MATERIAL DIDÁTICO DE CÁLCULO I

MATERIAL DIDÁTICO DE CÁLCULO I Acadêmico(a): Turma: 9/

Capítulo : Funções Cálculo I. ANÁLISE GRÁFICA DAS FUNÇÕES.. EXERCÍCIOS Abaio estão representadas graficamente algumas funções. Analise cada uma dessas funções e responda às perguntas referentes a cada eercício.. Ao acionar o freio de um automóvel, a distância para que ele pare, é denominada espaço de frenagem. Este depende de vários fatores, entre eles, a velocidade em que o carro se encontra quando o freio é acionado. 8 Espaço de frenagem (m) 7 6 5 4 4 5 6 7 8 9 Velocidade (km/h) a) Quantos metros o automóvel ainda deverá percorrer quando freado a uma velocidade de 6 km/h? E a 8 km/h? E a km/h? b) A que velocidade deve estar o veículo para que o espaço de frenagem seja de 4 m? c) Quando aumentamos a velocidade de 8 para km/h, em quantos metros aumentará o espaço de frenagem?. Um reservatório, contendo 5 litros de água, dispõe de uma válvula na sua parte inferior. Um dispositivo foi utilizado para registrar o volume de água a cada instante, a partir do momento em que a válvula foi aberta. Os valores obtidos durante a operação permitiram construir o gráfico do volume de água (em litros) em função do tempo (em minutos). Volume (litros) 5 4 5 5 5 5 4 Tempo (min) a) Quais as variáveis envolvidas? b) O volume de água permaneceu constante no reservatório? c) Após minutos, qual o volume de água eistente no reservatório? d) Quantos minutos decorreram até que o volume da água eistente no reservatório caísse pela metade? Em quanto tempo o reservatório foi esvaziado? e) Qual o significado do intercepto vertical? E do intercepto horizontal? Material elaborado por Deborah Jorge e Karina Borges Mendes

. Em Química e Física, estudamos os estados da matéria. Um gráfico representativo da temperatura, em o C, em função do tempo, em minutos, de aquecimento da água inicialmente a o C até a temperatura de o C é: Com os dados do gráfico, responda: a) Qual o domínio da função? b) Qual o conjunto imagem? c) Que trechos da função são constantes? d) Para qual intervalo de tempo a temperatura é maior que zero, ou seja, para que valores de t temos a temperatura positiva? e) Para qual intervalo de tempo a temperatura é menor que zero, ou seja, para que valores de t temos a temperatura negativa? 4 8 T ( o C ) 6 4 - -4 5 5 5 t (m in ) 4. Sob temperatura constante, o volume de certa massa de gás é função da pressão a que o mesmo está submetido, como se vê no gráfico abaio: 5 4 Volume (cm ),5,5,5,5 Pressão (atm) Observando o gráfico, responda: a) Qual a variável independente? b) O que significa o fato, do gráfico, à medida que avança para a direita, ir descendo? c) Qual é a variação do volume deste gás quando alteramos a pressão a que está submetido de,5 para atmosfera? d)e de para,5 atmosferas? Material elaborado por Deborah Jorge e Karina Borges Mendes

5. Uma peça esférica de diâmetro 5 de aço 5, com temperatura 6 F, foi resfriada em água não agitada com temperatura F. As temperaturas foram lidas em pontos da peça: ½ e.½ abaio de sua superfície, conforme o gráfico abaio. Resfriamento: esfera de aço 5 Temperatura ( o F) 6 4 8 6 4 4 5 6 7 Profundidade /" Profundidade /" Tempo (min) a) qual a temperatura da peça quando medida a uma profundidade de ½ abaio de sua superfície, após 5 minutos de resfriamento? E à profundidade de.½? b) depois de quanto tempo de resfriamento a peça atinge a temperatura de 8 F, à profundidade de ½? E à profundidade de.½? 6. O gráfico abaio representa a temperatura, em o C, em função do tempo, em horas, numa dada eperiência: Temperatura ( o C) 5,5 7,5 5,5 7,5 5,5 -,5-5 4 5 6 7 8 9-7,5 - -,5 Tempo (horas) Com os dados do gráfico, responda: a) Qual o domínio da função? b) Qual o conjunto imagem? c) Determine em quais momentos a temperatura é igual a zero. d) Para qual intervalo de tempo a temperatura é maior que zero. e) Para qual intervalo de tempo a temperatura é menor que zero. Material elaborado por Deborah Jorge e Karina Borges Mendes 4

. DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO No gráfico ao lado, pode-se observar que o espaço de frenagem representa uma grandeza variável: ele pode ser de metros ou de metros (citando apenas dois eemplos). A velocidade também é outra grandeza variável, já que o automóvel pode andar em diversas velocidades. Portanto, o espaço de frenagem e a velocidade são variáveis, mas seus valores não são independentes entre si. O espaço de frenagem depende da velocidade do veículo ou, em outras palavras, para cada velocidade há um único espaço de frenagem. Assim, pode-se considerar as duas variáveis em questão, uma assumindo valores num conjunto A (Domínio) e a outra num conjunto B (Contradomínio), de modo que o gráfico retrate uma situação tal que cada elemento do conjunto A corresponda a um único elemento do conjunto B. Espaço de frenagem (m) 8 7 6 5 4 4 5 6 7 8 9 Velocidade (km/h) Matematicamente, a função pode ser definida como um tipo especial de relação entre grandezas: Sejam A e B dois conjuntos não vazios e f uma relação de A em B. Essa relação f é uma função de A em B quando a cada elemento do conjunto A está associado um, e apenas um, elemento do conjunto B. O conjunto A de valores que podem ser atribuídos a é chamado domínio da função e indica-se por D ou D f (sendo que a variável é chamada variável independente). O valor de, correspondente a determinado valor atribuído a, é chamado imagem de pela função e é representado por f(). A variável é chamada variável dependente. O conjunto Im, formado pelos valores que assume em correspondência aos valores de, é chamado conjunto imagem da função. Obs.: podemos representar f()... NOTAÇÃO DE FUNÇÃO Para indicar que uma função f tem domínio em A e contradomínio em B, usa-se: f : A B. (lê-se: f de A em B). No eemplo apresentado acima, temos que: - Variáveis envolvidas: independente () velocidade (km/h) dependente () espaço de frenagem (m) - Domínio da função: D [, ] ou D { R } - Imagem da função: Im [, 7 ] ou Im { R 7 } Material elaborado por Deborah Jorge e Karina Borges Mendes 5

.. GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO (No Sistema Cartesiano Ortogonal) O Sistema Cartesiano Ortogonal, também conhecido como Plano Cartesiano (R ou E ) é formado por dois eios reais, perpendiculares (ortogonais) entre si, gerando quatro regiões denominadas quadrantes. O eio, também é dito eio das abscissas e o eio também é dito eio das ordenadas. A intersecção dos eios coordenados determina um ponto único, denominado origem (, ). Cada ponto neste plano é determinado por um par ordenado na forma (, ), sendo que e formam as coordenadas de um ponto. Observações: Todo ponto pertencente ao eio das abscissas terá ordenada nula, ou seja, será da forma: (, ). Todo ponto pertencente ao eio das ordenadas terá abscissa nula, ou seja, será da forma: (, ). Construindo um Gráfico de Função através da Fórmula Matemática O gráfico, ou a representação gráfica de uma função, é uma forma de apresentarmos o comportamento de um fenômeno numa forma visual (geométrica), o que em muitos casos, facilita a compreensão do fenômeno, possibilitando perceber o seu comportamento de uma forma mais ampla. Para tanto, utilizaremos o sistema cartesiano ortogonal, indicando os valores de e nos seus eios correspondentes. Etapas para a construção de um gráfico: Montar uma tabela, atribuindo valores para (conforme o Domínio da função) e calculando os respectivos valores de ; Marcar no plano cartesiano os pontos gerados pelos pares ordenados (, ) encontrados na tabela; Ligar (ou não) os pontos marcados no plano cartesiano por meio de uma curva (de acordo com a função e o domínio desta). Material elaborado por Deborah Jorge e Karina Borges Mendes 6

. FUNÇÕES ELEMENTARES.. FUNÇÃO CONSTANTE... EXEMPLOS ) Sob temperatura ambiente, variando de 6 o C a 54 o C, o corpo humano é capaz de manter indefinidamente, uma temperatura de 6,7º C. Esta função, na faia de temperatura mencionada, pode ser assim representada: [ 6, 54] R f : definida por f() 6,7 Temperatura do Corpo 4 5 5 5 5 4 5 6 Temperatura Ambiente Logo, nesta faia de temperatura ambiente, tem-se uma função constante. ) Em um determinado ano, uma empresa em epansão contratou funcionários em março e em outubro. Em janeiro deste mesmo ano o número de funcionários era. Matematicamente, podemos equacionar esta situação como sendo uma função f : D N com D {meses do ano} definida por: f ( ),, 4, se se se { janeiro, fevereiro } { março, abril, maio, { outubro, novembro junho, julho, agosto, setembro }, dezembro } Foi solicitada pelo setor de recursos humanos desta firma uma representação visual, de modo a relacionar os meses do ano com o número de funcionários empregados (meses X funcionários). Assim temos: Número de funcionários 4 J F M A M J J A S O N D Meses do ano (X) Material elaborado por Deborah Jorge e Karina Borges Mendes 7

... DEFINIÇÃO Uma função cuja lei de associação é do tipo f() k (ou k), com k R é chamada de função constante, pois para qualquer valor atribuído à variável, sua imagem será sempre a mesma, de valor k. Podemos acrescentar ainda, que se trata de uma função que não é crescente, nem decrescente, mas sim constante, pois o valor da função () não cresce nem decresce, permanecendo o mesmo, ou seja, constante. Podemos observar que neste caso a taa se variação é nula. Lembre-se que: f(). Graficamente, tem-se uma reta paralela ao eio das abscissas, cortando o eio das ordenadas no ponto (, k). Se k > : Se k : Se k < : k k... EXERCÍCIOS PROPOSTOS ) Construa os gráficos das funções dadas por: a) f() 4 com D R d) com D [ 5, [ b) g() 4 com D R + e) com D { R 4 < } c) π com D R f) h() 5 com D R g) 7 com D { R < 6 } ) Determine o conjunto imagem para cada uma das funções do eercício anterior. ) Em uma cidade, o departamento de água da prefeitura decidiu fazer uma eperiência e passou a cobrar as contas de água dos consumidores com preços fios para intervalos de consumo. Assim, por eemplo, para qualquer consumo inferior a m, a conta será de R$ 8,5. Abaio, você pode ver a lei de formação utilizada para determinar o valor V da conta, em reais, em função do consumo c, em metros cúbicos. 8,5 V ( c) 47,5 se c < 5 Obs.: O consumo é medido mensalmente. 59, se se c c 5 < a) Construa o gráfico no plano cartesiano V c (valor da conta por consumo) determinando o D e Im. b) Quanto pagará um morador que consumir m de água em um mês? E se consumir 6,4m num mês? c) Qual foi o consumo de uma casa cuja conta apresentou um valor de R$ 59,? d) Quanto pagou um morador que supostamente não consumiu nenhuma quantidade de água num mês? Material elaborado por Deborah Jorge e Karina Borges Mendes 8

4) Abaio, pode-se ver parte de um gráfico que mostra o valor a ser pago (em reais) pelo uso de um determinado estacionamento por um período de horas. Suponha que o padrão observado no gráfico não se altere quando cresce. Nestas condições, pergunta-se: R$ 6,5 5,5 4 Horas a) Quanto deverá pagar uma pessoa, por utilizar o estacionamento durante meia hora? E durante duas horas? b) Quanto deverá pagar alguém que estacionar das 8h e 46min até as h e 5min? c) Quanto tempo ficou no estacionamento um carro se o proprietário pagou R$ 8,? d) Quanto pagará um indivíduo que estacionar seu veículo das h de um dia até as 8h e min do dia seguinte? Respostas: a) b) c) d) 4 π 4/ 5 e) f) g) 4 5 7 6 4 a) Im { 4 } b) Im { } e) Im { } f) Im { 5 } g) Im { 7 } c) Im { π } d) Im { } a) D { c R c } e Im { 8,5 ; 47,5 ; 59, } a) Valor conta (R$) b) R$ 47,5 e R$ 47,5 c) c 5 m 59, d) R$ 8,5 47,5 4a) R$, e R$,5 4b) R$ 6,5 8,5 4c) { R 4 < 5 } 5 Consumo (m ) 4d) R$ 7, Material elaborado por Deborah Jorge e Karina Borges Mendes 9

