MAT - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I IME & Física 6 ( a Lista de Eercícios). Verifique para as funções abaio se eistem números c, com a < c < b e tais que f(b) f(a) = f (c)(b a). Em caso afirmativo eiba-os. (a) f() = 3 a = e b = (b) f() = sen + cos a = ; b = π (c) f() = /3 a =, b = (d) f() = + a = e b = (e) f() = a =, b = 3 (f) f() = + a = e b =. Use o TVM para provar a desigualdade sen b sen a b a. 3. Dois corredores iniciam uma corrida ao mesmo tempo e terminam empatados. Prove que em algum momento durante a corrida eles têm a mesma velocidade. 4. Esboce o gráfico de: (a) f() = 3 + 3 + 4 (f) f() = (b) f() = 4 + 3 + (g) f() = 9 + 9 (c) f() = 4 3 (h) f() = cos + sen π (d) f() = (i) f() = sen 3π 5. Seja f uma função definida em um intervalo (a, + ), a IR. Dizemos que a reta y = m + n é uma assíntota para f se lim [f() (m + n)] = + (a) Prove que a reta y = m + n é uma assíntota para f se, e somente se: m = f() lim + e n = lim [f() m]. + OBS.: O que dissemos para +, vale, também, para. (b) Determine as assíntotas E esboce o gráfico de: (i) f() = 3 (ii) f( = 4 + + + (iii) f() = 3 3 (iv) f() = + (v) f() = 3 + (vi) f() = 3 ( ) ( π ) 6. Mostre que a equação 3 + cos = tem eatamente uma raiz real.
7. Mostre que + < + se >. 8. Mostre que a equação 3 6 + c = tem no máimo uma raiz no intervalo [-,]. 9. Prove as seguintes desigualdades: (a) > 3, > (b) e π > π e (c) tg b tg a > b a sempre que < a < b < π (d) 3 3 < sen < 3! 3! + 5 5!, > (e) + 3 4. (note que a igualdade vale apenas para = ). Determine números positivos cujo produto é 6 e cuja soma é mínima. ( Resp.: 4,4). A soma de 3 números positivos é 5. O dobro do pri-eiro mais três vezes o segundo e mais quatro vezes o terceiro é 45. Escolha esses números de modo que o produto deles seja máimo. (Resp.: 5,5,5). Para que pontos da circunferência + y = 5 a soma das distâncias a (,) e (-,) é mínima? (Resp.: (5,) e (-5,)) ( ) 5 3. Achar os pontos da hipérbole y = mais próimos de (,). (Resp.: ±, ) 4. Um muro de metros de altura está a metro de distância da parede lateral de um prédio. Qual o comprimento da menor escada cujas etremidades se apoiam uma na parede, e ( outra no chão do lado de fora do muro? (Resp.: + 3 3/). 4) 5. Um reservatório tem fundo horizontal e seção transversal como se mostra na figura. Achar a inclinação dos lados com a horizontal de modo a obter a máima capacidade. ( Resp.: θ = π 3 ) 6. Considere o gráfico da derivada f de uma função f. (Veja a figura abaio) (a) Em que intervalos f é crescente ou decrescente?
