X - D U A L I D A D E

X - D U A L I D A D E 1 - Introdução. Regras de transformação "Primal - Dual" Consideremos os dois problemas P1 e P2 de Programação Linear seguintes: P1 : n Maximizar F = Σ ck. Xk k = 1 n Σ aik. Xk bi k = 1 Xk 0 i = 1, 2,..., m k = 1, 2,..., n P2 : m Minimizar G = Σ bi. Ui i = 1 m Σ aik. Ui ck i = 1 Ui 0 k = 1, 2,..., n i = 1, 2,..., m ou, utilizando a notação matricial: P1 : Maximizar F = C. X A. X b X 0 n P2 : Minimizar G = bt. U AT. U CT U 0 m 100

Na representação anterior, o vector das incógnitas de P1, X, é um vector coluna ( n x 1 ), o vector das incógnitas de P2, U, é um vector coluna ( m x 1 ), C é um vector linha ( 1 x n ), A é uma matriz ( m x n ) e b é um vector coluna ( m x 1 ). De notar que 0 n é o vector nulo do tipo ( n x 1 ) e que 0 m é o vector nulo do tipo ( m x 1 ). P1 e P2 formam um par de problemas duais, isto é, P1 é o problema dual de P2 e vice-versa. Algumas Regras de Transformação "Primal-Dual" podem ser enunciadas: R1 : A cada restrição do problema primal corresponde uma variável do problema dual. A cada variável do problema primal corresponde uma restrição do problema dual. R1 : restrição P variável D ; variável P restrição D R2 : A matriz dos coeficientes das restrições do problema dual é a transposta da matriz dos coeficientes das restrições do correspondente problema primal. R2 : A P = AT D ; A D = AT P R3 : Os termos independentes das restrições de um dos problemas (primal/dual) são os coeficientes da função objectivo no outro problema (dual/primal). R3 : Termos independentes P Coeficientes da f.o. D Termos independentes D Coeficientes da f.o. P R4 : A um problema primal de maximização com restrições do tipo e variáveis não negativas, corresponde um problema dual de minimização com restrições do tipo e variáveis não negativas. R4 : Problema Primal Max restrições ' ' variáveis ' 0 ' Problema Dual Min restrições ' ' variáveis ' 0 ' Para podermos aplicar as 'Regras de Transformação' apresentadas, resolvamos os seguintes exercícios: 101

Ex.1 : Escreva o dual do problema de Programação Linear seguinte: MAX F = 2. X1 + 3. X2 2. X1-3. X2 4-1. X1 + 4. X2 5 5. X1 + 2. X2 9 6. X1-2. X2 7 X1, X2 0. Resolução : MIN G = 4. U1 + 5. U2 + 9. U3 + 7. U4 2. U1-1. U2 + 5. U3 + 6. U4 2-3. U1 + 4. U2 + 2. U3-2. U4 3 U1, U2, U3, U4 0. Note-se que o problema primal apresentado tem m = 4 (número de equações) e n = 2 + 4 (número de incógnitas), pelo que a sua resolução pelo Algoritmo Simplex Revisto implicaria a manipulação (incluindo inversão) de matrizes B ( 4 x 4 ). O problema dual correspondente tem m = 2 (número de equações) e n = 4 + 2 (número de incógnitas), pelo que a sua resolução pelo Algoritmo Simplex Revisto implicaria a manipulação de matrizes B ( 2 x 2 )! Assim, a priori, é mais fácil resolver o problema dual, já que este corresponderá a um menor esforço de cálculo... Posteriormente retomaremos esta questão. Ao observarmos as 'Regras de Transformação' apresentadas, em particular a regra R4 : Problema Primal Max restrições ' ' variáveis ' 0 ' Problema Dual Min restrições ' ' variáveis ' 0 ' pode surgir-nos uma interrogação: O que acontece se uma das restrições for uma desigualdade de 'sentido oposto' à regra " Max ; restrição / Min ; restrição "? Para tentarmos responder a esta questão, poderemos considerar o seguinte exercício:, 102

