Extensão da tangente, secante, cotangente e cossecante, à reta.

UFF/GMA Notas de aula de MB-I Maria Lúcia/Marlene 05- Trigonometria - Parte - Tan-Cot_Sec-Csc PARTE II TANGENTE COTANGENTE SECANTE COSSECANTE Agora estudaremos as funções tangente, cotangente, secante e cossecante. Vamos falar das definições dessas funções no círculo trigonométrico e vamos estudar as identidades trigonométricas relativas a essas quatro funções. A visualização no círculo trigonométrico será muito útil na construção dos gráficos dessas funções e na resolução de equações e inequações trigonométricas. Extensão da tangente, secante, cotangente e cossecante, à reta. Definimos as funções trigonométricas: Função tangente: tan θ = sen θ cos θ para θ + k, onde k é inteiro. Função secante: sec θ = cos θ, Note que os ângulos do tipo θ = + k são os ângulos com lado terminal sobre o eixo Oy, congruentes a ou, exatamente onde o cosseno se anula. Também definimos Função cotangente: cot θ = cos θ sen θ para θ k, onde k é inteiro. Função secante: csc θ = sen θ Note que os ângulos do tipo θ = k são os ângulos com lado terminal sobre o eixo Ox, congruentes a ou, exatamente onde o seno se anula. Observação sobre notação ou símbolo Para a função tangente de um ângulo θ, há duas notações usuais, tan θ e tg θ. Para a função secante de um ângulo θ, só há uma notação usual, sec θ. Para a função cotangente de um ângulo θ, há duas notações usuais, cot θ e cotg θ. Para a função cossecante de um ângulo θ, há duas notações usuais, csc θ e cosec θ. As notações sin θ, cos θ, tan θ, sec θ, cot θ, csc θ são usadas em programas computacionais. Usaremos nos EPs essas mesmas notações, exceto para a função seno que denotamos por sen θ. Em muitos livros, publicados mais recentemente, essas são as notações usadas. Naturamente os alunos podem usar qualquer uma dessas notações nas provas. Observe na tabela abaixo alguns valores da tangente, secante, cotangente, cossecante. x (rad) 0 tan x 0 = 0 6 = 4 = = nd sec x nd cot x nd csc x nd 5 6 =, 4 = Página de 5

UFF/GMA Notas de aula de MB-I Maria Lúcia/Marlene 05- Trigonometria - Parte - Tan-Cot_Sec-Csc Agora, usando as definições, calcule você mesmo alguns valores da secante, cotangente e cossecante e complete a tabela. Segmento representativo da tangente no círculo trigonométrico Na reta t paralela ao eixo Oy e orientada para cima, com origem em A = (, 0), marcamos a interseção T com o lado terminal do ângulo se θ for um ângulo do º ou do 4º quadrante. A tan θ é dada pelo segmento AT orientado, isto é, com o sinal positivo, se T estiver acima de A e com o sinal negativo, se T estiver abaixo de A. Se o ponto T coincide com o ponto A (T A), a tangente é zero. Quando θ é um ângulo do º ou º quadrante, prolongamos o lado terminal do ângulo, como mostra as figuras ao lado, e marcamos o ponto T. Nas figuras ao lado, quando θ é do º quadrante, a tangente é negativa, e, quando θ é do º quadrante, a tangente é positiva. Veja no site o applet "o segmento representativo da tangente no círculo trigonométrico". Pensando no segmento representativo da tangente, note que tan(θ ± ) = tan θ e, mais geralmente, tan(θ + k) = tan θ, θ + k (faça um esboço!). Isso significa que o período da tangente é. Consequentemente, usando-se a propriedade e a tabela acima, sabemos que: tan ( 5 4 ) = tan (5 4 ) = tan ( 4 ) = ; tan ( 4 ) = tan ( 4 + ) = tan ( 4 ) = ; tan ( 5 ) = tan 6 (5 ) = tan ( ) = ; tan ( ) = tan ( + ) = tan 6 6 6 6 () = 6 tan ( 79 4 Exemplo : ) = tan (+76) = tan ( + 9) = tan 4 4 () = tan 4 ( ) = tan ( ) = ; etc... 4 4 ) Calcule a) tan 5, b) tan ( 5 Página de 5 ) c) tan ( 5 ) Solução: a) tan 5 = tan(80 + 45 ) = tan 45 =. b) tan ( 5 ) = tan (5 ) = tan ( ) = sen( ) cos( ) = sen = cos( ) =. ;

