1 a Prova de Geometria Analítica e Sistemas Lineares Curso de Ciências Exatas - 1/09/2011 Departamento de Matemática - ICE - UFJF Quest. 1+2+3 5 6 7 Total Aluno: Matrícula: Turma: Observações: Esta prova deve conter 7 questões em 3 folhas, encerrando-se no item 7(c). A prova é individual, sem consulta e não é permitido o uso de calculadora. PARTE I: MÚLTIPLA ESCOLHA. Resolva as questões 1, 2 e 3 e marque suas respostas, à caneta, dentre as alternativas abaixo. Notas 1. Seja (x, y, z, w) uma solução do sistema linear: Então, a expressão x 2 + y 2 + z 2 + w 2 é igual a: x y + 3z 2w = 1 2x + y + z w = 1 x 2z + 2w = 1 3x 2y + 3z w = 1 ( ) 28 ( ) ( ) 52 ( ) 66 ( ) 108 ( ) 158 ( ) 269 ( ) 308 2. Considere a matriz A = da matriz inversa A 1 é igual a: 1 1 1 2 2 1 3 1. A soma dos elementos da diagonal principal ( ) 2 ( ) ( ) 6 ( ) 7 ( ) 10 ( ) 12 ( ) 15 ( ) 30 3. O determinante da matriz A = 2 3 0 2 0 6 2 3 0 0 1 1 0 5 é igual a: ( ) 7 ( ) 216 ( ) 272 ( ) 328 ( ) 38 ( ) 08 ( ) 569 ( ) 0
1 a Prova de Geometria Analítica e Sistemas Lineares Curso de Ciências Exatas - 1/09/2011 Departamento de Matemática - ICE - UFJF Quest. 1+2+3 5 6 7 Total Aluno: Matrícula: Turma: Observações: Esta prova deve conter 7 questões em 3 folhas, encerrando-se no item 7(c). A prova é individual, sem consulta e não é permitido o uso de calculadora. PARTE I: MÚLTIPLA ESCOLHA. Resolva as questões 1, 2 e 3 e marque suas respostas, à caneta, dentre as alternativas abaixo. Notas 1. Seja (x, y, z, w) uma solução do sistema linear: Então, a expressão x 2 + y 2 + z 2 + w 2 é igual a: x y + 3z 2w = 1 2x + y + z w = 1 x 2z + 2w = 1 3x 2y + 3z w = 1 ( ) 28 ( ) ( ) 52 ( ) 66 ( ) 108 ( ) 158 ( ) 269 ( ) 308 2. Considere a matriz A = da matriz inversa A 1 é igual a: 1 1 1 5 6 2 3 1. A soma dos elementos da diagonal principal ( ) 2 ( ) ( ) 6 ( ) 7 ( ) 10 ( ) 12 ( ) 15 ( ) 30 3. O determinante da matriz A = 2 3 0 2 0 5 2 3 0 0 1 1 0 5 é igual a: ( ) 7 ( ) 216 ( ) 272 ( ) 328 ( ) 38 ( ) 08 ( ) 569 ( ) 0
1 a Prova de Geometria Analítica e Sistemas Lineares Curso de Ciências Exatas - 1/09/2011 Departamento de Matemática - ICE - UFJF Quest. 1+2+3 5 6 7 Total Aluno: Matrícula: Turma: Observações: Esta prova deve conter 7 questões em 3 folhas, encerrando-se no item 7(c). A prova é individual, sem consulta e não é permitido o uso de calculadora. PARTE I: MÚLTIPLA ESCOLHA. Resolva as questões 1, 2 e 3 e marque suas respostas, à caneta, dentre as alternativas abaixo. Notas 1. Seja (x, y, z, w) uma solução do sistema linear: Então, a expressão x 2 + y 2 + z 2 + w 2 é igual a: x y + 3z 2w = 1 2x + y + z w = 1 x 2z + 2w = 1 3x 2y + 3z w = 1 ( ) 28 ( ) ( ) 52 ( ) 66 ( ) 108 ( ) 158 ( ) 269 ( ) 308 2. Considere a matriz A = da matriz inversa A 1 é igual a: 1 1 1 5 6 2 2 2 1. A soma dos elementos da diagonal principal ( ) 2 ( ) ( ) 6 ( ) 7 ( ) 10 ( ) 12 ( ) 15 ( ) 30 3. O determinante da matriz A = 2 3 0 2 0 2 3 0 0 1 1 0 5 é igual a: ( ) 7 ( ) 216 ( ) 272 ( ) 328 ( ) 38 ( ) 08 ( ) 569 ( ) 0
