Circuitos Elétricos I EEL420

Universidade Federal do Rio de Janeiro Circuitos Elétricos I EEL420 Conteúdo 2 - Elementos básicos de circuito e suas associações...1 2.1 - Resistores lineares e invariantes...1 2.1.1 - Curto circuito...2 2.1.2 - Circuito aberto...2 2.2 - Resistor linear e variante...2 2.3 - Resistores não lineares e invariantes...3 2.3.1 - Interruptor...3 2.3.2 - Diodo...3 2.3.3 - Diodo túnel...4 2.4 - Associação de Resistores...6 2.4.1 - Série...6 2.4.2 - Paralelo...7 2.5 - Fonte de tensão independente (ideal)...9 2.5.1 - Associação de fontes de tensão...11 2.6 - Fonte de corrente independente (ideal)...11 2.6.1 - Associações de fontes de corrente...13 2.7 - Modelo de Thévenin e Norton...14 2.8 - Associação de fontes e resistores...14 2.8.1 - Divisor de tensão...14 2.8.2 - Divisor de corrente...15 2.9 - Fontes controladas...16

2.10 - Exercícios...17 Circuitos Elétricos EEL420 UFRJ 2

2 Elementos básicos de circuito e suas associações Resistor, diodo, transistor, válvula, capacitor, indutor e transformador, entre outros elementos de circuito, são elementos reais que podem ser representados por modelos ou associação de modelos, cada qual apresentando apenas 1 propriedade física. 2.1 Resistores lineares e invariantes Os resistores são os elementos de circuito mais comuns e concentram a característica de resistência elétrica, ou seja de oposição a passagem da corrente elétrica. Existem diversos símbolos para o resistor: na Europa se utiliza um retângulo (como os elementos apresentados no capítulo anterior), nos Estados Unidos e no Brasil o símbolo mais comum é apresentado na figura abaixo. O resistor é caracterizado pelas seguintes relações: v t =R i t, onde R é resistência (Ohm Ω). i t =G v t, onde G é condutância (Siemens S) R=G 1 Normalmente R e G são lineares (como no gráfico da figura abaixo) e invariantes com o tempo, mas isto não é uma exigência. Circuitos Elétricos EEL420 UFRJ 1

OBS.: São condições essenciais para a linearidade: f x = f x f x 1 x 2 = f x 1 f x 2 2.1.1 Curto circuito R=0. Isto significa que a diferença de tensão entre dois terminais de um curto circuito é zero, independente da corrente que circula por este elemento. Idealmente o curto circuito é representado por um fio. Num gráfico v x i o curto circuito se caracteriza por ser uma reta paralela ao eixo da corrente e que passa pela origem. 2.1.2 Circuito aberto R=. Isto significa que não há circulação de corrente pelo circuito aberto, independente da tensão aplicada a seus terminais. Idealmente o curto circuito é representado por dois nós não conectados. Num gráfico v x i o curto circuito se caracteriza por ser uma reta paralela ao eixo da tensão e que passa pela origem. 2.2 Resistor linear e variante Aquele que apresenta uma relação linear entre tensão e corrente porém com dependência temporal para o valor do resistor. Circuitos Elétricos EEL420 UFRJ 2

v t =R t i t Exemplo: Calcular v(t) quando R=R A R B cos 2 f 1 t e i t = A cos 2 f 2 t. v t =X cos 2 f 2 t Y cos[2 f 1 f 2 ] Z cos[2 f 1 f 2 ] Observe que para cada instante de tempo a resistência é um valor constante, logo a resistência é linear, porém este valor varia com o tempo. 2.3 Resistores não lineares e invariantes Aqueles que apresentam uma relação não linear entre tensão e corrente porém são invariantes com o tempo (não são funções do tempo). 2.3.1 Interruptor Uma chave ideal pode ser modelada por por um curto circuito ou por circuito aberto dependendo de estar fechada ou aberta respectivamente. Um modelo mais realístico pode representar as resistência de contatos elétricos (R1) quando a chave está fechada e uma resistência de isolação (R2) de quando a chave esta aberta. Outros modelos para a chave podem ser utilizados, como na figura abaixo. 2.3.2 Diodo Um elemento com comportamento muito semelhante ao de uma chave comutada por tensão é o diodo eletrônico, cujo símbolo e curva v x i são apresentados na figura abaixo. Observe que a curva v x i não é simétrica o que significa que este elemento apresenta polaridade, ou seja, dependendo de como ele for ligado ao circuito este terá um comportamento diferente. Circuitos Elétricos EEL420 UFRJ 3