UFF/GMA Notas de aula de MB-I Maria Lúcia/Marlene 05- Trigonometria - Parte - Tan-Cot_Sec-Csc c) tan ( 5 4+ ) = tan ( ) = tan ( 8 ) = tan ( ) = sen( ) = cos( ) =. ) Coloque em ordem crescente tan 50, tan 00, tan 00, tan 00. Solução: Observe o esboço no círculo trigonométrico ao lado. Então, tan 00 < tan 00 < tan 00 < tan 50 ) Determine o domínio de a) tan x b) tan (x 4 ). Solução: a) Considere a mudança de variável t = x, então temos tan t, t + k. Logo, voltando à variável x, temos x + k x 4 + k. Assim, D = {x R; x 4 + k, k Z}. b) Considere a mudança de variável t = x 4, então temos tan t, t + k. Logo, voltando à variavel x, temos x 4 + k x 4 + + k x 4 + k. Assim, D = {x R; x k + 4, k Z}. 4) Dos números tan 45, tan 64, tan 45, tan 89, tan 00, quais são maiores do que? Solução: Primeiro observamos que os 5 ângulos estão entre 0 e 60. Pensando no eixo representativo da tangente, temos que nesse caso, tan x > se e só se 45 < x < 90 ou 5 < x < 70. Logo, são maiores do que : tan 64 e tan 89. 5) Calcule tan x, sabendo que cos x = 0, e que 0 < x <. Solução: Pela identidade trigonométrica fundamental, sen (x) + cos (x) =, e por ser x um ângulo do quadrante, temos sen x = (0,) = = 99 = =. Logo, tan x = 0. = 00 00 0 0,. Página de 5

UFF/GMA Notas de aula de MB-I Maria Lúcia/Marlene 05- Trigonometria - Parte - Tan-Cot_Sec-Csc Segmento representativo da cotangente no círculo trigonométrico Na reta t paralela ao eixo Ox e orientada para direita, com origem em B = (0, ), marcamos a interseção T com o lado terminal do ângulo se θ for um ângulo do º ou do º quadrante. A cot θ é dada pelo segmento BT orientado, isto é, com o sinal positivo, se T estiver à direita de B e com o sinal negativo, se T estiver à esquerda de B. Se T B, a cotangente é zero. Quando θ é um ângulo do º ou 4º quadrante, prolongamos o lado terminal do ângulo, como mostra as figuras ao lado, e marcamos o ponto T. Nas figuras ao lado, quando θ é do º quadrante, a cotangente é positiva, quando θ é do 4º quadrante, a cotangente é negativa. Veja no site o applet "o segmento representativo da cotangente no círculo trigonométrico". Pensando no segmento representativo da cotangente, note que cot(θ ± ) = cot θ e, em geral, cot(θ + k) = cot θ, θ k (faça um esboço!). Isso significa que o período da cotangente é. Exemplo : ) Determine o domínio de a) cot ( x ) b) cot (). x Solução: a) cot ( x ) = cot ( x ) = cot (x). Mudando a variável, fazendo t = x, temos que t k, k Z. Voltando à x, a variável original, x k x k, k Z. Logo o domínio é o conjunto {x R; x k, k Z} ou R {0,,, 4, 4, }. b) Primeira restrição: x 0. Página 4 de 5

UFF/GMA Notas de aula de MB-I Maria Lúcia/Marlene 05- Trigonometria - Parte - Tan-Cot_Sec-Csc Mudando a variável, fazendo t =, temos que t k, k Z. x Voltando à variável original, k, k Z, k 0 x, k Z, k 0. x k Logo o domínio é o conjunto {x R; x 0, x R {0,,,,,,, }. k, k Z, k 0} ou ) Se θ [, ], encontrar o intervalo de variação de f(θ) = cot θ. 4 Solução: Podemos observar que o triângulo CBT é isósceles e retângulo, logo BT = BC =. Como o ponto T está à esquerda de B, cot ( 4 ) =. Sabemos que cot ( ) = 0. Se θ [, ], observando os valores correspondentes na reta 4 orientada t concluímos que cot θ 0. Mas,. cot θ 0 ( ) cot θ 0 + cot θ cot θ. Portanto, o intervalo de variação de f(θ) = cot θ é o intervalo [, ]. Algumas identidades trigonométricas Listamos a seguir algumas das principais identidades que utilizaremos.. tan (α) + = sec (α), α + k, onde k é inteiro.. cot (α) + = csc (α), α k, onde k é inteiro.. cot ( α) = tan α, α + k e tan ( α) = cot α, α k, onde k é inteiro. 4. csc ( α) = sec α, α + k e sec ( α) = csc α, α k, onde k é inteiro. tan α 5. tan(α) =, α + k, onde k é inteiro. tan α 4 6. cot(α) = (cot α) cot α, α k, onde k é inteiro. As identidades () e () acima são demonstradas a partir da identidade trigonométrica fundamental, sen α + cos α =. Quando dividimos por cos α, obtemos a identidade () e quando dividimos por sen α, obtemos a identidade (). Faça isso! As identidades dos arcos complementares () e (4) acima, são consequências imediatas das identidades dos arcos complementares de seno e cosseno. Faça isso! Prova da identidade (5): tan(α) = sen(α), α; α + k, onde k é inteiro. cos(α) Página 5 de 5

