A. Funções trigonométricas directas As funções seno, cosseno, tangente e cotangente são contínuas e periódicas nos respectivos domínios. Todas elas são funções não injectivas e, portanto, não possuem inversa. Seno Cosseno y = sen x y = cos x D sen = R D cos = R D sen = [ 1, 1] D cos = [ 1, 1] Π Π Π Π Π Π Π Π
Tangente y = tg x = sen x cos x Cotangente y = cotg x = cos x sen x D tg = R\ { π + kπ, k Z} D cotg = R\{kπ, k Z} D tg = R D cotg = R Π Π Π Π Π Π Π Π
B. Funções trigonométricas inversas Considerando restrições adequada das funções trigonométricas, obtemos funções contínuas e bijectivas definidas em intervalos. A injectividade será conseguida excluindo do domínio todos os pontos onde a função se repete. A sobrejectividade será obtida eliminando do conjunto de chegada todos os pontos que a função não assume. As inversas das restrições assim definidas serão também contínuas. B.1 Arco-seno Relativamente à função seno, convencionamos considerar a restrição bijectiva [ sen: π, π ] [ 1, 1] x sen x.
A sua inversa, que se designa por arco-seno lê-se arco (cujo) seno é a função [ arcsen : [ 1, 1] π, π ] y arcsen y, [ onde arcsen y indica o único arco do intervalo π, π ] cujo seno é igual a y. Assim, [ x = arcsen y, y [ 1, 1] y = sen x, x π, π ]. 1 1 y = arcsen x, x [ 1, 1], D arcsen = [ π, π ]
Pelo facto de sen e arcsen serem inversas uma da outra, tem-se [ arcsen (sen x) = x, x π, π ], sen (arcsen y) = y, y [ 1, 1]. No entanto, apesar de fazer sentido calcular arcsen (sen z), para z R\ [ π, π ], tem-se arcsen (sen z) z, z uma vez que D arcsen = [ π, π ]. [ π, π ],
Exemplo (a) arcsen 1 = π, arcsen = π 4, ( ) 3 arcsen = π 3. π De facto,, π 4 e π [ 3 são os únicos arcos do intervalo π, π ] onde o 3 seno é, respectivamente, igual a 1, e. (b) Tem-se, por exemplo, sen (3π) = 0 e sen (8π) = 0, mas arcsen 0 = 0. [ Porque 0 é o único arco do intervalo π, π ] onde o seno é igual a 0.
B. Arco-cosseno Relativamente à função cosseno, convencionou-se considerar a restrição bijectiva cos : [0, π] [ 1, 1] x cos x. A sua inversa, que se designa por arco-cosseno lê-se arco (cujo) cosseno é a função arccos : [ 1, 1] [0, π] y arccos, onde arccos y indica o único arco do intervalo [0, π] cujo cosseno é igual a y.
Assim, x = arccos y, y [ 1, 1] y = cos x, x [0, π]. 1 y = arccos x, x [ 1, 1], D arccos = [0, π]
Atendendo a que as funções cos e arccos são inversas uma da outra, tem-se arccos (cos x) = x, x [0, π], cos (arccos y) = y, y [ 1, 1]. Por outro lado, uma vez que D arccos = [0, π], tem-se arccos (cos z) z, z [0, π]. Exemplo ( ) (a) arccos 1 = 0, arccos( 1) = π, arccos = 3π 4. (b) arccos (cos 5π) = arccos( 1) = π, ( arccos cos 5π ) ( ) = arccos = π 4 4.
B.3 Arco-tangente Relativamente à função tangente, consideramos a restrição bijectiva ] tg : π, π [ R x tg x. A sua inversa, designada por arco-tangente lê-se arco (cuja) tangente é a função ] arctg : R π, π [ y arctg y, ] onde arctg y indica o único arco do intervalo π, π [ cuja tangente é igual a y.