.. FUNÇÃO DO º. GRAU (ou Função linear)... EXEMPLO Uma panela com água à temperatura de 5 o C é levada ao fogo e observa-se que, a cada minuto, a temperatura sobe o C. De acordo com os dados, forneça a lei (fórmula) que representa o aumento de temperatura em função do tempo. Resolução: Tempo inicial (t o): min Temperatura inicial (T o) : 5 o C Tempo (min) Temperatura ( o C) 5 7 (7 5 +.) 9 (9 5 +.) ( 5 +.) Cada temperatura é a temperatura inicial mais um acréscimo de o C por minuto. Logo, a lei que relaciona o aumento de temperatura em função do tempo é: T(t) 5 + t, sendo esta, a solução do problema em questão.... DEFINIÇÃO São funções que têm taa constante de crescimento ou decrescimento. Uma função é dita do º. grau se sua inclinação, ou taa de variação, é a mesma em toda parte. E é o fato da taa de variação ser constante que faz de seu gráfico uma reta. Logo, esta inclinação pode ser calculada com valores das funções em pontos, m e n, usando a fórmula: subida f ( b) f ( a) Inclinação taa percurso b a média de variação de f ( ) entre a e b. Para uma função não linear, a taa de variação varia. Esta função tem a forma a + b, com a e a e b Є R, com domínio e contra-domínio real. Seu gráfico é uma reta tal que: a é a inclinação, ou taa de variação de com relação a ou ainda, coeficiente angular da reta. O valor da abscissa onde o gráfico corta o eio denomina-se raiz ou zero da função, que pode ser determinado algebricamente fazendo f(). b é o intercepto vertical ou intercepto, ou seja, é o valor de quando é zero. A raiz também é conhecida como intercepto horizontal ou intercepto.... FUNÇÕES CRESCENTES E DECRESCENTES Os termos crescente e decrescente podem ser aplicados a outras funções, não apenas às lineares. Qualquer função é crescente se os valores de f() crescem quando cresce e é decrescente se os valores de f () decrescem quando cresce. Uma função linear, a + b, é crescente quando a taa de variação for positiva, ou seja, quando a >. Uma função linear, a + b, é decrescente quando a taa de variação for negativa, ou seja, quando a <. Material elaborado por Deborah Jorge e Karina Borges Mendes

...5 GRÁFICO Geometricamente, a função polinomial do º grau é representada por uma linha reta oblíqua aos eios coordenados, cortando o eio das ordenadas no ponto (, b). Se a > f() é crescente Se a < f() é decrescente f() f() b b Raiz ou zero da função Raiz ou zero da função...6 EXERCÍCIOS PROPOSTOS )Construa, no sistema cartesiano ortogonal, os gráficos das funções dadas por: 9 a) d) F C + g) j) + com D { R } 4 5 b) f ( ) + 5 e) f ( ) + h) com D [, + [ c) + + f) g( ) i) h ( ) + com D [, [ ) Construa, num mesmo sistema cartesiano ortogonal, os gráficos das funções dadas por f() e g(). Respostas: a) b) c) d) e) F 5 4 5/ / 6/9 C f) g) h) i) j) / / 6 6 4 ) f() 45º 45º g() Material elaborado por Deborah Jorge e Karina Borges Mendes

...7 DETERMINAÇÃO DA FUNÇÃO DO º GRAU A PARTIR DO SEU GRÁFICO Relembrando: f() a + b, sendo: a coeficiente angular (declividade) e b coeficiente linear Calculando o coeficiente angular a através do gráfico: Conhecendo o ângulo α (inclinação) formado entre a reta r e o eio (no sentido anti-horário), usa-se: a tgα Conhecendo dois pontos A( A, A) e B( B, B), pertencentes a reta r, usa-se: a tgα B A A n α B Observações: Variação da inclinação da reta de uma função do º grau: < α < 8 com α 9º. α A B Se α a, tem-se neste caso uma função constante (reta paralela ao eio ). r Raiz ou zero da função...8 EXEMPLOS ) Uma barra de aço com temperatura inicial de ºC foi aquecida até ºC. O gráfico abaio representa a variação da temperatura da barra em função do tempo gasto nesta eperiência. Determine: a) a taa de variação da temperatura em função do tempo; b) a função (fórmula matemática) que representa o fenômeno em questão; c) em quanto tempo, após o início da eperiência, a temperatura da barra atingiu ºC; d) o Domínio e o conjunto Imagem desta situação. temperatura (ºC) - 5 tempo (min) Material elaborado por Deborah Jorge e Karina Borges Mendes

) O gráfico abaio representa a variação da pressão da água do mar em função da profundidade. Construa a função que relaciona pressão e profundidade Calcule a pressão sofrida pelo mergulhador se estiver a uma profundidade de 5 metros. Qual o domínio e a imagem da função sabendo que a profundidade máima do local é de 5 metros? Pressão (atm) profundidade (m) ) Um certo encanador (A) cobra por serviço feito um valor fio de R$ 6, mais R$, por hora de trabalho. Um outro encanador (B) cobra um valor fio de R$ 4, mais R$ 5, por hora de trabalho. Determine a lei da função que relaciona preço e tempo de serviço para cada um dos encanadores. Faça o gráfico das duas funções num mesmo plano cartesiano. Considerando o menor custo para a realização de um trabalho, analise as vantagens e desvantagens da contratação dos serviços de cada um dos encanadores. 4) Analisando o gráfico abaio, determine: a) as funções f() e g(); b) as raízes de f() e g(); c) as coordenadas do ponto P (intersecção das retas). f() g() P 5 5) Determine a função geradora do gráfico abaio: 9 Material elaborado por Deborah Jorge e Karina Borges Mendes

6 Cálculo I...9 EXERCÍCIOS PROPOSTOS ) Duas operadoras de telefonia celular apresentam planos similares para seus usuários. O plano da operadora V tem uma mensalidade no valor de R$ 5, e uma tarifa de R$,7 por minuto em ligações locais. O plano da operadora T tem custo de R$,5 por minuto para ligações locais e uma mensalidade no valor de R$,. Utilizando seus conhecimentos sobre função polinomial do º grau, determine a lei da função que relaciona preço e tempo de ligação para cada um dos operadoras, faça o gráfico das duas funções num mesmo plano cartesiano e analise as vantagens e desvantagens de cada uma das operadoras. ) Determine a função geradora de cada um dos gráficos a seguir. a) b) c) 4 6 ) O valor total cobrado por um eletricista inclui uma parte fia correspondente à visita e outra variável correspondente à quantidade de fio requerida pelo serviço. O gráfico abaio representa o valor do serviço efetuado em função da metragem de fio usada no serviço. Construa a lei da função que determina a pressão em função da quantidade de fio e determine quanto cobrará o eletricista se usar 8 metros de fio para eecutar o serviço? Preço (R$) 7 6 4 metros 4) Um fabricante vende um produto por R$, a unidade. O custo total do produto consiste numa taa fia de R$, mais o custo de produção de R$,4 por unidade. a) Qual a função matemática que epressa o lucro em função das peças vendidas? b) Qual o gráfico desta função? c) Se vender unidades desse produto, qual será o lucro? d) Qual o número de unidades que o fabricante deve vender para não ter lucro nem prejuízo? 5) Observando o gráfico ao lado, determine as equações das retas (funções); as coordenadas do ponto P e os zeros das funções. f 4 P g Material elaborado por Deborah Jorge e Karina Borges Mendes 4

