Álgebra Linear I Solução da 5ª Lista de Exercícios

FUNDAÇÃO EDUCACIONAL SERRA DOS ÓRGÃOS CENTRO UNIVERSITÁRIO SERRA DOS ÓRGÃOS Centro de Ciências e Tecnologia Curso de Graduação em Engenharia de Produção Curso de Graduação em Engenharia Ambiental e Sanitária Álgebra Linear I Solução da 5ª Lista de Exercícios 1 Em cada item, precisamos verificar se T(v 1 + v ) = T(v 1) + T(v ) e se T(rv) = rt(v), quaisquer que sejam v, v 1, v V e qualquer que seja r R, onde V é o domínio de T (a) T: R R dada por T(a, b) = (b, a) Note que T simplesmente inverte as coordenadas Se v 1 = (a, b), v = (c, d) R, então T(v 1 + v ) = T(a + c, b + d) = (b + d, a + c) = (b, a) + (d, c) = T(v 1) + T(v ) Se v = (a, b) R e se r R, então T(rv) = T(ra, rb) = (rb, ra) = r(b, a) = rt(v) Portanto, T é uma transformação linear (b) T: R n R n dada por T(v) = v Note que T simplesmente multiplica o vetor por É claro que T é linear: se v 1, v R n, então T(v 1 + v ) = (v 1 + v ) = v 1 v = v 1 + ( v ) = T(v 1) + T(v ); se v = (a, b) R e se r R, então T(rv) = (rv) = r( v) = rt(v) (c) T: R R dada por T(v) = v + (1, ) Esta função não define uma transformação linear, já que T(0v) = T(0) = (1, ) (0, 0) = 0T(v) qualquer que seja v R (d) T: R n R m dada por T(v) = 0 É claro que T é linear: se v 1, v R n, então T(v 1 + v ) = 0 = 0 + 0 = T(v 1) + T(v ); se v R n e se r R, então T(rv) = 0 = r(0) = rt(v) A primeira coluna da matriz é formada pelas coordenadas de T(1,0) e a segunda coluna é formada pelas coordenadas de T(0,1), logo basta calcular a imagem desses dois vetores (a) A reflexão em relação ao eixo dos x Esta transformação leva o vetor (1,0) nele mesmo e leva o vetor (0,1) no vetor (0, 1) nele mesmo Portanto, a matriz é 1 0 0 1 (b) A reflexão em relação à reta y = x Traçando a perpendicular à reta dada a partir do ponto (1,0), é fácil ver que a reflexão cai no ponto (0,1) e reciprocamente, a reflexão de (0,1) é (1,0) (veja a figura na próxima página) Portanto, a matriz é 0 1 1 0

y 1 x 1 1 1 (c) A reflexão em relação à origem Para encontrar a imagem de um ponto, una o ponto à origem e marque seu simétrico nesta reta em relação à origem Por exemplo, a reflexão do ponto ( 1,1) é o ponto (1, 1) (veja a figura na próxima página) Então a imagem de (1,0) é ( 1,0) e a imagem de (0,1) é (0, 1) A matriz é y 1 1 1 x 1 1 0 0 1 (d) A rotação em torno da origem de um ângulo de 90 Como o ângulo é negativo, a rotação é no sentido horário, logo o vetor (1,0) é levado em (0, 1) e o vetor (0,1) é levado em (1,0) Portanto, a matriz é 0 1 1 0 (e) A rotação em torno da origem de um ângulo de π/ radianos Novamente a rotação é no sentido horário, já que o ângulo é negativo Lembre-se de que π/ radianos é 60 e que cos(60 ) = ½ e sen(60 ) = vemos que a imagem de (1,0) é (cos(60 ), sen(60 )) = (½, é (sen(60 ), cos(60 ) = (, ½) A matriz é 1 1 Pela figura na próxima página, ) e a imagem de (0,1)