Ex.2 : Escreva o dual do problema de Programação Linear seguinte: MIN F = 4. X1 + 2. X2 + 1. X3 2. X1 + 1. X2 + 3. X3 5 2. X1-1. X2 6-1. X1 + 3. X2 + 4. X3 5 X1, X2, X3, X4 0. 2. X2-3. X3 4 Resolução : A terceira restrição pode ser re-escrita de modo a respeitar a regra " Min ; restrição " : 1. X1-3. X2-4. X3-5. Ter-se-ia, então, o seguinte problema dual: MAX G = 5. U1 + 6. U2-5. U3 + 4. U4 2. U1 + 2. U2 + 1. U3 4 1. U1-1. U2-3. U3 + 2. U4 2 3. U1-4. U3-3. U4 1 U1, U2, U3, U4 0. Para mantermos as regras anteriormente enunciadas, muito especialmente, R2 e R3 deveríamos ter os simétricos dos coeficientes de U3 (relativamente ao problema dual apresentado), o que se consegue facilmente considerando U3 0, ou seja, MAX G = 5. U1 + 6. U2 + 5. U3 + 4. U4 2. U1 + 2. U2-1. U3 4 1. U1-1. U2 + 3. U3 + 2. U4 2 3. U1 + 4. U3-3. U4 1 U1, U2, U4 0 ; U3 0. Poderemos, assim, enunciar uma nova Regra de Transformação "Primal-Dual" : R5 : A uma restrição do problema primal de tipo 'oposto' à regra " Max / restrições ; Min / restrições " corresponderá no problema dual, uma variável não positiva, e vice-versa. 103

R5 : Problema Primal Max restrição ' ' Problema Dual Min variável ' 0 ' Problema Primal Max variável ' 0 ' Problema Dual Min restrição ' ' Aproveitemos o problema dual do exercício nº 2 anterior e determinemos o correspondente problema dual: MAX G = 5. U1 + 6. U2 + 5. U3 + 4. U4 2. U1 + 2. U2-1. U3 4 1. U1-1. U2 + 3. U3 + 2. U4 2 3. U1 + 4. U3-3. U4 1 U1, U2, U4 0 ; U3 0. Resolução : MIN F = 4. X1 + 2. X2 + 1. X3 2. X1 + 1. X2 + 3. X3 5 2. X1-1. X2 6-1. X1 + 3. X2 + 4. X3 5 X1, X2, X3, X4 0. 2. X2-3. X3 4 F Não sei se notaram, mas o dual do 'problema dual' é igual ao 'problema primal'! Para aplicarmos as 'regras de transformação' apresentadas, resolvamos agora o exercício seguinte: I 104

Ex.3 Escreva o dual do problema de Programação Linear seguinte: MAX G = 2. X1 + 3. X2 + 4. X3 3. X1-2. X2 5 4. X1-1. X2 + 1. X3 6 2. X1 + 3. X2-1. X3 4 X1, X2 0 ; X3 0. Resolução : MIN F = 5. U1 + 6. U2 + 4. U3 3. U1 + 4. U2 + 2. U3 2-2. U1-1. U2 + 3. U3 3 1. U2-1. U3 4 U1, U3 0 ; U2 0. Já sabemos o que fazer se uma das restrições for uma desigualdade de 'sentido oposto' à regra " Max ; restrição / Min ; restrição ". Mas, o que fazer se se tiver uma restrição do tipo ' = '? Para tentarmos responder a esta questão, poderemos considerar o seguinte exercício: Ex.4 : Escreva o dual do problema de Programação Linear seguinte: MAX F = 2. X1 + 3. X2-1. X1 + 4. X2 5 7. X1-1. X2 8 2. X1-2. X2 = 3 3. X1 + 5. X2 7 X1, X2, X3, X4 0. 105