(b) Para quais valores de f tem um máimo ou mínimo local? (c) Em que intervalos f é côncava para cima ou para baio? (d) Ache os pontos de infleão de f. (e) Assumindo que f seja contínua e que f() =, esboce o gráfico de f. 7. Determine a constante a tal que f() = + a tenha: (a) Um mínimo local em =. (b) Um mínimo local em = 3. (c) Mostre que f não terá máimo local para nenhum valor de a. R.: (a) 6 (b) -54 8. Ao meio-dia, um barco A está a 5 milhas ao Norte de um barco B, dirigindo-se para o Sul a 6mi/h. O barco B esta indo para Oeste a mi/h. Em que instante eles ficarão o mais próimo possível e qual é a distância mínima entre eles? Resp.: (4h; 3 milhas) 9. Um arame de comprimento L deve ser cortado em pedaços, um para formar um quadrado e outro um triângulo equilátero. Como se deve cortar o arame para que a soma das áreas cercadas pelos pedaços seja (a) máima? (b) mínima? Mostre que no caso (b) o lado do quadrado é /3 da altura do triângulo. Resp.: (a) Deve-se formar apenas um quadrado. 3L (b) o lado do quadrado é 9 + 4 3.. Um homem de 6 pés de altura deseja construir uma estufa de plantas de comprimento L e largura de 8 pés contra a parede eterna de sua casa, colocando um vidro inclinado medindo y do chão à parede. Ele considera útil o espaço na estufa em que pode ficar em pé sem bater a cabeça. Sendo o custo de construir o teto proporcional a y, ache o coeficiente angular do teto que minimiza o custo por metro quadrado de espaço útil. (Sugestão: Observe que a condição equivale a minimizar y/.) Resp.:
. Um corredor de largura a forma um ângulo reto com um segundo corredor de largura b. Uma barra longa, fina e pesada deve ser empurrada do piso do primeiro corredor para o segundo. Qual o comprimento da maior barra que pode passar a esquina? Resp.: (a /3 + b /3 ) 3/. Um triângulo isóceles está circunscrito a um círculo de raio R. Se é a altura do triângulo, mostre que sua área é mínima quando = 3R. 3. Qual é o menor valor da constante a para o qual a desigualdade a + seja válida para todo número positivo? 4. 5. Resp.: a = 6. Uma pirâmide tem base quadrada e quatro faces triangulares com igual inclinação. Se a área total da base e das faces é dada, mostre que o volume é máimo quando a altura é vezes a aresta da base. 7. Um cilindro é gerado girando-se um retângulo ao redor do eio, onde a base do retângulo está apoiada. Seus vértices superiores estão sobre a curva y =. Qual é o maior + volume que tal cilindro pode ter? Resp.: π 4 8. Um papel de filtro circular de raio a deve ser transformado em um filtro cônico cortando um setor circular e juntando as arestas CA e CB. Ache a razão entre o raio e a profundidade do filtro de capacidade máima. Resp.: 9. (a) Latas cilíndricas fechadas devem ser feitas com um volume V especificado. Qual é a razão entre a altura e o diâmetro da base que minimiza a quantidade de metal gasto para fazer a lata? (b) Por que as latas encontradas no mercado não são em geral como em (a)? Em geral o metal vem em uma chapa retangular. Não há desperdício envolvido em cortar a chapa que formará a superfície lateral, mas as tampas devem ser cortadas de uma peça quadrada, e
as sobras, são desprezadas (ou então recicladas). Ache a razão entre a altura e o diâmetro de uma lata de volume V que minimiza o custo do material utilizado. Resp.: (a) (b) 4/π 3. Ache a área do retângulo de área máima que pode ser circunscrito a dado retângulo de comprimento L e largura W. Resp.: (L + W ) 3. Uma corda PRS está presa em dois postes verticais PQ e ST, indo do topo de PQ a um ponto R no solo entre os postes e depois ao topo de ST, como mostra a figura. Prove que o menor comprimento de tal corda ocorre quando θ = θ. 3. Um retangulo tem um de seus lados sobre o eio y, outro lado sobre o eio (, y > ) e o vértice direito na curva y = e. Que dimensões dão o retângulo de área máima e qual é essa área? Resp.: de comprimento por e de altura. 33. Um triângulo retângulo cuja hipotenusa mede 3m é girado em torno de um de seus catetos para gerar um cone circular reto. Ache o raio da base e a altura do cone de maior volume que pode ser construido desse modo. Resp.: Raio= m; altura= m. 34. Calcule os limites: (a) (b) (c) (d) (e) (f) lim lim + lim + lim + lim + ln( ) tg π, R.; lim [ ln, R.; lim /5 ( cos ln( + ) e ln, R.; lim cotg ( sen )tg, R. + ln, R.; lim e (e + 3) /, R.e 3 e, R.; lim e tg(), R. + lim p ln, p >, R.; lim + + [ + ln ), R./6 ], R. ], R. +
(g) ( p ) lim sen arctg( ), R.p; lim + ln( + 3 ), (h) lim ln( + ) arctg, R. R./3 { sen se 35. Seja g() =. Mostre que g é derivável em = e calcule sua se derivada nesse ponto. Eiste ou não g ()? 36. Esboce o gráfico de: (a) f() = ln (b) f() = ln (e) f() = (c) f() = e (f) f() = e e 3 (g) f() = / (d) f() = { e / se se = 37. (a) Esboce o gráfico de f() = e. (b) Determine, em função de k, o número de soluções da equação ke =. 38. Seja f() = c com a >, abc. + ae b (a) Mostre que f é crescente no intervalo (, ) se abc > e decrescente se abc <. (b) Mostre que o ponto de infleão de f ocorre em = ln a b. (c) Esboce o gráfico de f para a a > e a <. (d) Para que números positivos a a curva y = a corta a reta y =? Resp.: a e /e. 39. Um arco PR de um círculo é um ângulo central t como na figura. Seja A(t) a área entre o segmento de reta PR e o arco PR. Seja B(t) a área limitada pelo triângulo retângulo A(t) PQR. Calcule lim t + B(t). Resp.:
P A(t) t Q B(t) R 4. Um canhão, situado no solo, é posto sob um ângulo de inclinação θ. Seja r o alcance do canhão, isto é, a distânca entre o canhão e o ponto de impacto da bola. Então r é dado por f = v sen θ cos θ, onde v e g são contantes. Para que ângulo o alcance é máimo? g Resp.: θ = π 4 4. Suponhamos que a velocidade da luz seja v no ar e v na água. Um raio de luz, partindo de um ponto P, acima da superfície da água, e chegando a um ponto P abaio da superfície, percorrerá o caminho que eigir o menor tempo. Mostrar que o raio cruzará a superfície no ponto Q do plano vertical que passa por P e P situado de modo que sen θ = sen θ, onde θ e θ são os ângulo indicados na figura. v v (Admita que o raio de P luz estará sempre no plano vertical passando por P e por P ).
