Funções Reais a uma Variável Real 1 Introdução As funções são utilizadas para descrever o mundo real em termos matemáticos, é o que se chama de modelagem matemática para as diversas situações. Podem, por exemplo, descrever o ritmo cardíaco, crescimento populacional, variações de temperatura, movimento de objetos, custos e lucros de uma empresa, oscilações do solo num terremoto, entre muitas outras coisas. A noção de função é a principal ferramenta para o estudo do Cálculo Diferencial e Integral, pois constitui o ambiente no qual o Cálculo é desenvolvido. 2. O Conceito de Função As funções surgem quando uma quantidade (variável dependente) depende de outra (variável independente). Observe os exemplos: 1. A temperatura T da água numa panela que é colocada para ferver depende do tempo transcorrido t. Assim, nessa situação T é a variável dependente e t a variável independente. 2. A área A de um círculo depende de seu raio r e essa dependência se expressa através da fórmula bem conhecida A =. 3. A população humana mundial P depende do tempo t, etc. Em todos os casos acima temos uma associação que a cada valor da variável independente (tempo ou raio), atribui um único valor à variável dependente. Essa situação constitui o que chamamos de função, cuja definição matemática é a seguinte: Definição: Uma função de um conjunto A R para outro conjunto B R é uma regra (lei) que a cada elemento x A associa um único elemento y B. Costuma-se denotar uma função por letras como f (ou g; h; T; u;...). E a seguinte notação, devida a Euler é utilíssima y = f(x) (Lê-se y é igual a f de x ). Outra maneira de denotar uma função é f : A R B R ou ainda O conjunto A é dito o domínio da função f, também denotado por D(f), e B é dito seu contradomínio. Quando x percorre o domínio de f, f(x) descreve um conjunto denominado imagem de f e que se indica por: Imf = {f(x)/x D f } Importante : Para ser considerada função a lei deve ser capaz de associar a cada elemento do domínio um único elemento do contradomínio. Se houver ambiguidade na associação, a lei não é considerada uma função. Exemplos de funções: 1. y = x², x R. 2. x 3. 1, se x 1 x 1 3x² 1, se x 1 4. Os polinômios p(x) = a n x n +a n-1 x n-1 +...+a 1 x+a 0, x R, onde n é um inteiro não negativo e a n ;...; a 0 são constantes reais, são funções definidas em toda a reta real R. Para n = 2 a função é dita quadrática e para n = 3, a função é dita cúbica. O comportamento de uma função é rapidamente visualizado através de seu gráfico, que é o conjunto dos pares ordenados {(x, f(x)); x D(f)}. O esboço do gráfico no plano cartesiano nos fornece o comportamento da f, seu domínio sobre o eixo 0x e sua imagem sobre o eixo 0y. Quando o D(f) é um intervalo ilimitado, procuramos traçar uma parte do seu gráfico que contenha todas as suas propriedades interessantes, como raízes e pontos de salto, e tal que se tenha uma idéia do que ocorre no restante do gráfico. CONSEQUENCIAS DA DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO
As relações y = x² e f(x) = x² são igualmente definidas com funções, embora possuam nomenclaturas distintas. A relação r(x) = x ± 2 não é uma função de x. Pois retorna valores distintos para um único x dado. Por exemplo, r(1) = 3 e -1. Uma função descrita por s: {(-1,5), (1,6), (2,4)} possui domínio {-1,1,2} e imagem {4, 5, 6}. g(f(x)) é denominada função composta de g em f e pode ser indicada por gof(x). O teste da linha vertical verifica se a curva indicada em um gráfico denota um função ou não. Vejamos o exemplo de uma curva que não é função: TIPOS PARTICULARES DE FUNÇÃO FUNÇÃO CONSTANTE Uma função dada por constante, denomina-se função constante. Exemplos: a) f(x) =2 b) g: [-1,+ [ R dada por g(x) = -1. c) Nota : o gráfico de uma função constante é uma reta paralela ao eixo x, ou, FUNÇÃO DO 1º GRAU Uma função dada por Exemplos : f(x) = 3x + 12 ( a = 3 ; b = 12 ) f(x) = -3x + 1 (a = -3; b = 1). Propriedades da função do 1º grau :
