Curso Satélite de Matemática Sessão n.º 1 Universidade Portucalense
Conceitos Algébricos
Propriedades das operações de números reais Considerem-se três números reais quaisquer, a, b e c. 1. A adição de números reais é comutativa, i.e., a + b = b + a. Exemplo: 3 + 2 = 2 + 3 = 5; 2. A adição de números reais é associativa, i.e., (a + b) + c = a + (b + c). Exemplo: (3 + 2) + 1 = 5 + 1 = 6 = 3 + 3 = 3 + (2 + 1); 3. O elemento neutro da adição é o 0, i.e., a + 0 = 0 + a = a. Exemplo: 50 + 0 = 0 + 50 = 50;
4. Qualquer número real a tem um elemento simétrico (denotado por a) que satisfaz a + ( a) = a + a = 0. Exemplo: 101 + ( 101) = 101 + 101 = 0; 5. A multiplicação de números reais é comutativa, i.e., Exemplo: 3 2 = 2 3 = 6; a b = b a. 6. A multiplicação de números reais é associativa, i.e., (a b) c = a (b c). Exemplo: (3 2) 4 = 6 4 = 24 = 3 8 = 3 (2 4);
7. O elemento neutro da multiplicação é o 1, i.e., Exemplo: 78 1 = 1 78 = 78; a 1 = 1 a = a. 8. Qualquer número real não nulo a tem um elemento inverso (denotado por a -1 ) que satisfaz a a -1 = a -1 a = 1. 1 1 Exemplo: 10 10 1; 10 10 9. A multiplicação é distributiva em relação à adição, i.e., a (b + c) = a b + a c. Exemplo: 3 (2 + 4) = 3 6 = 18 = 6 + 12 = 3 2 + 3 4
Note-se que a subtracção de b a a pode ser definida como a soma de a com o simétrico de b, i.e., a b = a + ( b). Por outro lado, a divisão de a por b pode ser definida como a multiplicação de a pelo inverso de b, i.e., Como b 1 1 b a b = a b -1. para qualquer b 0, então 1 a b a. b O inverso multiplicativo de 0 não existe, por isso a divisão por 0 não está definida.
Regras das operações com números reais: Para somar dois números reais com o mesmo sinal, some os dois valores absolutos (sem o sinal) e acrescente o sinal comum; Exemplo: 4 6 = 4 + ( 6) = (4 + 6) = 10. Para somar dois números reais com sinais opostos, encontre a diferença entre os dois valores absolutos e acrescente o sinal do número com maior valor absoluto; Exemplos: 6 + 4 = (6 4) = 2; 3 + 7 = + (7 3) = 4. O produto de dois números reais com sinais iguais é positivo; Exemplos: 4 ( 10) = 4 10 = 40; 2 4 = 8. O produto de dois números reais com sinais opostos é negativo; Exemplos: 10 2 = (10 2) = 20; 3 ( 6) = 18.
Para somar fracções: com o mesmo denominador, somam-se os numeradores e mantém-se o denominador comum. 1 6 1 6 5 1 Exemplo:. 10 10 10 10 2 com denominadores diferentes, reduz-se as fracções ao mesmo denominador e depois cai-se no ponto anterior. 1 3 5 14 3 2 5 4 6 5 3 Exemplo:. 2 4 8 24 42 8 8 8 8 8 Para multiplicar fracções: multiplicam-se numeradores com numeradores e denominadores com denominadores. 1 3 2 1 ( 3) 2 6 3 Exemplo:. 2 4 8 248 64 32
Para calcular o resultado de uma expressão é necessário seguir a seguinte ordem: 1. Efectue as operações que se encontram dentro de parêntesis (ou módulos); 2. Calcule o valor das potências indicadas (exemplo: 2 2 = 2 2); 3. Execute as multiplicações e divisões da esquerda para a direita; 4. Faça as adições e subtracções da esquerda para a direita. Exemplo: 2 2 3 + 10 (4 + 1) = 2 2 3 + 10 5 = 4 3 + 10 5 = 12 + 2 = 14.
Propriedades das potências Para qualquer número real a define-se: a 1 = a; a 2 = a a; a 3 = a a a; a n = a a a (produto de n factores, com n N). a denomina-se a base da potência e n o expoente. Note-se que a n não é o mesmo que ( a) n. a n = a a a e ( a) n = ( a) ( a) ( a).
