Aulas Práticas de Matemática I

Aulas Práticas de Matemática I Curso de Arquitectura Resumo da Matéria com exercícios propostos e resolvidos Henrique Oliveira e João Ferreira Alves

Conteúdo Nota introdutória 3 Sistemas de equações lineares e método de Gauss 4. Exercícios propostos....................... 4. Exercícios complementares.................... 6 3 Matrizes 3. Exercícios propostos....................... 3. Exercícios complementares.................... 4 4 Determinantes 6 4. Exercícios propostos....................... 6 4. Exercícios complementares.................... 5 Espaços vectoriais 3 5. Exercícios propostos....................... 3 5. Exercícios complementares.................... 7 6 Aplicações lineares e diagonalização 9 6. Exercícios propostos....................... 9 6. Exercícios complementares.................... 36 7 Sucessões e séries 4 7. Exercícios propostos....................... 4 7. Exercícios complementares.................... 4 8 Funções - revisões 44 8. Exercícios propostos....................... 44 8. Exercícios complementares.................... 46 9 Primitivas e integrais 47 9. Exercícios propostos....................... 47 9. Exercícios complementares.................... 49 Testes de auto-avaliação 5

Nota introdutória Neste breve texto o aluno pode encontrar os exercícios para as práticas de Matemática I do Mestrado em Arquitectura. Estão previstas 3 aulas práticas de 9 minutos, usualmente devido a diversos condicionalismos como feriados, visitas de estudo, apenas se têm dado aulas. Como tal costumamos distribuir o programa por aulas podendo reservar a última para alguns exercícios de exame e revisões. Os capítulos podem ter a seguinte distribuição, que temos seguido com pequenas variantes: Capítulo - aula Capítulo - aula Capítulo 3 - aula Capítulo 4 - aulas Capítulo 5 - aulas Capítulo 6 - aulas Capítulo 7 - aula Capítulo 8 - aulas A seguir a cada unidade de exercícios propostos, correspondente a uma parte do programa, estão as soluções da maioria dos problemas propostos. O estudante pode encontrar também exercícios de testes ou exames que servem para revisão no final de de cada capítulo e estão, na sua quase totalidade, resolvidos. No final das folhas estão dois testes tipo que cobrem a matéria dada em Matematica I. 3

Sistemas de equações lineares e método de Gauss. Exercícios propostos ) Resolva por eliminação de Gauss e descreva geometricamente o conjunto de soluções dos sistemas: a) { x + y = x + 3y = b) { x + 3y = 4x + 6y = c) { 4x + 5y = x + 5y = d) 3x 9y + z = 3 e) x + y + 3z = x + y + z = x y + z = f) x + y + 3z = 4x + 7y + 7z = 3 x + 3y + z = g) x + y + z = 4x + y + z = x + 3y + 4z = h) { x + 3y + z = x + y + z = i) { x + y + z = 6x + 3y + 3z = 3 ) Resolva os sistemas por eliminação de Gauss a) { x + y + z + w = x + y z + w = 3 b) x + y + z + 3w = 3 x + y + z + w = 3x + 3y + 3z + w =. 3) Discuta, em função dos parâmetros α e β, os seguintes sistemas: a) x + 4y + 3z = x + 7y z = x + 5y + αz = β 4) Considere o sistema de equações lineares x + y + 3z = b x + y z = b, 4x + 4y + 5z = b 3 b) x + y + z = 6β αx + 3y + z = β x + y + (α + ) z = 4 e calcule os vectores (b, b, b 3 ) R 3 para os quais o sistema é possível.. 5) Determine um sistema de equações lineares cujo conjunto de soluções seja: 4

a) S = {( + t, t) : t R}; b) S = {(t, t, ) : t R}; c) S = {(s 3t, s, t) : s, t R}; 6) Considere o plano α R 3 que passa por (,, ), ( 4,, ) e (,, ), e a recta r R 3 que passa por (,, ) e ( 4,, ). Determine a intersecção de α com r. 7) Considere a recta r R 3 que passa por (,, ) e (,, ), e a recta s R 3 que passa por (,, ) e (,, ). Identifique o único plano α R 3 que contém r e não intersecta s. Soluções a) Possível e determinado: S = {(3, )}; b) Indeterminado com incógnita livre: S = {( 3 y, y) : y R } ; c) Impossível S = ; d) Indeterminado com incógnitas livres: S = {( + 3y 3 z, y, z) : y, z R } ; e) Possível e determinado: S = {(,, )}; f) Impossível: S = ; g) Indeterminado com incógnita livre: S = {(5z, 3z, z) : z R}; h) Indeterminado com incógnita livre: S = {( z, z, z) : z R}; i) Indeterminado com incógnitas livres: S = {( y z, y, z) : y, z R }. a) Indeterminado com duas incógnitas livres: S = {( y ) w, y,, w b) Indeterminado com duas incógnitas livres: } : y, w R. S = {( y z, y, z, ) : y, z R}. 3a) Se α o sistema é possível e determinado; se α = e β = o sistema é indeterminado; se α = e β o sistema é impossível. 3b) Se α e α 6 o sistema é possível e determinado; se α = e β = /3 o sistema é indeterminado; se α = e β /3 o sistema é impossível; se α = 6 e β = /63 o sistema é indeterminado; se α = 6 e β /63 o sistema é impossível. 4) b 3 b b =. 5a) x + y = ; 5b) { x + y = z = ; 5c) x y + 3z =. 5

. Exercícios complementares. Resolva por eliminação de Gauss e descreva geometricamente o conjunto de soluções dos sistemas em R 3 : (a) x + y + z = x + y + z = x y + z = 5 Res.: Realiza-se a eliminação de Gauss na matriz aumentada do sistema: 5 3 7. O sistema fica: x + y + z = y = z = x = y = z =. A solução é o ponto (,, ). (b) { x + y + 3z = x + y + z = Res.: Realiza-se a eliminação de Gauss na matriz aumentada do sistema: [ 3 ] [ 3 ]. Existem dois pivots no final do método de Gauss, a característica da matriz do sistema é. O sistema é indeterminado com grau de liberdade (uma variável livre) que corresponde à coluna sem pivot, a coluna da variável y, que é assim a variável livre ou independente: { x + y + 3z = z = 6 x = y y = y z =,

escrito de outra forma x y = y z, R. Ou seja, {(x, y, z) R : (x, y, z) = (,, ) α, α R}, a solução é a recta de vector director (,, ) e que passa pela origem.. Resolva por eliminação de Gauss e descreva geometricamente o conjunto de soluções dos sistemas em R 3 : x y + z = 3 x + y = x + z = 3 R.: (x, y, z) = ( 3, 3, ) + t (,, ), t R. A solução geometricamente é uma recta. 3. Resolva por eliminação de Gauss e descreva geometricamente o conjunto de soluções dos sistemas em R 3 : x + y z = x + z = x + y = R.: (x, y, z) = (,, ) + t (,, ), t R. A solução geometricamente é uma recta. 4. Discuta, em função dos parâmetros reais α e β, o seguinte sistema: x + y + z = β αx + 4y + z = β. x + y + αz = 4 Res.: Realiza-se a eliminação de Gauss na matriz aumentada do sistema: β α 4 β 4 α β α β + αβ. α 4 α 4 + β 7

