RaciocínioLógico TFC -C G U Tele - Transmitido Teoria Mais de 360 aprovados na Receita Federal em 2006 Prof.Milton Ueta Data de impressão: 08/02/2008 67 das 88 vagas no AFRF no PR/SC 150 das 190 vagas no TRF no PR/SC 150 das 190 vagas no TRF www.conquistadeconcurso.com.br Conquiste sua vitória ao nosso lado ww w. editor amax im us.c om.br www.cursoaprovacao.com.br M A TERIA L D ID Á TIC O EXC LUSIV O PA RA A LUN O S D O C URSO A PRO V A Ç Ã O

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Curso Aprovação Raciocínio Lógico e Matemática parte 2 - prof. Milton M. Ueta 1 I. MATRIZES 1. Conceitos iniciais Matriz é um conjunto de elementos ordenados em linhas e colunas. Representação A 2 0 5 3 2 5, A ou A 0 3 2 5 0 3 Indicamos a matriz por letra maiúscula e os elementos por letras minúsculas. Notação: matriz genérica A m x n a 11 a 12... a 1j... a 1n a 21 a 22... a 2j... a 2n.... a i1 a i2... a ij... a in.... a m1 a m2... a mj... a mn Matriz A de ordem m x n: - m... n o de linhas - n... n o de colunas - a ij... elemento genérico - i... n o da linha a qual pertence o elemento - j... n o de colunas a qual pertence o elemento Classificação a) quanto à ordem - retangular: m n - quadrada: m n - linha: m 1 - coluna: n 1 Obs.: uma matriz quadrada de ordem nxn pode ser denominada como matriz de ordem n 2 ou de ordem n. a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 diagonal secundária a 31 a 32 a 33 diagonal principal (i j) b) quanto aos elementos - nula: a ij 0, i e j - diagonal: matriz quadrada tal que a ij 0, i j - identidade: matriz diagonal tal que a ij 1, ij ; indica-se I - simétrica: matriz quadrada tal que a ji a ij, i e j Exemplos: nula diagonal identidade simétrica 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 1 0 0 0 2 1 0 0 0 1 0 0 0 1 2 1 3 1 1 4 3 4 5 c) quanto à relação entre duas matrizes A e B - oposta: B é matriz oposta de A b ij a ij, i e j (B A) ; indica-se B - transposta: B é matriz transposta de A b ij a ji, i e j ; indica-se B t

Curso Aprovação Raciocínio Lógico e Matemática parte 2 - prof. Milton M. Ueta 2 2. Operações Adição de matrizes: somente matrizes de mesma ordem C A + B c ij a ij + b ij, i e j A matriz nula é o elemento neutro da adição de matrizes. Subtração de matrizes: somente matrizes de mesma ordem A B A + ( B) Multiplicação de uma matriz por um número real não nulo (k): B k.a b ij k.a ij, i e j Exemplo: Dadas as matrizes 1 0 A 3 1 2, B 2 1 4 e C 3 4, 1 0 2 5 2 6 2 1 calcule 2A B + C t. Multiplicação de matrizes: só é possível multiplicar entre si duas matrizes tais que, o número de colunas da primeira matriz seja igual ao número de linhas da segunda matriz. A matriz resultante terá o número de linhas da primeira matriz e o número de colunas da segunda matriz. p A x B C c ij Σ (a ik.b kj ) mxp pxn mxn k1 Observações: 1 a ) não vale a propriedade comutativa na multiplicação de matrizes; ou seja, nem sempre A.B B.A. 2 a ) a matriz identidade é o elemento neutro da multiplicação de matrizes; ou seja: A.I A. Exemplo: Dadas as matrizes 1 0 A 3 1 2, B 2 1 4 e C 3 4, 1 0 2 5 2 6 2 1 calcule: a) A.C b) B.C c) A.B d) C.A e) C.B EXERCÍCIOS 1. Construir a matriz A [a ij ] 3x2 sabendo que a ij 2i + 3j. 1 + j, se i j 2. Construir a matriz B [b ij ] 2x4 sabendo b ij { i j, se i j i 3. Construir a matriz A 2x3, onde a ij Σ (2k + j). k1 3 4. Dada a matriz A [a ij ] 3x3, onde a ij 1, se i j, determinar Σ a k2. i + j, se i j k1 { 5. Sendo A [a ij ] 2x2 com a ij 2i 3j e B [b ij ] 2x2 com b ij [a ij ] 2, calcular 2A 3B.