Resolução : A terceira restrição pode ser re-escrita do modo seguinte: 2. X1-2. X2 3 2. X1-2. X2 3, ou, equivalentemente: 2. X1-2. X2 3-2. X1 + 2. X2-3. Ter-se-ia, então, o seguinte problema: MAX F = 2. X1 + 3. X2-1. X1 + 4. X2 5 7. X1-1. X2 8 2. X1-2. X2 3-2. X1 + 2. X2-3 3. X1 + 5. X2 7 X1, X2 0. A este problema corresponde o seguinte dual: MIN G = 5. U1 + 8. U2 + 3. U3-3. U4 + 7. U5-1. U1 + 7. U2 + 2. U3-2. U4 + 3. U5 2 4. U1-1. U2-2. U3 + 2. U4 + 5. U5 3 U1, U2, U3, U4, U5 0. Os coeficientes das variáveis não negativas U3 e U4 são simétricos, pelo que poderemos fazer a substituição V = U3 - U4, com V R: MIN G = 5. U1 + 8. U2 + 3. V + 7. U5-1. U1 + 7. U2 + 2. V + 3. U5 2 4. U1-1. U2-2. V + 5. U5 3 U1, U2, U5 0 ; V R. Se designarmos V por U3 e U5 por U4, poderemos escrever o problema dual do problema dado na forma seguinte: 106

MIN G = 5. U1 + 8. U2 + 3. U3 + 7. U4-1. U1 + 7. U2 + 2. U3 + 3. U4 2 4. U1-1. U2-2. U3 + 5. U4 3 U1, U2, U4 0 ; U3 R. Poderemos, assim, enunciar uma nova Regra de Transformação "Primal-Dual" : R6 : A uma restrição do problema primal de tipo 'igualdade' corresponderá no problema dual, uma variável livre, e vice-versa. R6 : Problema Primal restrição ' = ' Problema Dual variável ' R ' Exercitemos a utilização das 'regras de transformação' apresentadas, com o exercício seguinte: Ex.5 Escreva o dual do problema de Programação Linear seguinte: MIN F = 2. X1 + 3. X2 + 4. X3 + 2. X4 2. X1-3. X2-5. X3 20 4. X1-2. X3 + 1. X4 15 3. X2 + 1. X3-1. X4 = 7 X1, X4 0 ; X2 0; X3 R. Resolução : MAX G = 20. U1 + 15. U2 + 7. U3 2. U1 + 4. U2 2-3. U1 + 3. U3 3-5. U1-2. U2 + 1. U3 = 4 1. U2-1. U3 2 U1 0, U2 0 ; U3 R. Sintetizemos, agora as Relações "Primal - Dual" no quadro seguinte: 107

Relações ' Primal Dual ' Problema de Maximização Problema de Minimização i-ésima restrição i = 1, 2,..., m. k-ésima variável k = 1, 2,..., m. matriz dos coeficientes das restrições A ( m x n ) coeficientes da função objectivo c k, C ( 1 x n ) k = 1, 2,..., n. termos independentes das restrições b i, b ( m x 1 ) i = 1, 2,..., m. = 0 R 0 0 R 0 = i-ésima variável i = 1, 2,..., m. k-ésima restrição k = 1, 2,..., m. matriz dos coeficientes das restrições AT ( n x m ) termos independentes das restrições c k, CT ( 1 x n ) k = 1, 2,..., n. coeficientes da função objectivo b i, bt ( 1 x m ) i = 1, 2,..., n. Nota: Quadro adaptado de 'Programação Linear' ( vol. II ), Guerreiro et al, Mc Graw Hill E aproveitemos as 'regras de transformação' apresentadas, para resolver o exercício seguinte: Ex.6 Escreva o dual do problema tipo de Programação Linear apresentado na sua 'forma standard': n Maximizar F = Σ ck. Xk k = 1 n Σ aik. Xk = bi k = 1 Xk 0 i = 1, 2,..., m k = 1, 2,..., n Resolução : m Minimizar G = Σ bi. Ui i = 1 m Σ aik. Ui ck i = 1 Ui R k = 1, 2,..., n i = 1, 2,..., m 108