Se não faltarem pivots (car (A) = 3 = col (A)) no final do método de Gauss, o sistema é possível e determinado. Logo, se 4 α α α 8 α, o sistema é possível e determinado. Na situação em que α =, temos 3 β 3β 4 + β, se 4 + β = β = 4, o sistema fica possível; recorda-se que a condição de existência de solução - ou possibilidade da solução - é car (A) = car (A b) que é neste caso; mas indeterminado, uma vez que col (A) = 3 > car (A) =, o que nos dá um grau de indeterminação de. Se β 4 o sistema fica impossível, uma vez que car (A) = < car (A b) = 3. Na situação em que α = 8, temos β 6 6β 6 4 + β 6 β 6β 4 + 7β se 4 + 7β = β = 4 7, o sistema fica possível; recorda-se de novo que a condição de existência de solução - ou possibilidade da solução - é car (A) = car (A b) que é neste caso; mas indeterminado, uma vez que col (A) = 3 > car (A) =, o que nos dá um grau de indeterminação de. Se β 4 7 o sistema fica impossível, uma vez que car (A) = < car (A b) = 3., 5. Discuta, em função dos parâmetros reais α e β, o seguinte sistema: x + y + z = β αx + y + z = β. x + y + αz = Res.: Faz-se a eliminação de Gauss, resulta β α α β αβ α β Se α, existem três pivots na matriz (característica da matriz do sistema e da matriz aumentada é 3, que é o número de incógnitas do 8

sistema) do sistema e este fica possível e determinado. No caso α = para todo o β, (a característica da matriz do sistema e da matriz aumentada do sistema fica igual e vale ) o sistema fica indeterminado com grau de indeterminação. No caso α = e β =, (a característica da matriz do sistema e da matriz aumentada do sistema fica igual e vale ) o sistema fica indeterminado com grau de indeterminação, se α = e β o sistema fica impossível. 6. Considere o sistema de equações lineares x + y + z = b x y + z = b 4x + y + 3z = b 3, e calcule os vectores (b, b, b 3 ) R 3 para os quais o sistema é possível. Qual é o significado geométrico? Res.: Realiza-se a eliminação de Gauss na matriz aumentada do sistema: b b b 3 3 b b 4 3 b 3 3 5 b 3 4b b 3 b b, b b + b 3 o sistema é sempre possível porque a característica de A é igual à característica da matriz aumentada A b e vale 3. Todos os parâmetros são admissíveis, o espaço dos parâmetros é R 3. 7. ( val.) Considere o plano s R 3 que passa por (,, ), (3,, ) e (,, ), e a recta r R 3 que passa por (,, ) e (,, 3). Determine a intersecção de s com r. Res.: O plano passa pelo ponto p = (,, ) e contém os vectores a = (3,, ) (,, ) = (,, ) e b = (3,, ) (,, ) = (,, ). A equação vectorial do plano é r = p + s a + t b, s, t R. Ou seja x y z = + s 9 + t,

eliminando s e t obtemos a equação do plano x y =, a equação vectorial da recta é (x, y, z) = α (,, 3), α R, de onde resulta a equação cartesiana da recta x = α y = z = 3α { 3x z = y =. A intersecção é dada por x y = 3x z = y = x = y = z = 3. Poder-se-ia obter este resultado imediatamente observando que o plano x y =, contém o ponto (,, 3) que serve para definir a recta dada.

3 Matrizes 3. Exercícios propostos ) Sempre que possível calcule [ a) d) [ ] ] [ + 3 6 3 ] e) b) [ ] [ + [ ] [ ] ] c) f) [ [ ] 3 ] [ ] g) 3 3 [ ] h) [ 3 ] i) 3 4 j) 3 4 k) 3 3 4 l) 3 4. ) Calcule a a linha e a a coluna do seguinte produto matricial 3 7 5 3 3 3 46 3 3. 3) Mostre que para qualquer matriz A = [a ij ] R 3 3 tem-se a a a 3 a a a 3 a 3 a 3 a 33 = a a a 3 a a a 3 a 3 a 3 a 33. 4) Mostre que para quaisquer b R e A = [a ij ] R 3 3 tem-se b a a a 3 a a a 3 a 3 a 3 a 33 = a a a 3 b a b a b a 3 a 3 a 3 a 33.

5) Mostre que para quaisquer b R e A = [a ij ] R 3 3 tem-se b a a a 3 a a a 3 a 3 a 3 a 33 = a a a 3 a + b a a + b a a 3 + b a 3 a 3 a 3 a 33. 6) Mostre que a inversa de uma matriz A = [a ij ] R 3 3 quando existe é única. 7) Mostre que se as matrizes A e B R n n são invertíveis, então também AB é invertível, tendo-se ainda (AB) = B A. 8) Mostre que qualquer matriz elementar é invertível. Nota - Recorde que as matrizes dos exercícios 3, 4 (se b ) e 5 são exemplos de matrizes elementares. 9) Sempre que possível, calcule a inversa de cada uma das seguintes matrizes: [ ] [ ] [ ] a) b) c) d) e) f) 3 3 3 g) 3 4 3 h). ) Utilizando o exercício anterior, resolva os sistemas de equações lineares: a) x y = x + y z = y + z = b) x + z = y + w = x + z + w = x y + z =.

Soluções [ ] [ 6 a) ; b) Não é possível; c) Não é possível; d) [4]; e) 5 [ ] 5 [ ] 3 4 f) ; g) 5 3 ; h) ; i) ; j) 4 4 6 3 3 4 3 4 k) ; l). 6 6 6 8 ] ; 3 4 ; a) [ 4 7 9 ], 4 6 ; 9a) Matriz não invertível; 9b) [ ] [ 3 3 ; 9c) 3 3 ] ; 9d) ; 9e) 3 3 3 3 3 3 3 3 3 ; 9f) Matriz não invertível; 9g) ; 9h). a) (,, ); b) (4,, 3, ). 3

3. Exercícios complementares. Pelo método de Gauss-Jordan calcule a inversa da matriz: 3. Res.: 3 4 3 4 3 A inversa da matriz dada é. 3 4 3.. Utilizando o resultado da questão anterior resolva o sistema: x + y + z = 5 x + y + 3z =. y + z = Res.: Basta multiplicar a inversa pelo vector coluna dos termos independentes: x y z = 4 3 5 = 5 5. 3. Calcule a inversa da matriz: R.: 3 4

4. Calcule a inversa da matriz: R.: 3 5. Prove que a inversa de uma matriz A R n n, quando existe, é única. Res.: Basta considerar que existem duas inversas A e A o que conduz a uma contradição. Por definição vale AA = Id, A A = Id. Seja agora o produto A AA este produto pode ser realizado utilizando de duas formas a propriedade associativa da multiplicação de matrizes: A ( ) AA = A Id = A, o mesmo produto vale ( A A) A = IdA = A, o que significa que A = A o que contradiz que as duas inversas são diferentes. Logo a inversa de uma matriz é única. 6. Seja A uma matriz quadrada. Dizemos que A é uma matriz nilpotente se existe um inteiro positivo r tal que A r =. Prove que se A é nilpotente então I A é invertível (I representa a matriz identidade). Resposta: Basta notar que (I A) ( I + A + A +... + A r ) = = I + A + A +... A r A A A 3... A r A r = I + A r = I + = I, de onde se conclui que I A tem inversa e que esta é r I + A + A +... + A r = A j. j= 5