I - Integrais Indefinidas Calcule as integrais indefinidas abaio: 7 + +. d. 4. tg d 5. 7.. 3. 6. 9.. 5. 8. 3. 34. 37. 4. 43. 46. sen 3 cos d 8. d. + d 4. 5 3 + d 7. d (arcsen). e 3 d 3. e arctg d 6. + e cos d 9. e d 3. sec 3 d 35. e d 3. 7 d 6. tg d 9. d. + 4 sec d 5. 4 + 8 d 8. + 8 + e d. + e e 3 + e d 4. ( + ) 6 d 7. r ln d, r IR 3. arctg d 33. cos d 36. cos 7 d tg 3 sec d tg 3 d + d + ln d ln d sen + cos d sen d sen d (ln ) d arcsen d sen cos 3 d sen sen cos 3 + 4 + 5 d 38. d 39. cos ( )( )( 3) d 3 + 4 + 5 5 + + d 4. d 4. d + 8 + ( ) ( ) 3 8 d 44. d 45. e d ln( + + ) d 47. d 5 + 48. ln d
49. 5. sen(ln ) d 5. a + b d 53. d 5. 4 a + b d 3 + 5 + 4 3 + + 3 d 54. + d 3 55. d 56. ( + ) d 57. cos 3 d cos 58. sen 5 5 ( ) ( ) d 59. d 6. sen 3 cos 5 d sen 3 6. d 6. sen 4 d 63. sen cos 5 d sen 5 cos 3 cos 64. sen cos 4 d 65. cos 6 (3) d 66. sen 6 d 67. d 68. d 69. sen cos 4 + 3 d 7. 73. + d 7. ( + 4) 4 3 + 3 ( + )( + ) d arctg d 7. (Sugestão: Faça u = 6 ) d d 74. Determine condições sobre a, b, c, d IR para que as primitivas de f() = ( a)( b) sejam funções racionais. ( c) ( d) (Resp.: d = c ou (a + b)(c + d) = (ab + cd)) 75. Calcule Sugestão: Calcule a derivada de v() = (Resp.: (cos + sen) d.. Use integração por partes. cos + sen sen cos cos + sen + C)
II - Taylor e estimativas de Integrais. a) Seja n natural ímpar. Mostre que para todo IR ( sen 3 3! + 5 n n ) n+... + ( ) 5! n! (n + )! b) Avalie sen com erro, em módulo, inferior a 5.. a) Determine o polinômio de Taylor de ordem n de f() = e em torno de =. b) Avalie e com erro em módulo inferior a 5. c) Mostre que para todo IR, d) Avalie 3. Mostre que ( ) e + + 4 + 6 n e n+ +... + 3! n! (n + )! e d com erro inferior a 5. cos( )d ( 5.! + 9.4! ) 3.6! 5.7! III - Aplicações da Integral Definida. Calcule a área da região compreendida entre os gráficos de f() = 3 + e g() = +, com. (Resp.: ). Desenhe a região A = B C D e calcule a área de A, onde B = {(, y) IR : y 4}, C = {(, y) IR : y 3 } e D = {(, y) IR : y 3 + + } (Resp.: 4 3 ) 3. Desenhe a região A = {(, y) IR : y, y + e y 3 } e calcule a sua área. (Resp.: 7 4 ) 4. Sejam f : [, 3] IR contínua com f(), para todo [, 3], A = {(, y) IR : 3 e y f()} e B = {(, y) IR : 3 e y + 3}, tais que a área de A B seja igual a 3. Calcule 5. Determine m > para que a área delimitada por y =, y = e a reta y = m seja igual a 4. (Resp.: m = ) 3 f()d. (Resp.: 5 3 )
6. Desenhe a região do plano delimitada pela curva y = 3 e por sua reta tangente no ponto de abscissa =. Calcule a área desta região. (Resp.: 7 4 ) 7. Encontre a área da região limitada entre as curvas = y 3 y e = y 4. (Resp.: 8 5 ) 8. Calcule 9. Calcule ( + )d, interpretando-a como uma área. (Resp.: π 4 + ) 3 sen( + )d. (Resp.: ). Encontre o volume de uma pirâmide cuja base é o quadrado de lado L e cuja altura é h.. Considere o sólido cuja base é o astróide de equação 3 + y 3 = a 3 e tal que as seções transversais por planos paralelos ao plano Oz são quadrados. Calcule seu volume. (Resp.: 8 5 a3 ) π (. Calcule lim sen π ) n + n n + senπ )π +... + sen(n. (Resp.: ) n n 3. Calcule o comprimento do gráfico de f() = ln(cos ), para π 4. (Resp.: ln(( + )) 4. Calcule o comprimento da astróide cuja equação é 3 + y 3 = a 3. (Resp.: 6a) 5. Calcule a área da região interna ao laço formado pela curva y = ( + 3). (Resp.: 4 3) 5 6. Dados a, b >, calcule a área da região do plano cartesiano limitada pela elipse a + y b =. (Resp.: πab) 7. Calcule o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eio O do conjunto a) A = {(, y) IR : y, + y 5 e > } [ (Resp.: π (5 4 ] 5 )d + d + (5 )d =...) b) A = {(, y) IR : y e ( ) + y } (Resp.: π 6 ) c) A = {(, y) IR : e e y e } (Resp.: π (e e ) ) d) A = {(, y) IR : >, y e / y 4/ } (Resp.: 5π 6 )