2 - Propriedades Fundamentais da Dualidade P1 : O dual do problema dual de um dado problema de Programação Linear é o próprio problema de Programação Linear. P2: Considerando o problema primal, um problema de Programação Linear cujo objectivo é maximizar a função objectivo F, pode garantir-se que o o valor da função objectivo F ( F = C.X ) não excede o valor da função objectivo G ( g = bt. U ) qualquer solução admissível do problema dual, ou seja, n m F = Σ ck. Xk G = Σ bi. Ui, para ( Xk ), ( Ui ) soluções k = 1 i = 1 admissíveis do problema primal e dual, respectivamente. P3 : P4 : Se X* = [ X1*, X2*,..., Xn* ]T e U* = [ U1*, U2*,..., UM* ]T são soluções admissíveis para os problemas primal e dual, respectivamente, tais que. n m F* = Σ ck. Xk* = G* = Σ bi. Ui*, k = 1 i = 1 então X* e U* são as soluções óptimas do problema primal e do problema dual, respectivamente. Para qualquer par de problemas primal-dual, a existncia de solução óptima finita para um deles garante a existncia de solução óptima finita para o outro, verificando-se F* = G*. Esquematicamente, pode indicar-se: Min G F* = G* [em geral, F G ( ver P2 ), mas, Max F no "óptimo finito", F* = G* ( P4 ).] Recordemo-nos que F* = C. X* = C B. X B * = C B. B-1. b e que G* = bt. U* = U*T. b. ( relativamente à base óptima do problema primal ) Assim, se F* = G * ( P4 ), U*T. b = C B. B-1. b, ou seja, U*T = C B. B-1 ( relativamente à base óptima do problema primal ). Assim, se um problema de Programação Linear admitir solução óptima finita, a partir da sua base óptima será possível determinar a solução óptima do correspondente problema dual. De notar que o valor óptimo das variáveis duais intervém no cálculo dos coeficientes r (a partir dos quais se verifica a optimalidade das soluções de um problema de Programação 109

Linear). Com efeito, relativamente à solução óptima de um problema de Programação Linear pode escrever-se r* = - C D + ( C B. B-1 ). D 0, o que é equivalente a r* = - C D + ( U*T ). D 0. Particularmente interessante se torna a determinação da solução óptima do problema dual quando é possível escrever-se o problema primal na forma: B D 1 I b è I B-1. D 1 B-1 B-1. b - C B - C D1 0 0 0 - C D1 + C B. B-1. D 1 C B. B-1 C B. B-1. b Estando agora clara a relação entre o par de problemas primal-dual, poderemos retomar as considerações feitas no final da resolução do exercício nº1. Então, referimos que o problema primal apresentado tinha m = 4 (número de equações) e n = 2 + 4 (número de incógnitas), pelo que a sua resolução pelo Algoritmo Simplex Revisto implicaria a manipulação (incluindo inversão) de matrizes B ( 4 x 4 ), enquanto que o problema dual correspondente tinha m = 2 (número de equações) e n = 4 + 2 (número de incógnitas), pelo que a sua resolução pelo Algoritmo Simplex Revisto implicaria a manipulação de matrizes B ( 2 x 2 )! Concluímos, então, que, a priori, seria mais fácil resolver o problema dual, já que este corresponderia a um menor esforço de cálculo... Poderemos generalizar o raciocínio apresentado e referir que, dado um problema de Programação Linear que se pretende resolver, deve verificar-se se a resolução do correspondente problema dual não será mais fácil. Em caso afirmativo, deverá determinar-se a solução óptima do problema dual e, a partir da correspondente base óptima, determinar a solução óptima do problema (primal) dado. De recordar que quanto maior for o número de restrições de um problema de Programação Linear, maior será a ordem das correspondentes matrizes B e, consequentemente, maior será o volume de cálculo envolvido. Assim, dado um problema de Programação Linear, se o número de restrições for muito superior ao número de incógnitas (não incluindo as variáveis de folga) deve resolver- -se o correspondente problema dual, já que as matrizes B Primal ( m x m ) são de ordem muito superior que as matrizes B Dual. Para terminarmos a indicação das propriedades fundamentais da Dualidade, refiramos ainda mais duas propriedades: U*T P5: Um problema de Programação Linear admite solução óptima finita se e só se existirem soluções admissíveis para esse problema e para o seu dual. P6: Se um problema de Programação Linear não admitir solução óptima finita, então o correspondente dual não tem soluções admissíveis. Primal (Max F) Dual (Min G) Explo. Problema Possível S Explo. Problema Impossível S = Problema Possível 1 F* = G* ambos problemas 3 G* - o problema dual S tm solução óptima finita não tem solução óptima finita Problema Impossível 2 F* + o problema primal Nenhum dos problemas tem 4 S = não tem solução óptima finita soluções admissíveis Exemplos das situações referidas no Quadro anterior (resolva os problemas graficamente): 110