4 Determinantes 4. Exercícios propostos ) Calcule o determinante de cada uma das seguintes matrizes e indentifique as que são invertíveis [ ] [ ] 3 a) b) c) 3 3 d) g) 3 3 6 e) h) 3 5 3 3 3 f) i) 3 3 3 3 ) Sabendo que calcule: a) c) d e f g h i a b c a + d b + e c + f d e f g h i a b c d e f g h i b) d) = 5, a b c d e f g h i a b c d 3a e 3b f 3c g h i 3) Sabendo que os valores reais γ e δ são tais que: γ δ γ + δ =, 6

calcule γ δ δγ + δ δ δγ γ γ. 4) Considere as matrizes A = 5 3 e B = Calcule: a) det(3a); b) det(a 3 B ); c) det(a B T ); d) det(a 4 B ).. 5) Mostre que λ λ λ + λ λ + λ + 3 3 3 λ λ + λ + λ + 3 4 4 λ λ + λ + λ + 3 λ + 4 5 λ λ + λ + λ + 3 λ + 4 λ + 5 = λ 6. 6) Calcule o determinante da matriz B = λ λ λ... λ λ +... λ +........ λ +. 7) Mostre que λ λ λ 3 λ λ λ 3 = (λ 3 λ )(λ 3 λ )(λ λ ). 7

8) Recorra à regra de Laplace para calcular o determinante das seguintes matrizes: 3 a) 3 b) 3 c) 3 3 6 5 6 3 d) 4 3 3 3 3 e) 3 3 5 f) 4 6 3 3 3 5 9) Calcular a matriz dos cofactores e a matriz inversa de cada uma das seguintes matrizes: a) 4 b) c) 3.. ) Usar a regra de Cramer para resolver os sistemas de equações lineares: a) Soluções y + z = x + 4y + z = x + y = b) x + y = x + z = x + y + z = a) 3;b) ;c) 9;d) ;e) 3; f) ; g) 3;h) ; i) 8. Apenas as matrizes das alíneas b), f) e h) não são invertíveis.. a) 5; b) ; c) 5; d). 3) δγ. 4a) 54; 4b) 8; c) ; d). 6) λ n. 8

8a) 9; 8b) 5; 8c) 6; 8d) 6; 8e) 5; 8f) 45. 9a) 4 7 4 ; 9b) 3 4 ; 9c) 3 3. a) ( 9, 5, ); b) (,, ). 9

4. Exercícios complementares. Seja A λ a seguinte matriz A λ = λ λ λ Calcule det A λ. R.: + λ λ 3.. Seja A λ a seguinte matriz A λ = λ λ λ Calcule det A λ. R.: λ + λ λ 3. 3. Calcule α real de forma a que a seguinte matriz seja singular (não tenha inversa) 3 4 3 4 3. α 4 Res.: Basta notar que o determinante da matriz se anula quando a matriz não tem inversa; assim, ao adicionarmos a coluna com a coluna 3 ficamos com a coluna se α + = 4, de onde se conclui que se α = o determinante é nulo e, logo, a matriz não tem inversa. 4. Calcule a matriz dos cofactores e a inversa da matriz seguinte 4.

Res.: A matriz dos cofactores é 4.. (. ( ).). 4 ( ) (..). ( ). () =. 4. (..).4. 3 8 3 3 6 o determinante da matriz é 3, como se constata multiplicando qualquer linha (ou coluna) pela sua correspondente na matriz dos cofactores. A inversa é simplesmente a matriz dos cofactores transposta a dividir pelo determinante A = cof T (A) det A = 3 3 3 3 8 6. 5. ( val.) Use a regra de Cramer para resolver o sistema de equações lineares em R 3 : x + y + z = a) x + 4y + z = 4. x + y + z = Res.: Aproveitando o problema anterior, notando que a matriz do sistema é a mesma, podemos calcular facilmente todos os determinantes, já se sabe que det A = 3. 6. Prove que B = det x = y = z = 4 4 3 4 3 4 4 3 =, =, =. λa λa λa... λa a λa + a a... a a 3 a 3 λa 3 + a 3... a 3..... a n a n a n... λa n + a n n = λ n a j, j=

(a j e λ são números reais). Res.: Pode-se pôr em evidência por cada linha o a j e o λ da primeira linha, ficamos com:... a λ + a a... a a 3 a 3 λ + a 3... a 3 n λ a j...... j= a n a n a n... λ + a n Pode-se utilizar a primeira linha para eliminar, pelo método de Gauss, em cada linha j os a j com j. Ficamos com... λ... λ... n λ a j...... j=... λ o que dá imediatamente o resultado.

5 Espaços vectoriais 5. Exercícios propostos ) Represente graficamente cada um dos seguintes subconjuntos do plano, identificando os que são subespaços lineares de R : a) S = { (x, y) R : x = } ; b) S = { (x, y) R : x + y = } ; c) S = { (x, y) R : x + y = e x y = } ; d) S = { (x, y) R : x + y = } ; e) S = { (x, y) R : x + y = }. ) Represente graficamente cada um dos seguintes subconjuntos do espaço, identificando os que são subespaços lineares de R 3 : a) S = { (x, y, z) R 3 : x + y + z = } ; b) S = { (x, y, z) R 3 : x + y + z = } c) S = { (x, y, z) R 3 : x + y = e x y + z = } ; d) S = { (x, y, z) R 3 : x + y = e x y + z = } ; e) S = { (x, y, z) R 3 : x + y + z = } ; f) S = { (x, y, z) R 3 : xyz = }. 3) Considere em R o conjunto S = {(, ), (, )}. a) Mostre que o vector ( 5, 5) é combinação linear dos vectores de S. b) Mostre que o vector (, ) não é combinação linear dos vectores de S. c) O conjunto S gera R? 4) Considere em R 3 o conjunto S = {(,, ), (,, ), (,, )}. a) Mostre que o vector (, 3, 3) é combinação linear dos vectores de S. b) Mostre que o vector (,, ) não é combinação linear dos vectores de S. c) O conjunto S gera R 3? 3

5) Decida quais dos seguintes conjuntos geram R 3 : a) {(, 3, 3), (4, 6, 4), (,, ), (3, 3, )}; b) {(,, ), (,, ), (,, )}; c) {(, 4, ), (,, ), (, 3, ), (,, )}. d) {(6, 47, 9), (3,, 498)}. 6) Comente a seguinte afirmação: Qualquer conjunto gerador de R 3 tem pelo menos 3 vectores. Mais geralmente, qualquer conjunto gerador de R m tem pelo menos m vectores. 7) Mostre que os seguintes conjuntos de vectores são linearmente dependentes: a) Em R, v = (, ), v = (, ); b) Em R, v = (, 5), v = (3, 3), v 3 = (75, ); c) Em R 3, v = (,, ), v = (,, 4); d) Em R 3, v = (,, ), v = (3, 3, 3), v 3 = (,, ); e) Em R 3, v = (, 34, ), v = (3, 3, 3), v 3 = (, 6, 6), v 4 = (45,, ). 8) Comente a seguinte afirmação: Em R 3 qualquer conjunto com mais de 3 vectores é linearmente dependente. Mais geralmente, em R m qualquer conjunto com mais de m vectores é linearmente dependente. 9) Comente a seguinte afirmação: Qualquer base de R m tem exactamente m vectores. ) Seja B = { v, v } com v = (, ) e v = (, ). a) Mostre que B é uma base de R b) Qual é o vector de R que nesta base tem coordenadas (, )? c) Calcule as coordenadas do vector (3, 5) nesta base. d) Mediante uma matriz de mudança de base apropriada, calcule as coordenadas de um vector (x, x ) R nesta base. 4