Tradicionalmente o diodo é modelado pela equação q v t i t =I S e 1 K T onde K T q 26mV para a temperatura ambiente. É muito comum, na prática, simplificar os cálculos de circuitos que utilizam diodos substituindo seu comportamento real (descrito pela exponencial acima) por uma chave controlada (um curto circuito ou circuito aberto). Eventualmente este modelo pode estar associada com outros elementos como fontes e resistores. 2.3.3 Diodo túnel O diodo túnel, cujo símbolo é apresentado na figura a seguir, é um diodo construído por processos especiais que levam a uma curva v x i bastante interessante e que pode ser visualizado no gráfico abaixo. Circuitos Elétricos EEL420 UFRJ 4

Observa-se, no gráfico, que a resistência do diodo túnel é não linear e controlada por tensão (o gráfico de i em função de v é uma função não inversível). Observa-se também, que R é negativo para uma faixa de valores (o que será útil em osciladores e filtros). Elementos com resistência positiva dissipam energia ao passo que resistências negativas podem fornecer energia. Resistências negativas, como a do diodo túnel e de outros elementos de circuito só existe para uma determinada faixa de operação e dependem de energia externa para serem obtidas. Não existe nenhum elemento que tenha resistência negativa em toda sua faixa de operação. Tanto o diodo comum como o diodo túnel apresentam curvas não simétricas com relação a origem o que significa que estes elementos tem polaridade. Circuitos Elétricos EEL420 UFRJ 5

2.4 Associação de Resistores 2.4.1 Série A associação série de resistores é aquela onde um terminal de um resistor se conecta a um terminal do próximo formando uma seqüência de resistores. Esta associação, ilustrada na figura abaixo pelos resistores R 1 e R 2, tem um comportamento elétrico semelhante ao de uma resistência equivalente R EQ entre os nós A e C da associação. O valor da resistência equivalente pode ser calculada da seguinte maneira: v=v R1 v R2 v=i R 1 I R 2 v= I R 1 R 2 v=i R EQ R EQ =R 1 R 2 Genericamente R EQ = R n (a resistência equivalente é maior que todas as resistências individuais da associação). Cabe ressaltar que a resistência equivalente da associação é equivalente apenas do ponto de vista da tensão e da corrente nós A e C (na figura acima) pois a potência dissipada Circuitos Elétricos EEL420 UFRJ 6

por cada resistor será diferente da potência dissipada pelo equivalente assim como a tensão sobre cada resistor será diferente da tensão sobre o resistor equivalente. A figura acima também apresenta um símbolo não utilizado anteriormente. Um triângulo interligado ao nó C. Este símbolo marca o nó como se fosse um nome e costuma ser utilizado para representar uma referência de tensão (também chamado de terra, massa, chassi, retorno...). Quando ele está presente no circuito as medidas de diferença de tensão são dadas com relação a este ponto. Abaixo vemos curvas de tensão em função da corrente para a associação série apresentada anteriormente. A tensão V a equivale a diferença de tensão V A V C, a tensão V b equivale a diferença de tensão V B V C, por outro lado a tensão V A, B ou V AB equivale a diferença de tensão V A V B. Estas representações de diferenças de potencial são comuns em circuitos e sempre que se deseja expressar uma diferença de tensão entre a referência e um nó qualquer do circuito basta indicar o nome deste nó. Quando a diferença de potencial se refere a uma medida que não inclua o nó de referência então se indicam os dois nós para os quais a diferença de tensão esta sendo fornecida ou solicitada. 2.4.2 Paralelo A associação paralela de resistores é aquela onde um terminal de cada resistor se conecta a um determinado nó e todos os demais terminais se conectam a um outro nó. Esta Circuitos Elétricos EEL420 UFRJ 7

associação, ilustrada na figura abaixo pelos resistores R 1 e R 2, tem um comportamento elétrico semelhante ao de uma resistência equivalente R EQ entre os nós A e C da associação. O valor da condutância equivalente pode ser calculado da seguinte maneira. i TOTAL =i R1 i R2 i TOTAL =v G 1 v G 2 i TOTAL =v G 1 G2 i TOTAL =v G EQ G EQ =G 1 G 2 Genericamente G EQ = G n (a condutância equivalente é maior que todas as condutâncias individuais da associação, ou seja a resistência equivalente é menor que todas as resistências da associação). Novamente aqui, assim como em todas as associações realizadas nesta disciplina, o conceito de equivalente está diretamente relacionado com o comportamento da tensão e da corrente entre dois nós, ou seja, para que dois circuitos sejam equivalentes a equação de tensão em função de corrente para quaisquer dois nós deve ser igual em ambos os circuitos. A figura abaixo mostra o gráfico das condutâncias formadas por R 1, R 2 e R EQ Circuitos Elétricos EEL420 UFRJ 8