UFF/GMA Notas de aula de MB-I Maria Lúcia/Marlene 05- sen(α) cos(α) = sen α cos α cos α sen α = sen α cos α cos α cos α sen α cos α = sen α cos α cos α cos α sen α cos α tan α Trigonometria - Parte - Tan-Cot_Sec-Csc =, α + k, onde k é inteiro. tan α 4 Exemplo : (a) Simplifique a expressão: sec x csc x (b) Prove que tan(x ) csc x = cos ( x ). Solução (a) sec x = (+tan x) = tan x = tan x csc x (+cot x) cot x tan x = tan 4 x. (c) tan(x ) = tan csc x (x ) sen x = cot (x) sen x = Equações e inequações trigonométricas cos( x ) sen( x ) ( sen (x ) cos (x )) = cos ( x ). Lembramos que resolver uma equação (ou inequação) trigonométrica significa encontrar os valores dos ângulos que pertencem ao intervalo dado, que tornam a equação (ou inequação) verdadeira. Se nenhum intervalo for dado inicialmente, supomos que queremos todos os ângulos reais que satisfazem a equação ou inequação. Especial atenção deve ser tomada para equações e inequações que contenham uma das funções tangente, cotangente, secante ou cossecante porque o domínio dessas funções não são todos os valores reais. Lembramos também que para resolver uma inequação trigonométrica, procure determinar primeiro a solução da equação associada para ter uma ideia do problema. Depois, faça um esboço no círculo trigonométrico para determinar a solução da inequação. Exemplo - Equações e inequações mais simples, que não usam identidades trigonométricas. a) tan x =. Solução: tan x = tan x = ±. Sabemos que =. Como sen = e cos =, concluímos que o ângulo x = ângulo do º. quadrante tal que tan(x) =. é um Pelas simetrias no círculo trigonométrico, na figura ao lado, x = ou x = = 5 é um ângulo do 4º. quadrante tal que tan(x) =. Como a tangente tem período igual a, as soluções da equação são: x = + k ou x = + k, onde k é um inteiro. Obs. a resposta também pode ser x = 5 + k ou x = + k, onde k é um inteiro. -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Página 6 de 5

UFF/GMA Notas de aula de MB-I Maria Lúcia/Marlene 05- b) tan x <. x [, ], x + k, onde k é inteiro. Trigonometria - Parte - Tan-Cot_Sec-Csc Solução: a equação associada é tan x =, cujas soluções encontradas no exemplo anterior são x = + k ou x = + k, onde k é número inteiro. Mudando a variável em tan x <,, fazendo t = tan x, temos que t <. Resolvendo, temos que < t <. Voltando à variável original x, temos que: < tan x <. Observando no círculo trigonométrico do item anterior, podemos concluir que os valores dos ângulos x que resolvem essa inequação estão nos intervalos ( + k, + k), onde k é inteiro. OBS. sabemos que 5, no entanto É ERRADO escrever (5 é obrigatório que o extremo esquerdo seja menor que o extremo direito, e sabemos que + k, + k) porque como se trata de um intervalo, 5 + k > + k. Vamos atribuir valores para k e verificar se o intervalo ou parte do intervalo está contido no intervalo dado [, ], k = 0 ( + 0, + 0) [, ] (, ) é solução. k = ( +, + ) = (, 4 ) [, ] (, 4 ) é solução. k = (, ) = ( 4, ) [, ] ( 4, ) é solução. k = ( +, + ) = (5, 7 ) [, ], mas como 5 < < 7, concluímos que ( 5, ] [, ], logo (5, ] é solução. k = (, ) = ( 7, 5 ) [, ], mas como 7 < < 5, concluímos que [, 5 ) [, ], logo [, 5 ) é solução. Solução final: [, 5 ) ( 4, ) (, ) (, 4 ) (5, ]. -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- c) tan x, x [0,], x,. A equação associada é tan x =, cujas soluções nesse intervalo são x = 4 ou x = + 4 = 5 4. Observando no círculo trigonométrico, podemos concluir que os valores dos ângulos x que resolvem essa inequação estão nos intervalos [ 4, ) [5 4, ). -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Página 7 de 5

