FUNÇÕES E GRÁFICOS Introdução Par ordenado Par ordenado dentro das funções será o par formado pelo representante do conjunto domínio com seu respectivo elemento do conjunto imagem. Veja no eemplo. f : R em R Prof. Daniel Almeida AULA 6/ Repare que no gráfico acima (f() = ), a função fica paralela ao eio ( das abscissas). A essa função que independente do valor, o valor de ou f() não se altera damos o nome de função constante. Podemos definir uma função constante como sendo : f : R Eemplos R / f () = p ou = p f () = f () = f ( ) = - 63 Função do º grau. Observe que nos gráficos anteriores todos formam uma reta. Sempre quando a função apresentar esse comportamento a ela damos o nome de função de º grau ou afim. Uma função f de A em B é uma função polinomial do º grau se for definida por Temos os seguintes pares ordenados: (3, 4) (7, -6) (-, ) (,, 3) Ao conjunto de todos os pares ordenados de um conjunto X em Y damos o nome de produto cartesiano de X em Y. Eemplo: A quantidade de demanda de um determinado produto (q) está relacionada com seu preço (p). Na economia, surgem muitos casos em que a quantidade de demanda de um certo produto e seu preço são relacionados por uma função do º grau (também chamada de função afim), ou seja, a relação é graficamente representada por uma reta, obedecidas certas condições. Como por eemplo, a quantidade de chapéus fabricada por uma certa industria a quantidade de demanda é dada pela equação q = 8 p. Vamos representar graficamente q em função de q em função de p. Observe que tanto p quanto q terão somente valores maiores que zero. Função constante f : R (a,b IR) Confira alguns eemplos: R / f () = a + b ou = a + b f () = - a = b = - f ( ) a b f () = + 6 a = b = 6 Eercícios resolvidos:. Dada a função f: R em R definida por = f() = + 9 obtenha: a) f() b) f(-) c) f(3) d) f(/) e) o valor de quando f() = - Basta substituir o valor de na função dada e encontra. a) f() =. +9 = 9 b) f(-) =.-+9= - + 9= 7 c) f(3) =.3 + 9 = 6 + 9 = d) f(/)=. ½ + 9 = + 9= Na letra e substitui f() por -, isola-se e encontra o seu valor. - = + 9-9- = - = =-. Se uma função passa pelos pontos A (4, -) e B (, 6). Determine os valores de a e b na função que obedece a lei de formação = a + b. º Passo substitui os valores de de e na lei de formação = a. + b
Logo temos. Prof. Daniel Almeida AULA 6/ Traçando no Plano cartesiano - = a. 4 + b e 6 = a. +b Agora resolve o sistema - = a. 4 + b 6 = a. +b Isola uma incógnita b = -4a E substitui na outra equação 6 = a -4a - Então temos a = Voltando a equação inicial temos. - = 4a + b Agora - = 4. + b Logo b = - 6 GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO DO º GRAU Todo gráfico de uma função do º grau será sempre uma reta inclinada. Porque temos f ( ) a b, com a. Função Crescente e Função decrescente Toda função Polinomial do º grau será ou crescente ou decrescente. Pois ela nunca será paralela ao eio. Para uma função ser denominada crescente a medida que o aumenta o f() ou tende a assumir valores cada vez maiores. E a função decrescente pelo contrario a medida que o seu se aumenta o tende a assumir valores menores. Observe o gráfico das duas funções a seguir. f() = + È importante ressaltar que a reta formada pela função é infinita, e por ela ser obliqua em relação aos eios das abscissas e das coordenadas, sempre ela vai cortar o eio e o eio. Construção f()= -+ Conforme um dos postulados de Euclides basta traçar dois pontos distintos, que por eles passarão uma única reta. Porém para maior garantia sugere-se que encontre no mínimo três pontos da reta para que possamos traçar a reta com absoluta certeza. Eemplo : Vamos construí o Gráfico da função 3 ou f ( ) 3 Usa-se uma tabela para auiliar nos pares ordenados Para cada elemento de escolhido aleatoriamente. Calculase o seu f(). Note que a única diferença entre as duas funções é o sinal de a, enquanto na primeira o a assume valor de + na segunda o a passa a valer -. E a diferença gráfica entre as funções é que a primeira é crescente e a segunda é decrescente. Com isso podemos concluir uma importante ferramenta, não só para a representação do gráfico de determinadas funções como a sua compressão. Observe. Se a > então a função polinomial do º será crescente. Se a < então a função polinomial do º será decrescente. - - -4 Raiz de uma função do º grau Em uma cidade do interior do Rio Grande do Sul todo dia a partir das h a temperatura cai drasticamente até as horas da manhã do dia seguinte.
