7. SISTEMAS LINEARES 7.1. CONCEITO Um sistema de equações lineares é um conjunto de equações do tipo a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1 a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 2... a n1 x 1 + a n2 x 2 +... + a nn x n = b n, em que x j são incógnitas (valores desconhecidos) e a ij e b j são constantes reais conhecidas. No exemplo, n é o número de incógnitas e de equações, com i = 1, 2,... n e j = 1, 2,... n. Os sistemas lineares podem ser classificados como possíveis ou impossíveis. Os sistemas possíveis possuem solução para o conjunto de incógnitas; neste caso, podem ter solução única, caso em que são chamados determinados, ou infinitas soluções, caso em que são chamados indeterminados. Os sistemas impossíveis não possuem solução para as incógnitas. Nota: condição necessária, porém não suficiente, para que um sistema de equações (lineares ou não) tenha solução única é que o número de equações seja igual ao de incógnitas. 7.2. EQUAÇÃO MATRICIAL Todo sistema de equações lineares pode ser posto numa forma matricial. O sistema genérico apresentado acima equivale a [a11 a12 a1n a 21 a 22 a 2n x 2 a n1 a n2 a nn.[x1 x n= [b1 b 2 n b ou Ax = b, em que A, a matriz n n, é chamada matriz principal do sistema e as matrizes coluna x e b representam, respectivamente, o vetor de incógnitas e o vetor de cons-
tantes independentes. O lado esquerdo da igualdade é uma multiplicação de matrizes. Exemplo: O seguinte sistema de equações 2x + 3y = 5 7x 4y = 3 pode ser escrito, em sua forma matricial, como [ 2 3 7 4 [. x y [ = 5 3, sendo [ 2 3 7 4 a matriz principal do sistema. 7.3. RESOLUÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO O método da substituição consiste em resolver um sistema linear por meio de substituições sucessivas de incógnitas de uma equação nas expressões de outras. Para isso, isolamos a expressão de uma incógnita em uma equação e a substituímos nas demais. Isso leva um sistema de N incógnitas a outro de N 1 incógnitas que terá necessariamente a mesma solução do sistema original. O procedimento é repetido até se obter uma equação com uma incógnita, cuja solução é facilmente obtida. Uma vez determinado o valor da primeira incógnita, aplica-se esse valor nas N equações para reduzir o sistema a N 1 equações. Todo o procedimento é repetido até que todas as incógnitas sejam determinadas. Exemplo: Considere o sistema do exemplo anterior, com duas incógnitas e duas equações: 2x + 3y = 5 7x 4y = 3 Para resolvê-lo por substituição, podemos, por exemplo, começar isolando a incógnita y da primeira equação: y = 5 2x 3 Substituindo essa expressão na segunda equação, temos
7x 4 ( 5 2x 3 ) = 3 Multiplicando a expressão por 3, eliminamos dela o denominador do segundo termo: 21x 4(5 2x) = 9 Expandindo o produto, temos 21x 20 + 8x = 9, que simplificado nos dá 29x = 29 Resolvendo a equação, temos x = 29 29 = 1. Substituindo esse valor na primeira expressão para y, temos y = 5 2(1) 3 = 5 2 3 = 3 3 = 1 Logo, a solução do sistema é x = 1 e y = 1. Note que se substituirmos esses valores nas equações originais as igualdades são obedecidas: 2(1) + 3(1) = 2 + 3 = 5 7(1) 4(1) = 7 4 = 3 7.4. REGRA DE CRAMER A Regra de Cramer determina a solução exata de um sistema de equações lineares a partir de determinantes. Pela regra, a solução para a incógnita x j é dada por x j = A j A, em que A é a matriz principal do sistema e A j é a matriz formada pela substituição da coluna j de A pela matriz coluna b de constantes independentes. Ou seja, a solução é dada por uma divisão de determinantes. Note que se um sistema de equações tem matriz principal singular (isto é, tem determinante nulo) a solução não existe, pois não se admite divisão por zero. Neste caso, o sistema é impossível.