2.5 Fonte de tensão independente (ideal) As fontes de tensão são elementos capazes de absorver ou fornecer energia a circuitos mantendo constante a diferença de potencial entre seus terminais, independentemente da corrente que circule pela fonte. Existem diversos símbolos para a fonte mas o mais comum está representado na figura abaixo. Observe na figura abaixo que a curva v x i da fonte de tensão é uma reta paralela ao eixo da corrente, como se fosse um curto circuito (a resistência de uma fonte de tensão ideal é zero) porém esta curva não passa pela origem, ou seja não tem um comportamento linear. Correntes positivas estão associadas ao sentido de referência mostrado na figura acima e nesta região a fonte absorve energia (p>0) ou seja, esta sendo carregada. Quando a corrente é negativa (sentido contrario ao de referência) a fonte fornece energia (p<0). Circuitos Elétricos EEL420 UFRJ 9

Fontes de tensão reais apresentam uma diminuição da tensão em seus terminais que é proporcional a corrente fornecida para a carga. A figura abaixo apresenta um modelo para fonte de tensão real formado por uma fonte de tensão ideal vo em série com uma resistência R S,. Esta fonte está sendo utilizada para alimentar uma carga R L. O comportamento v x i da fonte de tensão real é semelhante ao mostrado na figura abaixo. Neste exemplo, vo=10v e R S =10. Observe que com estes valores a curva de tensão nos terminais da fonte está longe de ser considerada constante, mas a medida que Rs for diminuído a curva torna-se mais parecida com a da fonte ideal. Circuitos Elétricos EEL420 UFRJ 10

2.5.1 Associação de fontes de tensão Fontes de tensão podem ser associadas em série e em paralelo. Se forem conectadas em série a fonte de tensão equivalente será dada pela soma algébrica das tensões de cada fonte. Por outro lado, se as fontes forem conectadas em paralelo todas devem ter o mesmo valor e a mesma polaridade. Isto deve ocorrer para que o somatório das tensões em cada caminho fechado seja nulo, obedecendo a LTK. 2.6 Fonte de corrente independente (ideal) As fontes de corrente são elementos capazes de absorver ou fornecer energia a circuitos mantendo constante corrente que atravessa seus terminais, independentemente da diferença de tensão entre seus terminais. Existem diversos símbolos para a fonte mas o mais comum está representado na figura abaixo. Circuitos Elétricos EEL420 UFRJ 11

Observe na figura abaixo que a curva v x i da fonte de corrente é uma reta paralela ao eixo da tensão, como se fosse um circuito aberto (a resistência de uma fonte de corrente ideal é infinita) porém esta curva não passa pela origem, ou seja não tem um comportamento linear. Tensões positivas estão associadas ao sentido de referência mostrado na figura acima e nesta região a fonte absorve energia (p>0) ou seja, esta sendo carregada. Quando a tensão é negativa (sentido contrario ao de referência) a fonte fornece energia (p<0). Fontes de corrente reais apresentam uma diminuição da corrente de saída a medida que a tensão nos terminais da fonte aumenta. A figura abaixo apresenta um modelo de uma fonte de corrente real, representada por uma fonte de corrente ideal io e uma resistência R S. Esta fonte está sendo utilizada para alimentar a carga R L. Desenhe o gráfico de v com relação a i. Circuitos Elétricos EEL420 UFRJ 12