Após vários dias alguns moradores que a temperatura diminuía de acordo com o passar das horas. Usando T() como sendo a temperatura representada em graus Celsius e como sendo as horas a partir das horas. A função que eles acharam é: T()=-+8 Assim ficou fácil de perceber à que horas a temperatura ultrapassava a casa do zero grau. È só substituir o T() por zero (temperatura a ser investigada). T ( ) 8 8 8 8 4 Ou seja a temperatura fica igual a zero graus 4 horas depois das horas, ou seja hora da madrugada do outro dia. Prof. Daniel Almeida AULA 6/ Note que a única diferença entre as funções e o valor que a assume. E graficamente as funções tem inclinação diferente. Por isso denominamos a coeficiente angular. Que também pode ser calculado como tangente do ângulo. Tg α = Cateto Oposto Cateto Adjacente Agora vamos observar outras funções f()= - Analisando isso graficamente. h()= + A esse ponto onde ou f() quando se igual a zero, é que denominamos de raiz da função. Portando raiz de uma função é o valor de que torna o valor da função nula. Importante observar também que a raiz de uma função é eatamente quando o eio das abscissas é interceptado pelo gráfico da função. Podemos encontrar a raiz de uma função: f() = a + b = Observe alguns eemplos.. Obtenção do zero da função f() = f() = - = COEFICIENTE ANGULAR E COEFICIENTE LINEAR Conforme visto anteriormente o sinal do a na função polinomial de º determina se a mesma é crescente ou decrescente. Pois bem, agora veremos o que define a inclinação da reta e a sua posição em relação ao eio. Note que o que difere as funções é o valor de b, e isso faz com que o gráfico da função tenha a mesma inclinação, porém em alturas distintas. Por isso chamamos b de coeficiente linear. Quando temos um feie de funções variando apenas o seu coeficiente linear. Dizemos que temo uma função linear. Eercícios resolvidos.. Determine os valores de m de modo que a função real f()= ( m) + 7 seja crescente. Lembrar que para ser crescente temos q ter a >. Logo -m > m> Então se, e somente se, m for maior que teremos uma função crescente, com m R. Observe o gráfico das seguintes funções 3
RESUMO: Prof. Daniel Almeida AULA 6/ SINAL DE UMA FUNÇÃO DO º GRAU Dentro do estudo das funções as vezes será necessário observar não somente o que ocorre no primeiro quadrante. È sim no que ocorre na função como um todo. Observe o seguinte eemplo. º) a < (a função é decrescente) Conclusão: é positivo para valores de menores que a raiz; é negativo para valores de maiores que a raiz. Um dono de materiais para construção adquiriu um rolo de fio por R$ 48, para vender em sua loja. Sabendo que o preço a ser vendido é de R$ 8,. O proprietário deseja saber após quantos metros vendidos ele começara a obter lucro. Note que o isso recai num calculo que é (receita despesa), isso em função vira f()= 8. - 48 Graficamente temos Eercício resolvido. Estude o sinal da função f()= - -3 Primeiro vamos descobrir qual o zero da função: f() = - -3 = - - 3 = -3 Em um esboço podemos afirmar que: Tendo r como raiz da função. Calculando r se obtém: =8 48 = 6 Ou seja, 6 metros é onde a função se anula. Mas o que é realmente importante destacar é que somente após 6 metros de fio vendido que o comerciante passou a ter lucro. Matematicamente podemos afirmar que: = quando = 6 < quando < 6 > quando > 6. Logo: Se = -3 temos f() = Se < -3 temos f() > Se > -3 temos f() < De uma maneira geral podemos dividir o estudo de sinais em duas partes: º) a > (a função é crescente) Conclusão: é positivo para valores de maiores que a raiz; é negativo para valores de menores que a raiz 4