1) o gráfico de uma função do 1º grau é sempre uma reta. 2) na função f(x) = ax + b, se b = 0, f é dita função linear função afim. 3) o gráfico intercepta o eixo dos x na raiz da equação f(x) = 0 e, portanto, no ponto de abcissa x = - b/a. 4) o gráfico intercepta o eixo dos y no ponto (0, b), onde b é chamado coeficiente linear. 5) o valor a é chamado coeficiente angular e dá a inclinação da reta. 8) quando a função é linear, ou seja, y = f(x) = ax, o gráfico é uma reta que passa pelos pontos (0,0) e (1,a). FUNÇÃO POLINOMIAL Uma função polinomial f : R R de grau n é uma função da forma onde, são constantes reais. a) f(x)=x² b) g(x) = (x-1)³ c) f(x) = x 4 1 Uma função polinomial do 2º grau quando é do tipo f(x) = ax 2 + bx + c f(x) = x 2-2x + 1 ( a = 1, b = -2, c = 1 ) ; y = - x 2 ( a = -1, b = 0, c = 0 ) Gráfico da função do 2º grau y = ax 2 + bx + c : é uma parábola com eixo de simetria paralelo ao eixo 0y.. Propriedades do gráfico de y = ax 2 + bx + c : 1) se a > 0 a parábola tem um ponto de mínimo. 2) se a < 0 a parábola tem um ponto de máximo 3) o vértice da parábola é o ponto V(x v, y v ) onde x v = - b/2a e y v = - /4a, onde = b 2-4ac 4) a parábola intercepta o eixo x nos pontos de abcissas x' e x'', que são as raízes da equação ax 2 + bx + c = 0.
5) a parábola intercepta o eixo dos y no ponto (0, c). 6) o eixo de simetria da parábola é uma reta vertical de equação x = - b/2a. 7) Im(f) = { y R ; y > - /4a } ( a > 0 ) 8) Im(f) = { y R ; y < - /4a } ( a < 0) 9) Forma fatorada : sendo x 1 e x 2 as raízes da de f(x) = ax 2 + bx + c, então ela pode ser escrita na forma fatorada a seguir : y = a(x - x 1 ).(x - x 2 ) FUNÇÃO RACIONAL É uma função que pode ser escrita na forma domínio de f é o conjunto., onde p(x) e q(x) são duas funções polinominais; o Nota: Nas funções racionais é necessário verificar quando é que o denominador se anula, uma vez que nesses pontos a função não tem significado. Exemplos: a) b) Ao contrário dos polinômios, cujos gráficos são curvas contínuas (sem interrupções), o gráfico de uma função racional pode apresentar interrupções (descontinuidades) nos pontos onde o denominador é igual a zero. Ao contrário dos polinômios, uma função racional pode não estar definida para determinados valores de x. Próximo desses valores, algumas funções racionais têm gráficos que se aproximam bastante de uma reta vertical (assíntota vertical) que é representada por linhas tracejadas. "Assíntotas" são retas das quais o gráfico aproxima-se cada vez mais, sem nunca tocá-las. Uma exceção é o caso em que, apesar do denominador ser igual a zero para um determinado valor de x, este pode ser cancelado no processo de fatoração e simplificação. Nesse caso, a função racional apresenta um "furo" no ponto onde o denominador é igual a zero.
Outra característica de algumas funções racionais, é o fato de algumas funções começar e/ou terminar cada vez mais perto de uma reta horizontal (assíntota horizontal). FUNÇÃO MODULAR Chamamos de função modular a função f(x)= x definida por: x, se x 0 x, se x 0 Observe, então, que a função modular é uma função definida por duas sentenças. Determinação do domínio Vamos determinar o domínio de algumas funções utilizando inequações modulares: Exemplo 1: Determinar o domínio da função 1 x 3 Resolução: 1 Sabemos que só é possívelem IR se x 3 0. x 3 Então : x 3 0 x 3 x 3 ou x 3 Resposta: D { x IR x 3 ou x 3} Exemplo 2: Determinar o domínio da função 2 x 1 Resolução: Sabemos que 2 x 1 só é possívelem IR se 2 x 1 0. Então : 2 x 1 0 x 1 2 x 1 2 2 x 1 2 2 x 1 2 2 1 x 2 1 1 x 3 Resposta: D { x IR 1 x 3}
Gráfico Gráfico da função f(x)= x : Exercícios: 1 - Determine a função f(x) = ax + b, sabendo-se que f(2) = 5 e f(3) = -10. 2 - Nos modelos a seguir, encontre o domínio e a imagem de: a) d) b) e) c) f) 3) Determine o domínio de cada uma das funções racionais dadas. (a) (b) 4) Utilizando a definição de função, verifique quais dos gráficos abaixo representam de função: ( a ) ( d ) ( b ) ( e ) ( c ) ( f ) 5) Considere a função y = (a) x pode ser negativo?
