PTÊNI PNT, IX RIL, NTR RIL PLIÇÕS Yuri Gomes Lima, Fortaleza - Nível INTRUÇÃ Muitas vezes na Geometria Plana nos deparamos com problemas em que não temos muitas informações a respeito de ângulos e comprimentos, de modo que soluções analíticas se tornam praticamente inviáveis m alguns desses casos, a utilização de ferramentas como potência de ponto, eixo radical e centro radical, quando não resolvem o problema, facilitam em muito sua resolução e a tornam pequena e extremamente simples Nesse artigo, tentaremos tornar o leitor familiar com tais ferramentas, em especial com a segunda partir de agora, estaremos sempre trabalhando em um plano π e representaremos uma circunferência de centro e raio r por = ( ; r) Potência de Ponto efinição: (Potência de Ponto) Seja dada uma circunferência ( ; r) e um ponto do plano π efinimos a potência de ponto de em relação a como Pot ( ) = r Proposição: (a) Pot ( ) = 0 (b) Se está no interior de e é uma corda de que contém, então Pot ( ) = (c) Se está no exterior de e l é uma reta que passa por e intersecta em e, então Pot ( ) = l Figura Figura em: (a) = r Pot ( ) = 0 (b) Se = {, }, então é inscritível Logo ~ = ( r )( r ) r = = + = Pot ( ) =
(c) e modo semelhante a (b), ~ = = ( + r)( r) Pot ( ) = ecorre da proposição acima que se l é tangente a, então, de modo que Pot ( ) = Problema : (alcânica 986) Uma reta passando pelo incentro I do triângulo intersecta a circunferência circunscrita ( ; R) de nos pontos F e G, e o incírculo ( I; r) nos pontos e, com entre I e F Prove que F G r Quando há igualdade? F I Figura 3 G Solução: F G = ( FI I)( GI I) = ( FI r)( GI r) = FI GI ( FI + GI) r + r Pot ( I ) FG r + r Pela relação de uler (pêndice ), temos que I = R Rr, e assim Pot ( I ) = I R = = Rr Queremos mostrar então que Rr FG r + r r Rr FG r R FG, que é verdade, pois FG é corda de igualdade ocorre se e só se FG é diâmetro de = Problema : (Teste para Ibero 00 rasil) Seja um quadrilátero inscrito em uma circunferência, P o ponto de interseção das diagonais e e M o médio de circunferência que passa por P e é tangente a em M corta e nos pontos Q e R, respectivamente Seja S o ponto do segmento tal que S = Q paralela a por S corta em T Prove T = R
Q T P S Figura 4 R M Solução: Pot ( ) = M = Q P Pot ( ) = M = R P Q P Q P = R P = R P Logo, como S = Q, temos S P T = R = ra, P P = T P P P = Pot ( P) = P P = Mas P P P S // TS =, e assim P T S P = T P ixo Radical efinição: (ixo Radical) Sejam e duas circunferências não concêntricas eixo radical de e é o lugar geométrico dos pontos P tais que Pot ( P) Pot ( P) = Teorema: eixo radical de duas circunferências é sempre uma reta perpendicular ao segmento que une os centros das duas circunferências P + + P l Figura
em: Sejam ( ; r ) e ( ; r ) as circunferências Vamos mostrar que a projeção P de todo ponto P do eixo radical sobre é constante e fato: P = P + PP` P P = P P P = P + PP` P ( P ) = ( Pot ( P) + r ) ( Pot ( P) + r ) r r + P = r P r =, constante (*) ssim, o eixo radical e está contido na reta l perpendicular a passando por P satisfazendo (*) Falta mostrar que todo ponto dessa reta pertence ao eixo radical Seja então P l Logo, P satisfaz (*), e daí r r + r r + P = PP + Pot ( P) PP r = + r r + r r + lém disso, P = = r + r r r + = + P PP Pot ( P) = PP + r eixamos para o leitor verificar que os valores encontrados para Pot ( P) e Pot ( P) são iguais ssim, o resultado segue baixo estão duas possíveis posições de e, juntamente com os respectivos eixos radicais + l + l + + Figura Figura 3 partir da observação feita após a Proposição da Seção, temos a seguinte definição equivalente para o eixo radical, nos casos em que e se intersectam em no máximo um ponto efinição quivalente (ixo Radical) eixo radical de duas circunferências e que se intersectam em no máximo um ponto é o lugar geométrico dos pontos P tais que as tangentes de P a e têm o mesmo comprimento
Problema 3: (anco da one-sul 00) Seja um quadrilátero inscritível e a interseção das diagonais e Se F é um ponto qualquer e as circunferências e circunscritas a F e a F se intersectam novamente em G, mostre que, F, G são colineares + F Solução: eixo radical de e é a reta FG + ntão FG Pot ( ) = Pot ( ) Mas inscritível implica Pot ( ) = = = = Pot ( ), e portanto, F, G são colineares G Figura 4 Vamos ver agora uma aplicação da efinição quivalente de ixo Radical: Problema 4: Se a distância entre os centros de duas circunferências e é maior do que a soma de seus raios, as circunferências têm quatro tangentes em comum Prove que os pontos médios desses quatro segmentos são colineares M + + l Figura 5 Solução: condição do problema garante que a posição relativa de e é a da Figura 5 Vamos mostrar que cada um dos pontos médios está no eixo radical de e e fato, se M é o médio de alguma dessas tangentes, então M = M Pela efinição quivalente de ixo Radical, temos que M está no eixo radical de e omo o mesmo vale para os outros pontos médios, concluímos que os quatro pontos são colineares 3 entro Radical