TESTES EM SALA:. O gráfico abaio representa a função f()= a + b. Assinale a alternativa correta: Prof. Daniel Almeida AULA 6/ TESTES:. ( PUC - SP ) O gráfico abaio é o da reta = a + b, quando : a) a = ; b = b) a > ; b > c) a < ; b > d) a > ; b = e) a > ; b <. Assinale a alternativa que corresponde a função de acordo com o gráfico: a) a < b) a < c) a = d) a > e) a =. ( ITAJUBA-MG ) O gráfico abaio pode representar qual das epressões? 3 - a) f()= -+ b) f() = -/ + c) f()= -/ + d) f()=4 e) f()= - 4 a) = - 3 b) = - + 3 c) =, + 3 d) 3 = - e) = -, + 3 3. ( FGV - SP ) O gráfico da função f() = m + n passa pelos pontos ( 4, ) e ( -, 6 ). Assim o valor de m + n é : 4. (Unificado-RJ) Uma barra de ferro com temperatura inicial de ºC foi aquecida até 3ºC. O gráfico acima representa a variação da temperatura da barra em função do tempo gasto nessa eperiência. Calcule em quanto tempo, após o início da eperiência, a temperatura da barra atingiu ºC. 3 Temperatura (ºC) a) 3/ b) / c) 7/ d) 3/ e),4 4. (ESPCEX) O crescimento de um vegetal, sob certas condições e a partir de uma determinada altura, segue a função do gráfico abaio. Mantidas tais condições, pode-se afirmar que a função que representa o crescimento do vegetal e sua altura no dia são, respectivamente: - Tempo (minutos) a) min b) min seg c) min seg d) min seg e) min seg
Comprimento (cm) APROVA CONCURSOS MINISTÉRIO DA FAZENDA a)h( t) t e h = cm b)h( t) t e h = cm 3 3 c)h( t) t e h = 7 cm d)h( t) t cm 4 + e h = 7 t e)h( t) e h = cm. (VUNESP) O valor de um determinado tipo de automóvel diminui com o passar do tempo, como mostra o gráfico. preço (milhares de reais) Prof. Daniel Almeida AULA 6/ 7. (Acafe-SC) Um tái começa uma corrida com o taímetro marcando R$ 4,. Cada quilômetro rodado custa R$,. Se, ao final de uma corrida, o passageiro pagou R$ 37,, a quantidade de quilômetros percorridos foi: a) b) c) 33 d) 6 e) 3 8. (UFPR) No interior de uma caverna eiste uma estalagmite cuja altura aumenta de modo constante à razão de cm a cada anos. Nessas condições, a função h t definida por h(t) =, com t, relaciona a altura da estalagmite(em centímetros) com o tempo t (em anos) decorrido desde o inicio da sua formação. 8 tempo (anos) Esse carro não terá valor algum, decorridos a) anos. b) 3 anos. c) anos. d) 6 anos. e) 7 anos. 6. (UFPB-PB) O gráfico abaio indica o crescimento linear de uma planta. Se a relação apresentada na figura se mantém, então, no 3 o (trigésimo) dia, o comprimento da planta, em cm, é: 6, 3, I) Em um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, o gráfico da função h é uma parábola. II) h(8) = 8 III) São necessários anos para que haja um aumento de cm na altura da estalagmite. IV) A altura da estalagmite é diretamente proporcional ao tempo t. Assim é correto afirmar: a) FFVV b) VVVV c) FFFF d) VVFF e) FVFV 9. Um fabricante de bonés opera a um custo fio de R$., por mês (correspondente a aluguel, seguro e prestações de máquinas). O custo variável por boné é de R$,. Atualmente são comercializadas. unidades mensalmente, a um preço unitário de R$,. Devido à concorrência no mercado, será necessário haver uma redução de 3% no preço unitário de venda. Para manter seu lucro mensal, de quanto deverá ser o aumento na quantidade vendida? a) unidades b) unidades c) unidades d) 8 unidades e) n.d.a. 3 tempo (dias) a) 4 b) c) d) 6 e) 3 6
. (BOMB-4) Qual das histórias melhor se adapta ao gráfico abaio? Prof. Daniel Almeida AULA 6/ a) Saí de casa calmamente, mas quando vi que poderia me atrasar, comecei a caminhar mais rápido. b) Eu tinha acabado de sair de casa quando tive a sensação de ter esquecido as chaves do escritório. Parei para procurálas na minha mala, mas não as encontrei. Voltei para buscá-las e depois pude seguir para o escritório. c) Tinha acabado de sair de casa quando o pneu furou. Como meu carro estava sem estepe, precisei ficar horas esperando pelo borracheiro. Ele veio, consertou o pneu, e eu pude seguir viagem. d) Logo que saí de casa encontrei um amigo que não via há muito tempo. Parei para conversar um pouco e depois segui para o escritório. e) Saí de casa sem destino, dei uma volta na quadra e resolvi voltar para casa. O tempo estava para chuva e resolvi não sair mais de casa. GABARITO: 3 4 6 7 8 9 B C B C E B A D B B 7