Lógica formal A) Sentenças I) Expressão II) Subdivisão 1. Aberta 2. Fechada III) Representação I) Simbolização 1. Simples 2. Composta B)Leis do pensamento I) Princípio da Identidade II) Principio do não-contraditório III) Princípio do 3º. Excluído C)Método da experimentação D)Método da Contradição E) Método da associação
Lógica formal Lógica Formal Trabalha apenas com a estrutura da informação e a forma do pensamento Não interessa a interpretação do conteúdo apenas como funciona a estrutura Possui linguagem própria para impedir as interpretações subjetivas Lógica Estudo da lógica é o estudo de princípios e métodos que visam diferenciar o que é certo do errado. Existem diversos métodos A) Sentenças Expressão de um pensamento COMPLETO Obs: Pensamento proposição premissas ou hipóteses SENTENÇA = sujeito + predicado EX: Hoje Choveu Algo declarado Aquilo a que se refere o sujeito EX: Se Lula é pernambucano (), então Pelé é maratonista (F) (E) Essa proposição é verdadeira Errada pela interpretação do conteúdo, a semântica. EX: Todo cachorro é verde Todo verde é vegetal Logo, todo cachorro é vegetal () Essa proposição é verdadeira Obs: Quando o examinador der o conceito ao qual deve-se fazer a comparação com as proposições determinadas, para se atribuir valor, aí considera-se o conteúdo. Ex: De acordo com o artigo 5º. Da CF...
I) Expressão Como expressar os pensamentos completos ou sentenças? a) Sentença Afirmativa EX: José passou no concurso b) Sentença Negativa EX: Não gosto de futebol c) Sentença Exclamativa EX: Que dia lindo! d) Sentença Interrogativa EX: Qual o seu nome? e) Sentença Imperativa EX: Estude bastante. Obs: Existem sentenças que não podem ser valoradas (sentença é apenas um pensamento completo). ALORAR é interpretar como ERDADEIRA ou FALSA. Obs: Lógica de 1ª. Ordem = lógica das sentenças Obs: Proposição funcional pode substituir a incógnita por uma quantidade pré-determinada Obs: Se tem quantificador lógico é uma proposição EX: Existir, Se...então, Todo... II) Subdivisão de sentenças 1. Aberta Não se pode determinar o sujeito Não se pode determinar se ERDADEIRAS ou FALSAS Quando não é possível valorar Foram retomadas no séc XIX, com a idéia de quantificadores lógicos. EX: ELE não passou no concurso EX: X + 3 = 9 Obs: Os quantificadores lógicos de X + 3 = 9 são: x; x; x.
2. Fechada Chamadas de proposições Expressam pensamento em sentido completo EX: JOÃO passou no concurso Tipo das sentença Afirmativas Fechadas Pode ocorrer ABERTA Negativas Fechadas Pode ocorrer ABERTA Exclamativas Abertas Pode ocorrer FECHADA (se conseguir contextualizar) Imperativas Abertas - Interrogativas Abertas -
III) Representação Por letras maiúsculas ou minúsculas. EX: p, q, r, s. I) Simbolização 1. Simples Pensamento completo Básicas, primitivas, átomos Expressam apenas 1 pensamento 2. Composta Fórmulas proposicionais, fórmulas, moléculas. Expressam mais de 1 pensamento B) Leis do pensamento São sentenças que quando valoradas se tornam proposições Princípios fundamentais da lógica proposicional I) Princípio da Identidade se qualquer enunciado é ERDADEIRO, então ele é ERDADEIRO II) Principio do não-contraditório Nenhum enunciado é ERDADEIRO E FALSO III) Princípio do 3º. Excluído Um enunciado é ERDADEIRO OU FALSO (não existe um 3º. alor; se existir é excluído)
C) Método da experimentação Em questão de ERDADE e MENTIRA 1º.) erifico as possibilidades 2º.) Perceber que todos podem fazer parte de um mesmo grupo 3º.) Experimeta-se pegando-se a sentença mais simples e começando a atribuir valor a ela P Sentença mais simples F Q erifica-se se P for ERDADEIRA, então qual a função de Q Idem 4º.) Use sempre a informação mais simples para começar a análise 5º.) Nesse método, pode-se ter todas as possibilidades, pois não há certeza do tipo que fala a verdade e do que mente. D) Método da contradição Quando existe uma contradição é impossível ter 2 verdades ou 2 mentiras. Só poderá haver F ou F. Ex: A diz X B diz não-x A diz que B mente 1º.) Aqui se tem certeza de que tem verdades e mentiras 2º.) Quando aparecerem argumentos que nitidamente estão em contradição (A diz X e B diz não-x, ou A diz que B mente) E) Método da associação Feito por tabela, na qual se cruzam todos as variáveis fornecidas (tipo aquelas revistinhas de lógica)
