Capítulo Matemática Financeira Juros Simples Adriano Leal Bruni albruni@minhasaulas.com.br
Conceito de juros simples Juros sempre incidem sobre o VALOR PRESENTE
Preste atenção!!! Empréstimo Valor atual na data zero igual a $100,00 Taxa igual a 10% a.p. Considere juros simples
Juros simples n Juros VF Juros simples Fórmula sempre incidem sobre valor presente 0-100,00 VF=VP 10% x $100 1 10,00 110,00 10% x $100 2 10,00 120,00 VF=VP + i.vp VF=VP + i.vp + i.vp n i.vp VF VF=VP (1+ i.n)
Fórmula dos juros simples VF=VP (1+ i.n) Devem estar em uma mesma base!!! Como a taxa é sagrada, ajusta-se o valor de n
Abreviaturas nas taxas Abreviatura a.d. a.d.u. a.m. a.b. a.t. a.q. a.s. a.a. Significado ao dia ao dia útil ao mês ao bimestre ao trimestre ao quadrimestre ao semestre ao ano
Cuidado com os anos ano civil ou exato formado por 365 dias; ano comercial formado por 360 dias.
Exemplo A Uma aplicação de $500,00 foi feita por oito meses a uma taxa simples igual a 5% am. Qual o valor do resgate? i = 5% a.m. VF 0-500 8 meses VF = VP (1+in) VF = 500 (1+0,05 x 8) VF = 700
Características dos juros simples Valor uniforme dos juros períodicos Valor futuro cresce linearmente Capitalização Linear Valor Futuro VP Tempo
Exercícios de Sala!
Exemplo B Sabina precisará de $1.200,00 em dez meses. Quanto deverá aplicar hoje para ter a quantia desejada? Considere uma taxa simples igual a 5% am i = 5% a.m. 1.200,00 0 -VP 10 meses VF = VP (1+in) 1200 = VP (1+0,05 x 10) VP = 800
Exemplo C Neco aplicou $8.000,00 por seis meses e recebeu $2.400,00 de juros simples. Qual a taxa mensal vigente na operação? i =? 10.400,00 0-8000 6 meses VF = VP (1+in) 10400 = 8000 (1+i x 6) i = 5%
Exemplo D A aplicação de $9.000,00 a uma taxa simples igual a 6% a.m. resulta em um valor futuro igual a $11.700,00. Qual o prazo em meses dessa operação? i = 6% a.m. 11.700,00 0-9000 n=? VF = VP (1+in) 11700 = 9000 (1+0,06 x n) n = 5
Importante!!! Taxas são sagradas!!!
Exemplo E Calcule o valor futuro de uma aplicação de $500,00 por 24 meses a 8% a.a. Taxa anual!!! 24 meses = 2 anos 0 VF X24 2 anos n em anos -$500,00
Alterando o prazo VF=VP (1+ i.n) VF=500 (1+ 0,08.2) VF=$580,00
Descontando em Juros simples por dentro
Desconto Racional Simples Aplicar a fórmula dos juros simples para calcular o valor presente Descontar significa extrair os juros do valor futuro para obter o valor presente Cuidado!!! Depois veremos o desconto COMERCIAL
Da fórmula dos juros simples VF = VP (1 + i.n) (1+in) Como se deseja obter VP VP 1 VF i n
Exemplo F VP 0 2 -$4.400,00 Valor Futuro Uma empresa precisa descontar racionalmente ou por dentro uma duplicata com valor nominal de $4.400,00, 2 meses antes do vencimento, a 5% a.m. Qual o valor líquido e qual o desconto? Juros Valor Presente VP = VF/ (1+i.n) VP = 4400/(1+0,05.2) VP = 4000 D = 4400-4000 D = 400
Taxa efetiva É aquela que incide sobre o valor presente no processo de capitalização.
Exemplo G Ao antecipar em 30 dias o recebimento de uma conta a receber no valor de $15.000,00, a Cia Cava Cava S. A. sofreu um desconto igual a 1/3 (33,3333%) do valor nominal. Calcule a taxa efetiva mensal da operação. Taxa por fora = 33,3333%
Taxa efetiva no DFC! $10.000,00 Por dentro =50% 0 1 -$15.000,00 Por fora =33,3333% Desconto = 1/3 de $15.000,00 Desconto = $5.000,00 VF = VP (1+i.n) 15000 = 10000 (1+i.1) i = 50% a.m.
Equivalência de Capitais Dois ou mais capitais nominais, supostos com datas de vencimento determinadas, dizem-se equivalentes quando, descontados para uma data focal, à mesma taxa de juros, e em idênticas condições, produzem valores iguais.
Constatação importante Dinheiro tem custo Deve ser somado apenas em mesma data! no tempo!!!