Explo. Problema Primal Problema Dual 1 Max F = 5. X sujeito a X + Y = 1 X, Y 0 X* = 1, Y * = 0 ; F* = 5 Min G = U sujeito a U 5 U 0 U R X* = 1, Y * = 0 ; F* = 5 2 Max F = X + Y sujeito a X - Y = 2 X, Y 0 F* + Min G = 2. U sujeito a U 1 - U 1 Problema impossível ( S = ) 3 Max F = - X sujeito a - X = 4 X 0 Problema impossível ( S = ) Min G = 4. U sujeito a - U - 1 U R G* - 4 Max F = X + Y sujeito a -X +Y = 4 X -Y = 4 X, Y 0 Problema impossível ( S = ) Min G = 4. U + 4. V sujeito a - U + V 1 U - V 1 Problema impossível ( S = ) Nota: Exemplos retirados de 'Programação Linear' ( vol. II ), Guerreiro et al, Mc Graw Hill 3 - Teorema da Complementaridade Considerando o par de problemas 'primal-dual' Problema 'primal': Max F = C. X sujeito a A. X b X 0 Problema 'dual': Min G = bt. U poderemos enunciar o Terorema da Complementaridade: sujeito a AT. U CT U 0, 111

É condição necessária e suficiente para que X e U, soluções admissíveis dos problemas primal e dual, respectivamente, sejam soluções óptimas, que verifiquem as seguintes condições: X k * > 0 U*T. a k = c k [ 1 ] U*T. a k > c k X k * = 0 [ 2 ] U i * > 0 ai. X* = b i [ 3 ] ai. X* < b i U i * = 0 [ 4 ] para i = 1, 2,..., m e k = 1, 2,..., n e representando a k e ai, respectivamente, a k-ésima coluna e a i-ésima linha de A. De acordo com o Teorema da Complementaridade, podemos concluir que, relativamente à solução óptima: se uma 'variável primal' é positiva, então a correspondente 'restrição dual' é activa [ 1 ] e que se uma 'restrição dual' é não activa, então a correspondente 'variável primal' é nula [ 2 ]. se uma 'variável dual' é positiva, então a correspondente 'restrição primal' é activa [ 3 ] e que se uma 'restrição primal' é não activa, então a correspondente 'variável dual' é nula [ 4 ]. Poderemos sintetizar o Teorema da Complementaridade, nas afirmações seguintes: Relativamente às soluções óptimas do par de problemas 'primal-dual' de Programação Linear, é nulo o produto da k-ésima 'variável primal' pela variável de folga correspondente à k- ésima 'restrição dual': m x k *. [ ( Σ aik. ui* ) - ck ] = 0 x k *. um+k* = 0 i = 1 k = 1, 2,..., n é nulo o produto da i-ésima 'variável dual' pela variável de folga correspondente à i-ésima 'restrição primal': n u i *. [ ( Σ aik. xk* ) - bi ] = 0 u i *. xn+i* = 0 k = 1 i = 1, 2,..., m Consideremos o seguinte par de problemas 'primal-dual' de Programação Linear: 112