Conectivos lógicos na linguagem formal A) Revisão I) Sentenças II) Princípios III) Métodos I) Proposição ) Argumentos B) Operadores lógicos Linguagem da lógica formal I) Conjunção II) Disjunção III) Disjunção exclusiva I) Condicional ) Bicondicional I) Negação
Conectivos lógicos na linguagem formal A) Revisão I) Sentenças 1) Afirmativas fechadas 2) Negativas fechadas 3) Exclamativas abertas ou fechadas 4) Imperativas abertas 5) Interrogativas abertas II) Princípios 1) Não-contradição 2) Terceiro excluído 3) Identidade III) Métodos 1) Experimentação 2) Contradição
I) Proposição 1) Simples (apenas 1 idéia) 2) Compostas (mais de uma idéia) ) Argumentos Argumento válido as verdades das premissas garantem a verdade da conclusão Argumento inválido se tudo que falou for verdade, mas a conclusão for falsa 1) Argumento dedutivo a conclusão não tem idéia de amplitude; ela é fruto exclusivo das premissas (não inclui nada novo) 2) Argumento indutivo é o que a ciência precisa; não é trabalhado na lógica Dentro da lógica existem os argumentos: 1) Premissas ou hipóteses 2) Conclusões ou teses B) Operadores lógicos Linguagem da lógica formal Na matemática existem operadores para se trabalhar com números: +, -,., Dentro dessa idéia, na lógica dos operadores matemáticos, existem aqueles que a partir da conexão de proposições simples produzirão proposições compostas (a 3ª. proposição) Operadores lógicos conectam e até modificam os pensamentos A linguagem da lógica formal não apode mudar (o conteúdo não interessa)
Conectivos lógicos são utilizados para produzir novas proposições: SIMPLES COMPOSTA DO conectivo mais forte para o mais fraco: + v ^ v - Esses conectivos determinam a relação entre os termos. E pela hierarquia se define os parênteses antes ou depois do conectivo. Na mesma hierarquia, se coloca no termo que se deseja das destaque (ênfase). I) Conjunção E MAS TANTO...QUÃO (QUANTO) Símbolo ^ Na matemática x (multiplicação) Nos conjuntos P^Q Q^P Possui propriedade comutativa, pois o símbolo resultados. indica equivalência, ou seja, as operações produzem os mesmos
EX: P: José passou no concurso Q: Maria foi ao comércio P^Q: José passou no concurso E Maria foi ao comércio II) Disjunção ou disjunção inclusiva OU Símbolo v Na matemática + (soma) Nos conjuntos PvQ QvP Possui propriedade comutativa, pois o símbolo indica equivalência, ou seja, as operações produzem os mesmos resultados. EX: P: José passou no concurso Q: Maria foi ao comércio PvQ: José passou no concurso OU Maria foi ao comércio III) Disjunção exclusiva OU...OU Símbolo v, Na matemática + (soma) Nos conjuntos (P-Q) (Q-P) PvQ QvP
Possui propriedade comutativa, pois o símbolo indica equivalência, ou seja, as operações produzem os mesmos resultados. Aqui não entra quem faz as duas proposições (os elementos na intersecção dos conjuntos) Cespe só utiliza quando cita no comando da questão, e usualmente o faz com o símbolo (caso contrário é apenas ou v) EX: P: José passou no concurso Q: Maria foi ao comércio PvQ: OU José passou no concurso OU Maria foi ao comércio I) Condicional SE...ENTÃO QUANDO Símbolo P Q : PCQ (SE P então Q, logo P está contido em Q) Parece que tem relação entre antecedente e consequente, mas NÂO TEM. Pode ser estruturada com os termos: Q é consequente de P; Quem P Q (Ex: Quem estuda passa) No CESPE, quando o consequente (após o conectivo) é composto, ele vem entre parênteses; (e colocar entre parênteses o que está dentro do parênteses não faz diferença) Pela ordem, resolve-se o antecedente primeiro, pois é ele que determina o consequente SE anuncia o antecedente; ENTÃO anuncia o consequente Pelo diagrama dos conjuntos, pelo símbolo e nem pela ordem dos termos é possível comutar é o ÚNICO que não tem a propriedade comutativa
De P para Q = Condição suficiente (antecedente) P Q (consequente) De Q para P = condição necessária EX: P: José passou no concurso Q: Maria foi ao comércio P Q: SE José passou no concurso ENTÃO Maria foi ao comércio QUANDO José passou no concurso, Maria foi ao comércio ) Bicondicional SE E SOMENTE SE Símbolo (a condicional vai e volta) Na linguagem formal (P Q) ^ (Q P) Na linguagem dos conjuntos (PCQ) (QCP) (P Q) (Q P) Aqui os conjuntos são iguais Possui propriedade comutativa P é condição necessária E suficiente para Q Pode ocorrer isso na prova: Maria fez X como condição necessária para Y.