) Seja B = { v, v, v 3 } com v = (,, ), v = (,, ) e v 3 = (,, ). a) Mostre que B é uma base de R 3 b) Qual é o vector de R 3 que nesta base tem coordenadas (, 3, 5)? c) Calcule as coordenadas do vector (,, ) nesta base. d) Mediante uma matriz de mudança de base apropriada, calcule as coordenadas de um vector (x, x, x 3 ) R 3 nesta base. ) Para cada uma das seguintes matrizes, calcule bases para o espaço das colunas e para o espaço nulo. Calcule ainda a característica e a nulidade: [ ] [ ] [ ] a) b) c) 4 d) e) f) 3 Soluções a) É subespaço de R ; b) É subespaço de R ; c) É subespaço de R ; d) Não é subespaço de R ; e) Não é subespaço de R ; a) É subespaço de R 3 ; b) Não é subespaço de R 3 ; c) É subespaço de R 3 ; d) Não é subespaço de R 3 ; e) Não é subespaço de R 3 ; f) Não é subespaço de R 3 ; 5a) S não gera R 3 ;5b) S gera R 3 ; 5c) S não gera R 3 ; 5d) S não gera R 3. b) (4, ); c) (, 5); d) (x x, x ). 5

b) (8, 8, 5); c) (,, ); d) ( x x, x x 3, x 3 ). a) {(, )} é base de N(A); {(, )} é base de I(A); b) {(, )} é base de N(A);{(, )} é base de I(A); c) é base de N(A); {(, ), (, )} é base de I(A); d) {(,, ), (,, )} é base de N(A); {(,, )} é base de I(A); e) é base de N(A); {(,, ), (,, ), (,, )} é base de I(A); f) {(,, )} é base de N(A); {(,, ), (,, )} é base de I(A). 6

5. Exercícios complementares Problema de resposta directa. Seja B = { v, v, v 3 } com v = (,, ), v = (,, ), v 3 = (,, ). (a) O conjunto B é linearmente independente? R.: Sim (b) O conjunto B é gerador de R 3? R.: Sim.. Seja B = { v, v, v 3 } com v = (,, ), v = (,, ), v 3 = (,, ). (a) O conjunto B é linearmente independente? R.: Não. (b) O conjunto B é gerador de R 3? R.: Não. 3. O seguinte sistema define um subespaço vectorial de { R 3? Justifique. x + y z = Qual é o objecto geométrico representado pelo sistema? x + y + z = R.: Resolve-se o sistema, ficamos com: { x = y z = que é a equação cartesiana de uma recta. Como o sistema é linear e homogéneo a sua solução é sempre um subespaço de R 3, espaço onde o sistema tem solução., (a) O seguinte sistema define um subespaço vectorial de R 3? Justifique. Qual é o objecto geométrico representado pelo sistema? { x + y z = x + y + z = Res.: Resolve-se o sistema, ficamos com: { x = y, z = que é a equação cartesiana de uma recta. Como o sistema é linear e homogéneo a sua solução é sempre um subespaço de R 3, espaço onde o sistema tem solução. 7

(b) O seguinte sistema define um subespaço vectorial de R 3? Justifique. Qual é o objecto geométrico representado pelo sistema? { x + y + z = x + y z = Res.: Resolve-se o sistema, ficamos com: { x = y, z = que é a equação cartesiana de uma recta. Como o sistema é linear e homogéneo a sua solução é sempre um subespaço de R 3. 4. Qual a base do núcleo da matriz 3 A = 3? Resolvemos a equação Au =, fazendo a respectiva eliminação de Gauss-Jordan obtemos 3 4, o que significa que temos uma variável livre e três variáveis dependentes. O sistema final fica { x = 3x x + 3x = x 3 + x 4 = x = x x 3 = x 4 x 4 = x 4 A solução escrita na forma vectorial indica-nos a base do conjunto solução, que é o núcleo de A : x x x 3 x 4 = x 3 + x 3 A base é dada por {( 3,,, ), (,,, )}.. 8

6 Aplicações lineares e diagonalização 6. Exercícios propostos ) Seja T : R R a transformação linear definida por T (x, x ) = (x + x, x + x ). a) Calcule a matriz A que representa T na base e = (, ), e = (, ). b) Mostre que T é invertível e calcule T (y, y ). c) Calcule a matriz B que representa T na base v = (, ), v = (, ). ) Seja T : R R a transformação linear definida por T(x, x ) = (x + x, x + x ). a) Calcule a matriz A que representa T na base e = (, ), e = (, ). b) A transformação T é invertível? c) Calcule a matriz B que representa T na base v = (, ), v = (, ). 3) Seja T : R R a única transformação linear que, na base v = (, ) e v = (, ), é representada pela matriz B = [ 4 ]. a) Mostre que T não é invertível. b) Calcule T (x, x ). 4) Seja T : R R a única transformação linear que, na base v = (, ) e v = (3, ), é representada pela matriz B = [ 3 ]. a) Mostre que T é invertível. 9

b) Calcule T (y, y ). 5) Seja T : R 3 R 3 a transformação linear definida por T(x, x, x 3 ) = (x x + x 3, x + x 3, x x + x 3 ). a) Calcule a matriz A que representa T na base e = (,, ), e = (,, ), e 3 = (,, ). b) Mostre que T é invertível e calcule T (y, y, y 3 ). c) Calcule a matriz B que representa T na base v = (,, ), v = (,, ), v 3 = (,, ). 6) Seja T : R 3 R 3 a transformação linear definida por T (x, x, x 3 ) = ( x + x 3, x + x + x 3, x + 4x 3 ). a) Calcule a matriz A que representa T na base e = (,, ), e = (,, ), e 3 = (,, ). b) Mostre que T não é invertível. c) Calcule a matriz B que representa T na base v = (,, ), v = (,, ), v 3 = (,, ). 7) Seja T : R 3 R 3 a única transformação linear que, na base v = (,, ), v = (,, ), v 3 = (,, ) é representada pela matriz B = 3. a) Mostre que T não é invertível. b) Calcule T (x, x, x 3 ). 8) Seja T : R 3 R 3 a única transformação linear que, na base v = (,, ), v = (,, ), v 3 = (,, ) 3

é representada pela matriz a) Mostre que T é invertível. b) Calcule T (y, y, y 3 ). B =. 9) Considere a matriz A = [ 3 ] a) Calcule o polinómio característico de A; b) Calcule os valores próprios e os subespaços próprios de A; c) Determine uma base de R constituída por vectores próprios de A. ) Considere a matriz A = [ 3 3 ]. a) Calcule o polinómio característico de A;. b) Calcule os valores próprios e os subespaços próprios de A; c) Determine uma matriz de mudança de base P e uma matriz diagonal D tais que D = P AP. ) Considere a matriz A = [ ]. a) Calcule o polinómio característico de A; b) Calcule os valores próprios e os subespaços próprios de A; c) Mostre que não existe uma base de R constituída por vectores próprios de A. 3