(f) A rotação em torno da origem de um ângulo de π/ radianos Agora o ângulo e positivo, logo a rotação é no sentido trigonométrico (anti-horário) O dobro de π/ radianos corresponde a 10, logo, pelo que vimos no item anterior Como 10 = 90 + 0, sen(0 ) = cos(60 ) e cos(0 ) = sen(60 ), pela figura a seguir vemos que a imagem de (1,0) é ( ½, ) e a imagem de (0,1) é (, ½) A matriz é 1 1 (g) A projeção sobre o eixo dos x Para projetar sobre o eixo dos x, traçamos a perpendicular ao eixo a partir do ponto dado e marcamos o ponto no eixo É claro que, se o vetor pertencer ao eixo, então sua imagem é ele mesmo; se o vetor for perpendicular ao eixo, sua imagem é 0 Portanto, a imagem de (1,0) é (1,0) e a imagem de (0,1) é (0,0) A matriz é 1 0 0 0 (h) A projeção sobre o eixo dos ya imagem de (1,0) é (0,0) e a imagem de (0,1) é (0,1), logo a matriz é 0 0 0 1 É claro da definição que a matriz tanto da contração quanto da expansão horizontal é da forma

k 0 0 1 Se 0 < k < 1, temos uma contração; se k > 1, temos uma expansão (a) Para k = ½, a matriz é 1 0 0 1 e a fórmula desta transformação linear é T(x, y) = (x/, y) (b) Para k = 4, a matriz é 4 0 0 1 e a fórmula desta transformação linear é T(x, y) = (4x, y) (c) Defina o que deve ser uma contração vertical e uma expansão vertical Baseados na definição de contração e expansão horizontais, é claro que uma contração vertical é uma transformação linear que transforma o quadrado unitário [0,1] [0,1] em R no retângulo [0,1] [0,k], onde 0 < k < 1 Uma expansão vertical é uma transformação linear que transforma o quadrado unitário [0,1] [0,1] em R no retângulo [0,1] [0,k], onde k > 1 É claro da definição que a matriz tanto da contração quanto da expansão vertical é da forma 1 0 0 k Se 0 < k < 1, temos uma contração; se k > 1, temos uma expansão (d) Para k = ½, a matriz é 1 0 1 0 e a fórmula desta transformação linear é T(x, y) = (x, y/) (e) Para k =, a matriz é 1 0 0 e a fórmula desta transformação linear é T(x, y) = (x, y) 4 Solução: Cisalhamento horizontal 4

Cisalhamento vertical 5 Respostas: 1 (a) 4 9 8 (b) 1 0 1 (c) Usando os resultados do item (b) acima e do Exemplo 8 das notas, as matrizes correspondentes ao cisalhamento e à reflexão são, respectivamente, 5

1 0 1 e 0 1 1 0 Aplicando primeiro o cisalhamento no vetor (1, 0), obtemos o próprio vetor (1, 0); aplicando agora a reflexão, obtemos (0, -1) Quanto ao vetor (0, 1), o cisalhamento no dá (, 1) e a reflexão nos dá 0 1 1 = 1 0 1 Logo, a matriz é 0 1 1 (d) Pelos Exercícios (a) e (d), as matrizes da reflexão em relação ao eixo dos x e da rotação de π/ são, respectivamente, 1 0 0 1 e 0 1 1 0 Aplicando primeiro a reflexão no vetor (1, 0), obtemos o mesmo vetor; aplicando agora a rotação, obtemos o vetor (0, 1) Quanto ao vetor (0, 1), aplicando a reflexão, obtemos o vetor (0, 1); aplicando agora a rotação, obtemos 0 1 0 1 = 1 0 1 0 Portanto, a matriz da transformação é 0 1 1 0 (e) Como a rotação é em torno do eixo dos z, os vetores (1, 0, 0) e (0, 1, 0) irão permanecer no plano z = 0, logo irão se transformar como os vetores (1, 0) e (0, 1) no plano Portanto, o vetor (1, 0, 0) vai em (0, 1, 0), o vetor (0, 1, 0) vai em (-1, 0, 0) e o vetor (0, 0, 1), como pertence ao eixo dos z, permanece fixo Logo, a matriz é 0 1 0 1 0 0 0 0 1 6 O vetor (1,0) é levado primeiro nele mesmo e depois em ( 1,0); o vetor (0,1) é levado primeiro em (0, 1), mas este último vetor pertence ao eixo dos y, logo não muda ao ser refletido em torno do eixo dos y Logo a transformação T leva (1,0) em ( 1,0) e leva (0,1) em (0, 1), o que corresponde a uma rotação de π radianos (ou 180 ) Note que esta transformação também pode ser considerada como sendo uma reflexão em relação à origem (veja o Exercício (c)) 6