EX: P: José passou no concurso Q: Maria foi ao comércio P Q: José passou no concurso SE E SOMENTE SE Maria foi ao comércio I) Negação NÃO (use somente para negar proposições simples) É FALSO QUE NÂO É ERDADE QUE Símbolo ~ (a condicional vai e volta) NÂO CONECTA apenas MODIFICA É um modificador lógico Tanto faz a diagramação: ( Q ^ P) ou a diagramação: (Q^P) (P^Q) para negar uma proposição composta use apenas os modificadores: É FALSO QUE e NÃO È ERDADE QUE, para impedir ambiguidades. EX: P: José passou no concurso Q: Maria foi ao comércio (P^Q): NÃO É ERDADE QUE José passou no concurso E Maria foi ao comércio É FALSO QUE José passou no concurso E Maria foi ao comércio
Tabela-verdade A) Linhas B) A tabela 1) Com 2 termos 2) Com 3 ou mais termos C) Tabela-verdade 1) Conjunção 2) Disjunção 3) Disjunção exclusiva 4) Condicional 5) Bicondicional 6) Negação
Conectivos lógicos na linguagem formal A) Linhas Números de linhas de uma tabela 2 n Numero de valorações Proposições Onde n é o números de proposições na questão; e 2 n é o numero de linhas na tabela (= o resultado da potenciação) Exemplos: 1) Apenas um termo P 2 n = 2 1 = 2 São 2 linhas: P F
2) P^Q 2 n = 2 2 = 4 São 4 linhas: P Q F F F F 3) (P^Q) Q 2 n = 2 2 = 4 São 4 linhas 4) (P^Q) R 2 n = 2 3 = 8 São 8 linhas 5) (P Q) ^(SvR) 2 n = 2 4 = 16 São 16 linhas
B) A tabela 1) Com 2 termos Não importando a ordem de colocação das valorações porém, é interessante começar com (sempre) P F F Q F F 2) Com 4 ou mais linhas Ex: (P Q) ^(SvR) 2 n = 2 4 = 16 São 16 linhas Independente do numero de linhas: 1º. Numero de linhas da coluna 1 2 = numero a ser preenchido com (a outra parte com F) 2º. Numero de linhas da coluna 1 com 2 = numero a ser preenchido com (a outra parte com F) 3º. Numero de linhas da coluna 1 com F 2 = numero a ser preenchido com (a outra parte com F) 4º. Numero de linhas da coluna 2 com 2 = numero a ser preenchido com (a outra parte com F) 5º. Numero de linhas da coluna 2 com F 2 = numero a ser preenchido com (a outra parte com F) 6º....
P Q S R F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F
C) Tabela-verdade 1) Conjunção E MAS TÃO...QUANTO ^ P^Q Q^P P Q P Q P^Q Elemento no conjunto Pq o elemento Z esta na área comum dos conjuntos Propriedade Comutativa F F Pq é uma intersecção, e o elemento X não está na área comum F F Pq é uma intersecção, e o elemento Y não está na área comum F F F Pq o elemento W não está em nenhum dos conjuntos
2) Disjunção OU v PvQ QvP P Q P Q PvQ Elemento no conjunto Pq o elemento Z esta na área comum dos conjuntos Propriedade Comutativa F Pq é uma união, e o elemento X está na área comum F Pq é uma união, e o elemento Y está na área comum F F F Pq o elemento W não está em nenhum dos conjuntos
3) Disjunção exclusiva OU...OU v PvQ QvP (P-Q) (Q-P) P Q PvQ Elemento no conjunto F Pq o elemento Z esta na área comum dos conjuntos Propriedade Comutativa F Pq é uma união de diferenças, e o elemento X está na área comum F Pq é uma união de diferenças, e o elemento Y está na área comum F F F Pq o elemento W não está em nenhum dos conjuntos
4) Condicional SE...ENTÃO CONSEQUENTEMENTE P Q Q P P C Q P Q PvQ Elemento no conjunto Pq o elemento X pertence ao conjunto P, que pertence ao conjunto Q F F Pq é uma relação de inclusão, e o elemento X pertence a P e Q F Pq o elemento Y pertence apenas ao conjunto Q F F Pq o elemento W não está em nenhum dos conjuntos
5) Bicondicional SE E SOMENTE SE P Q Q P P=Q (PCQ) (QCP) P Q PvQ Elemento no conjunto Pq o elemento X esta na área comum dos conjuntos Propriedade Comutativa F F Pq os conjuntos são iguais, não há possibilidade de X ser apenas do P F F Pq os conjuntos são iguais, não há possibilidade de X ser apenas do Q F F Pq o elemento W não está em nenhum dos conjuntos