8. Calcule o volume do sólido obtido pela rotação em torno da reta y = 3, da região delimitada pelas parábolas y = e y =. (Resp.: 3 3 π) 9. Seja A = {(, y) IR : e ln( + ) + y e + 4}. Determine o volume do sólido obtido pela rotação de A em torno da reta y =. [ ] (Resp.: π (e + ) d ln ( + )d =...). O disco + y a é girado em torno da reta = b (b > a) para gerar um sólido, com a forma de um pneu. Esse sólido é chamado toro. Calcule seu volume. (Sugestão: Note a que a y dy = πa.) (Resp.: (πb)(πa )) a. Calcule o ( volume de uma calota esférica de altura h, (h a) de uma esfera de raio a. (Resp.: π a h ) h ) 3. Determine o comprimento da curva y = cosh, 3 4. (Resp.: senh4 + senh3) 3. Um anel esférico é o sólido que permanece após a perfuração de um buraco através do centro de uma esfera sólida. Se a esfera tem raio R e o anel esférico tem altura h, prove o fato notável de que o volume do anel depende de h, mas não de R. IV - Miscelânea. Seja f : IR IR uma função contínua e periódica de período L (L > ) (isto é, f( + L) = f(), IR). Seja n Z. Prove que: L ( nπ ) f() cos L L L d = L a+l a ( nπ ) f() cos L d.. Seja f uma função contínua em um intervalo [a, b] e sejam u() e v() funções diferenciáveis, cujos valores estão em [a, b]. Então d d v() u() f(t)dt = f(v()) dv d f(u())du d. A fórmula acima é conhecida como Regra de Leibniz. 3. Calcule g () onde (a) g() = (b) g() = sen cos e t dt sen(t )dt
π/ sen cos 4. Calcule d em termos de A = + (Resp.: ( π + + ) A ) π cos ( + ) d. 5. Fie um ponto P = (cosht, senht) sobre o ramo da hipérbole y = com. Mostre que a área da região A hachurada (compreendida entre a hipérbole, o eio, e a reta que liga P à origem) é t. Observação: Note que a área da região B hachurada abaio também é t, onde P = (cos t, sent) é um ponto qualquer da circunferência + y =. ] 6. Trabalho. Quando uma força constante de intensidade F é aplicada na direção do movimento de um objeto e esse objeto é deslocado de uma distância d, definimos o trabalho W realizado pela força sobre o objeto por W = F.d, se a força age no sentido do movimento e por W = F.d, se ela age no sentido oposto. Suponha agora que um objeto está se movendo na direção positiva ao longo do eio, sujeito a uma força variável F (). Defina o trabalho W realizado pela força sobre o objeto quando este é deslocado de = a até = b, e encontre uma fórmula para calculá-lo. 7. Energia cinética. Use as notações do eercício anterior, a segunda lei de Newton e a regra da cadeia dv dt = dv d d dt = v dv d para mostrar que o trabalho realizado por uma força F atuando sobre uma partícula de massa m que se moveu de até é W = F ()d = mv mv, onde v e v são as velocidades do corpo em e. Em Física, a epressão mv é chamada de energia cinética de um corpo em movimento com velocidade v. Portanto, o trabalho realizado por uma força é igual à variação da energia cinética do corpo e podemos determinar o trabalho calculando esta variação.