sujeito a Max F = 2 X 1 + 3 X 2 Min G = 5 U 1 + 3 U 2 + 4 U 3 sujeito a 3 X 1 + 4 X 2 5 3 U 1 + 6 U 2 + 2 U 3 2 6 X 1-1 X 2 3 4 U 1-1 U 2 + 4 U 3 3 2 X 1 + 4 X 2 4 U 1, U 2, U 3 0 X 1, X 2 0 O Teorema da Complementaridade permite afirmar que, relativamente ao óptimo: X 1 * > 0 3 U 1 * + 6 U 2 * + 2 U 3 * = 2 X 2 * > 0 4 U 1 * - 1 U 2 * + 4 U 3 * = 3 3 U 1 * + 6 U 2 * + 2 U 3 * > 2 X 1 * = 0 4 U 1 * - 1 U 2 * + 4 U 3 * > 3 X 2 * = 0 U 1 * > 0 3 X 1 * + 4 X 2 * = 5 U 2 * > 0 6 X 1 * - 1 X 2 * = 3 U 3 * > 0 2 X 1 * + 4 X 2 * = 4 3 X 1 * + 4 X 2 * < 5 U 1 * = 0 6 X 1 * - 1 X 2 * < 3 U 2 * = 0 2 X 1 * + 4 X 2 * < 4 U 3 * = 0 Resolva, recorrendo ao Método gráfico o problema 'primal' dado. [ Nós aguardamos, pacatamente, que resolva mesmo o problema! ] Como pode observar, a 1ª restrição é dominada pelas duas outras. A solução óptima do problema ( X 1 * = 8/13 ; X 2 * = 9/13, com F* = 43/13 ) corresponde à intersecção das rectas respeitantes à 2ª e 3ª restrições. Assim, relativamente ao óptimo, podemos concluir que a 2ª e a 3ª restrições são activas (isto é, tm folga nulas). Pelo Teorema da Complementaridade, podemos, imediatamente, concluir que se a 1ª restrição é a única restrição não activa, então a correspondente variável dual, U 1 * é a única variável dual 'original' nula. Mas, se o problema dual tem duas restrições (e trs variáveis 'originais'), então as correspondentes matrizes B são do tipo ( 2 x 2 ). Ora se U 1 * é nula, então U 2 * e U 3 * serão obrigatoriamente não nulas, isto é pertencerão à base óptima do problema dual. Como, neste caso, é mais fácil resolver analiticamente o problema dual do que o problema primal e já sabemos quais as variáveis que integram a respectiva base óptima... 113

