UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Cálculo de Volumes por Cascas Cilíndricas Prof.: Rogério Dias Dalla Riva
Cálculo de Volumes por Cascas Cilíndricas 1.Introdução 2.Resolução de Exemplos
1. Introdução Alguns problemas de volume são muito difíceis de lidar pelos métodos das seções anteriores. Por exemplo, vamos considerar o problema de encontrar o volume de um sólido obtido pela rotação ao redor do eixo y pela região limitada por y = 2x 2 -x 3 e y = 0, conforme a figura a seguir.
1. Introdução Se a fatiarmos perpendicularmente ao eixo y, obteremos uma arruela. Mas para calcularmos os raios interno e externo da arruela, teríamos de resolver a equação cúbica y = 2x 2 - x 3 para x em termos de y; isto não é fácil.
1. Introdução
1. Introdução Felizmente existe um método, chamado Método das Cascas Cilíndricas, que é mais fácil de usar em casos como esse. A figura a seguir mostra uma casca cilíndrica de raio interno r 1, raio externo r 2 e altura h. O seu volume V é calculado pela subtração do volume V 1 do cilindro interno do volume V 2 do cilindro externo.
1. Introdução V = V2 V1 ( ) V = πr h πr h = π r r h 2 2 2 2 2 1 2 1 ( )( ) V = π r + r r r h 2 1 2 1 r + r 2 ( ) 2 1 V = 2π h r2 r1
1. Introdução Se fizermos r = r r 2 1 1 r = r + r 2 ( ) 2 1 (a espessura da casca) (o raio médio da casca) então a fórmula para o volume de uma casca cilíndrica se torna V = 2π rh r e pode ser memorizada como V = [circunferência] [altura] [espessura]
1. Introdução Agora considere S como o sólido obtido pela rotação ao redor do eixo y da região limitada por y = f (x) [onde f (x) 0], y = 0, x = a e x = b, onde b > a 0, conforme mostrado na figura abaixo
1. Introdução Dividimos o intervalo [a, b] em n subintervalos [x i-1, x] i de mesma largura x e consideremos x i o ponto médio do i-ésimo subintervalo. Se o retângulo com base [x i-1, x] i e altura f ( x ) i é girado ao redor do eixo y, então o resultado é uma casca cilíndrica com raio médio x i, altura f ( x ) i e espessura x, conforme a figura a seguir.
1. Introdução V = 2π rh r ( 2π ) ( ) i i V = x f x x
1. Introdução Portanto, uma aproximação para o volume V de S é dada pela soma dos volumes dessas cascas: n n π ( ) V = V = 2 x f x x i i i i = 1 i = 1 Essa aproximação torna-se melhor quando n. Mas,peladefiniçãodeintegral,sabemosque n n i = 1 i = ( ) ( ) i π lim 2π x f x x 2 x f x dx b a
1. Introdução O volume do sólido na figura abaixo, obtido pela rotação ao redor do eixo y da região sob a curva y = f (x) de a até b é: b = π ( ) onde 0 V 2 x f x dx a < a b
1. Introdução A melhor maneira para se lembrar da fórmula anterior é pensar em uma casca típica, cortada e achatada como na figura abaixo, com raio x, circunferência 2πx, altura f (x) e espessura x ou dx. b V = ( 2 π x) f ( x) dx a circunferência altura
1. Introdução Esse tipo de argumento será útil em outras situações, tais como quando giramos ao redor de outras retas além do eixo y.
1. O método do disco Exemplo 1: Determine o volume do sólido obtido pela rotação ao redor do eixo y da região limitada pory=2x 2 x 3 e y = 0.
1. O método do disco Solução: Do esboço da figura abaixo, vemos que uma casca típica tem raio x, circunferência 2πx e altura f (x) =2x 2 x 3.
1. O método do disco Então, pelo método das cascas, o volume é: V b = 2 π x f x dx a ( ) 2 2 ( 2 3 ) ( 3 4 π ) V 2π x 2x x dx 2 2x x dx = = 0 0 2 4 5 2 x x 2 8 1 1 32 16 = π = = 2 5 5 π 5 π 0
1. O método do disco A figura abaixo mostra o gráfico gerado pelo computador do sólido resultante:
1. O método do disco Exemplo 2: Determine o volume de um sólido obtido pela rotação ao redor do eixo y da região entrey =x e y=x 2.
1. O método do disco Solução: A região e uma casca típica são mostradas na figura abaixo. Vemos que a casca tem raio x, circunferência 2πx e altura x x 2.
1. O método do disco Então o volume é: V b = 2 π x f x dx a ( ) 1 1 ( 2 ) ( 2 3 π ) V 2π x x x dx 2 x x dx = = 0 0 1 3 4 2π x x 2 1 1 1 1 π = 3 4 = π = 3 4 6 0
1. O método do disco O exemplo a seguir mostra que o método da casca funciona bem também quando giramos ao redor do eixo x. Simplesmente, temos de desenhar um diagrama para identificar o raio e a altura da casca.
1. O método do disco Exemplo 3: Use cascas cilíndricas para determinar o volume do sólido obtido pela rotação ao redor do eixo x da região sob a curva y =x 1/2 de0a1.
1. O método do disco Solução: Para usar as cascas escrevemos y = x 1/2 como x = y 2, conforme a figura abaixo.
1. O método do disco Pela rotação ao redor do eixo x, vemos que uma casca típica tem raio y, circunferência 2πy e altura 1 y 2. Então o volume é V b = 2 π y f y dy ( ) a 1 1 2 3 ( ) π ( ) V 2π y 1 y dy 2 y y dy = = 0 0 1 2 4 2π 2 1 1 1 1 y y π = 2 4 = π = 2 4 2 0
1. O método do disco Exemplo 4: Determine o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada por y = x x 2 e y = 0 ao redor da reta x = 2.
1. O método do disco Solução: A figura abaixo mostra a região e a casca cilíndrica formada pela rotação ao redor da reta x = 2. Esta tem raio 2 x, circunferência 2π (2 x) e altura x x 2.
1. O método do disco Ovolumedosólidoé V b = 2 π x f x dx a ( ) 1 1 ( )( 2 ) ( 3 2 π ) V 2π 2 x x x dx 2 x 3x 2x dx = = + 0 0 1 1 4 3 2 1 2π x x x 2π 1 1 π = + = + = 4 4 2 0