6) Negação P P F F Obs: Em relação aos conjuntos: Conjunção Disjunção Disjunção exclusiva Relação de pertinência Condicional Bicondicional Relação de inclusão
Tautologia e afins A) Tautologia B) Contradição C) Contingência
Conectivos lógicos na linguagem formal A) Tautologia Proposição composta = fórmula Proposição composta (2 ou mais proposições simples) será SEMPRE afirmativa Tautológica se for SEMPRE Proposição composta é sempre, independente dos valores que se atribui aos seus termos Ou não apresenta saída a sua própria lógica interna (é circular) Ou fala a mesma coisa com outras palavras (paráfrase) Exemplo: (A B) ( A v B) Se, então tautologia 1º. Primeiro passo verificar o numero de linhas = 2 termos, então 2 2 = 4 linhas 2º. Montar tabela com coluna para todos os termos 3º. verificar pela tabela-verdade se CADA afirmativa COMPOSTA é verdadeira 4º. erificar se a afirmativa composta que se afirma ser tautologia, realmente é uma, também verificando a tabelaverdade, entre os termos compostos que a COMPÕEM A B A A B A v B (A B ) ( A v B) F F F F F F F F Como todas as possibilidades são verdadeiras, então é uma AFIRMATIA TAUTOLÓGICA
Quando a tabela for muito grande (exigir muitas linhas), faça por conjunto (conforme conectivo lógico exigir) ver exercício 5 da pagina 108 do livro: [(P Q) ^ (Q R)] (P R) 1º. A tabela precisaria ter 8 linhas, pois são 3 termos simples = 2 3 = 8 2º. Pela proposição, e pensando em conjuntos PCQ e QCR, pois o conectivo lógico é o Se...então. 3º. No termo antecedente tem-se PCQCR, e todo esse termo está para PCR, do termo consequente: PCQ ^QCR PCR PCQ ^QCR PCR F F
B) Contradição É a negação da tautologia Uma proposição composta, formada por 2 ou mais proposições, é uma contradição ou contraválida se ela for SEMPRE F, independente da verdade de seus termos. C) Contingência Sempre que a proposição composta não for uma tautologia e nem uma contradição erifica-se pela construção da tabela-verdade Preposições contingentes ou proposições indeterminadas
Equivalências lógicas A) Conceito B) Leis 1) Distributiva 2) Condicional 3) Comutativa 4) DeMorgan 5) Dupla negação 6) Bicondicional 7) Associativa
Conectivos lógicos na linguagem formal A) Conceito Sempre cai em provas Duas proposições, ou dois pensamentos, são equivalentes quando produzem o mesmo efeito, ou o mesmo resultado (TEM AS MESMAS ALORAÇÔES) Ex: 2 x 3 = 3 x 2 (produzem os mesmos resultados, mas são operações matemáticas diferentes) São equivalentes quando formadas PELAS MESMAS PROPOSIÇÕES SIMPLES Ex: Os resultados produzidos nas tabelas-verdade são iguais em: E P E ^ P F F Só produzir resultados idênticos não é suficiente é preciso que as proposições simples sejam as mesmas Símbolo B) Leis Existem leis que verificam a equivalência:
1) Distributiva A v (B^C) (A v B) ^ (A v C) A ^ (B v C) (A ^ B) v (A ^ C) demonstração: A B C B v C A ^ (B v C) A ^ B A ^ C (A ^ B) v (A ^ C) F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F
2) Condicional A B B A A B A v B Demonstração: A B B A: também é chamada de contra positiva ou contra recíproca É a que mais cai em provas. Quando aparecer o OU (v) na questão, pode-se pensa primeiro na lei condicional A B A B A B B A A v B F F F F F F F F F F F 3) Comutativa A ^ B B ^ A A v B B v A A v B B v A A B B A A B B A
4) De Morgan (A v B) ( A) ^ ( B) (A ^ B) ( A) v ( B) demonstração: A B A B A ^ B (A^B) ( A) v ( B) F F F F F F F F F F F F F 5) Dupla negação ( A) A A A ( A) F F F
6) Bicondicional A B (A B) ^ (B A) A B A B B A A B (A B) ^ (B A) F F F F F F F F F F 7) Associativa Segundo professor, ele nunca viu cair em prova. (A ^ B) ^ C A ^ (B ^ C) (A v B) v C A v (B v C)