) Considere a matriz A =. a) Calcule o polinómio característico de A; b) Calcule os valores próprios e os subespaços próprios de A; c) Determine uma base de R 3 constituída por vectores próprios de A. d) Determine uma matriz de mudança de base P e uma matriz diagonal D tais que D = P AP. 3) Considere a matriz A = 3. a) Calcule o polinómio característico de A; b) Calcule os valores próprios e os subespaços próprios de A; c) Mostre que não existe uma base de R 3 constituída por vectores próprios de A. 4) Considere a matriz A = 3 3. a) Calcule o polinómio característico de A; b) Calcule os valores próprios e os subespaços próprios de A; c) Determine uma matriz de mudança de base P e uma matriz diagonal D tais que D = P AP. 5) Classificar as seguintes matrizes simétricas, em definidas positivas, definidas 3

negativas, sem-idefinidas positivas, semi-definidas negativas ou indefinidas: [ ] [ ] [ ] 3 a) b) c) d) [ 3 ] e) 3 f). 6) Classificar as seguintes formas quadráticas, em definidas positivas, definidas negativas, semidefinidas positivas, semidefinidas negativas ou indefinidas: a) Q(x, x ) = x + x + x x ; b) Q(x, x ) = x + x + x x ; c) Q(x, x ) = 3x + x x x ; d) Q(x, x ) = 3x + 4x x ; e) Q(x, x, x 3 ) = x + x + 3x 3 + 4x x ; f) Q(x, x, x 3 ) = x x + x 3 + x 3x. Soluções a) A = a) A = [ [ ] [ ; b) T (y, y ) = (y y, y + y ); c) B = 3 ] [ 3 ; b) Não é invertível; c) B = 9 6 ]. ]. 3b) T (x, x ) = (4x 4x, ). 4b) T (y, y ) = ( y y, 3 y ) 5a) A = 5b) B =. ; 5b) T (y, y, y 3 ) = (y y 3, y + y, y + y + y 3 ); 33

6a) A = 4 ; 6c) B =. 7b) T(x, x, x 3 ) = (x, 3x + 6x 3, 3x + 6x 3 ). 8b) Calcule T (y, y, y 3 ) = (y, y, y y 3 ). 9a) P (λ) = ( λ) (3 λ); 9b) Os escalares e 3 são os únicos valores próprios de A. Os subespaços próprios de A são: E = {(x, ) : x R} e E 3 = {(x, x ) : x R}; 9c) B = {(, ), (, )}. a) P (λ) = ( λ) 9; b) Os escalares e 5 são os únicos valores próprios de A. Os subespaços próprios [ de A são ] : E = [ {( x, x ] ) : x R} e E 5 = {(x, x ) : x R}; c) D = e P =. 5 a) P (λ) = ( λ) ; b) O escalar é o único valor próprio de A, e E = {(x, ) : x R}.c) Se existisse uma base de R constituída por vectores próprios de A, teríamos dim E =, já que é o único valor próprio de A. Mas isto não pode acontecer, porque pela alínea anterior temos dim E =. [ ] a) P (λ) = λ ( λ) ; b) Os escalares, e 3 são os únicos valores próprios de A. Tem-se E = {(x,, ) : x R}, E = {(, x 3, x 3 ) : x 3 R} e E 3 = {(x 3, 3x 3, 3x 3 ) : x 3 R}; c) B = {(,, ), (,, ), (, 3, 3)}; d) D = 3 3. 3 e P = 3a) P (λ) = (3 λ) ( λ) ; 3b) Os escalares e 3 são os únicos valores próprios de A. Tem-se E = {(, x, ) : x R}, E = {(x,, ) : x R}; 34

3c) Não existe uma base de R 3 constituída por vectores próprios de A porque dim E + dim E 3 = < 3. 4a) P (λ) = ( λ) (3 λ) ; 4b) Valores próprios: e 3. Subespaços próprios: E = {(x,, ) : x R} e E 3 = {(x + x 3, x, x 3 ) : x, x 3 R}; 4c) P = e D = 3. 3 5a) Os valores próprios da matriz são e, logo é semi-definida positiva; 5b) Os valores próprios da matriz são e 3, logo é definida positiva; 5c) Os valores próprios da matriz são 5 5 e 5 5 (ambos negativos), logo é definida negativa; 5d) Os valores próprios da matriz são e 4, logo é indefinida; 5e) Os valores próprios da matriz são e 3, logo é indefinida; 5f) Os valores próprios da matriz são, e 3, logo é indefinida. 6a) Semi-definida positiva; 6b) Definida positiva; 6c) Definida negativa; 6d) Indefinida; 6e) Indefinida; 6f) Indefinida. 35

6. Exercícios complementares. Seja T uma transformação linear de R 3 em R 3, definida: T (x, x, x 3 ) = (x, x + x 3, x x 3 ). (a) A aplicação T é injectiva? R.: Sim. (b) A aplicação T é sobrejectiva? R.: Sim (c) Se a aplicação T admitir inversa apresente a sua expressão. T (y, y, y 3 ) = (y, y + y 3, y y 3 ).. Seja T a transformação linear anterior. Seja ainda a base b = {(,, ), (,, ), (,, )}. Qual a matriz B que representa T na base b (tanto no espaço de partida como de chegada)? Res.: Trivial, basta constatar que a matriz S é igual à matriz A = que representa T, logo B = S AS = A AA = A. 3. Seja T uma transformação linear de R 3 em R 3 : T (x, y, z) = (x + y, x + y, z). (a) Calcule os seus valores próprios. R.: (duplo) e (simples). (b) Calcule os seus vectores próprios e apresente uma matriz S que diagonalise a transformação linear e uma matriz Λ diagonal que represente T : R.: b =.,,, S = 4. Seja T uma transformação linear de R 3 em R 3, definida: T (x, x, x 3 ) = (x, x x 3, x +x 3 )., Λ = 36

(a) A aplicação T é injectiva? R.: Sim. (b) A aplicação T é sobrejectiva? R.: Sim. (c) Se a aplicação T admitir inversa apresente a sua expressão. R.: T (y, y, y 3 ) = (y, y + y 3, y + y 3 ). 5. Seja T a transformação linear anterior. Seja ainda a base b = {(,, ), (,, ), (,, )}. A matriz B que representa T na base b (tanto no espaço de partida como de chegada) é: R.: A = logo B = S AS = A., S =, e S =, 6. Seja T uma transformação linear de R 3 em R 3 : T (x, y, z) = (x + y, x + y, z). (a) Calcule os seus valores próprios. R.:, e 4. (b) Calcule os seus vectores próprios e apresente uma matriz S que diagonalise a transformação linear e uma matriz Λ diagonal que represente T: b =,,, S =, Λ = 4 [ ] a b 7. Seja A =. Obtenha os valores próprios de A. Construa a b a matriz mudança de base que diagonaliza A. Estude os sinais dos valores próprios de A e classifique a forma quadrátrica f (x, y) = a ( x + y ) + bxy de acordo com a e b. Ou seja: determine no espaço dos parâmetros a e b (em que a é a ordenada e b a abcissa) as regiões em que a forma quadrática é definida positiva, definida negativa e indefinida. Obtenha as equações das rectas no espaço dos parâmetros sobre as quais a forma é semidefinida. 37.

