CPÍTULO II Corpos ígidos Equilíbrio 30 30 kn/m E 45 kn C 20 kn/m 10 kn.m 30 kn/m D 1,0 m 2,0 m 3,0 m 4,0 m 2,0 m 3,0 m SEESTE VEÃO 2004/2005 aria Idália Gomes 1/24
Capitulo II Corpos ígidos Equilíbrio 2.1 Condições de equilíbrio s forças exteriores que actuam um corpo rígido podem ser reduzidas em um qualquer ponto O, a um sistema equivalente força-binário. Quando a força e o binário são ambos nulos, as forças externas constituem um sistema equivalente a zero e diz-se que o corpo rígido está em equilíbrio. s condições necessárias e suficientes para o equilíbrio de um corpo rígido são: = 0 e p = 0 não tem movimento de translação nem movimento de rotação, por isso, não tem graus de liberdade. Condições gráficas de equilíbrio: o polígono de forças é fechado, coincidem os seus pontos inicial e final (==0); e o polígono funicular é fechado, com os seus lados extremos coincidentes ( =0). Condições analíticas de equilíbrio: x = 0 x = 0 y = 0 no plano (x,y) y = 0 no espaço (x,y,z) z = 0 z = 0 x = 0 y = 0 z = 0 aria Idália Gomes 2/24
2.2 Elementos Estruturais Uma estrutura, definida como o corpo concebido para desempenhar correctamente a função a que se destina, isto é, adequado a resistir a solicitações, está ligada ao exterior por apoios e é constituída por elementos estruturais, tais como, laje, viga, pilar, fundação. Laje: peça laminar plana, uma das dimensões é muito menor do que as outras duas. s lajes de uma estrutura estão, na maior parte das vezes, apoiadas em vigas, podendo também, em certos casos, estar apoiadas directamente sobre pilares. Viga: peça linear, onde uma das dimensões é preponderante em relação às outras duas, sujeita principalmente a esforços de flexão. s vigas de uma estrutura tanto podem estar directamente apoiadas nos pilares como em outras vigas. Pilar: peça linear, onde uma das dimensões é preponderante às outras duas, sujeita principalmente a esforços de compressão. Os pilares estão apoiados nas fundações. aria Idália Gomes 3/24
undação: estrutura tridimensionalmente monolítica, onde as três dimensões são da mesma ordem de grandeza. s fundações de uma estrutura estão apoiadas em estacas ou directamente sobre o terreno. aria Idália Gomes 4/24
2.3 Sistemas de Carga 2.3.1 Considerações Na antiguidade não havia o cálculo ou o projecto estrutural. concepção e construção de estruturas evoluía por tentativas, evitando-se a repetição de erros anteriormente ocorridos. O conhecimento era empírico. Um dos factores determinantes na evolução ao nível da concepção das estruturas, foi a observação da natureza. Por exemplo, uma árvore com as suas raízes poderia perfeitamente servir de modelo para a construção de um pilar com a sua fundação. No entanto, com a evolução Industrial, surgiram novas técnicas construtivas e novos materiais que, aliados a um conhecimento cientifico, conduziram à elaboração dos projectos de cálculo estrutural. ssim, foi possível com segurança que os elementos estruturais tivessem dimensões cada vez menores e que os vãos fossem cada vez maiores. as, a execução do projecto estrutural de uma obra passa pela definição do sistema de carga ou tipo de carregamento que nele irá actuar, isto é, pelo conjunto das forças exteriores. aria Idália Gomes 5/24
classificação do tipo de carga é função dos seguintes parâmetros: I Extensão do local onde actua na estrutura: carga concentrada ou carga distribuída; II Tempo de aplicação: carga permanente ou carga acidental; III Permanência no local: carga fixa ou carga móvel. 2.3.2 Carga Concentrada orça que actua num ponto da estrutura. Sendo uma abstracção, é considerada sempre que a dimensão em que se distribui a carga é muito pequena em relação às dimensões da própria estrutura. Unidade no Sistema Internacional é o Newton (N). carga concentrada pode ocorrer nos seguintes elementos estruturais: lajes, vigas, pilares e fundações, como se indica de seguida: aria Idália Gomes 6/24