Por definição, a 0 = 1 para qualquer a 0. Regras da multiplicação de potências: Seja a R e m, n N. Então a n a m = a a a a a a = a n + m. n factores m factores Na multiplicação de potências com a mesma base e com expoentes diferentes, dá-se a mesma base e somam-se os expoentes. Exemplo: 220 30 22030 250 70 70 70 70 83 83 83 83.
Da regra anterior conclui-se que, se a R e m, n N, então m factores m parcelas n m n n n n n n mn...... a a a a a a Quando temos uma potência de outra potência, dá-se a mesma base da potência dentro dos parêntesis e multiplicam-se os expoentes. 20 2 202 40 Exemplo: 7 7 7. 4 4 4 Note que: m m n n a não é o mesmo que a.
Seja a, b R e n N. Então a n b n = a a a b b b n factores n factores Pela comutatividade da multiplicação obtém-se = a b a b a b a b = (a b) n. n multiplicações de a b Na multiplicação de potências com o mesmo expoente e com bases diferentes, mantém-se o mesmo expoente e multiplicam- -se as bases. 300 300 300 300 1 3 1 3 1 Exemplo:. 3 2 3 2 2
Por vezes é necessário trabalhar com expoentes negativos. As regras anteriores mantêm-se válidas em expoentes negativos. Exemplo: 2 3 2-2 = 2 3-2 = 2. Atendendo à potência de potência e à definição de inverso, para qualquer a, b R\{0} e n N verifica-se que Concluindo, qualquer número elevado a um expoente negativo é igual ao seu inverso elevado ao expoente positivo. Exemplo: n 1 a a b b b a 9. 9 3 1 3 n n.
Propriedades dos radicais Define-se a raiz n-ésima (n N) de um número real a por: n a b se e só se a b n, seguindo as seguintes condições: a = 0 a > 0 a < 0 n par n a 0 n a 0 n a não é real n ímpar n a 0 n a 0 n a 0 Nota: não existe nenhum número real que elevado a um número par dê um número negativo.
Exemplos: 2 4 2 uma vez que 4 2 2. Repare-se que 2 2 4 2 embora 4 2 ; Por definição, o resultado das raízes pares é sempre positivo. 2 4 não é um número real. Não existe nenhum número real que elevado a um expoente par dê um número negativo. 3 27 3 uma vez que 27 3 3. 3 3 27 3 uma vez que 27 3.
Sempre que a n-ésima raiz de a R é um número real, definimos 1 n n a a, para qualquer número natural n. Nas condições anteriores, utilizando a potência de potência, é possível concluir que m 1 1 m m n n n n a a a a ou que m 1 m n n m n m a a a a 1 n, m, para qualquer valor de m Z (quando m 0, a tem que ser não nulo).
Regras da multiplicação de radicais: As regras dos radicais resultam das regras das potências. Exemplo: sempre que a n-ésima raiz de a e a n-ésima raiz de b são números reais, então 1 1 1 n n n n n n a b a b ab ab. Se, para além das condições anteriores, o b for não nulo, 1 1 n n a a a n a n. n 1 b b b n b Exemplos: 32 32 3 9 39 27 3; e 16 2. 2 2 4 3 3 3 3 4 4 4
Equações do 1º grau Uma equação é uma afirmação que duas quantidades (expressões algébricas) são iguais. Exemplos: (x 3) 2 = 1 ou x 2 + x = 0. As duas quantidades de cada lado do sinal de igualdade são chamados os membros da equação. A 1ª equação do exemplo anterior tem membros (x 3) 2 e 1. Nos exemplos anteriores, x chama-se a variável uma vez que à medida que x varia, a equação pode ser verdadeira ou falsa. A variável x de uma equação também é designada de incógnita da equação.
Todos os valores de x que tornam uma equação verdadeira são chamados soluções dessa equação. O conjunto solução de uma equação é formado por todos os valores da variável x que tornam essa equação verdadeira. Duas equações dizem-se equivalentes (representa-se com o sinal ) se elas têm exactamente o mesmo conjunto solução. Exemplo: 4x 12 = 16 4x = 28 x = 7 Todas as equações anteriores dizem-se equivalentes uma vez que têm todas o mesmo conjunto solução que é {7}.