UFF/GMA Notas de aula de MB-I Maria Lúcia/Marlene 05- d) Determinar o domínio de f(x) = sec(x) e resolver sec(x). Domínio de f: x + k x 4 + k Domínio de f: R { 4, 4, 4, 4, 5 4, 5 4, } +k x 4 Trigonometria - Parte - Tan-Cot_Sec-Csc x (k+) 4, onde ké inteiro. Temos que resolver duas equações associadas, sec(x) = e sec(x) =, e duas inequações sec(x) e sec(x). Mudando de variável, fazendo θ = x, temos que resolver cada equação, sec(θ) = e sec(θ) =, e as inequações sec(θ) e sec(θ). sec(θ) = = cos θ = θ = k, onde ké inteiro. cos θ sec(θ) = = cos θ = cos θ ou θ = + k onde ké inteiro. θ = + k Observação: como os ângulos e = 5 são congruentes, poderíamos ter escrito a resposta acima da seguinte forma: θ = 5 + k onde ké inteiro. As duas respostas são corretas. Resolvendo sec θ e sec θ Primeiramente observamos que sec θ = para θ = k ou sec θ > para qualquer que seja o valor de θ no º. ou no 4º. quadrante. Já admitindo que θ = k ou θ no º. ou no 4º. quadrante vamos resolver sec θ. sec θ sec θ >0, cosθ>0 cos θ. cos θ Observando no círculo trigonométrico, podemos concluir que os valores dos ângulos θ que resolvem as duas inequações estão nos intervalos: [ + k, + k], isto é, + k θ + k, onde ké inteiro. Observação: aqui é ERRADO escrever [ 5 + k, + k] PORQUE 5 + k > + k, k inteiro e o extremo esquerdo de qualquer intervalo tem que ser obrigatoriamente menor do que o extremo direito. Voltando à variável original x, temos que: + k x + k + k x + k 6 + k x 6 + k Ou seja, x [ 6 + k, 6 + k] = [ 7 6, 5 6 ] [ 6, 6 ] [5 6, 7 6 ] [ 6, 6 ]. Página 8 de 5

UFF/GMA Notas de aula de MB-I Maria Lúcia/Marlene 05- Trigonometria - Parte - Tan-Cot_Sec-Csc Verifique na reta numérica abaixo que os pontos, 5, 4 4 domínio também não pertencem aos intervalos acima. 4, 4, 4, 5 4,, que estão fora do Portanto, podemos concluir que S = [ + k, + k], onde ké inteiro. 6 6 Exemplo - Equações e inequações que requerem uso de identidades trigonométricas. a) Determinar o domínio de f(x) = tan( x) + cot (x ) e resolver a equação f(x) =. Domínio de f: para k inteiro, (i) x + k e (ii) x k. (i) x + k k x x k ( ) x + k x 4 + k. ( ) para k inteiro temos que {k} = {0,,,,, } = {0,,,,, } = { k} (ii) x k x + k x 4 + k. Portanto, dom(f) = {x R; x 4 + k, k Z}. f(x) = tan( x) + cot ( x ) =. Como a função tangente tem período igual a, temos que tan( x) = tan ( x). Mas, tan( x) = sen( x) = sen(x) = tan(x) (*) cos ( x) cos (x) Sabemos que as funções tangente e cotangente tem a propriedade dos ângulos complementares, isto é, cot (θ ) = tan (θ), logo cot ( x ) = tan(x) (**) Logo, tan( x) + cot ( x ( ) e ( ) ) = tan(x) + tan( x) = tan( x) = tan(x) =. Mudando a variável, fazendo θ = x, temos que, tan(θ) = θ = + k, onde k é número inteiro. 4 Voltando à variável original x, obtemos x = 4 + k x = 8 + k. Logo a solução é: S = x = + k, onde k é número inteiro. 8 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- b) Resolva a equação tan x + cot x =. Observe que x k, onde k é um inteiro. tan x + cot x = tan x + tan x = tan x + = tan x tan x tan x + = tan x = ± 4 4 = S = { x R; x = 4 + k } -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Página 9 de 5