(b) x pode ser igual a 0? (c) x pode ser maior que 1? (d) Qual é o domínio da função? 6) Considere a função (a) x pode ser negativo? (b) x pode ser maior que 2? (c) Qual é o domínio da função? 7) Expresse a área e o perímetro de um triângulo eqüilátero em função do comprimento x do lado do triângulo. 8) Expresse o comprimento do lado de um quadrado em função do comprimento d da diagonal do quadrado. Depois expresse a área do quadrado em função do comprimento da diagonal. 9) Uma das principais aplicações da função quadrática é cálculo de máximos e mínimos, que em situações práticas, permite descobrir a melhor relação custo-benefício. O proprietário de um sítio pretende utilizar um muro já existente para a construção de um galinheiro. Para isso, ele já dispõe de 35m de tela que será disposta de forma retangular, conforme a figura. Quais as dimensões do retângulo, de modo que a área seja máxima? 10) Dada a função f: IR IR definida por f(x) = 3 x + 4, calcule: a) f(8) b) f(-1) c) f(3) d) f(0) 11) Construa o gráfico da função definida por f(x) = 3 x + 4 e determine a D(f) e Im(f). 12) Construa o gráfico da função definida por. 13) Sabendo que para determinar algebricamente os pontos de intersecção de duas funções, basta igualar f(x) e g(x) e calcular o valor (ou valores) de x, determine todos os pontos de intersecção das funções e. 14) Faça o gráfico das funções f(x) = x/2 e g(x) = 1 + (4/x) juntas e identifique os valores de x para os quais. 15) Expresse a área de um campo retangular cujo perímetro é 320 metros em função do comprimento de um dos lados. Desenhe o gráfico relacionado e estime as dimensões do campo para que a área seja 5500m². 16) Uma caixa sem tampa será feita com um pedaço retangular de papelão medindo 14 22 polegadas. Em cada canto, serão cortados quadrados iguais de lado x e, depois, as laterais serão levantadas como mostra a figura. Expresse o volume V da caixa em função de x. 17) A lei f(x)=2x 2 12x + 25 representa o número de multas anuais (em milhares), indicado por f(x), que serão aplicadas daqui a x anos, em uma certa cidade. a) Quantas multas são aplicadas atualmente nessa cidade? b) Quantas multas serão aplicadas daqui a 2 anos? E daqui a 5 anos? c) Em quanto tempo serão aplicadas 57 000 multas?
18) Em uma experiência realizada com camundongos, foi observado que o tempo requerido para um camundongo percorrer um labirinto, na n-ésima tentativa, era dado pela função ) minutos. a) Qual é o tempo necessário para o camundongo percorrer o labirinto na terceira tentativa? E na quinta tentativa? b) Em qual tentativa o camundongo leva 3 minutos e 30 segundos para percorrer o labirinto? 19) O custo total em reais para fabricar n unidades de um certo produto é dado pela função C ( n) n³ 30n² 500n 200 a) Determine o custo de fabricação de 10 unidades do produto. b) Determine o custo de fabricação da 10ª unidade do produto. 20) Suponha que o número de operários-horas necessários para distribuir catálogos telefônicos para x% das residências em uma certa região rural seja dado pela função 600x 300 x a) Qual é o domínio da função f? b) Para que valores de x a função f(x) tem significado nesse contexto? c) Quantos operários-horas são necessários para distribuir catálogos para 50% das residências? d) Quantos operários-horas são necessários para distribuir catálogos para todas as residências? e) Que porcentagem das residências terá recebido novos catálogos depos de 150 operários-horas de trabalho?