Res-: Calculamos os valores próprios de A : a λ b b a λ = ou seja (a λ) b = (λ a) = b λ a = ±b λ = a ± b, temos dois valores próprios se b, que são λ = a + b e λ = a b. Para obter a matriz mudança de base é necessário calcular os vectores próprios. Supomos primeiros que b, temos então para λ = a b [ ] [ ] [ ] a a + b b u = b a a + b que é [ ] [ ] b b u = b b u u [ como b o sistema fica equivalente a u +u =, o que nos dá como primeiro vector próprio (, ) com cálculos semelhantes obtemos para o segundo vector próprio, correspondente a λ = a + b o seguinte sistema [ ] [ ] [ ] b b v =, b b o que resulta no segundo vector próprio v = (, ). A matriz diagonalizante, que contém os vectores próprios de A é a seguinte S = v [ Se b = o resultado é trivial, uma vez que sendo A diagonal a matriz diagonalizante é a identidade. O estudo da forma quadrática fica agora muito simplificado, se a+b > e a b > b > a e b < a a forma quadrática fica definida positiva. Ou seja no sector à direita das das rectas de equações b = a e b = a ou, por outras palavras, na região à direita das bissectrizes do primeiro e quarto quadrantes. Se a+b < e a b < b < a e b > a então a forma quadrática fica definida negativa, ou seja à esquerda das rectas b = a e b = a, isto é, na região à esquerda das bissectrizes do segundo e terceiro quadrantes. Sobre a recta a + b = existem duas possibilidades, quando o par (a, b) está situado sobre a bissectriz do segundo quadrante a forma quadrática será semi-definida negativa pois a b <. Quando (a, b) está situado sobre a bissectriz do quarto quadrante a forma é semidefinida positiva, pois nesse caso a b >. 38 ]. ],

Sobre a recta a b = a situação é muito semelhante, na situação da bissectriz do primeiro quadrante a forma quadrática é semi-definida positiva, pois agora a + b >, no caso em que temos a bissectriz do terceiro quadrante a forma quadrática fica semi-definida negativa, pois agora a + b <. No ponto (, ) a função é nula, e não temos uma forma quadrática bem definida. Na figura seguinte vemos o resumo de toda a situação. 39

7 Sucessões e séries 7. Exercícios propostos ) Calcule o limite de cada uma das sucessões: ) Sabendo que a) n ; b) n + n ; c) n + n + n + 3 n + 3 n e) ; f) n n + 3 n ; g) n + 3 n 3 n + ; h) x n lim n n! = e lim n para qualquer x > e α Q, calcule: 3) Calcule a soma das séries ; d) n3 + 5n n 4 + ; n α x n =, n 3 3 n. a) lim n + n nn n ; b) lim n 3 n ; c) lim 5n + n! 3 n + n!. a) n 4) Calcule a soma da série Sugestão: Note que n 3 n ; b) n n 9 n c) n n (n + )!. n (n+)! = n! (n+)!. 3 n+. 5) Calcule a soma da série n n n. Sugestão: Note que n n = ( n n n+ n+ ) + n. 4

6) Sabendo que a série de termos positivos n α n é divergente para α =, e convergente para α >, determine a natureza das séries: a) n + ; b) n + n 3 + n + ; c) n + 3 n n n n 5 +. 7) Recorra ao critério da razão para determinar a natureza das séries: a) n 3 n n! ; b) n.3...(n ). 4.8...4n 8) Recorra ao critério da raíz para determinar a natureza das séries: a) 3 n n ; b) e n. n n n n 9) Calcular o raio de convergência das séries de potências: a) x n ; b) n n Soluções x n n! ; c) n ( ) n x n ; d) (n )! n a) ; b) ; c) ; d) ; e) ; f) ; g) ; h). ( ) n x n. (n)! a) ; b) ; c). 3a) ; 3b); 3c) 4. 4) ; 5). 6a) divergente; 6b) convergente; 6c) convergente. 7a) convergente; 7b) convergente; 8a) convergente; 8b) convergente. 9a) ; 9b) + ; 9c) + ; 9d) +. 4

7. Exercícios complementares. Seja n uma série de potências. Calcule o seu raio de convergência: Res.: nx n+ n 7 3 + r = lim = lim a n a n+ ( n+ n = lim n n 7 3 + n+ (n+) 7 3 + = lim n n + 7 (n + ) 3 + lim = n 7 3 + dividindo todos os termos do segundo limite por n 7 3 ) 7 3 + + n 7 3 n 7 3 = + + =.. Seja n uma série de potências. Calcule o seu raio de convergência: Res.: nx n+ n 5 + r = lim a n a n+ = lim n n 5 + n+ (n+) = lim 5 + n n + 5 (n + ) + lim = n 5 + dividindo todos os termos do segundo limite por n 5 = lim ( n+ n ) 5 + n 5 + n 5 = + + =. 3. Seja nx n uma série de potências. Calcule o seu raio de convergência: n 3 + n R.: O raio de convergência é obtido pela expressão r = lim an a n+ = n lim n 3 + n+ = lim n((n+)3 +) vê-se imediatamente que os termos (n+)(n 3 +) (n+) 3 + de maior grau (grau 4) no numerador e no denominador têm ambos coeficiente o limite é e o raio de convergência é precisamente. Para esclarecer continuamos o cálculo do limite acima (o que não seria necessário) 4

lim n+ n (n+) 3 + = lim n n 3 + n+ lim n3 +6n +6n+3 = lim + 6 n + 6 n 3 n + 3 n 3 = + + n 3 =. 4. Prove que a série harmónica diverge. Exercício complementar n para resolver depois de estudar integrais, capítulo 9. n Vamos usar o critério da comparação com um integral. Repare-se que a área dos rectângulos de altura n e base é maior do que a área das faixas situadas entre o gráfico da função x e o eixo dos xx nos intervalos reais [n, n + ] (que também têm comprimento ) ou seja somando obtemos A n A n > n n+ n > n x dx, ( n+ quando A é um inteiro. Assim A n= n ) A+ x dx = x dx, > log (A + ), n Fazendo o processo de limite e sabendo que lim A temos n n > lim log (A + ) = +, A + o que prova que a série harmónica diverge. A n n = n n 43

8 Funções - revisões 8. Exercícios propostos ) Calcule a derivada de cada uma das funções: a) f(x) = 3x 4 + x +, x R; b) f(x) = x 3 + sin(x), x > ; c) f(x) = x cos(x), x R; d) f(x) = x sin(x) cos(x), x R; e) f(x) = ex x, x ; nπ f) f(x) = tan(x), x ; g) f(x) = e sin(x), x R; h) f(x) = sin(e x ) + cos(e x ), x R; i) f(x) = log(x), x > ; j) f(x) = arctan(x), x R. 3) Para cada uma das seguintes funções, determine os pontos críticos e os intervalos de monotonia Identitifique ainda os pontos de máximo e mínimo relativo, e esboce o gráfico da função. a) f(x) = (x ) (x + ), x R; b) f(x) = x 3 6x + 9x + 5, x R; c) f(x) = + (x ) 4, x R; d) f(x) = x/( + x ), x R; e) f(x) = sin x cos x, x R; f) f(x) = xe x, x R. 4) Encontrar o rectângulo de maior área que se pode inscrever num semicírculo, com um dos lados contido no diâmetro. 5) Mostrar que de entre todos os rectângulos de área dada, o quadrado é o que tem menor perímetro. 6) Com uma placa rectangular dm 8 dm pretende-se fazer uma caixa aberta suprimindo de cada esquina quadrados iguais e dobrando os lados para cima. Encontrar as dimensões da caixa de maior volume que assim se 44

pode construir. 7) Calcular os limites: Soluções a) lim sin x x x c) lim 3x +x 6 x x x e) lim x + x 3 sin x x ; b) lim x log x ; d) lim e ; f) lim x ) ; h) lim g) lim x + x log ( + x x 3 ; x x +x ; log x x + x ; x + ( + x) x ; a) x 3 + ; b) 3 x + cos x; c) x cos x x sin x; d) sin x cos x + x cos x x sin x; e) ex (x ) (x ) ; f) cos x ; g) (cos x) esin(x) ; h) e x cos(e x ) e x sin(e x ) i) x ; j) +x. 7a) ; 7b) 4 6 ; 7c) 3 ; 7d) 3 ; 7e) ; 7f) ; 7g) ;7h) e. 45

