MATRIZES E DETERMINANTES Para designar com clareza situações que apresentam um grupo ordenado de números dispostos em tabelas com linhas e colunas, introduziremos o conceito de matriz. Nesse sentido, matrizes são frequentemente utilizadas para organizar dados. Definição: Uma matriz é um quadro retangular com mn, elementos dispostos em m linhas e n colunas. Na grande maioria das vezes, esses elementos são números. Em notação matemática: Uma matriz n m é uma lista de números a, com índices duplos, onde m i e n j. O elemento a situa-se no cruzamento da i-ésima linha com a j-ésima coluna. Ordem de uma matriz: A ordem de uma matriz é dada pelo número de linhas (m) e o número de colunas que a constituem (n). Indicando-se m x n. Matrizes Especiais: Atividade : (UFRJ) Antonio, Bernardo e Claúdio saíram para tomar chope, de bar em bar, tanto no sábado quanto no domingo. As matrizes a seguir resumem quantos chopes cada um consumiu e como a despesa foi dividida: 8 6 E D C B A S D
S refere-se às despesas de sábado e D às de domingo. Cada elemento a nos dá o número de chopes que i pagou para j, sendo Antonio o número, Bernardo o número e Claúdio o número. Assim, no sábado Antonio pagou chopes que ele próprio bebeu, chope de Bernardo e de Cláudio. a) Quem bebeu mais chope no fim de semana? b) Quantos chopes Claúdio ficou devendo para Antonio? c) Quantos chopes foram consumidos pelo grupo no sábado e no domingo? Operações com matrizes:. Adição e subtração: Cada um dos elementos da matriz resultante C é a soma ou subtração de elementos correspondentes das duas matrizes que a originaram, A e B. Na soma e subtração as matrizes devem ter o mesmo tamanho; o resultado terá,consequentemente, a mesma ordem. Atividade : Um fabricante de determinado produto produz três modelos, A, B, e C. Cada modelo é manufaturado parcialmente na fábrica F em Formosa e depois terminado na fábrica F nos Estados Unidos. O custo total de cada produto é a soma do custo de produção com o custo de transporte. Calcule o custo total de produção e de transporte para cada modelo de produto, descritos pelas matrizes F e F. A ( a ) B ( b ) mxn mxn A B C ( c ) mxn. Matriz Oposta Seja a matriz A = (a ) mxn. Chama-se oposta de A a matriz representada por A, tal que A+ (-A)=O, em que O é a matriz nula do tipo m x n.. Propriedades da Adição Sendo A, B e C matrizes de mesma ordem e O a matriz nula, valem as seguintes propriedades: I. A + B = B + A (comutativa) II. (A + B) + C = A + (B + C) (associativa) III. A + (-A) = O (oposto) IV. A + O = A (elemento neutro)
. Multiplicação A grande novidade operacional entre matrizes é a multiplicação. Nesse âmbito, podemos encontrar dois tipos de situações:. Multiplicação de um número real por uma matriz. Multiplicação de matrizes Dadas as matrizes A ( a,chama-se produto de A por B, e se indica por A. B, a matriz ) mxn e B ( b jk ) nxp C ( c ik ) mxp, em que o elemento qualquer C ik é obtido da seguinte maneira: º - Tomamos ordenadamente os elementos da linha i da matriz A: a i, a i,..., a in. (I) º - Tomamos ordenadamente os n elementos da coluna k da matriz B: b k, b k,..., b nk. (II) º - Multiplicamos o º elemento de (I) pelo º elemento de (II), o º elemento de (I) pelo º elemento de (II), e assim sucessivamente. º - Somamos os produtos obtidos. Assim: Exemplo: Dadas as matrizes A ik. 6 6 c a a. b i. b k ai. bk... e B in 6 nk, determine, se existirem AB e BA.. Consequências da definição: ) Existe AB o número de colunas de A é igual ao número de linhas de B. º) A matriz produto C = AB é uma matriz cujo número de linhas é igual ao número de linhas de A e o número de colunas é igual ao número de colunas de B, conforme esquema: A. B C m n n p m p º) Notemos que, se A é do tipo m x n e B é do tipo n x p, com p diferente de m, então AB existe, mas BA não existe, pois: B A n p m n.