Exemplo de carga concentrada: sobre uma laje: um cofre no meio de uma sala sobre uma viga: reacção de uma outra viga sobre um pilar: reacção das vigas que se apoiam no pilar sobre a fundação: carga do pilar que chega na fundação 2.3.3 Carga Distribuída orça que se distribui numa zona que não é desprezível em relação às dimensões da estrutura. 2.3.3.1 Carga distribuída sobre uma direcção aria Idália Gomes 7/24
carga distribuída pode acontecer nos seguintes elementos estruturais: lajes, vigas. sobre uma laje: peso de uma parede de alvenaria (ex. parede interior). Exemplos de carga distribuída/m: sobre uma viga: peso de uma parede de alvenaria (ex. parede exterior). dq carga distribuída é caracterizada pela taxa de distribuição ou ordenada de carga q =, isto dx é, pela relação entre a força que actua um elemento da peça e esse elemento, sendo medida, portanto, em força por unidade de comprimento. s cargas distribuídas formam um sistemas de forças infinitésimais paralelas, infinitamente próximas sistema representado em (a), que é redutível a uma resultante única Q representada em (b). Porque os sistemas (a) e (b) são equivalentes: aria Idália Gomes 8/24
têm o mesmo efeito de translação a resultante das cargas distribuídas é a concentrada, b dq = qdx = Q, pelo que a intensidade da resultante é a área da superfície delimitada a pelo eixo da peça e pela linha de carga, designada por superfície de carga. têm também o mesmo efeito de rotação é igual o momento do sistema de cargas distribuídas em relação ao ponto e o momento da carga concentrada em relação ao b b mesmo ponto. x. qdx = d qdx centroíde da superfície de carga., o que mostra que a posição d da resultante passa no a a lguns exemplos de carga distribuída indicam-se de seguida: a) a ordenada de carga é constante a linha de carga é uma recta paralela ao eixo da peça e a carga é designada por uniformemente distribuída como exemplo tem-se uma parede de alvenaria Q = q l q = peso da parede por unidade de comprimento (kn/m) q aria Idália Gomes 9/24
b) a ordenada de carga é uma função linear como ocorre nos reservatórios de água, nas piscinas e nos muros de suporte de terra como exemplo tem-se um reservatório de água q h Q = 2 q (kn/m) 2 3 h 1 3 h h 2.3.3.2 Carga distribuída sobre uma superfície da estrutura Pode acontecer no seguinte elemento estrutural: laje. sobre uma laje: peso das pessoas sobre a laje Exemplo de carga distribuída/m 2 : sobre uma laje: peso do revestimento sobre a laje aria Idália Gomes 10/24
2.3.4 Carga omento Pode acontecer no seguinte elemento estrutural: laje, viga. Exemplo de carga momento: sobre uma viga: peso do mundo sobre a viga pergunta: porque será que a maçaneta de uma porta é o mais longe possível da dobradiça? Para haver equilíbrio, o momento causado pela força P deve ser igual ao momento causado pela força Q. Conclusão: quanto maior a distância, menor será a força. 2.3.5 Cargas Permanentes e Cargas cidentais s cargas permanentes são fixas ao local em que actuam, não variam de intensidade e actuam constantemente, podendo ser distribuídas ou concentradas. s cargas acidentais são chamadas sobrecargas, e podem estar ou não a actuar na estrutura, como por exemplo a ocorrência de uma explosão. aria Idália Gomes 11/24
Exemplo de cargas permanentes: biblioteca escritório Exemplo de cargas acidentais: explosão choque aria Idália Gomes 12/24