UFF/GMA Notas de aula de MB-I Maria Lúcia/Marlene 05- c) Resolva a inequação tan x sec x para x [0,]. Primeiro observamos que x e x. Trigonometria - Parte - Tan-Cot_Sec-Csc Usando a identidade + tan x = sec x tan x = sec x, podemos simplificar a inequação, escrevendo toda a inequação em termos de sec x. tan x sec x (sec x ) sec x sec x sec x + 0 sec x sec x 0 Mudando a variável, fazendo y = sec x, obtemos y y 0. Resolvendo a equação associada y y = 0, obtemos y = ± ( ) 4 ( ) = ± 4, logo a raízes são y = 4 4 = e y = 4 =. Analisando o sinal, o trinômio é positivo fora das raízes, ou seja, y y 0 se y ou y. Voltando à variável original x, temos que: sec x sec x 0 se e só se sec x ou sec x. sec x. Nesse caso, cos x < 0. cos x Assim, cos x cos x<0 cos x cos x. cos x > para todo x real, logo basta determinar x tal que sec x < 0, que são os mesmos onde cos x < 0. Logo, sec x sec x cos x Assim, cos x. Nesse caso, cos x > 0. < x <. cos x>0 cos x > 0 0 < cos x 0 x < Logo, sec x 0 x < ou < x ou < x Portanto, a solução é S = [0, ) (, ) (, ] Gráficos das funções tangente, secante, cotangente e cossecante. Gráfico da tangente. Observando os segmentos representativos da tangente no círculo trigonométrico, podemos concluir que a função tangente é crescente no intervalo (, ). Ainda observando no círculo trigonométrico, podemos ver que à medida que x aumenta, se aproximando do ângulo, (x < ), o correspondente valor da tan x aumenta ilimitadamente e o ponto (x, tan x) do gráfico da tangente, fica cada vez mais próximo da reta x =. Quando tal situação acontece Página 0 de 5

UFF/GMA Notas de aula de MB-I Maria Lúcia/Marlene 05- Trigonometria - Parte - Tan-Cot_Sec-Csc no gráfico, dizemos que a reta vertical x = é uma assíntota vertical do gráfico da função. Observamos que você estudará as "assíntotas" na disciplina Cálculo I. Continuando a observar o círculo, podemos ver que à medida que x diminui, se aproximando do ângulo, (x > ), o correspondente valor da tan x diminui ilimitadamente e o ponto (x, tan x) do gráfico da tangente, fica cada vez mais próximo da reta x =. A reta vertical x = é outra assíntota vertical do gráfico da tangente. A tangente tem período igual a, o gráfico da tangente se repete nos intervalos ( + k, + k), onde k é um número inteiro. Veja no site os applets sobre o gráfico da tangente. Podemos ver que qualquer valor real do eixo t do círculo trigonométrico corresponde ao valor da tangente de algum ângulo x, isso significa que a imagem da tangente é o intervalo (, ). Gráfico da cotangente. Observando os segmentos representativos da cotangente no círculo trigonométrico, podemos concluir que a função cotangente é decrescente no intervalo (0. ). Ainda observando no círculo trigonométrico, podemos ver que à medida que x diminui se aproximando do ângulo 0 (x > 0), o correspondente valor de cot x aumenta ilimitadamente e o ponto (x, cot x) do gráfico da tangente fica cada vez mais próximo da reta x = 0. A reta vertical x = 0 é uma assíntota vertical do gráfico da função. Continuando a observar o círculo, podemos ver que à medida que x aumenta se aproximando do ângulo (x < ), o correspondente valor de cot x diminui ilimitadamente e o ponto (x, cot x) do gráfico da cotangente fica cada vez mais próximo da reta x =. A reta vertical x = é outra assíntota vertical do gráfico da cotangente. A cotangente tem período, o gráfico da cotangente se repete nos intervalos ( + k, + k), onde k é um número inteiro. Veja no site os applets sobre o gráfico da cotangente. Página de 5