Assim, se e só se x = arctg y, com y R y = tg x, x ] π, π [. y = arctg x, x R, D arctg = ] π, π [
B.4 Arco-cotangente Relativamente à função co-tangente, consideramos a restrição bijectiva cotg : ]0, π[ R x cotg x, cuja inversa é a função arco-cotangente lê-se arco (cuja) cotangente definida por arccotg : R ]0, π[ y arccotg y, onde arccotg y indica o único arco do intervalo ]0, π[ cuja cotangente é igual a y.
Assim, se e só se x = arccotg y, com y R y = cotg x, x ]0, π[. Π y = arccotg x, x R, D arccotg = ]0, π[
C. Funções hiperbólicas directas directas Vamos agora introduzir as funções hiperbólicas, apresentar algumas das suas propriedades e esboçar os seus gráficos. São funções que resultam de combinações de exponenciais e possuem propriedades semelhantes, do ponto de vista formal, às das funções trigonométricas. e x e x 1 e x 1
C.1 Seno hiperbólico O seno hiperbólico é a função sh : R R x ex e x. Trata-se de uma função contínua, ímpar e estritamente crescente, logo injectiva. Possui um único zero, a origem. Além disso, sh x = +, lim sh x =. lim x + x y = sh x, x R, D sh = R
C. Cosseno hiperbólico O cosseno hiperbólico é a função ch : R R x ex + e x. Trata-se de uma função contínua e par. Logo, não é injectiva. Não possui zeros e atinge um mínimo na origem, com valor ch 0 = 1. Além disso, lim ch x = lim ch x = +. x + x 1 y = sh x, x R, D sh = R
C.3 Tangente hiperbólica A tangente hiperbólica é a função definida por ou seja, por th : R R x sh x ch x, th x = ex e x e x, x R. + e x Trata-se de uma função contínua, ímpar e estritamente crescente, logo injectiva. Possui um único zero, em 0. Além disso, lim th x = x + lim e x e x x + e x + e x = lim e x 1 x + e x + 1 = lim x + 1 1 e x 1 + 1 e x = 1.
O gráfico da th possui, portanto, uma assímptota horizontal de equação y = 1, para x +. Da imparidade da th, existe outra assímptota horizontal de equação y = 1, para x. Tem-se ainda D th = ] 1, 1[. y 1 1 x y = th x, x R, D th = ] 1, 1[
C.4 Cotangente hiperbólica A cotangente hiperbólica é a função definida por ou seja, por coth : R\{0} R x ch x sh x, coth x = ex + e x e x e x, x R\{0}. Trata-se de uma função contínua, ímpar e sem zeros. Apesar de não ser monótona, é estritamente decrescente para x > 0, onde toma valores positivos, e para x < 0, onde toma valores negativos. Logo é injectiva. Da definição sai que lim coth x = +, lim coth x = 1. x 0 + x +
O gráfico da coth possui, portanto, uma assímptota horizontal de equação y =1, para x +, e uma assímptota vertical de equação x = 0. Da imparidade da coth, existe outra assímptota horizontal de equação y = 1, para x. Tem-se ainda D coth = R\[ 1, 1]. y 1 x 1 y = coth x, x R\{0}, D coth = R\[ 1, 1]
C.5 Algumas propriedades Com manipulações algébricas simples, é fácil verificar que estas funções hiperbólicas verificam as seguintes propriedades: (i) ch x sh x = 1, x R; (ii) ch x + sh x = e x, x R; (iii) sh( x) = sh x, x R; (iv) ch( x) = ch x, x R; (v) th x + 1 ch x = 1, x R; (vi) coth x 1 sh x = 1, x R\{0}; (vii) sh(x + y) = sh x ch y + ch x sh y, x, y R; (viii) ch(x + y) = ch x ch y + sh x sh y, x, y R;
Demonstração (i) Seja x R, qualquer. Então ( e ch x sh x + e x ) ( e x e x x = ) = 1 ( e x + + e x e x + e x) = 1. 4 (viii) Sejam x, y R, quaisquer. Então ch x ch y + sh x sh y = ex +e x ey +e y + ex e x ey e y = ex+y +e x y +e x+y +e x y 4 + ex+y e x y e x+y +e x y 4 = ex+y +e x y = ch(x + y). As restantes aĺıneas demonstram-se de maneira semelhante.