6) O gráfico ao lado apresenta uma situação de frenagem, onde a velocidade do veículo varia em função do tempo. Sendo assim, responda: a) Qual a taa de variação da velocidade em função do tempo? b) Qual a velocidade do veículo no instante s? v (m/s) c) O que acontece com o veículo após 5s de frenagem? d) Qual o Domínio e o Conjunto Imagem do problema? 5 t (s) Nota: Para se ter uma melhor noção da velocidade (neste caso), podemos convertê-la de m/s para km/h, que é a unidade mais utilizada em nosso cotidiano. Para isto, basta multiplicar o valor da velocidade em m/s por,6 que teremos o resultado em km/h. 7) O valor de uma máquina decresce linearmente com o tempo, devido ao desgaste. Sabendo-se que hoje ela vale. dólares, e daqui 5 anos,. dólares, qual será seu valor em anos? 8) Uma companhia tem função de custo C( q) 4 + q e função receita R( q) q. a) Qual é o custo fio da companhia. b) Qual é o custo variável por unidade? c) Que preço a companhia está pedindo por seu produto? d) Faça os gráficos de R(q) e C(q) no mesmo plano cartesiano. e) Ache o ponto de equilíbrio. f) Faça a análise econômica da situação. 9) Uma fábrica que produz quebra-cabeças tem custo fio de R$6 e custo variável de R$ por jogo. A companhia vende os jogos a R$5 cada. a) Ache as funções custo, receita e lucro. b) Esboce os gráficos das funções receita e custo no mesmo plano cartesiano. c) Esboce o gráfico da função lucro. d) Ache o ponto crítico. e) Analise a situação econômica da fábrica. ) Gráficos das funções custo e receita para uma empresa são dados abaio. 5 5 75 5 5 75 5 5 4 5 6 receita custo a) Aproimadamente, que quantidade a empresa deve produzir para ter lucro? b) Avalie o lucro se a empresa produzir 6 unidades. c) O que representa o ponto onde as funções receita e custo se interceptam? Material elaborado por Deborah Jorge e Karina Borges Mendes 5

) Considerando as funções f() 8 e g(), determine: a) as raízes das funções f e g dadas; b) as coordenadas do ponto P, que representa a interseção das retas em questão; c) qual a classificação [crescente ou decrescente] para cada uma das funções. ) Dada as equações e, determine: a) O ponto de intersecção das retas; b) Os pontos de encontro das retas com os eios coordenados. c) Construa o gráfico das duas retas no mesmo plano cartesiano. Respostas: ) R$ V 4,5 T, 5, V(),7 + 5 T(),5 + 5 min Resposta: d a) + 4 b) + 4 c) 5 5 ) +, R$ 68, 4a) L,6 4b) Gráfico 4c) R$, 4d) 75 unidades 4 5) f() + e g() / P(4, 4) raiz de f(): 4, raiz de g(): 6a) 4 m/s (que é o coef. angular) 6b) 8 m/s 6c) Sua velocidade torna-se zero, ou seja, o veículo pára. 6d) D { t R t 5 } e Im { v R v } 7) 4.6 dólares 8a) 4 8b) 8c) 8d) gráfico 8e) 5 9a) C 6 +q ; R 5q ; L q - 6 9) b,c) gráficos 9d) a) acima de unidades b) c) ponto de equilíbrio a) raiz de f(): 8, raiz de g(): b) P(, 6) c) f() é decrescente e g() é crescente. a) (, ) b) (/, ) e (, ) / (, ) e (, ) Material elaborado por Deborah Jorge e Karina Borges Mendes 6

.. FUNÇÃO DO º GRAU (ou quadrática)... DEFINIÇÃO Função Polinomial do º grau é toda função definida pela lei f() a + b + c, com a R*, b R e c R. Eemplos: Na função f() 4 + 7 temos: a, b 4 e c 7. Na função g() + 5 temos: a, b 5 e c. + Na função h() temos: a, b e c. Na função P() 9 temos: a, b e c 9. Na função temos: a, b e c. Graficamente, a função polinomial do º grau é representada por uma figura aberta e infinita denominada parábola. Particularidades: O gráfico de uma função de o grau é uma parábola com eio de simetria paralelo ao eio. Se o coeficiente de for positivo (a > ), a parábola tem a concavidade voltada para cima. Se a <, a parábola tem a concavidade voltada para baio. A intersecção do eio de simetria com a parábola determina um ponto chamado vértice (V). Se a parábola interceptar o eio, então a intersecção define as raízes e da função [para isto, faz-se f() ]. A parábola intercepta o eio das ordenadas () no ponto (, c) [para isto, faz-se ]. Material elaborado por Deborah Jorge e Karina Borges Mendes 7

No esquema abaio, caracterizamos as diversas possibilidades gráficas: b 4ac > a parábola intercepta o eio em dois pontos distintos. b 4ac a parábola intercepta o eio em um único ponto. b 4ac < a parábola não intercepta o eio. a > c c V V V c V, R a < c V V V c c, R V As Coordenadas do Vértice da Parábola e o Conjunto Imagem da Função Quadrática: a > V (ponto de máimo) V valor máimo V V valor mínimo V V (ponto de mínimo) a < Quando a >, a parábola tem concavidade voltada para cima e um ponto de mínimo: V( V, V). O valor mínimo é o V e seu conjunto Imagem é Im { R V }. Quando a <, a parábola tem concavidade voltada para baio e um ponto de máimo: V( V, V). O valor máimo é V e seu conjunto Imagem é Im { R V }. As coordenadas do vértice V são ( V, V ), podendo ser calculadas através de: b V a e V 4a. Material elaborado por Deborah Jorge e Karina Borges Mendes 8

Material elaborado por Deborah Jorge e Karina Borges Mendes 9... EXEMPLOS. Construir a representação gráfica da função - 5 + 6. a) Concavidade para cima pois a >. b) Raízes da função (fazer ): - 5 + 6 (a, b -5, c 6) 4ac b (-5) 4.().(6) d) Coordenadas do vértice 4 4.() 4 5.() 5) ( v v v v v v a a b 5 5 5.() 5) ( + ± ± ± e e a b c) Intercepto (ponto onde a parábola corta o eio ): Fazendo temos que a parábola corta o eio em (,c) logo esta função intercepta o eio em (, 6) e) Gráfico: -5 5 5 - - - 4 5 6 7. Construir a representação gráfica da função - + 7 -. a) Concavidade para baio pois a <. b)raízes da função (fazer ): - + 7 - (a -, b 7, c -) (7) 4.(-).(-) 9 c) Intercepto (ponto onde a parábola corta o eio ): Fazendo temos que a parábola corta o eio em (,c), logo esta função intercepta o eio em (, -) 5 e 7 e 7 7 9 7 - + ± ± ).( ) ( d) Coordenadas do vértice 4 9 4 9 - ) 4.( 9-4 - 7 7 ).( (7) - - v v v v v v v v a a b