Exercício resolvido: Encontre a solução, se existir, do sistema de equações lineares abaixo: x + 3y 2z = 2 3x + 2y + z = 7 Resolução: Devemos primeiramente colocar o sistema na forma matricial equivalente. Se alinharmos as incógnitas x, y e z verticalmente x + 3y 2z = 2 3x + 2y + z = 7 podemos visualizar e obter facilmente a forma matricial: [ 2 1 3 [ x [ 3 1 3 2. y = 3 2 1 z 2 7 Assim, a matriz principal é A =[ 2 1 3 1 3 2 e o vetor de constantes independentes é [ 3 2 7 3 2 1 A matriz A x é dada pela substituição da 1a. coluna de A, que é a coluna associada à incógnita x, pelo vetor de constantes independentes: A x = [ 3 1 3 2 3 2 7 2 1 A matriz A y é dada pela substituição da 2a. coluna de A, que é a coluna associada à incógnita y, pelo vetor de constantes independentes: =[ 2 3 3 A y 1 2 2 3 7 1 A matriz A z é dada pela substituição da 3a. coluna de A, que é a coluna associada à incógnita z, pelo vetor de constantes independentes:
A z =[ 2 1 3 1 3 2 3 2 7 Por meio da Regra de Sarrus obtemos os determinantes das matrizes: A = = 2.3.1 + ( 1)( 2)( 3) + 3.2.1 ( 3)3.3 2( 2)2 1.1( 1) = = 6 6 + 6 + 27 + 8 + 1 = = 42 que é diferente de zero, o que nos indica que o sistema é possível; A x = = 3.3.1 + ( 1)( 2)7 + 3.( 2).2 7.3.3 2( 2)3 1( 2)( 1) = = 9 + 14 12 63 + 12 2 = = 42 A y = = 2( 2)1 + 3( 2)( 3) + 3.1.7 ( 3)( 2)3 7( 2)2 1.1.3 = = 4 + 18 + 21 18 + 28 3 = = 42 A z = = 2.3.7 + ( 1)( 2)( 3) + 3.2.1 ( 3)3.3 2( 2)2 7.1( 1) = = 42 6 + 6 + 27 + 8 + 7 = = 84 Assim, temos x = A x A = 42 42 = 1, y = A y A = 42 42 = 1 e z = A z A = 84 42 = 2 De fato, esta é a solução pois as equações são satisfeitas quando substituímos os valores encontrados nas expressões:
2( 1) (1) + 3(2) = 2 1 + 6 = 3 ( 1) + 3(1) 2(2) = 1 + 3 4 = 2 3( 1) + 2(1) + (2) = 3 + 2 + 2 = 7 Se em uma equação uma das incógnitas não é visível, o elemento pelo qual está multiplicada é zero e deverá figurar na matriz principal. 7.5. ESCALONAMENTO (MÉTODO DA ELIMINAÇÃO DE GAUSS) Outra maneira de determinar a solução de um sistema de equações lineares é o escalonamento de equações, também conhecido como método da eliminação de Gauss. Consiste em substituir o sistema de equações por um outro com a mesma solução no qual as equações estão escalonadas. Para encontrar o sistema escalonado podemos efetuar operações que não afetam o conjunto de soluções. Essas operações são: a) trocar duas equações de posição (equivalente à troca de linhas na matriz principal original) b) multiplicar uma equação por um escalar não nulo c) substituir uma equação pela soma dela com o múltiplo de outra equação, mantendo essa outra equação inalterada Exercício resolvido: Encontre a solução do sistema apresentado no exercício resolvido anterior por meio de escalonamento. Resolução: O sistema é x + 3y 2z = 2 3x + 2y + z = 7 Podemos manter a primeira equação intacta e no topo da lista de equações. Eliminamos agora a incógnita x das demais equações. Para substituir a segunda equação escolhemos uma das equações, multiplicamos por um escalar conveniente e então somamos a ela (a segunda equação). Por exemplo, multiplicamos a primeira equação por l/2,
x + y/2 3z/2 = 3/2, e somamos à segunda equação, x + y/2 3z/2 + x + 3y 2z = 3/2 2, que após simplificação nos leva a y z = 1 Note que o fator de multiplicação l/2 foi escolhido convenientemente para gerar uma expressão em que o termo com a incógnita x (valor x) possui o mesmo valor do termo presente na segunda equação (valor x), porém com sinal trocado, o que garante a eliminação da incógnita x após a soma. Após a substituição temos o seguinte sistema (com a segunda equação substituída) y z = 1 3x + 2y + z = 7 Para substituir a terceira equação, multiplicamos, por exemplo, a segunda equação original por 3, 3x + 9y 6z = 6, e somamos à terceira equação, 3x + 9y 6z 3x + 2y + z = 6 + 7, que após simplificação nos leva a 11y 5z = 1 Assim, com as duas substituições obtemos um novo sistema equivalente ao original no qual apenas uma das equações explicita a incógnita x: y z = 1 11y 5z = 1 Este sistema tem a mesma solução do sistema original. Devemos agora eliminar a incógnita y da terceira equação do novo sistema para completar o escalonamento. Para isso, multiplicamos, por exemplo, a segunda (nova)
equação por 11, 11y + 11z = 11, e somamos à terceira (nova) equação, 11y + 11z + 11y 5z = 11 + 1, que após simplificação nos dá 6z = 12 Assim, esta última substituição nos leva a mais um sistema de equações, completamente escalonado e também equivalente ao original, pois partilham a mesma solução: y z = 1 6z = 12 Efetuado o escalonamento, podemos agora obter a solução. A solução da última equação é trivial: z = 12/6 = 2 Para obter x e y, substituímos z = 2 nas outras equações do sistema escalonado: 2x y + 3(2) = 3 y (2) = 1 e obtemos 2x y = 3 y = 1 A solução de y também é trivial: y = 1. Substituindo y = 1 na primeira das equações anteriores temos 2x (1) = 3, que nos leva a 2x = 2,
ou seja, x = 1 Logo, a solução é x = 1, y = 1 e z = 2, como determinado no exercício anterior.