1 a Prova de Geometria Analítica e Sistemas Lineares Curso de Ciências Exatas - 1/09/2011 Departamento de Matemática - ICE - UFJF Quest. 1+2+3 5 6 7 Total Aluno: Matrícula: Turma: Observações: Esta prova deve conter 7 questões em 3 folhas, encerrando-se no item 7(c). A prova é individual, sem consulta e não é permitido o uso de calculadora. PARTE I: MÚLTIPLA ESCOLHA. Resolva as questões 1, 2 e 3 e marque suas respostas, à caneta, dentre as alternativas abaixo. Notas 1. Seja (x, y, z, w) uma solução do sistema linear: Então, a expressão x 2 + y 2 + z 2 + w 2 é igual a: x y + 3z 2w = 1 2x + y + z w = 1 x 2z + 2w = 1 3x 2y + 3z w = 1 ( ) 28 ( ) ( ) 52 ( ) 66 ( ) 108 ( ) 158 ( ) 269 ( ) 308 2. Considere a matriz A = da matriz inversa A 1 é igual a: 1 1 1 5 6 2 3 2. A soma dos elementos da diagonal principal ( ) 2 ( ) ( ) 6 ( ) 7 ( ) 10 ( ) 12 ( ) 15 ( ) 30 3. O determinante da matriz A = 2 3 0 2 0 3 2 3 0 0 1 1 0 5 é igual a: ( ) 7 ( ) 216 ( ) 272 ( ) 328 ( ) 38 ( ) 08 ( ) 569 ( ) 0
PARTE II: DISCURSIVAS.. (a) Determine o conjunto solução do sistema linear cuja matriz aumentada associada é: 1 5 2 3 0 0 3 9 0 0 1 3 (16 pts) (b) Determine o conjunto solução do sistema linear cuja matriz aumentada associada é: 1 2 3 0 0 1 1 0 0 0 2
5. Sejam P e Q matrizes quadradas de ordem 3, invertíveis, cujas matrizes inversas são 3 2 1 2 1 0 P 1 = 2 1 1 e Q 1 = 5 2 1. (15 pts) 3 1 2 3 1 (a) Dada a matriz C = 0 2 1 1 0 1 1 1 2, determine matriz M tal que P QM = C. (b) Dada a matriz B = 3 2, resolva o sistema linear P X = B.
6. Resolva, justificando suas respostas. (20 pts) (a) Sejam A e B matrizes 3 3 tais que det(a) = 12 e det(b) = 16. determinante da matriz C = 3 A t B 1. Calcule o (b) Seja D uma matriz 5 5. Seja E a matriz obtida a partir da matriz D fazendo as seguintes operações elementares: troca-se as posições das linhas 1 e 2; multiplicase os elementos da linha 3 por 10; somam-se aos elementos da linha 5, 3 vezes o elemento correspondente da linha. Calcule o determinante da matriz D sabendo que det(e) = 5.
7. Classifique cada uma das afirmações abaixo como VERDADEIRA ou FALSA. Se verdadeira, prove; se falsa, prove ou dê um contra-exemplo. (10 pts) (a) Se A e B são matrizes n n tais que det(a) = 5 e det(b) = det(a + B 1 ) = 9. 1 então (b) Se A é uma matriz n n tal que A 3 = 0 então (I n A) 1 = I n + A + A 2, onde I n é a matriz identidade de ordem n.