Atividade : Para a fabricação de caminhões, uma indústria montadora precisa de eixos e rodas para seus três modelos de caminhões, com a seguinte especificação: Componentes Modelo A B C Eixos Rodas 6 8 Para os dois primeiros meses do ano, a produção da fábrica deverá seguir a tabela abaixo: Modelo Meses Jan Fev A B 8 C Com base nisso, responda quantos eixos e quantas rodas são necessários em cada um dos meses para que a montadora atinja a produção planejada? OUTROS TIPOS DE MATRIZES Matriz Identidade de ordem n : I n = ( a ) n x n onde a = se i = j e a = se i j. Assim a matriz identidade de ª ordem ou seja de ordem x ou simplesmente de ordem é: A matriz identidade de ª ordem ou seja de ordem x ou simplesmente de ordem é:
Transposta de um matriz A : é a matriz A t obtida de A permutando-se as linhas pelas colunas e vice-versa. Exemplo: A matriz A t é a matriz transposta da matriz A. Notas:.) se A = A t, então dizemos que a matriz A é simétrica. A = =A t.) Se A = - A t, dizemos que a matriz A é anti-simétrica. É óbvio que as matrizes simétricas e anti-simétricas são quadradas..) sendo A uma matriz anti-simétrica, temos que A + A t = (matriz nula). DETERMINANTES Entenderemos por determinante, como sendo um número ou uma função, associado a uma matriz quadrada, calculado de acordo com regras específicas. É importante observar, que só as matrizes quadradas possuem determinante. Regra para o cálculo de um determinante de ª ordem Dada a matriz quadrada de ordem a seguir: O determinante de A será indicado por det(a) e calculado da seguinte forma : det (A) = A = ad - bc Exemplo:
Ora, senx.senx + cosx.cosx = sen x + cos x = ( Relação Fundamental da Trigonometria ). Portanto, o determinante da matriz dada é igual à unidade. Regra para o cálculo de um determinante de ª ordem ( Regra de SARRUS). SARRUS (pronuncia-se Sarrí), cujo nome completo é Pierre Frederic SARRUS (798-86), foi professor na universidade francesa de Strasbourg. A regra de SARRUS, foi provavelmente escrita no ano de 8. Para o cálculo de um determinante de ª ordem pela Regra de Sarrus, proceda da seguinte maneira: - Reescreva abaixo da ª linha do determinante, a ª e ª linhas do determinante. - Efetue os produtos em "diagonal", atribuindo sinais negativos para os resultados à esquerda e sinal positivo para os resultados à direita. - Efetue a soma algébrica. O resultado encontrado será o determinante associado à matriz dada. Exemplo: 7 Portanto, o determinante procurado é o número real negativo.- 77. Principais propriedades dos determinantes P) somente as matrizes quadradas possuem determinantes. P) o determinante de uma matriz e de sua transposta são iguais: det(a) = det( A t ). P) o determinante que tem todos os elementos de uma fila iguais a zero, é nulo. Obs: Chama-se FILA de um determinante, qualquer LINHA ou COLUNA. P) se trocarmos de posição duas filas paralelas de um determinante, ele muda de sinal. P) o determinante que tem duas filas paralelas iguais ou proporcionais, é nulo.
P6) multiplicando-se (ou dividindo-se) os elementos de uma fila por um número, o determinante fica multiplicado (ou dividido) por esse número. P7) um determinante não se altera quando se substitui uma fila pela soma desta com uma fila paralela, multiplicada por um número real qualquer. P8) determinante da matriz inversa : det( A - ) = /det(a). Se A - é a matriz inversa de A, então A. A - = A -. A = I n, onde I n é a matriz identidade de ordem n. Nestas condições, podemos afirmar que det(a.a - ) = det(i n ) e portanto igual a. Logo, podemos também escrever det(a). det(a - ) = ; logo, concluímos que: det(a - ) = / det(a). Notas: ) se det(a) =, não existe a matriz inversa A -. Dizemos então que a matriz A é SINGULAR ou NÃO INVERSÍVEL. ) se det A, então a matriz inversa A - existe e é única. Dizemos então que a matriz A é INVERSÍVEL. P9) Se todos os elementos situados de um mesmo lado da diagonal principal de uma matriz quadrada de ordem n, forem nulos (matriz triangular), o determinante é igual ao produto dos elementos da diagonal principal. P) Se A é matriz quadrada de ordem n e k R então det(k.a) = k n. det A Exemplos: ) Qual o determinante associado à matriz? Observe que a ª linha da matriz é proporcional à ª linha (cada elemento da ª linha é obtido multiplicando os elementos da ª linha por ). Portanto, pela propriedade P, o determinante da matriz dada é NULO. ) Calcule o determinante:
Observe que a ª coluna é composta por zeros; FILA NULA = DETERMINANTE NULO, conforme propriedade P acima. Logo, D =. ) Calcule o determinante: Ora, pela propriedade P9 acima, temos: D =..9 = 9 Exercícios propostos: ) Considere a matriz : a) Determine K para o qual o determinante da matriz A é nulo. b) Faça k = e resolva a equação matricial ) As matrizes A e B, quadradas de ordem, são tais que B =.A t, onde A t é a matriz transposta de A. Se o determinante de B é igual a, então o determinante da matriz inversa de A é igual a: a) / b) c) / d) / e) ) Determine a soma dos elementos da diagonal principal da matriz A = ( a ) X, onde a = i + j se i j ou a = i - j se i < j. Qual o determinante de A? Resp: soma dos elementos da diagonal principal = e determinante = 8 ) Se A = ( a ) é matriz quadrada de ordem tal que a = i - j então podemos afirmar que o determinante da matriz A é igual a: Resp: zero ) Considere a matriz. Quais os valores de k que tornam nulo o determinante da matriz M ki, sendo I a matriz identidade? Com base nas definições seguintes, responda: i) Teorema de Binet: det (A. B) = (det A). (det B) ii) Matriz transposta: A e A t são matrizes cujos determinantes coincidem, isto é, det A t = det A.
6) Sabendo que A e B são matrizes quadradas de ordem, det A =, det B t = -, qual é o valor de det (A. B)? 7) Sejam A e B matrizes quadradas de ordem, det A = e det B =. Qual é o valor de: a) det (A. B) b) det (B t. A t ) c) det (. A t )