O comportamento v x i da fonte de corrente real é semelhante ao mostrado na figura abaixo. Neste exemplo, io=1a e R S =10. Observe que a curva abaixo é idêntica aquela obtida para o exemplo de fonte de tensão real com vo=10v e R S =10. Se estes dois circuitos apresentam a mesma característica v x i então os dois circuitos são equivalentes do ponto de vista dos seus terminais. 2.6.1 Associações de fontes de corrente Fontes de corrente podem ser associadas em série ou em paralelo. Se forem ligadas em série todas as fontes devem ter a mesma intensidade e o mesmo sentido para que seja respeitada a LCK. Se ligadas em paralelo podem ter qualquer valor e sentido e, neste caso, a fonte equivalente corresponde a uma fonte cuja intensidade e sentido é dada pela soma algébrica das correntes das fontes individuais. Circuitos Elétricos EEL420 UFRJ 13

2.7 Modelo de Thévenin e Norton Como foi mostrado os modelos de fontes de tensão e corrente reais apresentam a mesma equação para a curva v x i e portanto podem ser equivalentes. Estes equivalentes recebem nomes especiais (Thévenin e Norton respectivamente) e podem ser vistos na figura abaixo. Para substituir um equivalente Thévenin por um Norton basta igualar a equação V AC em função de I de ambos os modelos. A intersecção da curva com o eixo das tensões determina vo, a intersecção da curva com o eixo das correntes determina -io e a inclinação da reta determina Rs. 2.8 Associação de fontes e resistores 2.8.1 Divisor de tensão Um problema muito comum em circuitos é o cálculo da tensão sobre um resistor numa ligação série de fonte de tensão e resistores conforme indicado na figura a seguir. Circuitos Elétricos EEL420 UFRJ 14

A tensão v pode ser obtida da seguinte maneira: vs i TOT = R 1 R 2 R 3 v=i TOT R 2 vs v= R R 1 R 2 R 2 3 Genericamente v i = vs R i R n 2.8.2 Divisor de corrente Outro problema muito comum é o cálculo de uma determinada corrente num circuito paralelo entre uma fonte de corrente e resistores, como ilustrado na figura abaixo. A corrente i1 pode ser obtida da seguinte maneira is v TOT = G 1 G 2 G 3 i 1 =v TOT G 1 Circuitos Elétricos EEL420 UFRJ 15

is i 1 = G G 1 G 2 G 1 3 Genericamente i i = is G i G n 2.9 Fontes controladas Uma fonte controlada é um elemento de circuito com 2 braços onde o primeiro é formado por um curto circuito ou circuito aberto e o segundo por uma fonte de tensão ou corrente. A forma de onda na fonte do segundo braço é uma função na tensão de circuito aberto ou da corrente de curto circuito do primeiro braço ou seja a fonte do segundo braço é controlada pela tensão ou corrente no primeiro braço. Assim, existem quatro combinações possíveis de fontes controladas que estão representadas na figura abaixo. Fonte de corrente controlada por corrente: i 2 =α i 1 Fonte de corrente controlada por tensão: i 2 =gm v 1 Fonte de tensão controlada por tensão: v 2 = μ v 1 Fonte de tensão controlada por corrente: v 2 =rm i 1 Estas fontes são muito comuns em eletrônica e representam o funcionamento de circuitos ou elementos como transistores, amplificadores operacionais e válvulas. Os símbolos utilizados diferem um pouco na literatura e nos simuladores. Via de regra o símbolo da fonte continua o mesmo utilizado para fontes independentes ou assume um formato de losângulo. A Circuitos Elétricos EEL420 UFRJ 16

dependência com a corrente ou a tensão do primeiro braço é explicitada pela equação que governa o funcionamento da fonte. Diferente das fontes independentes, fontes controladas representadas por α, gm, µ e rm constantes são fontes lineares e invariantes com o tempo mas também podem existir fontes controladas não lineares e variantes. As fontes independentes representam fornecimento de energia ou seja a ação do mundo externo e são componentes não lineares por natureza. As fontes controladas representam comportamento de elementos eletrônicos (resistores, por exemplo) acoplados ou seja podem ser elementos lineares. Nos exemplos mostrados acima, com coeficientes constantes, a impedância de uma fonte de corrente controlada não é infinita e a impedância de uma fonte de tensão controlada não é zero. De resto as fontes controladas podem ser consideradas fontes de tensão ou corrente e assim são consideradas na análise de circuitos. 2.10 Exercícios polaridade? 1) Observando a curva v x i de um elemento é possível determinar se ele apresenta 2) Para um elemento cuja relação v x i é determinada por: v=50 i 0,5 i 3. a) Qual o valor da resistência desta elemento? Para 10 ma qual o erro em aproximar R por 10 Ω? Para 10 A qual o erro em aproximar R por 10 Ω? A corrente que circula por este elemento sempre Circuitos Elétricos EEL420 UFRJ 17