e) gráfico 5-5 -4 - - - 4 5 6 7 8 9-5 - -5 -. Construir a representação gráfica da função - + -. a) Concavidade para baio pois a <. d) Coordenadas do vértice b) Raízes da função (fazer ): -b - ( + ) v v a.( ) - + - (a -, b, c -) b - - (-) 4ac v v 4a 4.( ) v v 4 - - v v 4 () 4.(-).(-) - Portanto essa equação não tem raízes. c) Intercepto (ponto onde a parábola corta o eio ): Fazendo temos que a parábola corta o eio em (,c), logo esta função intercepta o eio em (, -) e) Gráfico: 5-7 -6-5 -4 - - - -5 4 5 6 7 8 9 - -5 - -5 4. Construir a representação gráfica da função - +. a) Concavidade para cima pois a >. -b ± -( ) ± a.() b) Raízes da função (fazer ): ± + - e - + (a, b -, c ) b 4ac (-) 4.().() - Material elaborado por Deborah Jorge e Karina Borges Mendes

c) Intercepto (ponto onde a parábola corta o eio ): Fazendo temos que a parábola corta o eio em (,c) logo esta função intercepta o eio em (, ) d) Coordenadas do vértice -b -( ) v v v a.( ) - v v v 4a 4.( ) Cálculo I e) Gráfico: 5 5-5 -4 - - - 4 5 6 7-5 5. Um objeto lançado verticalmente, do solo para cima, tem posições no decorrer do tempo dadas pela função horária s 4t 5t ( t em segundos e s em metros). Esboce o gráfico que esta função descreve. Qual a altura máima atingida? Em quanto tempo? a) b) A altura máima atingida por este objeto é 9 eatamente a coordenada do ponto chamado vértice. Logo, basta calcular 8 7 6 5).() v. - v, b - 4. ac. 4a ( 4) - 4.( 6 5-6 v v 8, 4 4.( 5) logo a altura máima é 8 metros. O tempo gasto para se atingir a altura máima é a abscissa do vértice. Logo basta calcular v. b 4 v v v 4,. a.( 5) 4 5 6 7 8 9 logo o tempo é de 4 segundos. tempo (segundos) posição (metros) Material elaborado por Deborah Jorge e Karina Borges Mendes

6. O centro de gravidade de um golfinho saltador descreve uma parábola conforme o desenho. Sendo assim, determine a altura máima atingida pelo mesmo. Resolução: Neste eemplo, temos a trajetória do golfinho dada por uma parábola do tipo a + b + c. De acordo com a figura acima, percebemos que o golfinho passa pelos pontos ( ; ), (, ;,4) e (,5 ;,4). Como o golfinho sai da origem, ou seja, do ponto ( ; ), o valor de c é igual a zero. Sendo assim ficamos com duas incógnitas, a e b. Com os pontos dados montamos um sistema de duas equações e duas incógnitas:,4 a + b,4,5a +,5b Isolando o valor de a na primeira equação temos a,4 b. Substituindo este valor na segunda equação obtemos:,4,5 8 8,75b b, (,4 b) +,5b,4 9,4,5b +,5b Se b, e a,4 b, então a,4, a,8 Assim:,8 +, Agora podemos calcular a altura máima atingida pelo golfinho. altura máima v v 4a ( b 4ac) 4a (,) 4 (,8),metros...4 EXERCÍCIOS PROPOSTOS ) Construa o gráfico das funções abaio, determinando o valor máimo (ou mínimo) e o conjunto imagem para cada item. a) f() 9 d) f() b) g() 5 + c) f() + e) g() 8 6 ) O custo diário de produção de uma indústria de aparelhos telefônicos é dado por C() 86 + 5, onde C() é o custo em dólares e é o número de unidades fabricadas. Quantos aparelhos devem ser produzidos diariamente para que o custo seja mínimo? Material elaborado por Deborah Jorge e Karina Borges Mendes

) Um foguete eperimental é disparado do topo de uma colina, toca a etremidade superior de uma árvore, sem mudar sua trajetória e atinge o solo, conforme a figura a seguir. Determine a altura máima atingida. 4) Certo dia, numa praia, a temperatura atingiu o seu valor máimo às 4 h. Suponhamos que, neste dia, a temperatura f(t) em graus Celsius era uma função do tempo t, medido em horas, dada por f(t) t + bt 6, quando 8 t. Obtenha: a) o valor de b; b) a temperatura máima atingida nesse dia; c) o gráfico de f. 5) Duas plantas de mesma espécie A e B, que nasceram no mesmo dia, foram tratadas desde o início com adubos diferentes. Um botânico mediu todos os dias o crescimento (em centímetros) destas plantas. Após dias de observação, ele notou que o gráfico que representa o crescimento da planta A é uma reta que passa por (, ) e o que representa o crescimento da planta B pode ser descrito pela 4 função. Um esquema desta situação está apresentado ao lado. Calcule: Altura (cm) a) a lei que descreve o crescimento da planta A; b) o dia em que as plantas A e B atingiram a mesma altura e qual foi essa altura. Planta A Planta B Tempo (dias) 6) Qual a função geradora da párabola abaio? 5-5 -4 - - - 4 5 6 7 8 9-5 - -5-7) Sabendo-se que uma curva que representa uma função de segundo grau passa pelos pontos (-, ), (, ) e (, 6), determine a lei desta função. Material elaborado por Deborah Jorge e Karina Borges Mendes

8) Sabe-se que o lucro total L de uma empresa é dado pela fórmula L R C, em que, R é a receita total e C é o custo total da produção (em reais). Numa certa empresa que produziu p unidades em determinado período, verificou-se que R(p) p p e C(p) + 4p + p. Nestas condições, determine: a) a função L(p); b) a produção p para que o lucro da empresa seja o máimo possível para esta situação; c) o lucro máimo; d) o lucro obtido para uma produção de unidades. 9) Sabe-se que o lucro total de uma empresa é dado pela fórmula L R C, em que L é o lucro total, R é a receita total e C é o custo total de produção. Numa empresa que produziu unidades, verificou-se que R() 6 e C() +. Nessas condições, qual deve ser a produção para que o lucro da empresa seja máimo? Respostas:. a) Valor mínimo - 9 Ponto de mínimo (,- 9) Im { R - 9 } b) - 9 Valor mínimo - 9/8 Ponto de mínimo (5/4,- 9/8) Im { R - 9/8 } / 5/4-9/8 c) V Valor máimo Ponto de máimo (, ) Im { R } 4 Material elaborado por Deborah Jorge e Karina Borges Mendes 4

d) 8 Valor mínimo Ponto de mínimo (,) Im { R } e) 8 4 V Valor máimo Ponto de máimo ( 4, ) Im { R } 6 ) 4 aparelhos ) 9, m 4a) b 8 4b) temper. máima 6 ºC (Y V) 4c) temperatura (ºC) 6 V 8 4 tempo (h) 5 a) / b) atingiram a mesma altura, de 9 cm, no 6º dia 6) - +7-7) (-5/) - (/) +6 8.a) L(p) p + 96p ; b) p 4; c) 4.9; d) 7.7 9) 5 Material elaborado por Deborah Jorge e Karina Borges Mendes 5

