Exercícios de apoio à disciplina Geometria Analítica e Cálculo Vetorial 1 01 Três vetores A, B e C possuem as seguintes componentes nas direções x e y: A x = 6, A y = -3; B x = -3, B y =4; C x =2, C y =5. Qual o valor do módulo de A + B + C?: 02 Determine o módulo, a direção e o sentido dos seguintes vetores: a) A = 5 Λ i + 3 Λ j, b) B = 10 Λ i -7 Λ j, c) C = 2 Λ i - 3 Λ j + 4 Λ k. 03 Determine o módulo, a direção e o sentido dos vetores: A, B e C = A + B considere: A = -4 Λ i -7 Λ j, B = 3 Λ i - 2 Λ j. 04 Seja o triângulo retângulo em A, de vértices A=(3,-2,8), B=(0, 0, 2) e C=(-3,-5, 10). Calcular: a) BH b) m c) n 05 Conhecendo-se os pontos A = (a, 0) e B = (0, a), achar as coordenadas do vértice C, sabendo-se que o triângulo ABC é eqüilátero. 06 Um triângulo eqüilátero tem vértices A = (x, y), B = (3, 1) e C = (- 1, - 1). Calcular o vértice A. 07 Sejam M = (2, - 1), M = (1, - 2) e M = (- 1, 3) os pontos médios dos lados de um triângulo. Achar os vértices desse triângulo. 08 Dois vértices opostos de um quadrado são os pontos (1, 2) e ( 5, 6). Determine a área do quadrado. 09 Determinar o ponto P, pertencente ao eixo das abscissas, sabendo que é eqüidistante dos pontos
Exercícios de apoio à disciplina Geometria Analítica e Cálculo Vetorial 2 10 Encontre o ponto P = (x, y) eqüidistante dos pontos P = (0, - 5), P = (- 1, 2) e P = (6, 3). 11 O baricentro de um triângulo ABC é o ponto G = (4, 0) e M = (2, 3) o ponto médio de BC. Achar as coordenadas do vértice A. 12 Num triângulo ABC, são dados os vértices A = (- 4, 10) e B = (8, -1). Determinar o baricentro G e o vértice C, sabendo-se situados respectivamente sobre os eixos y e x. 13 Calcular as coordenadas dos extremos A e B do segmento que é dividido em três partes iguais pelos pontos P = (- 1, 3) e P = (1, 5). 14 Dados u = (1, 2, 0), v= (2, 1, -1) e w = (0, 2, 3), achar: a) 2u - v + 4w b) 3(u + v) -2(2v - w) 15 Sendo A=(2,0,1), B=(0,3,-2), C=(1,2,0), determinar D=(x,y,z) tal que BD=AB+CB. 16 Calcular o vetor oposto de AB sendo A = (1, 3, 2) e B = (0, -2, 3). 17 Conhecendo-se u = (1, 2, 0 ), v = (0, 1, 3) e w = (-1, 3, 1) calcular os escalares m, n e p em mu + nv + pw = (0, 0, 14). 18 Os vetores u, v e w formam um triângulo, conforme a figura. Sendo u=(1,2,0) e v=(3,0,3), então w é igual a: 19 Determinar o vetor x, tal que 5x = u -2v, sendo u = (-1, 4, -15) e v = (-3, 2, 5).
Exercícios de apoio à disciplina Geometria Analítica e Cálculo Vetorial 3 20 Calcular P tal que Dados A = (-1, -1, 0) e B = (3, 5, 0). 21 Determinar x, sabendo-se paralelos os vetores : a) u = (1, 3, 10) e v = (-2, x, -20) b) v = (0, 2, x) e w = (0, 3, 6) c) u = 2i - 3 j - k e v = xi - 9j - 3k 22 Sendo A, B, C, D vértices consecutivos de um paralelogramo, calcular as coordenadas do vértice D. Dados: A = (1, 3), B = (5, 11) e C = (6, 15) 23 Seja ABDC um paralelogramo de vértices consecutivos na ordem escrita. Achar o vértice A, sabendo-se que B = (0, 1, 3), C = (2, 3, 5) e D = (-1, 0, 2). 24 Provar que os pontos A = (3, 1, 5), B = (2, 0, 1) e C = (4, 2, 9) são colineares. 25 Calcular x e y sabendo que os pontos A = (1, -1, 3), B = (x, y, 5) e C = (5, -13, 11) são colineares. 26 Na figura abaixo, obter a expressão cartesiana do vetor (P - O).
Exercícios de apoio à disciplina Geometria Analítica e Cálculo Vetorial 4 27 Seja o paralelepípedo representado na figura. Conhecendo-se os vértices B=(1,2,3), D= (2, 4, 3), E=(5,4,1) e F=(5,5,3), pede-se os vértices A e G. 28 Seja um paralelogramo construído sobre u e v. Determinar o ângulo entre as diagonais do paralelogramo. 29 Calcular o ângulo entre os vetores a + 2b - c e - a + b - 2c, sabendo-se que a = b = c = 1 e que a, b e c são mutuamente ortogonais 30 Na figura, calcular o ângulo entre os vetores b e c, sendo Sugestão: Como c = a - b faça o produto escalar entre b e a-b 31 Calcular os módulos e o produto escalar dos vetores 32 Sendo u = i - 2j + k e v = - i + j, achar: a) a medida do ângulo entre os vetores u e v; b) a medida da projeção do vetor v sobre o vetor u.
Exercícios de apoio à disciplina Geometria Analítica e Cálculo Vetorial 5 35 Achar o ângulo entre os vetores u = (10, -5, 0) e v = (1, 2, 3). 36 Provar que ABC é triângulo retângulo, sendo A=(3, -2, 8), B=(0, 0, 2) e C=(-3,-5,10). 37 Os vetores u = ai + j e v = 2i - j + 2k formam um ângulo de 45º.Achar os valores de a. 38 Seja o triângulo de vértices A=(0,0,0), B=(1,-2,1) e C=(1,1,-2). Pede-se o ângulo interno ao vértice A. 39 Os pontos A = (2, 1, 2), B = (1, 2, z) e C = (-1, 0, -1) são vértices de um triângulo retângulo, com ângulo reto em B.Calcular z. Sugestão: O produto interno dos catetos deve ser nulo. Por exemplo: (B - A). (C - B) = 0 40 Calcular o valor de m para que o vetor u + v seja ortogonal ao vetor w - u, onde u=(2,1,m), v=(m + 2,-5,2) e w=(2m,8,m).