8. Velocidade de Escape. De acordo com a lei da gravitação de Newton, a força com que a Terra atrai uma partícula de massa m > é dada por F () = f() i, onde f : [R, ) R n é dada por: f() = G M m, sendo G > a constante gravitacional universal, M > a massa da Terra, R > o raio da Terra e [R, ) a distância da partícula ao centro da Terra. Admita que a partícula seja lançada com velocidade v > da superfície da Terra, e que o seu movimento = (t), t, seja governado pela segunda lei de Newton, i.e. ( t ) m (t) = f((t)). F O R (a) Suponha que a partícula atinja uma altura máima h ma > R e depois retorne à Terra. Calcule h ma em função de v. Sugestão: Calcule o trabalho realizado por F quando a partícula se desloca de = R até = h ma, e aplique o teorema da energia cinética, levando em conta que para = h ma a velocidade (t) da partícula se anula (veja as duas últimas questões). (b) Encontre o maior intervalo [, v e [ R no qual é possível definir a função v h ma (v), sendo h ma como no item anterior (i.e. encontre o maior v e R para o qual faz sentido definir a função no referido intervalo). Verifique que lim v ve h ma (v) = +. G M (Resp.: v e = ) R Observação: v e chama-se velocidade de escape do campo gravitacional terrestre; é a menor velocidade inicial para a qual a partícula não retorna à Terra. 9. Suponha que uma partícula se desloca ao longo do eio, segundo uma função horária : [t, t ] R e sob ação de uma força f() i, dada f : R R contínua. Admita que a dinâmica da partícula é governada por um modelo relativístico: sua massa m depende da sua velocidade v, segundo a função m : ( c, c) R definida por (dados c > velocidade da luz e m > massa de repouso): m(v) = m ( vc ),
e sua função horária satisfaz a equação diferencial: d dt (m( (t)) (t)) = f((t)). Mostre que, se interpretarmos o trabalho f() d realizado pela força f quando a partícula se desloca de = (t ) a = (t ) como variação de energia E, e se m = m( (t )) m( (t )), então: E = m c. Sugestão: Use o teorema de mudança de variáveis na integral de Riemann e o teorema fundamental do cálculo.. Sabe-se que a intensidade da força de atração entre duas partículas é dada por F = Cm m d onde C é uma constante, m e m são as massas das partículas e d é a distância entre elas. Uma barra linear homogênea de massa M = 8kg e uma massa pontual M = kg estão dispostas como na figura. Calcule a intensidade da força de atração entre as duas massas. (Resp.: 4 3 C). Considere a função: F () = dt para todo >. t Prove que para todo a > e > vale: (a) F () = (b) F (a) = F (a) + F () (Observe que poderíamos ter definido a função logaritmo natural como sendo essa função F ).. Seja f uma função contínua em um intervalo I contendo a origem e seja Prove que { y + y = f() y() = y () = y = y() = sen( t)f(t)dt
3. Ache o volume da intersecção de dois cilindros, ambos de raio R e cujos eios são ortogonais. (Resp.: 6 3 R3 ). Seja F () = + t3 dt. Calcule 3. Calcule o seguinte limite, caso eista: F ()d em termos de F (). (Resp.: F () 6 9 ) (Resp.: ) lim cos(t )dt. e t dt 4. Mostre que: / f() = t + dt + t + dt é constante >. { sent se t 5. Seja Si() = f(t)dt onde f() = t se t =. (a) Encontre os pontos de máimo local e mínimo local de Si(). (b) Encontre o ponto de infleão mais próimo de =. (c) Verifique se Si() tem alguma assíntota horizontal. 6. Mostre que 7 π = 4 ( ) 4 + d. 7. Para cada n inteiro, defina a n = π/ n sen d. ( π ) n (a) Mostre que, n, a n = n n(n )an. ( π ) 5 ( π ) (b) Calcule a 6. (Resp.: 6 + 36π 7) 8. Seja f() = dt, IR. + t 4 (a) Mostre que f é crescente e ímpar. (b) Mostre que f() f() +,. Sugestão: Integre de a. + t 4 t (c) Mostre que lim f() eiste e é um real positivo. (d) Esboce o gráfico de f(), localizando seu ponto de infleão.