efinição (entro Radical) Sejam dadas três circunferências, e 3 não concêntricas ntão os eixos radicais dessas circunferências tomadas duas a duas são paralelos ou são concorrentes Quando são concorrentes, a interseção é o único ponto P do plano tal que Pot ( P) = Pot ( P) Pot ( P) = Tal ponto é chamado de centro radical das circunferências, e 3 em: e fato, sejam l, l e l 3 os eixos radicais de e 3, e 3 e e, respectivamente Pelo Teorema da Seção, 3 l, 3 l e l3 Logo, se duas dessas retas são paralelas (suponha, sem perda de generalidade, l // l ), então 3 // 3, e 3 são colineares Logo, l 3 também é paralela a l e a l Suponha agora que l, l e l 3 são duas a duas concorrentes Seja a interseção l e l ntão Pot ( ) = Pot ( ) e Pot ( ) ( ) 3 = Pot Segue que Pot ( ) ( ) 3 = Pot l 3, donde l, l e l 3 são concorrentes omo três retas não paralelas se intersectam em no máximo um ponto, é único 3 Problema 5: (USM 997) Seja um triângulo onstrua triângulos isósceles, e F externamente a de bases, e, respectivamente Prove que as retas que passam por,, e são perpendiculares a F, F e, respectivamente, são concorrentes + 3 F + Solução: Sejam ( = ; ), ( = ; ) e 3 = 3( F; F) ntão,,,, e, 3 Logo, a reta que passa por e é perpendicular a F é o eixo radical de e 3 e modo análogo com e, como os centros de, e 3 não são colineares, concluímos que as três retas se intersectam no centro radical de, e 3, como queríamos + Figura 6 Problema 6: (USM 990) Um triângulo acutângulo é dado no plano círculo com diâmetro intersecta a altura e seu prolongamento nos pontos M e N, e o círculo com diâmetro intersecta a altura e seu prolongamento em P e Q Mostre que os pontos M, N, P, Q são concíclicos Às vezes, quando queremos mostrar que três retas são concorrentes e já sabemos que uma delas é o eixo radical de duas circunferências e, basta acharmos outra circunferência 3 tal que as outras duas retas são eixos radicais e 3 e de e 3 Para acharmos 3, geralmente devemos mostrar que algum quadrilátero é inscritível Vamos ver como isso funciona no
Problema 7: (IM 995) Sejam,,, pontos distintos em uma reta, nesta ordem s circunferências e de diâmetros e se intersectam em X e Y é um ponto arbitrário da reta XY, não situado em intersecta novamente em M, e intersecta novamente em N Prove que M, N e XY são concorrentes + N Z X + M + 3 Y Figura 7 Solução: Vamos mostrar que MN é inscritível e fato, como XY e XY é o eixo radical de e, temos que Pot ( ) = Pot ( ), donde N = M MN inscritível MN = M ssim, NM = 90º MN = 90º M = M NM = M MN inscritível Seja então 3 a circunferência circunscrita a MN ntão: M é o eixo radical de e 3 N é o eixo radical de e 3 M, N e XY são concorrentes no centro radical Z de +, XY é o eixo radical de e e 3 xercícios Propostos: 8 (Ibero 999) Um triângulo acutângulo está inscrito numa circunferência de centro s alturas do triângulo são, e F reta F intersecta a circunferência em P e Q (a) Prove que é perpendicular a PQ (b) Se M é o ponto médio de, prove que P = M 9 Sejam ( ; r ) e ( ; r ) duas circunferências Mostre que o lugar geométrico dos pontos P tais que P + r = P + r é uma reta simétrica ao eixo radical de e em relação ao ponto médio de (ica: tomando o simétrico a um ponto do eixo radical em relação à reta mediatriz de, a equação acima é satisfeita?)
0 (Ibero 999) adas duas circunferências M e N, dizemos que M bisecta N se a corda comum a M e N é um diâmetro de N onsidere duas circunferências fixas e não concêntricas (a) Prove que existem infinitas circunferências tais que bisecta e (b) etermine o lugar geométrico dos centros de (ica para o item (b): use o problema 0) (Índia) Seja um paralelogramo Um círculo contido em tangencia as retas e e intersecta em e F Mostre que existe um círculo passando por, F e tangente a e (Rioplatense 00) ado um quadrilátero, constroem-se triângulos isósceles K, L, M e N, com bases sobre os lados,, e, tais que K, L, M e N sejam pontos distintos, três a três não colineares perpendicular à reta KL traçada por intersecta a perpendicular à reta LM traçada por no ponto P; a perpendicular à reta MN traçada por intersecta a perpendicular à reta NK traçada por no ponto Q emonstre que, se P e Q são distintos, então PQ é perpendicular a KM (ica: o problema 5 é uma boa inspiração) PÊNI (Relação de uler) ado um triângulo, ( ; R) e ( I; r) o circuncírculo e o incírculo, respectivamente, de, então I = R Rr ecorre da relação acima que R r ILIGRFI H S M oxeter e S L Greitzer, Geometry Revisited, The Mathematical ssociation of merica, 967 M S Klamkin, International Mathematical lympiads 978-985, The Mathematical ssociation of merica, 986