8. Exercícios complementares ) Um camião reboca um barco salva vidas. O camião desloca-se na estrada (suposta por simplicação uma linha paralela à costa) 4 vezes mais depressa do que o barco na água. O camião parte da origem e quer socorrer uma traineira que está em dificuldade na coordenada (7, 3) (a unidade é o quilómetro). A estrada orienta-se ao longo do eixo dos xx: o meio terrestre e o meio aquático estão separados por uma linha imaginária que corresponde a este eixo, para y > existe água. Em que ponto, medido no eixo dos xx, deve lançar-se o barco à água para socorrer a traineira de forma a minimizar o tempo de chegada ao ponto (7, 3)? Justifique a questão de forma completa. R.: O tempo total é a soma do tempo que o camião vai na estrada t e e do tempo que o barco leva a chegar à coordenada pretendida, t m : T empo = t e + t m. Esta é a função a minimizar. A velocidade em estrada v e é quatro vezes a velocidade no mar v m e v e = 4v m = 4v. O tempo relativamente ao ponto de transição x em que o barco é atirado ao mar é dado por t e = x 4v + s v em que s é a hipotenusa do triângulo com catetos 7 x e 3. Assim s = (7 x) + 3. Temos então todos os dados do problema: T empo (x) = x 4v + (7 x) + 3, v é necessário minimizar esta função em função do ponto x, calcula-se a derivada e iguala-se a zero: 4v + (7 x) =, corta-se v e simplifica-se v (7 x) +3 de forma a obter (7 x) + 3 = 4 (7 x) Elevam-se ambos os membros ao quadrado: (7 x) + 3 = 6 (7 x) e resolve-se esta equação do segundo grau (escolhe-se a raiz negativa porque o barco terá de ser atirado para a água antes de se atingir a coordenada 7): x = 7 5. 46

9 Primitivas e integrais 9. Exercícios propostos ) Calcule uma primitiva para cada uma das funções: a) f(x) = x 4 + x +, x R; b) f(x) = x 3 + sin(x), x > ; c) f(x) = x cos(x ) + x sin(x 3 ), x R; d) f(x) = e x, x ; x e) f(x) = e x ex +, x R; nπ f) f(x) = tan(x), x ; g) f(x) = sin(x) cos(x), x R; h) f(x) = ex, x R; +e x i) f(x) = x sin(x), x R; j) f(x) = x e x, x R; k) f(x) = log(x), x > ; l) f(x) = arctan(x), x R. ) Calcule as derivadas das funções F : R R definidas por: a) F (x) = x e t dt; b) F (x) = 3) Calcule os integrais: d) a) π/ 4) Calcule o integral x ( x 3 + 3x ) dx; b) 4 sin (x) dx; e) π/ sin(t)dt; c) F (x) = x 3 + x 3 ( e x 5) dx; c) x dx; x cos ( x ) e x dx; f) e x + dx. f(x)dx, quando f : [, ] R está definida por: cos(t)dt. f(x) = { x 3 +x x se x se x =. 5) Determine a área da região de R delimitada pelas curvas y = x e y = x 3. 6) Determine a área da região de R delimitada pelas curvas y = e x, x =, x = e y = x. 47

7) Determine a área da região de R delimitada pelas curvas y = x sin(x), y =, x = π/ e x = π/4. 8) Determine o volume do sólido de revolução obtido pela rotação do conjunto S = {(x, y, z) : x [, ] y 3 } x z = em torno do eixo dos xx. 9) Determine o volume do sólido de revolução obtido pela rotação do conjunto { S = (x, y, z) : x [, ] y } 4 x z = em torno do eixo dos xx. ) Determine o volume do sólido de revolução obtido pela rotação do conjunto { } S = (x, y, z) : x [ 3, 3] y x 9 z = em torno do eixo dos xx. Soluções a) x5 5 + x + x + C; b) 5 x 5 cos x + C; c) cos x cos x3 3 + C; d) e x + C; e) log (e x + ) + C; f) log cos x + C; g) cos3 x 3 ; h) arctan e x i) x cos x + sin x + C; j) e x ( x x + ) + C; k) x log x x + C; l) x arctan(x) log ( + x ) + C. a) e x ; b) x sin(x ); c) 3x cos(x 3 + ) 3x cos(x 3 ). 3a) 7 54 4 ;3b) 7 ;3c) ;3d) ;3e) sin 4 π ;3f) log (e + ) log. 4) 3 ; 5) ; 6) e 3 ; 7) 8 π + ; 8) 7 8 π; 9) 3 3 π; ) 6π. 48

9. Exercícios complementares. Calcule primitivas de (a) a. x sin x. Res.: Usa-se a técnica da primitivação por partes duas vezes de seguida: f (x) g (x) dx = f (x) g (x) f (x) g (x) dx. Ou seja x sin (x) dx = x cos x + x cos (x) dx = x cos x + x sin x sin x = x cos x + x sin x + cos x + cte. (b) x e x. Res.: De novo usa-se a técnica da primitivação por partes duas vezes de seguida: f (x) g (x) dx = f (x) g (x) f (x) g (x) dx. Ou seja x e x dx = x e x xe x dx = x e x xe x + e x dx = x e x xe x + e x + cte.. Calcule uma primitiva de x 3 cos x. Res.: É um exercíco repetido por três vezes de primitivação por partes: x 3 cos x dx = x 3 sin x 3x sin x dx = x 3 sin x + 3x cos x 6x cos x dx = x 3 sin x + 3x cos x 6x sin x + 6 sin x dx = ( x 3 6x ) sin x + ( 3x 6 ) cos x + C 49

3. Calcule Res.: log ( +e e x +e x dx. e x dx = [ +e x log ( + e x)] = log ( + e) log () = ). 4. Calcule π Res.: π sin x +cos x dx. sin x +cos x dx = [ log ( + cos x)] π = log + log = log. 5. Calcule π Res.: cos x + sin x dx. π cos x + sin x dx = π cos x + sin x dx = [log + sin x ] π = [log 3]. 6. Calcule π 4 R.: π 4 sin x +9 cos x dx. π sin x + 9 cos x dx = 4 3 3 sin x + 9 cos x dx = 3 [arctan (3 cos x)] π 4 = arctan (3) arctan 3 ( 3 ) 7. Determine o volume do sólido de revolução obtido pela rotação completa do conjunto { [ S = (x, y, z) : y, π ] x } cos y z = em torno do eixo dos yy. 5

Resposta: Usamos a expressão V ol = b a πf (y) dy V ol = = π π π ( cos y) dy π cos y dy como o coseno é uma função positiva entre e π podemos retirar os módulos π V ol = π cos y dy = π [sin y] π = π. 8. Determine o volume do sólido de revolução obtido pela rotação completa do conjunto S = { (x, y, z) : y [, ] x y 3 z = } em torno do eixo dos yy. Res.: π ( y 3) dy = π y6 dy = π y7 7 = π 7. 9. Determine o volume do sólido de revolução obtido pela rotação completa do conjunto S = { (x, y, z) : y [, ] x y z = } em torno do eixo dos yy. Res.: π ( y ) dy = π y4 dy = π y5 5 = 3π 5. 5

