (35)

Média Aritmética b = a + c Exemplo 11: (FUVEST adaptada) Quais os números x 1 e x que devem ser somados aos números -, 5 e 8, para que os números formem, respectivamente, uma PA e uma PG. PA -, 5, 8 (- + x 1, 5 + x 1, 8 + x 1 ) PA (a, b, c) PG -, 5, 8 (- + x, 5 + x, 8 + x ) 5 + x = - + x + 8 + x 1 (5 + x 1 ) = 6 + x 1 1 1 10 + x 1 = 6 + x 1 Não existe x, que somado a -, 5 e 8, formem uma PA. Média de PG (5 + x )² = (- + x )(8 + x ).

Soma Equidistante a 3 + a 7 = a 4 + a 6 Exemplo 1: (UFSC) Sabendo que a 3 + a 7 = 1, calcule a soma dos nove primeiros termos da PA. a m + a n = a x + a y m + n = x + y S (a 1 + a n)n n = S = (a 1 + a 9)9 9 S = (a 3 + a 7)9 9 S = 1. 9 9 = 54

Termo Médio PA (a, b, c) a e c são termos equidistantes de b. b = a + c Exemplo 13: (FUVEST - 3600 ZEROS) Sabendo que a soma dos 9 primeiros termos de uma PA é 17874, calcule seu 5º termo. S (a 1 + a n)n n = S = (a 1 + a 9)9 9 17874 = (a 1 + a 9)9 35748 = (a + a )9 1 9 397 = a + a 1 9 a + a a = 5 1 9 a = 397 5 a = 1986 5

Soma de PA Exemplo 14: (Espm 011) A soma dos n primeiros termos de uma sequência numérica é dada pela expressão S n = 8n² - 1. Pode-se afirmar que seu 10º termo é: S (a 1 + a n)n n = S n S n - 1 = a n S 10 S 9 = a 10 8(10)² - 1 ( 8(9)² - 1 ) = a 10 a 10 = 8.100 1 8.81 + 1 a 10 = 8(100 81) a 10 = 8(19) a 10 = 15

Soma de PA Exemplo 15: (Fgv 010) A soma dos 100 primeiros termos de uma progressão aritmética é 100, e a soma dos 100 termos seguintes dessa progressão é 00. A diferença entre o segundo e o primeiro termos dessa progressão, nessa ordem, é a) 10 4 b) 10 3 100 = (a c) 10 1 + a 100)100 a 101 + a 00 = 4 a d) 10 1 a + a = 1 + 100r + a 100 + 100r = 4 1 100 e) 1 + 00r = 4 00 = (a 101 + a 00)100 00r = (a a + a = 4 r = 1/100 = 10 1 + a n)n - 101 00 S n = razão Gabarito: c

Soma de PA Exemplo 16: (ACAFE) Um cálculo sobre o índice pluviométrico divulgou a seguinte dosagem: primeiro dia: 1,0 mv; segundo dia: 1, mv; terceiro dia: 1,4 mv;... e assim sucessivamente. Sabendo-se que o total acumulado será de 63 mv, até que as chuvas cessem, o número de dias de duração deste prognóstico será de: (1; 1,; 1,4;...) a n = a 1 + (n - 1)r a n = 1 + (n - 1)0, a n = 1 + 0,n - 0, a n = 0,8 + 0,n razão 0, S n = (a 1 + a n )n/ S n = (1 + 0,8 + 0,n)n/ 63 = (1,8n + 0,n²)/ 63 = 0,9n + 0,1n².(10) n² + 9n 630 = 0 n = 1 ou n = - 30 1 dias

Progressão Harmônica A sequencia (a n ) é considerada uma PH se a sequência 1/a n for uma PA. Exemplo 17: Classifique como Verdadeiro ou Falso. ( V ) UFPR A sequência 1/3, 1/5, 1/7 é uma progressão harmônica. Exemplo 18: A sequência 3, 4 e 6 é uma progressão harmônica. Calcule o 8º termo. a 8 = a 1 + 7r PH (3, 4, 6) 8º termo da PH a 8 = 1/3 + 7(-1/1) PA (1/3, 1/4, 1/6) - 4 a 8 = 1/3-7/1 - razão a 8 = - 3/1 8º termo 1/4-1/3 = - 1/1 a 8 = - 1/4 da PA

PA de Ordem Superior A sequência (a n ) é considerada de ordem superior se a sequência formada pelos números gerados á partir das diferenças entre termos consecutivos formem uma PA ou uma PG. Exemplo : 3, 5, 9, 15, 3,... 3 5 9 15 3 - - - - 4 6 8 15 = + 4 + 6 + 3 a n = S n 1 + a 1 PA de razão

PA de Ordem Superior Exemplo 15: Uma determinada cultura de bactérias aumenta ao dia segundo a sequência abaixo, onde 6 bactérias representam a quantidade inicial. 6, 8, 15, 7, 44... Considerando que nenhuma bactéria morra, determine quantas bactérias terão após 8 dias. 6 8 15 7 44 - - - - 7 1 17 PA de razão 5 a n = S n 1 + a 1 a 8 = S 7 + a 1 a 8 = 119 + 6 a 8 = 15 S = (a 1+ a 7)7 7 S = ( + 3)7 7 S = 119 7 15 bactérias após 8 dias. a 7 = a 1 + 6r a 7 = + 6(5) a 7 = 3

Relacionamento Juros X PA Regime de capitalização simples, corresponde a uma progressão aritmética, onde os montantes crescem de forma linear ao longo do tempo.

Tópico C mtm B FIM