..4 FUNÇÃO EXPONENCIAL E FUNÇÃO LOGARÍTMICA. Em uma eperiência sobre deterioração de alimentos, constatou-se que a população de um certo tipo de bactérias dobrava a cada hora. Se no instante que começaram as observações havia 5 bactérias, qual a população de bactérias após 4 horas? Resolução: No instante inicial : 5 bactérias Após hora será: 5. Após horas será: 5.. 5. Após horas será: 5.. 5. Após 4 horas será: 5.. 5. 4, logo, teremos 8 bactérias depois de 4 horas. Enfim, para cada hora que se escolha há um número de bactérias. O valor de, portanto, é uma função de, e a lei que epressa em função de é 5., que é um caso particular de função eponencial.. Considere os dados da tabela a seguir, que mostram o crescimento de uma população (em milhares) de bactérias. Qual a equação que descreve esse crescimento populacional de bactérias? Esboce o gráfico. Resolução: (geração) 4 8 P() (milhares) 6,6 7,58 4 99,854 5 59,8 6 675,75 Os dados da tabela acima mostram o crescimento de uma população (em milhares) de bactérias inoculadas em um meio de cultura. Para avaliar como a população está aumentando, observa-se seu crescimento a cada geração nos dados da terceira coluna. Se a população estivesse crescendo linearmente, todos os números na terceira coluna seriam iguais. Também, podem-se analisar a segunda e a terceira variações para concluir que estas não tendem a se estabilizar. Assim, este crescimento populacional não pode ser descrito por polinômios. De fato, populações em geral crescem muito rapidamente, pois a cada geração são mais indivíduos para se reproduzir, o que justifica o fato de os valores da terceira coluna serem sempre crescentes. Dividindo a população de cada geração pela da geração anterior, obtém-se: população da geração 8, população da geração 4 população da geração 6,6, população da geração 8 Material elaborado por Deborah Jorge e Karina Borges Mendes 6

Efetuando os mesmos cálculos para os outros dados, ter-se-á também o valor,. Considerando-se o número de gerações, a população pode ser escrita da seguinte maneira: (, ) P( ) 4 ou seja, quando, a população 4 4 (,) ; quando, a população 8 4 (,) ; quando, a população 6,6 4 (,) ; quando, a população 7,58 4 (,) ; Esta é uma função eponencial com base,, assim chamada porque a variável está no epoente. A base representa um fator de crescimento pelo qual a população muda a cada geração. Considerando r a taa percentual, diz-se neste caso que a taa de crescimento é r %,. Se a equação for válida para as próimas gerações, a população será () 4 (,) 9, P. Graficamente, tem-se: População de Bactérias P() 5 5 5 4 6 8 P() é uma função crescente, pois os valores aumentam para valores crescentes de. Note também que a população cresce mais rápido quanto maior é o número de gerações. Este comportamento é próprio das funções eponenciais. Embora o gráfico seja uma linha cheia, isto é, contínua, ele mostra apenas uma boa aproimação da realidade, pois sabe-se que não há fração de população. Para reconhecer que os dados de uma tabela descrevem uma função eponencial, basta observar se as razões dão um fator constante. Material elaborado por Deborah Jorge e Karina Borges Mendes 7

..4. DEFINIÇÃO Toda função f: R R definida por f(). a, com a R, a > e a e R é denominada função eponencial de base a. Propriedades: Se a > a função f(). a será crescente. Eemplos: f(), g() ( ) Se < a < a função f(). a será decrescente. Eemplos: f() ( ), g() (,) Sendo a função f() a, definida anteriormente, temos que R, encontraremos a >. Como todos os valores de serão positivos, o gráfico se localizará totalmente acima do eio, concluindose então que o conjunto imagem da função será dado por Im { R / > } ou ainda, de forma mais breve: Im R +. Decorrente do item anterior teremos, coincidente com o eio das abscissas, uma assíntota horizontal...4. GRÁFICOS Eemplo : X -,5 -,5 -,5 4 8 9 8 7 6 5 4-4 - - - 4 Eemplo : (/) - 8-4 -,5,5,5 (/) 9 8 7 6 5 4-4 - - - 4 Material elaborado por Deborah Jorge e Karina Borges Mendes 8

..4. EXERCÍCIOS PROPOSTOS ) Construa cada dupla de gráficos das funções abaio no mesmo sistema cartesiano ortogonal. a) ( ) e g ) ( ) f ( b) + f ( ) e g ( ) + ) Construa o gráfico das funções abaio, determinando o conjunto imagem e representando também as respectivas assíntotas. a) f ( ) b) + c) g ( ) d) h ( ) e) f ( ) f) g( ) g)..4.4 LOGARITMAÇÃO Resolver as seguintes equações eponenciais: a) 5 b). 4 + 96 c) Utilizando somente os conceitos usuais de equações eponenciais, não poderemos solucionar a equação do item c. Para chegarmos à solução da referida equação precisaremos conhecer os logaritmos. Matematicamente, podemos escrever um número de várias formas: O número pode ser escrito na forma.(,5). 4 4 Observe que na forma ª forma, a fração pode ser considerada uma divisão e na ª forma, a operação utilizada é a multiplicação. Podemos trocar a operação de um número sem alterar o seu valor. Utilizando um raciocínio similar, podemos transformar as equações: log forma eponencial forma logarítmica Desta maneira, temos a definição da operação logaritmação: Simbolo da operação log b a Logaritmo a b Epoente b > com a > e R a base logaritmando ou antilogaritmo Base Material elaborado por Deborah Jorge e Karina Borges Mendes 9

Através da definição podemos observar que o logaritmo é um epoente. Assim sendo... 8 log 8 5 log 5 8 log 8 Neste último caso, resolvendo o logaritmo, temos que: e 4 Logaritmo decimal (base ) log log log 8 Logaritmo natural ou neperiano (base e ) ln loge,788884... (número de Euler ou Neperiano) Propriedades Importantes dos Logaritmos: 8 4 log 8 4 log a b logac b c log n. logb b n a log b ( a. c) logba + logbc logb logba logbc c Mudança de Base: Para mudarmos a base a de um logaritmo, para uma base c de livre escolha (c > e c ), utilizamos a fórmula: log log ab log c c b a Material elaborado por Deborah Jorge e Karina Borges Mendes