9. Seja f() = e t dt. Mostre que f () f() =, IR.. Uma mangueira está enchendo um tanque de gasolina que tem o formato de um cilindro deitado de diâmetro m e comprimento 3m. No instante em que a altura h do líquido é, 5m a vazão é de, 9m 3 /min. Dê a taa de variação da altura do líquido nesse instante. 3 (Resp.: m/min) RESPOSTAS DAS INTEGRAIS INDEFINIDAS I - Integrais Indefinidas ) 6 6 + e + k ) + k 3) sen7 7 + k 4) tg + k 5) 7 ln + k 6) tg4 + k 4 7) ( cos cos ) + k 8) ln cos + k 5 9) tg + ln cos + k ) ln( + ) + k ) arctg + k ) arctg + k 3) 3 ( ) 3 + k 4) ln sec + tg + k 5) + ln + k 6) 5 8 5 (3 + ) 6 + k 7) ln( + 8 + ) + k 8) 3 (ln )3 + k 9) ln arcsen + k ) ln( + e ) + k ) ln( + cos ) + k ) 3 e3 + k
3) 3 4 3 ( + e ) 4 + k 4) cos + k ( + 5) e arctg + k 6) ( + ) 5 6 ) + k 5 7) cos + sen + k 8) e (sen + cos ) + k r+ 9) r + ln (ln ) + k se r = r+ + k se r (r + ) 3) (ln ) ( ln ) + k 3) ( )e + k 3) arctg + arctg + k 33) arcsen + + k 34) sec tg + ln sec + tg + k 35) ( + sen cos ) + k 36) sen3 3 37) 8 sen5 5 ( sen4 ) + k 38) ln + sen + k 4 + k 39) 6 ln 5 ln + ln 3 + k 4) ( ) 6 + arctg + k 6 4) ln + + 5 ln + k [ 4) 3 3 + 35 6 ln + 4 ln + ( ) ] + ( ) 3 + + 3 arctg + k 3 43) arcsen + k 44) 8 ( ) + 8 arcsen + k 45) ( )e + k 46) ln( + + ) + + k 47) ln 5 + + + k 48) ( 3 ln ) + k 3 49) [sen(ln ) cos(ln )] + k 5) ln 4 + k 5) ln + ln( + + 3) + arctg + + k
5) [ a + b + a b ln b a + 53) b ln [ b a + ] a + b + k a ] a + b + k a 54) + + ln( + + ) +k ( ) + 3 ( ) + 55) + arcsen + k 56) arctg ( ) + k 57) sen 3 sen3 + k 58) cos + 3 cos3 5 cos5 + k 59) sen 6) ( ) 4 cos8 ( ) 3 cos6 6) 3 8 sen() 4 63) sen3 3 sen5 5 + sen(4) 3 + sen7 7 + k + k 6) tg 65) 5 6 + sen(6) + 64 sen() sen3 (6) 44 66) cotg3 3 cotg5 5 + k 64) 6 sen(4) 64 + k + k 67) tg + tg3 3 ln sen + k sen + 3 ln tg 3 tg 4tg 4 + k + sen3 () 48 cotg() + k 68) arcsen + + k 69) + 3 3 + 6 6 + 6 ln 6 + k 7) 4 ln 4 [ 4 ln( + 4) + ( ) ] arctg + k 7) arctg + ln ln + + k 7) 3 ( ) + 3 arcsen( ) + k 73) ln + + ln( + ) + 3arctg( ) + k. + k