Testes de auto-avaliação Teste Tipo de Matemática I - Curso de Arquitectura Instruções. Responda com clareza e justificadamente a todas as questões. Leia atentamente as perguntas. Não pode usar consulta. O uso de máquina de calcular não está autorizado. Deve realizar este teste em duas horas. Se o não conseguir está mal preparado e deve reforçar muito o seu estudo.. Resolva por eliminação de Gauss e descreva geometricamente o conjunto de soluções dos sistemas em R 3 : x + y + z = (a) ( val.) x + y + z = x y + z = { x + 3y + z = (b) ( val.) x + y + z =. ( val.) Discuta, em função dos parâmetros reais α e β, o seguinte sistema: x + y + z = β αx + 4y + z = β. x + y + αz = 4 3. ( val.) Considere o sistema de equações lineares x + y + z = b x + y z = b, 4x + 4y + 3z = b 3 e calcule os vectores (b, b, b 3 ) R 3 para os quais o sistema é possível. Qual é o significado geométrico? 4. ( val.) Considere o plano s R 3 que passa por (,, ), (3,, ) e (,, ), e a recta r R 3 que passa por (,, ) e (,, ). Determine a intersecção de s com r. 5. ( val.) Pelo método que achar mais conveniente calcule a inversa da matriz: 3 5

6. ( val.) Utilizando o resultado da questão anterior resolva o sistema: x + y + z = x + y + 3z = y z = 3 7. ( val.) Calcule α real de forma a que a seguinte matriz seja singular (não tenha inversa) 4 4 3 α 4 8. ( val.) Calcule a matriz dos cofactores e a inversa da matriz seguinte 4 9. ( val.) Use a regra de Cramer para resolver o sistema de equações lineares em R 3 : x + y + z = a) x + 4y + z = x + y + z =. ( val. ) O seguinte sistema define um subespaço vectorial de R 3? Justifique. Qual é o objecto geométrico representado pelo sistema? { x + y + z = x + y + z =. ( val.) Prove que (os λ são números reais)... λ λ λ 3... λ n λ λ λ 3... λ n = (λ i λ j )..... i>j λ n λ n λ3 n... λn n Nota - se não conseguir, prove com n = 4.( val.) 53

Teste Tipo de Matemática I - Curso de Arquitectura Instruções. Responda com clareza e justificadamente a todas as questões de desenvolvimento. Leia atentamente as perguntas. Responda apenas a uma das questões de escolha múltipla. Nesta parte as respostas erradas valem.5, ausência de resposta conta e resposta certa conta valor. Deve assinalar no quadrado certo: no próprio teste. Não pode usar consulta e o uso de máquina de calcular não está autorizado. Deve realizar este teste em duas horas.. Seja B = { v, v, v 3 } com v = (,, ), v = (,, ) e v 3 = (,, ). A resposta correcta é (a) B é linearmente independente mas não é gerador de R 3. (b) B é linearmente independente e é gerador de R 3 mas não é base. (c) B é linearmente dependente e é gerador de R 3. (d) B é base de R 3. (e) B é linearmente dependente e não é gerador de R 3.. Seja a base b = { v, v, v 3 } com v = (,, ), v = (,, ) e v 3 = (,, ). Seja o vector v = (,, ). (a) As componentes de v na base são (,, ). (b) As componentes de v na base são (,, ). (c) As componentes de v na base são (,, ). (d) As componentes de v na base são (, 3, ). (e) Nenhuma das anteriores. 54

3. Seja T uma transformação linear de R 3 em R 3, definida: T (x, x, x 3 ) = (x +x, x x, x 3 ). (a) A imagem de T é um plano estritamente contido em R 3. (b) T não é sobrejectiva. (c) A inversa de T é dada por T (y, y, y 3 ) = ( y +y, y y, ). (d) T não é injectiva. (e) Nenhuma das anteriores. 4. Seja T uma transformação linear de P 3 em P 3, e seja p (t) = a +a t+ a t +a 3 t 3 um polinónio de grau igual ou inferior a 3. T é definida por T (p (t)) = p (t)+p (t). Seja ainda a base b = { + t, t, t + t 3, t + t 3}. (A base canónica em P 3 é {, t, t, t 3} ). A matriz que representa T na base b (tanto no espaço de partida como de chegada) é (a) B = (b) B = (c) B = (d) B = (e) 3.. 3 3. 3 5 3 5 3 3 Nenhuma das anteriores.. 3 4 55

5. Seja T uma transformação linear de R 3 em R 3 : T (x, y, z) = (x + y, x + y, 3z). (a) i. Os valores próprios de T são e 3, a transformação é não diagonalizável porque há valores próprios em número inferior à dimensão do espaço. ii. Os valores próprios de T são, e 3, a transformação é diagonalizável. iii. Os valores próprios de T são e 3, a transformação é diagonalizável, apesar de existirem valores com multiplicidade algébrica superior a as dimensões dos espaços próprios somam 3. iv. Os valores próprios de T são, e 3, a transformação é diagonalizável. v. Nenhuma das anteriores. 5 (b) Os espaços próprios correspondentes a cada valor próprios são: i. E (3) =, E ( ) =. ii. E (3) =,, E ( ) =. iii. E (3) =,, E ( ) =. iv. E (3) =, E ( ) =. v. Nenhuma das anteriores. 6 56

(c) Seja f (x, y, z) uma função quadrática de R 3 em R: 6. Seja n f (x, y, z) = x + y + 3z + 4xy. i. f (x, y, z) é uma função sempre positiva, excepto na origem, que é um mínimo. ii. f (x, y, z) é uma função sempre negativa, excepto na origem, que é um máximo. iii. f (x, y, z) é uma função sempre não negativa. iv. f (x, y, z) é uma função sempre não positiva. v. Nenhuma das anteriores. n+ n (n+) uma série. A série converge para: 7 (a). (b). (c). (d) 4. (e) Nenhuma das anteriores. Sugestão: desdobre a fracção numa subtração conveniente, telescópica, de termos. 8 7. Seja n ( 3 ) n uma série. Escolha: (a) A série diverge. (b) A série converge para. (c) A série converge para. (d) A série converge para 3. (e) Nenhuma das anteriores. 9 57

8. Seja a série de potências: O seu raio de convergência é: n (x) n+ (n + )!. (a) (b) (c)., a série diverge para todo o x real. + a série converge para todo o x real. (d). (e) Nenhuma das anteriores. 9. Uma primitiva de x 3 e x é (a) (b) x 4 e x 4. e x ( 6 + 6x 3x x 3) + Cte. (c) e x ( 6 + 6x 3x + x 3). (d) e x ( 6 + 6x + 3x + x 3) + Cte. (e) Nenhuma das anteriores.. ( Val. por alínea) Problema de resposta directa, não apresente cálculos, apenas resultado final. log(x 3) (a) Calcule lim x 4 x +x 4. (b) Calcular uma qualquer primitiva de e x +e x 3 (c) Calcular uma qualquer primitiva de cos x +sin x (d) Calcular uma qualquer primitiva de x cos x 4 (e) Calcular 4 e x e x + dx. 6 5 58

. ( val.) Problema de desenvolvimento, explique bem o que está a fazer. Determine o volume do sólido de revolução obtido pela rotação do conjunto S = {(x, y, z) : x [, 3] y x z = } em torno do eixo dos xx. 8. ( val.) Um homem desloca-se a correr num cais vezes mais depressa do que a nadar na água. O Pedro Paz está na origem e quer salvar um homem que está a afogar-se na coordenada (, 4) (a unidade é o metro). O cais orienta-se ao longo do eixo dos xx: o meio terrestre e o meio aquático estão separados por uma linha imaginária que corresponde a este eixo, para y > existe água. Em que ponto, medido no eixo dos xx, deve atirar-se o Pedro à água para salvar o homem; de forma a minimizar o tempo de chegada ao ponto (, 4)? Justifique a questão de forma completa. 59