Propriedades da igualdade: Propriedade da substituição: sempre que se substitui a expressão dum membro de uma equação por outra expressão igual a ela, a equação obtida é equivalente à primeira. Exemplo: 3(x + 2) 2x 6 = 1 3x + 6 2x 6 = 1 x = 1. Dizemos que o conjunto solução desta equação é {1}. Propriedade aditiva: sempre que se adiciona a mesma quantidade a ambos os membros de uma equação, obtém-se uma equação equivalente. Exemplo: x + 4 = 10 x + 4 + ( 4) = 10 + ( 4) x = 6. Dizemos que o conjunto solução desta equação é {6}.
Propriedade multiplicativa: sempre que se multiplica a mesma quantidade (diferente de zero) por ambos os membros de uma equação, obtém-se uma equação equivalente. 1 1 5x 10 Exemplo 1: 5x 10 (5 x) 10 x 2. 5 5 5 5 Dizemos que o conjunto solução desta equação é {2}. x x 4x Exemplo 2: 2 4 4 2 8 x 8. 4 4 4 Dizemos que o conjunto solução desta equação é {8}. Se numa equação a variável aparece sempre com o expoente igual a 1, dizemos que essa é uma equação do primeiro grau. As propriedades anteriores são suficientes para resolver (achar o conjunto solução de) qualquer equação do primeiro grau.
Como resolver uma equação do primeiro grau 3x 2( x1) Exemplo: Resolva 3. 4 6 1. Se a equação contém fracções, multiplique ambos os membros da equação pelo denominador comum das fracções (ou seja, pelo mínimo múltiplo comum dos denominadores); 3x 2( x 1) 3x 2( x 1) Exemplo: 3 12 3 12. 4 6 4 6 2. Remova todos os parêntesis da equação; 3x 2( x1) 12 12 Exemplo: 12 3 12 3x123 2( x1) 4 6 4 6 33x 36 4( x1) 9x 36 4x 4.
3. Calcule todas as somas por forma a obter todos os termos que contêm a variável no primeiro membro e todos os termos independentes no segundo membro; Exemplo: 9x + 36 = 4x 4 9x + 36 4x = 4x 4 4x (9 4)x + 36 = (4 4)x 4 5x + 36 = 4 5x + 36 36 = 4 36 5x = 40. 4. Divida ambos os membros da equação pelo coeficiente da variável; 5x 40 Exemplo: 5x 40 x 8. 5 5
5. Verifique a solução obtida substituindo na equação original. Exemplo: 3 ( 8) 2( 8 1) 24 2 ( 9) 3 3 4 6 4 6 18 6 3 6 3 3. Obteve-se uma proposição verdadeira, logo -8 é solução desta equação. Desafio: Resolva a equação: 1 2x 2 3 1 1 ( x 2) 3 2 6
Resolução: 1 1 2 x 2 2 3 1 x 2 3 1 1 ( x 2) 6 1 6 ( x 2) 3 2 6 3 2 6 1 12x 2 18 6 x 2 3 2 1 4x 9 6 x 2 2 4x 2 3 x 2 4x 5 x 2 4x x 2 5 3x 3 x 1.
O conjunto solução desta equação é {1}. Verificação que 1 é solução da equação: 1 21 1 2 2 3 1 2 3 2 1 1 (1 2) ( 1) 3 2 6 3 2 2 6 1 1 1 3 2 6 2 3 1 6 6 6 1 1. 6 6 Obteve-se um proposição verdadeira, logo 1 é solução da equação.
Equações de graus superiores equações do segundo grau Uma equação do segundo grau (numa variável x) é uma equação que se pode escrever na forma geral ax 2 + bx + c = 0, onde a, b e c são constantes reais com a 0. Exemplos: a equação 4x 2 + 4x + 1 = 0 é uma equação do 2º grau e já está escrita na sua forma geral. A equação 5x 2 + 2x = x 2 2x 1 é equivalente à equação anterior. Logo é uma equação do 2º grau mas não está escrita na sua forma geral.
O primeiro passo para resolver uma equação do 2º grau é transformá-la na sua forma geral. Para tal usam-se as mesmas propriedades da igualdade que se usam nas equações do 1º grau. Exemplo: converta a equação 5x 2 + 2x = x 2 2x 1 na sua forma geral: 5x 2 + 2x = x 2 2x 1 5x 2 + 2x x 2 = x 2 2x 1 x 2 (5 1)x 2 + 2x = 2x 1 4x 2 + 2x + 2x = 2x 1 + 2x 4x 2 + 4x = 1 4x 2 + 4x + 1 = 1 + 1 4x 2 + 4x + 1 = 0.