-4.000,00 1.000,00 X? 1.000,00 2.000,00 A operação de equivalência 0 1 2 3 4
Exemplo H Pedro pensa em comprar um carro novo, com preço a vista igual a $30.000,00. Pagará uma entrada de $8.000,00 Pagará $14.000,00 em 30 dias Pagará X em 60 dias Taxa simples igual a 3% a.m. Calcule o valor de X $30.000,00 Use a data focal 60 dias 0 30 60 dias -$8.000,00 -$14.000,00 -X
Taxa simples igual a 3% a.m. $30.000,00 $22.000,00 $23.320,00 0 1 2 meses -$8.000,00 -$14.000,00 -X $14.420,00 $8.900,00 Capitalizando $22.000,00 VF = VP (1+in) VF = 22000 (1+0,03.2) VF = $23.320,00 Capitalizando $14.000,00 VF = VP (1+in) VF = 14000 (1+0,03.1) VF = $14.420,00
Exemplo I Uma loja anuncia um microondas a vista por $500,00 ou em duas parcelas mensais, sem entrada, iguais a X. Sabendo que a loja cobra juros simples, iguais a 4%, calcule o valor de X. Use a data focal zero
Resolução $500,00 i = 4% a.m. (JS) 0 1 2 -X $264,91 -X $264,91 Descapitalizando X 1 VF = VP (1+in) VP = VF / (1+in) VP = X / (1+0,04.1) VP = 0,9615.X Descapitalizando X 2 VF = VP (1+in) VP = VF / (1+in) VP = X / (1+0,04.2) VP = 0,9259.X Como a soma a valor presente é igual a $500,00, 500 = 0,9615.X + 0,9259.X = 1,8874.X X = 500/1,8874 = $264,91
Exemplo J Um refrigerador é vendido à vista por $ 1.800,00 ou então a prazo mediante $800,00 de entrada e mais uma parcela de $ 1.150,00 após 90 dias. Qual a taxa mensal de juros simples do financiamento?
Solução do Exemplo J $1.800,00 0 3 -$800,00 -$1.150,00 $1.000,00 0 3 -$1.150,00 VF = VP (1+in) 1150 = 1000 (1+i.3) i = [(1150/1000) 1] / 3) i = 5%
Exemplo K Uma empresa comercial, para efetuar o pagamento de suas encomendas, deve dispor de $15.000,00 daqui a 3 meses e $20.000,00 daqui a 8 meses. Para tanto, deseja aplicar hoje uma quantia X que lhe permita retirar as quantias necessárias nas datas devidas, ficando sem saldo no final. Se a aplicação for feita a juro simples, à taxa de 4% ao mês, qual deverá ser o valor de X? Use a data focal zero
DFC e cálculos do Exemplo K +$15.000,00 +$20.000,00 0 3 8 X Descapitalizando X 1 VF = VP (1+in) VP = VF / (1+in) VP = 15000 / (1+0,04.3) VP = 13.392,86 Descapitalizando X 2 VF = VP (1+in) VP = VF / (1+in) VP = 20000 / (1+0,04.8) VP = 15.151,52 Soma = 13.392,86 + 15.151,52 = $28.544,38
Proporcionalidade de taxas Duas taxas de juros i1 e i2, referidas a períodos diferentes no regime de capitalização ou dos juros simples são proporcionais quando resultam no mesmo montante, ou juro, no fim do prazo da operação, tendo incidido sobre o mesmo principal.
Fórmula da equivalência ia = ib.(nb/na) Em juros simples, vale usar regra de três!!! Em juros simples!!!
Exemplo L I. Determinar as taxas semestral e anual proporcionais à taxa de juros simples de 3% ao mês. II. Calcular a taxa mensal proporcional de juros de : a) 90% ao semestre; b) 220,8% ao ano; c) 96% ao biênio.
Solução do Exemplo L I. 3% a.m. = [ ] % a.s. 1 semestre = 6 meses 3% x 6 = 18% a.s. 3% a.m. = [ ] % a.a. 1 ano = 12 meses 3% x 12 = 36% a.a.
Solução do Exemplo L II. Cálculo de taxas mensais a) 1 semestre = 6 meses 90% a.s. 6 = 15% a.m. b) 1 ano = 12 meses 220,8% a.a. 12 = 18,4% a.m. c) 1 biênio = 24 meses 96% 24 = 4% a.m.
REFERENCIAS... Aulas do Prof. Adriano L. Bruni. Disponível em: <http://pt.slideshare.net/albruni/> Acessado em abr. 2016., A. L.; FAMÁ, R. A matemática das finanças com aplicações na HP12C e EXCEL. 3 Ed. São Paulo: ATLAS, 2008.