..4.5 EXERCÍCIOS PROPOSTOS ) Curva de Aprendizagem é um conceito criado por psicólogos que constataram a relação eistente entre a eficiência de um indivíduo e a quantidade de treinamento ou eperiência possuída por este,5t indivíduo. Um eemplo de Curva de Aprendizagem é dado pela epressão Q 7 e, em que: Q quantidade de peças produzidas mensalmente por um funcionário; t meses de eperiência; a) De acordo com essa epressão, quantas peças um funcionário com mês de eperiência deverá produzir mensalmente? b) E um funcionário sem qualquer eperiência, quantas peças deverá produzir mensalmente? Compare esse resultado com o resultado do item a. Há coerência entre eles? c) Construa o gráfico Q X t ) A produção de uma peça numa empresa é epressa pela função.e -,d, onde é o número de peças e d o número de dias. A produção de 87 peças será alcançada em quantos dias? Esboce o gráfico que representa esta função. ) Uma imobiliária acredita que o valor v de um imóvel no litoral varia segundo a lei v(t) 5.(,9) t, em que t é o número de anos contados a partir de hoje. a) Qual é o valor atual desse imóvel? b) Qual é a desvalorização percentual anual desse imóvel? c) Quanto valerá esse imóvel daqui a anos? d) Daqui a quantos anos o imóvel valerá R$ 9.54,5? 4) A epressão P( t),5t k fornece o número P de milhares de habitantes de uma cidade, em função do tempo t, em anos. Se em 99 essa cidade tinha. habitantes, quantos habitantes, aproimadamente, ela possuía no ano? 5) Um corpo com temperatura de o C é eposto ao ar e após segundos sua temperatura atinge o C. Sabendo que seu resfriamento obedece a função: T c.e kt + T a Onde: T temperatura; t tempo; c, k constantes; T a o C. a) Determinar a temperatura após hora. b) Determinar o tempo necessário para atingir 4 o C. 6) Sabe-se que a população de bactérias em uma cultura pode ser modelada pela função p c.e kt, onde p representa o número de bactérias e t o tempo. Sabe-se que em 8 horas de cultura a população era de bactérias, isto para uma população inicial de 5 bactérias. Determine a população para dia e dias. 7) Um estudo revelou que a população de peies de um lago está crescendo à taa de 5% ao ano. Isso significa que a população de peies em um determinado ano é,5 vez maior que a população do ano anterior. Atualmente, essa população está estimada em. peies. a) Obtenha a lei que define o número de peies n nesse lago daqui a t anos. b) Qual será a população de peies daqui a ano? E daqui a anos? c) Esboce o gráfico dessa função. Material elaborado por Deborah Jorge e Karina Borges Mendes

8) Uma maionese mal conservada causou mal-estar nos freqüentadores de um restaurante. Uma investigação revelou a presença da bactéria salmonela, que se multiplica segundo a lei: at n( t), em que n(t) é o número de bactérias encontradas na amostra de maionese t horas após o início do almoço e a é uma constante real. a) Determine o número inicial de bactérias. b) Sabendo que após horas do início do almoço o número de bactérias era de 8, determine o valor da constante a. c) Determine o número de bactérias após dia da realização do almoço. 9) Segundo dados de uma pesquisa, a população de certa região do país vem decrescendo em relação,5t ao tempo t, contado em anos, aproimadamente, segundo a relação: P( t) P() 4. Sendo P() uma constante que representa a população inicial dessa região e P(t) a população t anos após, determine quantos anos se passarão para que essa população fique reduzida à metade. ) Considerando-se as taas de natalidade e mortalidade, a população da cidade A apresenta crescimento de 5% ao ano, e a população da cidade B aumenta, a cada ano,.5 habitantes em relação ao ano anterior. Em 99, a população da cidade A era de. habitantes e a população da cidade B era de. habitantes. a) Obtenha a lei que representa a população P de cada uma das duas cidades em t anos, a partir de 99. b) Forneça a população de A e de B em. c) Faça um esboço dos gráficos que representam as leis obtidas no item a no mesmo plano cartesiano. ) No primeiro dia útil de (data que será chamada de data-base ), um investidor tem o saldo de R$ 5., numa aplicação financeira (estamos supondo que os rendimentos do último período que antecedeu à data-base já tenham sido creditados). Durante os próimos meses, são pagos a esse investidor rendimentos a uma taa de 5% ao mês. Supondo que a partir da data-base não foram feitos nem depósitos nem retiradas, calcule o saldo dessa conta com relação à data-base, após: a) mês; b) meses; c) meses; d) meses; e) n meses (n inteiro, n ). ) Suponha que você deposite R$ numa conta que rende juros cuja taa é % ao mês e acumule esse juro ao seu capital inicial mensalmente. Quanto você terá após 6 meses de aplicação? Material elaborado por Deborah Jorge e Karina Borges Mendes

) O gráfico abaio é gerado pela função c.e k +. Determinar: a) o valor de para b) o valor de para 5 Respostas: ) a) 58 peças; b) 4 peças ), dias ) a) R$ 5.,; b) %; c) R$ 4.5,; d) 5 anos 4) 44.64 habitantes 5) a) T o C; b) t segundos 6) P(4) 7.647 bactérias e P(48).57.647 bactérias 7) a) n (,5) t ; b)5 peies; 95 peies; c) Gráfico 8) a) bactérias; b) a /; c).7. bactérias 9) anos ) a) PA. (,5) t e PB. + 5t; b) PA 77.9 habitantes e PB 9.5 habitantes; c) Gráfico ) a) R$ 7.5,; b) R$ 9.87,5; c) R$.8,; d) R$ 8.5,75; e) saldo 5. (,5) n ) R$ 6,6 ) a),655 b),64 Material elaborado por Deborah Jorge e Karina Borges Mendes

..5 FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS..5. RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO Considerando o triângulo retângulo da figura: B cateto c A hipotenusa a cateto b C Teorema de Pitágoras: a hipotenusa ao quadrado é igual a soma dos quadrados dos catetos ( a b + c ) Obs. a hipotenusa é sempre o maior lado do triângulo retângulo. Para um ângulo agudo de um triângulo retângulo, define-se: Seno de um ângulo é a razão entre a medida do cateto oposto a esse ângulo e a medida da hipotenusa. Cosseno de um ângulo é a razão entre a medida do cateto adjacente a esse ângulo e a medida da hipotenusa. Tangente de um ângulo é a razão entre a medida do cateto oposto a esse ângulo e a medida do cateto adjacente a esse ângulo. sen Bˆ sen Ĉ b a c a cos Bˆ cos Ĉ c a b a tg Bˆ tg Ĉ b c c b..5. CICLO TRIGONOMÉTRICO Denomina-se ciclo trigonométrico uma circunferência de raio unitário, fiada em um plano cartesiano, de centro O, sobre a qual marcamos um ponto A (origem), e adotamos como sentido positivo de percurso o sentido anti-horário. C B O r D A + _ Os pontos A(, ); B(,); C(-, ) e D(, -) pertencem a circunferência e a dividem em 4 partes iguais denominadas quadrantes. Material elaborado por Deborah Jorge e Karina Borges Mendes 4