7 Lembre-se de que as colunas da matriz são dadas pelas coordenadas das imagens dos vetores da base Lembre-se de que, se T: R n R m for uma transformação linear, então a matriz que implementa T será uma matriz m n (a) T(x 1, x, x, x 4) = (x 1 + x, 0, x + x 4, x x 4) A matriz é 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 pois 1 1 0 0 x1 x1 + x 0 0 0 0 x = 0 0 0 1 x + x x4 0 1 0 1 x4 x x4 (b) T(x 1, x ) = (x 1 x, x 1 + 4x, x ) A matriz é 1 1 4 0 1 (c) T(x 1, x, x ) = (x 1 5x + 4x, x 6x ) A matriz é 1 5 4 0 1 6 (d) T(x 1, x, x, x 4) = x 1 + 4x x 4 Como m = 1, a matriz é 1 4, ou seja, é um vetor 8 Solução: linha A matriz é ( 0 4 ) (a) T: R R 4 é injetora A matriz que implementa T é 4 Pelo teorema (veja a Matéria da 5ª Semana), T é injetora a equação Ax = 0 só tem a solução trivial as colunas de A são linearmente independentes Então a forma escalonada de A não pode ter variável livre, ou seja, todas as colunas têm que ter um elemento líder Isso significa que a forma escalonada tem que ser uma matriz como 1 0 1 0 0 1 0 0 0 (b) T: R 4 R é sobrejetora Agora a matriz que implementa T é uma matriz 4 Pelo teorema (veja a Matéria da 5ª Semana), T é sobrejetora a equação Ax = 9 Solução: b tem solução para todo b R as colunas de A geram R Então não podemos ter linhas nulas, logo a forma escalonada de A tem que ser uma das a seguir 1 1 1 0 1, 0 1 ou 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 7

(a) Analisando a matriz encontrada no Exercício 7(a), vemos que as colunas são ld (uma das colunas é nula) e que a equação Ax = b não tem solução para todo b R 4 (uma das linhas é nula), logo esta transformação não é injetora nem sobrejetora (b) Analisando a matriz encontrada no Exercício 7(b), vemos que as colunas são li e é claro que, ao escalonar a matriz A, iremos obter uma linha nula, logo a equação Ax = b não tem solução para todo b R, o que significa que a transformação é injetora, mas não sobrejetora (c) Analisando a matriz encontrada no Exercício 7(c), vemos que as colunas são ld e que a equação Ax = b tem solução para todo b R, o que significa que a transformação não é injetora, mas é sobrejetora (d) Como a matriz encontrada no Exercício 7(d) é uma matriz linha não nula, é claro que a transformação é sobrejetora, mas não é injetora Resposta: As transformações sobrejetoras no Exercício 7 são as dos itens (c) e (d); a única transformação injetora é a do item (b) 10 Solução (existem muitas outras soluções): (a) T é injetora, mas não é sobrejetora A transformação do Exercício 7(b) (b) T é sobrejetora, mas não é injetora A transformação do Exercício 7(c) (c) T não é injetora nem sobrejetora A transformação do Exercício (h) (d) T é injetora e sobrejetora A transformação do Exercício (a) 8