F... resolva o problema 'dual' utilizando a formulação matricial do Simplex. [ Nós aguardamos, pacatamente, que resolva mesmo o problema! ] Deve ter obtido U 2 * = 1/13 ; U 3 * = 10/13, com G* = 43/13 [ Claro que se tinha que obter F* = G *! ]. A partir do problema 'dual' pode obter a solução óptima do problema 'primal' (calculando C B. B-1 relativamente à base óptima do problema 'dual') - deve obter X 1 * = 8/13 ; X 2 * = 9/13, verificando os resultados obtidos anteriormente. Relativamente à solução óptima, os valores assumidos pelas variáveis duais costumam ser designados por preços-sombra associados às restrições do problema primal. A uma 'restrição primal' não activa corresponde um preço-sombra nulo. Um preço-sombra não nulo corresponde a uma restrição activa. A designação de preço-sombra, prende-se com o facto de, em aplicações de carácter económico, o preço-sombra correspondente a uma dada 'restrição primal' representar a quantia máxima que estaríamos dispostos a pagar para incrementar em uma unidade a disponibilidade do correspondente recurso (isto é, aumentar em uma unidade o termo independente da restrição). Se se alterar os termos independentes do problema primal (que, em geral, exprimem disponibilidades de recursos) - e se se mantiver a mesma base - é possível calcular facilmente a variação produzida na função objectivo: Com efeito, sabemos que F = C B. B-1. b = UT. b, pelo que se se alterar b para b' = b + b, ter-se-á: F' = UT. b' = UT. ( b + b ) = UT. b + UT. b = F + UT. b, ou seja, F = F' - F = UT. b, isto é, F = UT. b, ou seja os valores óptimos das variáveis duais constituem coeficientes de sensibilidade da função objectivo, em relação aos termos independentes das restrições. Apliquemos algumas das noções apresentadas, a partir da análise do seguinte par de problemas 'primal-dual' de Programação Linear: sujeito a Min F = - X 1 + 2 X 2 Max G = 5 U 1 + 3 U 2 + 4 U 3 Max P = 1 X 1-2 X 2 sujeito a 1 X 1 + 1 X 2 + 1 X 3 = 10 1 X 1 + 1 X 2-1 X 4 = 5 1 X 1-1 X 2 + 1 X 5 = 0 X 1, X 2, X 3, X 4, X 5 0 sujeito a 1 X 1 + 1 X 2 10 1 U 1 + 1 U 2 + 1 U 3-1 1 X 1 + 1 X 2 5 1 U 1 + 1 U 2-1 U 3 2 1 X 1-1 X 2 0 U 1 0 ; U 2 0 ; U 3 0 X 1, X 2 0 X 2 114 10 + 5 5/2 F 5/2 5 10 X1

Como se pode observar, pela resolução gráfica, a solução óptima do problema 'primal' é ( X 1 * = 5/2 ; X 2 * = 5/2 ), a que corresponde F* = 5/2. De notar que o vértice do espaço de soluções admissíveis correspondente à solução óptima é definido pela intersecção da 2ª e 3ª restrições, ou seja, a base óptima é ( X 1 ; X 2 ; X 3 ), já que X 3 *é a variável de folga correspondente à primeira restrição. Por outro lado, se a 2ª e 3ª 'restrições primais' são activas, então, as correspondentes variáveis duais estarão na base correspondente à solução óptima do problema dual, isto é, essa base é ( U 2 ; U 3 ). F Utilizando a formulação matricial do Simplex, verifique que ( X 1 ; X 2 ; X 3 ) é a base óptima do problema primal.... Deve ter obtido r = [ + 1/2 ; + 3/2 ], ( X1* = 5/2 ; X2* = 5/2 ) e P*= - 5/2 F * = 5/2 F A partir da base óptima do problema primal, determine a solução óptima do problema dual.... Deve ter obtido UT* = [ 0 ; + 1/2 ; - 3/2 ], isto é, U1* = 0 ; U2* = + 1/2 ; U3* = - 3/2.... De notar que G* = 5/2 = F* ü F Utilizando a formulação matricial do Simplex, aplicada ao problema dual (na forma standard), verifique que ( U 2 ; U' 3 ) é a base óptima desse problema.... Não se esqueça de fazer U 3 = - U' 3. Deverá obter U2* = + 1/2 ; U'3* = + 3/2. F Utilizando a formulação matricial do Simplex, aplicada à base óptima do problema dual, verifique a solução óptima do problema primal.... Deverá obter ( X1* = 5/2 ; X2* = 5/2 ). Recordemo-nos que X 1 * = 5/2 ; X 2 * = 5/2, pelo que facilmente determinamos os valores correspondentes das variáveis de folga X 3 *, X 4 * e X 5 * : X 3 * = 10 - ( X 1 * + X 2 * ) = 5 e X 4 * = X 5 * = = 0 (de recordar que a 2ª e 3ª 'restrições primais' são activas, pelo que as correspondentes variáveis de folga são nulas). Por outro lado, U1* = 0 ; U2* = + 1/2 ; U3* = - 3/2, pelo que os valores das correspondentes variáveis de folga do problema dual serão U4* = - 1 - ( U 1 *+ U 2 * + U 3 * ) = 0 e U5* = 2 - ( 1 U 1 * + 1 U 2 * - 1 U 3 ) = 0 (ou seja as duas 'restrições duais' são activas). Verifiquemos o cumprimento das condições estabelecidas pelo Teorema da Complementaridade: X 3 *. U 1 * = 0 5. 0 = 0 ü X 4 *. U 2 * = 0 0. 1/2 = 0 ü X 5 *. U 3 * = 0 0. (-3/2) = 0 ü X 1 *. U 4 * = 0 5/2. 0 = 0 ü X 2 *. U 5 * = 0 5/2. 0 = 0 ü Aproveitemos para retomar a noção de preço-sombra. Comecemos com U2* = + 1/2. Tal indica-nos que, se se incrementar uma unidade ao termo independente da segunda 'restrição primal', a função objectivo F sofrerá um incremento de + 1/2 ( o que, por acaso, não nos interessaria muito, já que o objectivo do problema primal é Minimizar F! ). De notar que o que se referiu só é válido na hipótese de se manter óptima a mesma base! 115