Para resolvermos equações do 2º grau que já estão na sua forma geral convém relembrar algumas propriedades importantes: Lei do anulamento do produto: Sejam a e b quaisquer dois números reais. O produto a b é igual a zero se e só se um dos factores (a ou b) for igual a zero, isto é, a b = 0 a = 0 b = 0. Quadrado da soma: Sejam a e b quaisquer dois números reais então (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2. Diferença de quadrados: Sejam a e b quaisquer dois números reais então a 2 b 2 = (a b)(a + b).
Resolução de uma equação do 2º grau com b e c iguais a zero Quando b e c são nulos, a equação quadrática fica equivalente a ax 2 + 0 x + 0 = 0 ax 2 = 0 x = 0. Resolução de uma equação do 2º grau apenas com b igual a zero Quando b é nulo, a equação quadrática fica equivalente a ax 2 + 0 x + c = 0 ax 2 + c = 0 ax 2 = c x 2 = c/a. Se c/a for negativo, a equação não tem solução (é impossível) uma vez que não há nenhum número real que elevado ao quadrado seja negativo. Se c/a for positivo, a solução é x c / a x c / a x c / a.
Exemplo 1: 2 2 2 2 2 ( x 1) 2x 3x 2 x 2 x( 1) ( 1) 2x 3x 2 2 2 x x x x 2 2 x x 2 2 x x 2 4x 1 0 2 4x 1 x 2 2 1 2 3 2 1 3 2 1 3 2 0 1 4 1 1 1 1 x x x x. 4 2 2 2 O conjunto solução é {-1/2,1/2}.
Exemplo 2: x 4 x 4 4 2 4 2 2 2 ( x2) 1 ( x2) 1 2 ( x 2) 4x 2 2 2 x x x 2 x x x 2 x Equação impossível uma vez que não existe nenhum número real que elevado ao quadrado dê 2. O conjunto solução da equação é {}. x 2 2 2 2 4 2 4 4 4 2 0 2 0 2
Resolução de uma equação do 2º grau apenas com c igual a zero Quando c é nulo, a equação quadrática fica equivalente a ax 2 + bx + 0 = 0 ax 2 + bx = 0 x (ax + b) = 0. Pela lei do anulamento do produto resulta que x (ax + b) = 0 x = 0 ax + b = 0 Exemplo 1: x = 0 ax = b x = 0 x = b/a. 2x 2 + 2x + 2 = x 2 + 2 2x 2 + 2x + 2 x 2 2 = 0 x 2 + 2x = 0 x(x + 2) = 0 x = 0 x + 2 = 0 x = 0 x = 2.
Resolução de uma equação do 2º grau com a, b e c não nulos Quando a, b e c não são nulos, a equação quadrática resolve-se utilizando a fórmula resolvente que diz que 2 ax bx c 0 x 2 b b 4ac 2a x x 2a 2a 2 2 b b 4ac b b 4ac Sempre que b 2 4ac < 0, a raiz quadrada do numerador não é um número real. Neste caso a equação não tem soluções reais. Sempre que b 2 4ac = 0, a raiz quadrada do numerador é igual a zero. Neste caso a equação tem uma solução real. Sempre que b 2 4ac > 0, a equação tem duas soluções reais..
Exemplo 1: 2 x 5x x 2 x 5 x 5x 4 5 4 4 4 2 x x x 5 20 2 x x x 5 20 0 2 x 4x 20 0 Como a = 1, b = 4 e c = 20, pela fórmula resolvente obtém-se x x 21 21 2 2 ( 4) ( 4) 4 1 20 ( 4) ( 4) 4 1 20 4 64 4 64 x x. 2 2 A equação é impossível em R.
Exemplo 2: 2 1 2 2 x x 4x 4x 1 4x 4x 1 0. 4 Como a = 4, b = 4 e c = 1, pela fórmula resolvente obtém-se x x 24 24 2 2 4 4 4 4 1 4 4 4 4 1 4 0 4 0 x x 8 8 4 4 1 x x x. 8 8 2 O conjunto solução desta equação é { 0.5}.
Exemplo 3: 2 2 2 x x x x x x x x 2 2 2 2 0 3 2 0. Como a = 1, b = 3 e c = 2, pela fórmula resolvente obtém-se x x 21 21 2 2 ( 3) ( 3) 4 1 2 ( 3) ( 3) 4 1 2 3 1 3 1 x x 2 2 31 31 x x x 1 x 2. 2 2 O conjunto solução desta equação é {1, 2}.