D. Funções hiperbólicas inversas Vamos agora definir as funções hiperbólicas inversas. Como vimos na subsecção C, as funções sh, th e coth são injectivas, enquanto que a função ch não é injectiva e, portanto, não será invertível. Para esta última, iremos considerar uma restrição apropriada. D.1 Argumento do seno hiperbólico A função sh é contínua, bijectiva e possui inversa contínua. Trata-se da função argumento do seno hiperbólico, que se define por argsh : R R y argsh y, onde x = argsh y, y R y = sh x, x R.
Mas, para x R, tem-se y = sh x y = ex e x y = ex 1 e x e x ye x 1 = 0. (1) A última condição em (1) traduz uma equação do segundo grau na incógnita e x. Tratando-a com a fórmula resolvente, sai e x = y ± y + 1, sendo a solução com o sinal + a única admissível, uma vez que e x > 0, x R e y y + 1 < 0, y R. Mas donde e x = y + y + 1 x = log argsh y = log ( y + ) y + 1, ( y + ) y + 1, y R. Assim, a função argsh fica completamente definida.
D. Argumento do cosseno hiperbólico A função ch não é injectiva, logo, não é invertível. Como tal, definiremos a inversa da seguinte restrição bijectiva e contínua ch : [0, + [ [1, + [ x ch x, que se designa por argumento do cosseno hiperbólico e que é também uma função contínua. Representa-se por onde argch : [1, + [ [0, + [ y argch y, x = argch y, y [1, + [ y = ch x, x [0, + [.
Mas, para x 0, tem-se y = ch x y = ex + e x y = ex + 1 e x e x ye x + 1 = 0. () A última igualdade de traduz uma equação do segundo grau em e x, donde e x = y ± y 1. Como x 0 = e x 1, a solução com o sinal + é a única admissível (a solução com o sinal corresponderia à inversa da restrição do ch para x 0). Mas e x = y+ ( y 1, x 0, y 1 x = log y + ) y 1, x 0, y 1, donde argch y = log ( y + ) y 1, y [1, + [, ficando a função argumento do cosseno hiperbólico completamente definida.
D.3 Argumento da tangente hiperbólica A função tangente-hiperbólica é injectiva mas não é sobrejectiva. poder inverter, basta considerar Para th : R ] 1, 1[ x th, que é bijectiva e, portanto, é invertível. Sendo contínua num intervalo, a sua inversa é contínua. Trata-se da função argumento da tangente hiperbólica, que se define por argth : ] 1, 1[ R y argth y, onde x = argth y, y ] 1, 1[ y = th x, x R.
Para x R, y ] 1, 1[, tem-se y = th x y = ex e x e x + e x y = ex 1 e x + 1 ( ) e x 1 + y (1 y) = 1 + y x = log, 1 y donde argth y = log ( ) 1 + y, y ] 1, 1[, 1 y completando-se a definição do argumento da tangente hiperbólica.
D.4 Argumento da cotangente hiperbólica A função cotangente-hiperbólica é injectiva mas não é sobrejectiva. Consideremos então coth : R\{0} R\ [ 1, 1] x coth que é bijectiva e, portanto, é invertível. A sua inversa é contínua. Trata-se da funçãoargumento da cotangente hiperbólica, que se define por argcoth : R\ [ 1, 1] R\{0} y argcoth y onde x = argcoth y, y R\ [ 1, 1] y = coth x, x R\{0}.
Para x R\{0}, y R\ [ 1, 1], tem-se y = coth x x = log ( ) y + 1, y 1 pelo que argcoth y = log ( ) y + 1, y R \ [ 1, 1], y 1 ficando assim completa a definição da função argumento da cotangente hiperbólica.