F Considere o problema primal 'alterado' (na forma standard): Max P = 1 X 1-2 X 2 sujeito a 1 X 1 + 1 X 2 + 1 X 3 = 10 1 X 1 + 1 X 2-1 X 4 = 5 + 1 1 X 1-1 X 2 + 1 X 5 = 0 X 1, X 2, X 3, X 4, X 5 0 Utilizando a formulação matricial do Simplex, verifique que ( X 1 ; X 2 ; X 3 ) se mantém a base óptima do problema primal.... Deve ter obtido r = [ + 1/2 ; + 3/2 ], ( X1* = 3 ; X2* = 3 ) e P*= - 3 F * = 3 = 5/2 + 1/2 F*orig. U2* Se considerermos, agora, U3* = - 3/2, tal indicar-nos-á que, a um incremento de uma unidade no termo independente da terceira 'restrição primal', a função objectivo F sofrerá um 'incremento' de - 3/2 ( o que, por acaso, nos interessaria, já que o objectivo do problema primal é Minimizar F! ). ( Continuamos a assumir que se mantem óptima a mesma base! ) F Considere o problema primal 'alterado' (na forma standard): Max P = 1 X 1-2 X 2 sujeito a 1 X 1 + 1 X 2 + 1 X 3 = 10 1 X 1 + 1 X 2-1 X 4 = 5 1 X 1-1 X 2 + 1 X 5 = 0 + 1 X 1, X 2, X 3, X 4, X 5 0 Utilizando a formulação matricial do Simplex, verifique que ( X 1 ; X 2 ; X 3 ) se mantém a base óptima do problema primal.... Deve ter obtido r = [ + 1/2 ; + 3/2 ], ( X1* = 3 ; X2* = 2 ) e P*= - 1 F * = 1 = 5/2 + (- 3/2) F*orig. U3* Assim, a Dualidade tem, pelo menos, duas importantes aplicações: por um lado, relativamente a um per de problemas 'primal-dual' de Programação Linear, permite-nos resolver o problema 'mais simples' e obter a solução de ambos; por outro lado, os valores óptimos das variáveis duais de um problema de Programação Linear podem ser encarados como coeficientes de sensibilidade da função objectivo, face a eventuais variações dos termos independentes ('disponibilidades de recursos'), o que é muito importante, numa interpretação de 'caractér económico'. 116