..5. SENO, COSSENO E TANGENTE NO CICLO TRIGONOMÉTRICO TABELAS DOS VALORES NOTÁVEIS sen Π/ π/ π/4 π/6 cos o (ϖ/6) seno cosseno 45 o (ϖ/4) 6 o (ϖ/) tangente o ( rad) 9 o (ϖ/ rad) 8 o (ϖ rad) 7 o (ϖ/ rad) 6 o (ϖ rad) seno - cosseno - tangente Observações: Relação Fundamental entre o seno e o cosseno: sen + cos sen tg cos..5.4 FUNÇÕES SENO, COSSENO E TANGENTE a. Função seno é a função que faz corresponder a cada número real o número sen. b. Função Cosseno é a função que faz corresponder a cada número real o número cos. c. Função Tangente é a função que faz corresponder a cada número real, ϖ/ + kϖ, onde k є Z, o número tg. Função Seno e Função Cosseno: Domínio: D R Conjunto Imagem: Im [-,] Material elaborado por Deborah Jorge e Karina Borges Mendes 5

..5.5 GRÁFICOS. SENO Função Seno π/ π π/ - π -π -π/ -π,5,5 -π/-,5 - -,5 π/ π π/ π. COSSENO X Y cos π/ π - π/ π -π -π/ -π Função Cosseno -π/,5,5 -,5 - -,5 π/ π π/ π..5.6 PROPRIEDADES DAS FUNÇÕES SENO E COSSENO a. Função Limitada Estas funções são limitadas pois : - sen e - cos, para todo real. b. Amplitude Amplitude é a metade da diferença entre os valores máimo e mínimo de uma função. Os valores máimo e mínimo das funções seno e cosseno são e, assim a amplitude de ambas as funções é. c. Função Periódica Período: é o tempo para que a função eecute um ciclo completo. O gráfico da função seno e também o da função cosseno, percorre um ciclo completo de a Π, todo o resto do gráfico é só uma repetição deste pedaço. Portanto o período destas funções é p Π. Material elaborado por Deborah Jorge e Karina Borges Mendes 6

..5.7. EXEMPLOS. Esboce o gráfico de sen t e use-o para determinar a amplitude e o período. sen t -π -π/ -π -π/ - - - π/ π π/ π t As ondas têm um máimo de e um mínimo de, assim a amplitude é. O gráfico completa um ciclo entre t e t Π, sendo assim o período é Π.. Esboce o gráfico de cos t e use-o para determinar a amplitude e o período. cos t -π -π/ -π -π/,5,5 -,5 - -,5 π/ π π/ π t As ondas têm um máimo de e um mínimo de, logo a amplitude é. O gráfico completa um ciclo entre t e t Π, logo o período é p Π.. Esboce o gráfico de sen (t + Π/) e use-o para determinar a amplitude e o período. Material elaborado por Deborah Jorge e Karina Borges Mendes 7

sen (t+π/),5,5 -π -π/ -π -π/ -,5 - π/ π π/ π t -,5 Tem amplitude A. Tem período p ϖ. É o gráfico de sen t deslocado de ϖ/ unidades para a esquerda. (Observe que é o gráfico de cos t) 4. Faça o gráfico de A sen t para diferentes valores de A. Descreva o efeito de A sobre o gráfico. 4 - - - -4 π π t Nos gráficos de A sen t para A,,, valores positivos, observa-se que A é a amplitude. Faça o gráfico de A sen t para valores negativos de A e descreva o efeito de A sobre o gráfico. 5. Faça o gráfico de sen B t para diferentes valores de B. Descreva o efeito de B sobre o gráfico. sen t (B ) sen / t ( B /) sen t ( B ),5,5,5,5,5,5 -,5 - π π π 4π t -,5 - π 4π t -,5 - π 4π t -,5 -,5 -,5 Material elaborado por Deborah Jorge e Karina Borges Mendes 8

Os gráficos de sen Bt, para B / o período é 4ϖ, quando B o período é Π, quando B o período é Π. O valor de B afeta o período da função. Os gráficos sugerem que quanto maior for B, mais depressa a onda se repete e mais curto é o período...5.8 FAMÍLIA DE CURVAS As constantes A, B, C e D são chamadas parâmetros. Pode-se estudar as famílias de curvas variando um dos parâmetros de cada vez. As funções A sen (Bt + C) + D e A cos (Bt + C) + D são periódicas com: Amplitude IAI, π Período p, IBI Deslocamento horizontal - C/B Deslocamento vertical D..5.9 EXERCÍCIOS PROPOSTOS ) Esboce o gráfico das funções abaio. Quais são seus períodos e suas amplitudes? a) sen b) - sen c) 5 cos t d) -5 cos t e) sen () + f) cos (/) g) sen (5) + h) sen( + Π) i) sen ( + Π ) j) ½ (cos ) + k) cos(t/4) l) sen(4) m) cos ( + Π) - n) sen ( + Π/) + o) -cos (t) - p) - cos ( + Π) + ) A de fevereiro de 99, a maré alta em determinada cidade foi à meia noite. A altura de água no porto é uma função periódica, pois oscila regularmente entre maré alta e baia. A altura (em pés) é aproimada pela fórmula π 5 + 4,9cos( t), 6 onde t é o tempo em horas desde a meia noite de de fevereiro de 99. a) Esboce um gráfico dessa função em de fevereiro de 99 (de t a t 4) b) Qual era a altura da água à maré alta? c) Quando foi a maré baia e qual era a altura da água nesse momento? d) Qual é o período desta função e o que ele representa em termos das marés? e) Qual é a amplitude desta função e o que ela representa em termos das marés? Material elaborado por Deborah Jorge e Karina Borges Mendes 9

Respostas: ) a) e) sen - 9 8 7 6 - - sen () + 9 8 7 6 - - b) - sen f) cos(/) - 9 8 7 6 - -,5 -,5-8 6 54 7 c) 5 4 - - - -4-5 5 cos t 9 8 7 6 g) sen(5)+,5,5 -,5 8 6 54 7 - d) h) -5 cos t sen(+p) 5 4 - - - -4-5 9 8 7 6,5-7 -8-9 9 8 7 6 -,5 - Material elaborado por Deborah Jorge e Karina Borges Mendes 4

i) m) sen(+p) cos(+p)- -7-8 -9 9 8 7 6 - - -7-8 -9-9 8 7 6 - - -4 j) n),5(cos)+ sen(+p/)+,5,5 -,5 6 9 - -,5-8 -9 9 8 7 6 - - k) (cos/4)- o) -cos()- -,5 6 7 8 44 - -,5 - - 45 9 5 8 -,5 - -,5 - -,5 - l) - sen(4)-,5 45 67,5 9 p) -cos(+p)+ 4 - - -4-7 -8-9 - 9 8 7 6 - )a) gráfico; b) 9,9 m; c) 6 e 8 horas e altura de, m; d) horas; e) 4,9 Material elaborado por Deborah Jorge e Karina Borges Mendes 4