apresenta as mesmas freqüências da tensão sobre ele? 3) Calcule a resistência equivalente para os circuitos da figura abaixo 4) Apresente as curvas v x i para as figuras abaixo (considerar o diodo como uma chave ideal controlada por corrente). Com base nestes resultados determinar como seria possível modelar a curva do diodo real apresentada na secção sobre resistores não lineares e invariantes. 5) Projetar um circuito resistivo de um acesso com resistores lineares, diodos ideais e fontes independentes que tenha a característica v x i mostrada abaixo. Circuitos Elétricos EEL420 UFRJ 18

Solução: Um circuito possível é apresentado abaixo. No simulador do tipo Spice modifique o parâmetro N do diodo (N=0.001 ou menor) para obter um comportamento mais próximo do ideal. 6) Para os circuitos da figura abaixo calcule as tensões e as correntes sobre os elementos. Considere R 1 =1, R 2 =2 e R 1 =3. Determine quem absorve e quem fornece energia. Circuitos Elétricos EEL420 UFRJ 19

7) Determine a tensão, a corrente e a potência sobre cada elemento do circuito abaixo. 8) Para a figura abaixo calcule as tensões V 1 e V 2. 9) Determine o modelo equivalente para os dois circuitos abaixo. Circuitos Elétricos EEL420 UFRJ 20

10) Abaixo são apresentadas duas redes resistivas: uma rede chamada T ou Y e outra rede chamada Π ou. Dependendo dos valores dos resistores estas redes podem ser equivalentes do ponto de vista dos terminais A, B e C. a) Determine os valores de RA, RB e RC para que a rede T seja equivalente a uma dada rede Π. b) Determine os valores de R1, R2 e R3 para que a rede Π seja equivalente a uma dada rede T. 11) Utilizando apenas associação de resistores e transformação de modelos Thévenin- Norton determine o valor da tensão v. Resposta: v=14,82 V 12) Para a figura abaixo calcule a tensão sobre a carga (resistor R L ) 13) Para o circuito abaixo, calcular v L (tensão sobre o resistor R L ). Circuitos Elétricos EEL420 UFRJ 21

Solução: v µ v v = R = R 2 1 L L L R2 + RL R2 + RL v S v 1 = R R S R 1 1 μ v v L = S R 1 R L R L R 2 R S R 1 14) Para o circuito abaixo calcular a impedância vista pela fonte de corrente Solução: Z E = V = 1 a I Z 1 L = 1 a Z I S I L S Observe que dependendo do valor de a a impedância equivalente conectada em paralelo com a fonte de corrente varia. Se a=1 a impedância é nula e o circuito se comporta como um curto circuito. Se 0 a 1 a impedância será uma parcela da impedância da carga. Se a 1 a impedância é negativa. 15) Para os circuitos abaixo calcular o valor de v o considerando que o ganho A do amplificador operacional não é infinito. Determine o limite de v o quando o ganho A tende a Circuitos Elétricos EEL420 UFRJ 22

infinito. Refaça as contas considerando que a fonte controlada da saída é uma fonte de tensão independente de valor v o e que a diferença de tensão entre as duas entradas do operacional é nula. Compare os resultados e explique o que aconteceu. Solução para o primeiro circuito. Redesenhando o circuito para facilitar o equacionamento i 1 = v i v o R 1 R 2 v _ =i 1 R 2 v o = v i v o R 1 R 2 R 2 v o v _ = v i R 2 v o R 1 R 1 R 2 v o = A v + v _ Circuitos Elétricos EEL420 UFRJ 23

como v + =0 v _ = v o A = v i R 2 v o R 2 R 1 R 2 v o = R 2 R 1 R 1 R 2 A v i se lim v o = R 2 v A R i 1 Observe que se A tende a infinito e a saída v o é finita então a diferença de tensão entre as duas entradas do amplificador operacional obrigatoriamente deve ser ser nula. Considerando antecipadamente as duas entradas do operacional com o mesmo potencial podemos resolver o problema da seguinte forma: v + =v _ =0 logo i 1 = v i = v o, então R 1 R 2 v o = R 2 R 1 v i. Circuitos Elétricos EEL420 UFRJ 24