2.3.6 Carga óvel carga é designada por móvel porque se desloca, percorrendo a estrutura. carga representa o peso dos veículos que circulam sobre pontes e viadutos e o seu efeito é função da sua localização. São utilizados veículos padrão para definição deste tipo de cargas. Exemplo de cargas móveis: ponte rodoviária ponte ferroviária aria Idália Gomes 13/24
2.4 Vínculos 2.4.1 Considerações Os vínculos tanto são as ligações (ou transmissões) entre os elementos estruturais como as ligações da estrutura ao exterior, estas últimas designadas por apoios. É sempre necessário analisar as ligações interiores, isto é, a forma como os vários elementos estruturais estão ligados. Isto, porque existem ligações que permitem movimentos de uns elementos sobre os outros, ou seja, permitem movimentos relativos, aumentando, deste modo, o número de graus de liberdade da estrutura. s ligações ao exterior, os apoios, retiram graus de liberdade ao corpo por impedirem movimentos, dando assim origem a forças reactivas que são traduzidas pelas incógnitas. s incógnitas são variáveis dependentes das forças activas, ou seja, do sistema de cargas actuantes. Para se garantir o equilíbrio da estrutura estabelecem-se as equações que garantem a não existência de qualquer movimento na estrutura, tanto de translação como de rotação. 2.4.2 Classificação dos apoios Havendo no caso geral 6 graus de liberdade, os apoios são classificados em seis diferentes tipos, consoante o número de graus de liberdade que restringem. z 6 Graus de Liberdade x y No plano os apoios são classificados em três tipos diferentes. 3 Graus de Liberdade z x aria Idália Gomes 14/24
poio móvel: impede o movimento com a direcção perpendicular à base do apoio, por isso, a reacção tem essa direcção e apenas se desconhece a sua intensidade. Este tipo de apoio introduz uma incógnita. poio pendular (escora ou tirante): impede o movimento com a direcção do eixo do apoio, portanto, a reacção tem essa direcção desconhecendo-se apenas a sua intensidade. Este tipo de apoio introduz uma incógnita. Escora compressão Tirante - tracção poio fixo: impede todo e qualquer movimento de translação, pelo que a força reactiva é desconhecida tanto em intensidade como em direcção. Este tipo de apoio introduz duas incógnitas. 2 1 2 2 2 2 1 1 1 1 Encastramento: impede todos os movimentos, a translação no plano e a rotação em torno do eixo que lhe é perpendicular, força reactiva é desconhecida em intensidade, em direcção e ponto de passagem. Este tipo de apoio introduz três incógnitas. 2 1 aria Idália Gomes 15/24
2.4.3 ótulas ou rticulações Este tipo de ligação interior, entre elementos estruturais, não transmite momentos. Para que não seja possível a rotação relativa entre as partes ligadas através da rótula, estas devem estar adequadamente ligadas ao exterior através dos apoios. É de referir que numa estrutura com uma rótula, para além das três equações de equilíbrio da estática plana disponíveis para o cálculo das reacções, existe assim mais uma para garantir que não haja movimento relativo. Dispõe-se assim, de quatro equações linearmente independentes. Se a rótula ligar n barras, irá permitir escrever (n-1) equações de momentos, linearmente independentes, a juntar às três equações da estática. 4 2 3 1 x = 0 x = 0 y = 0 p = 0 p OU y = 0 d = 0 d e = 0 ou = 0 e = 0 aria Idália Gomes 16/24
Exemplo 1 2.4.4 Exemplos Ilustrativos Exemplo 2 Exemplo 3 Exemplo 4 aria Idália Gomes 17/24