UFF/GMA Notas de aula de MB-I Maria Lúcia/Marlene 05- Trigonometria - Parte - Tan-Cot_Sec-Csc Podemos ver que qualquer valor real do eixo t do círculo trigonométrico corresponde ao valor da cotangente de algum ângulo x, isso significa que a imagem da cotangente é o intervalo (, ). Veja no site os applets sobre o gráfico da cotangente. Gráfico da secante. A construção do gráfico da secante é mais simples comparando-o com o gráfico do cosseno. Vamos esboçar primeiro o gráfico no subconjunto do domínio [0, ) (, ) (, ]. Sabemos que em [0, ) a função cosseno é decrescente e cos x > 0, isto significa que, para x, x [0, ): x < x cos x > cos x > 0 > cos x cos x cos x < cos x sec x < sec x. Logo, a função secante é crescente em [0, ). Sabemos que em (, ]a função cosseno é decrescente e cos x < 0 isto significa que, para x, x (, ]: x < x cos x > cos x cos x <0 cos x cos x < Logo, a função secante é crescente em (, ] cos x <0 > sec x cos x cos x < sec x. Sabemos que em [, ) a função cosseno é crescente e cos x < 0, isto significa que, para x, x [, ): x < x cos x < cos x cos x <0 cos x cos x > cos x <0 < sec x cos x cos x > sec x Logo, a função secante é decrescente em [, ). Sabemos que em (, ] a função cosseno é crescente e cos x > 0, isto significa que, para x, x (, ]: Página de 5

UFF/GMA Notas de aula de MB-I Maria Lúcia/Marlene 05- x < x 0 < cos x < cos x cos x < cos x sec x > sec x. Logo, a função secante é decrescente em (, ]. Trigonometria - Parte - Tan-Cot_Sec-Csc A função cosseno tem duas propriedades importantes, que induzem às propriedades da função secante.. A função cosseno é par, pois: seu domínio é simétrico em relação à origem 0 e cos( x) = cos x. Consequentemente, a função secante é par. pois seu domínio é simétrico em relação à origem 0 e sec( x) = cos( x) =. cos x, para todo x R, isto é, cos x para todo x R. Consequentemente, cos x cos x >0 sec x. cos x cos x = sec x. Assim, sec x, x + k, isto é, sec x ou sec x, x + k, k inteiro. Para terminar de construir o gráfico vamos usar as propriedades: a secante é uma função par, isso significa que podemos refletir o gráfico no eixo y. a secante tem período, isso significa que podemos repetir o gráfico nos intervalos do domínio: ( + k, + k) e ( + k, + k) onde k é número inteiro. Gráfico da cossecante. A construção do gráfico da cossecante é mais simples comparando-o com o gráfico do seno. Vamos esboçar primeiro o gráfico no subconjunto do domínio (0, ) (, ). Sabemos que em (0, ] a função seno é crescente e sen x > 0, isto significa que, para x, x (0, ]: x < x 0 < sen x < sen x < csc x sen x sen x > csc x. Logo, a função cossecante é decrescente em (0, ]. Sabemos que em (, ) a função seno é decrescente e sen x > 0, isto significa que, para x, x (, ): Página de 5

UFF/GMA Notas de aula de MB-I Maria Lúcia/Marlene 05- x < x sen x > sen x > 0 sen x > sen x csc x < csc x. Logo, a função cossecante é crescente em [, ): Trigonometria - Parte - Tan-Cot_Sec-Csc Sabemos que em (, ] a função seno é decrescente e sen x < 0, isto significa que, para x, x (, ]: x < x sen x > sen x sen x <0 sen x sen x < Logo, a função cossecante é crescente em (, ]. cos x <0 > csc x sen x sen x < csc x. Sabemos que em (, ) a função seno é crescente e sen x < 0, isto significa que, para x, x (, ): x < x sen x < sen x sen x <0 sen x sen x > cos x <0 Logo, a função cossecante é decrescente em [, ). < csc x sen x sen x > csc x. A função seno tem duas propriedades importantes, que induzem às propriedades da função cossecante.. A função seno é ímpar, pois: seu domínio é simétrico em relação à origem 0 e sen( x) = sen x. Consequentemente, a função cossecante é ímpar, pois seu domínio é simétrico em relação à origem 0 e csc( x) = sen( x) =. sen x, para todo x R, isto é, sen x para todo x R. Consequentemente, sen x sen x >0 csc x. sen x Assim, csc x, x k, isto é, csc x ou csc x, x k, k inteiro. Para terminar de construir o gráfico vamos usar as propriedades: sen x = csc x. a cossecante é uma função ímpar, isso significa que podemos refletir o gráfico em relação à origem (é o mesmo que refletir no eixo y, em seguida refletir no eixo x). a cossecante tem período, isso significa que podemos repetir o gráfico nos intervalos do domínio: (k, + k) e ( + k, + k) onde k é um inteiro. Página 4 de 5

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