Curso Aprovação Raciocínio Lógico e Matemática parte 2 - prof. Milton M. Ueta 3 1 2 X + Y 2A 3B 6. Sendo A 2 e B 0, resolver o sistema {. X Y 8A 5B 3 4 7. Calcule, se existir, os produtos: a) 2 5 1 1 4 b) x 4 3 2 3 2 c) 1 3 2 2 4 1 3 2 4 x 2 5 3 1 4 2 4 5 1 2 x 2 3 6 0 4 2 4 8. Determinar a matriz X tal que. X. 3 1 7 1 3 3 9. Sendo A 3 1 3, determine o valor de A 2 5.A 2.I. 3 3 1 3i + j, se i < j 10. Dada a matriz A [a ij ] 2x2 tal que a ij 7, se i j, determine 2a 23 + 3a 22 a 21. i 2 + j, se i > j 11. Dada a matriz B [b ij ] 5x3, onde b ij 2i + j, determine o elemento da 2 a linha e 4 a coluna de B t. 12. Uma indústria automobilística produz carros X e Y nas versões standard, luxo e superluxo. Na montagem desses carros são utilizadas peças A, B e C. Para um certo plano de montagem, são dadas as seguintes informações: Carro X Carro Y Standard Luxo Superluxo Peça A 4 3 Carro X 2 4 3 Peça B 3 5 Carro Y 3 2 5 Peça C 6 2 Determinar a matriz peça/versão. Respostas 1. 5 8 2. 2 1 2 3 3. 3 4 5 4. 9 5. 7 10 1 4 1 2 8 10 12 9 12 5 56 1 16 6. 3 1 7. a) b) 38 12 c) X 10 e Y 6 14 3 1 5 19 4 4 4 12 21 8. 5 9. 12.I 10. 44 11. 10 12. X 8 17 22 27 21 22 28 18 34 28

Curso Aprovação Raciocínio Lógico e Matemática parte 2 - prof. Milton M. Ueta 4 III. DETERMINANTES 1. Conceitos iniciais Toda matriz quadrada está associada a um número denominado determinante. Representação: 2 5 0 3 Notação: dada uma matriz quadrada de ordem A, indica-se o seu determinante por deta. Determinante menor (D ij ) é o determinante que se obtém eliminando-se a i-ésima linha e a j-ésima coluna de uma matriz. Co-fator, complemento algébrico ou adjunto: A ij ( 1) i + j.d ij 2. Cálculo do determinante a) matriz de ordem 1: o determinante é o próprio elemento. b) matriz de ordem maior que 1 Dada uma matriz A de ordem n, o seu determinante pode ser calculado por n deta Σ (a kj.a kj ), k... uma linha qualquer da matriz. j1 ou n deta Σ (a ik.a ik ), k... uma coluna qualquer da matriz. i1 Regras práticas - determinante de ordem 2 a 11 a 12 a 21 a 22 a 11. a 22 a 21. a 12 + - determinante de ordem 3: regra de Sarrus a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 11 a 12 a 21 a 22 a 31 a 32 a 33 a 31 a 32 + + + a 11. a 22.a 33 + a 12. a 23.a 31 + a 13. a 21.a 32 a 31. a 22.a 13 a 32. a 23.a 11 a 33. a 21.a 12 Exemplos: calcule a) 5 b) 2 5 c) d) 0 3 2 1 3 1 1 4 3 4 5 2 1 1 0 0 3 0 0 1 14 2 1 0 10 3 0

Curso Aprovação Raciocínio Lógico e Matemática parte 2 - prof. Milton M. Ueta 5 3. Propriedades dos determinantes 1 a ) um determinante é nulo se possuir pelo menos: uma fila (linha ou coluna) de elementos todos nulos; duas filas paralelas idênticas ou proporcionais; uma fila que seja combinação linear de outras filas paralelas. 2 a ) um determinante troca de sinal ao permutarmos duas filas paralelas. 3 a ) se todos os elementos acima ou abaixo da diagonal principal forem nulos, o determinante fica reduzido ao produto dos elementos da diagonal principal; 4 a ) deta t deta. 5 a ) um determinante fica multiplicado por uma constante k ao se multiplicar todos os elementos de uma fila por k. Conseqüência: det(k.a) k n.deta, n... ordem da matriz A. 6 a ) Teorema de Binet: se A e B são duas matrizes quadradas e de mesma ordem, então det(a.b) deta.detb. 7 a ) Teorema de Jacobi: um determinante não se altera ao adicionarmos a uma de suas filas os elementos correspondentes de outra fila paralela multiplicada por uma constante (combinação linear). EXERCÍCIOS 1. Calcule: a) 2 3 b) 2 3 c) 2 1 2 d) 5 1 2 3 2 4 1 0 0 1 5 10 5 1 3 3 3 5 7 e) 1 5 3 2 f) 2 1 4 1 g) 3 2 0 1 0 3 2 0 2 2 1 0 3 2 1 2 1 2 3 1 2 5 2 4 1 1 1 1 1 7 1 1 1 1 4 1 1 1 1 4 2. Resolver a equação: x 1 3 4 x 5 6 3 7 0 3. Calcule o determinante da matriz A [a ij ] 3x3, onde a ij { 1, se i < j i + j, se i j Respostas 1. a) 13 b) 40 c) 3 d) 3 e) 40 f) 102 11 2. V {, 2} 3. 23 7