2.5 Classificação das estruturas Se os vínculos de uma estrutura, não lhe permitem qualquer grau de liberdade, então a estrutura encontra-se em equilíbrio estável para qualquer carregamento. Se os vínculos deixam na estrutura um ou mais graus de liberdade, ou seja, possibilidade de movimento, então, para dadas condições de carregamento, esta encontra--se em equilíbrio instável. udando essas condições de carregamento o equilíbrio rompe-se e, porque há movimento, trata-se não de uma estrutura mas sim de um mecanismo. Numa estrutura definem-se as forças reactivas, ou seja, as incógnitas resultado da existência dos apoios e estabelecem-se as equações de equilíbrio, 3 da estática plana e as disponíveis resultado das ligações interiores. É necessário que as equações sejam linearmente independentes. Pode ocorrer uma das seguintes situações: 1- o n.º de incógnitas é menor que o n.º de equações estrutura tem graus de liberdade e, se para um dado carregamento estiver em equilíbrio, este equilíbrio é instável e designa-se por estrutura hipoestática (o sistema de equações é possível e determinado), caso não se verifique o equilíbrio trata-se de um mecanismo (sistema impossível). h e = n.º incógnitas n.º equações = 2-3 Estrutura Hipoestática aria Idália Gomes 18/24
= 0 Sistema possível e determinado y = 0 x = 0 0 = 0 h e = n.º incógnitas n.º equações = 2-3 θ ecanismo = 0 Sistema impossível y = 0 x = 0 - cos θ 0 2- o n.º de incógnitas é igual ao n.º de equações Se não houver graus de liberdade significa que os apoios estão adequadamente distribuídos. É uma estrutura isostática e mantém-se em equilíbrio estável qualquer que seja o carregamento que sobre ela actuar (o sistema é possível e determinado). h e = n.º incógnitas n.º equações = 4 (3 +1) H V H Estrutura Isostática Estável V aria Idália Gomes 19/24
e = 0 V Sistema possível e determinado y = 0 V d = 0 H x = 0 H Se existirem graus de liberdade, só para determinadas condições de carregamento se verifica o equilíbrio que é instável (sistema de equações possível e determinado). Para as outras condições de carregamento é um mecanismo (sistema impossível). h e = n.º incógnitas n.º equações = 4 (3 +1) H H Estrutura Isostática Instável V y = 0 V Sistema possível e determinado e = 0 e = 0 e H x = 0 H aria Idália Gomes 20/24
h e = n.º incógnitas n.º equações = 4 (3 +1) H H l ecanismo V d Sistema impossível = 0 l 0 Outros exemplos de mecanismo: a) 50 kn H C H ecanismo V 2 m 1 1 V Sistema impossível dta ( ) = 0-50 1+V 2 = 0 V = 25kN ( ) = 0-50 3+V 4 = 0 V = 37,5kN aria Idália Gomes 21/24
b) H V 3 50 kn ecanismo C 3 H 4 m 1 3 V Sistema impossível dta = 0-50 1+V 4+ H 3 = 0 = 0-50 5+V 8+ H 6 = 0 3- o n.º de incógnitas é superior ao n.º de equações. Se a estrutura não tiver graus de liberdade é uma estrutura hiperstática e está em equilíbrio estável sob a acção de um qualquer sistema de cargas. as não é possível o cálculo das reacções de apoio no âmbito da mecânica dos corpos rígidos, o sistema de equações é possível mas insuficiente (sistema possível e indeterminado). h e = n.º incógnitas n.º equações = 5 (3 +1) H Estrutura Hiperstática Estável V H V aria Idália Gomes 22/24
Se existirem graus de liberdade só para determinadas condições de carregamento se verifica o equilíbrio, que é instável, mas continua a não ser possível a determinação das incógnitas (sistema de equações possível e indeterminado). Para as outras condições de carregamento é um mecanismo (sistema impossível). h e = n.º incógnitas n.º equações = 5 (3 +1) H C H C Estrutura Hiperstática Instável H V h e = n.º incógnitas n.º equações = 5 (3 +1) H l H C ecanismo C H V aria Idália Gomes 23/24
Exercício de plicação Enunciado Para a estrutura apresentada: igura 30 a) calcule as reacções de apoio 30 kn/m E b) transforme-a numa hiperstática de grau 2, sem alterar as ligações interiores c) transforme a estrutura hiperstática em isostática sem alterar as ligações exteriores. 45 kn C 20 kn/m 10 kn.m 30 kn/m 4,0 m 2,0 m D 3,0 m 1,0 m 2,0 m 3,0 m aria Idália Gomes 24/24