HAIDAY, SNICK, WAK, UNDAMNOS D ÍSICA, 4.D., C, IO D JANIO, 996. ÍSICA CAPÍUO 9 MPAUA 5. Um termômetr de resistência é aquele que utiliza a variaçã da resistência elétrica cm a temperatura de uma substância. Pdems definir as temperaturas medidas pr esse termômetr, em Kelvins (K), cm send diretamente prprcinais às resistência, medida hms ( ). Um cert termômetr de resistência, quand seu bulb é clcad na água à temperatura d pnt tripl (7,6 K), tem uma resistência de 9, 5. Qual a leitura d termômetr, quand sua resistência fr 96,8? (Pág. 8) Para um termômetr de resistência, a temperatura medida em funçã da resistência é dada pela q. (), ) ( k () nde k é uma cnstante de prprcinalidade. Nesse termômetr, a temperatura d pnt tríplice da água ( ) é dada pr (), nde é a medida da resistência n mesm pnt tríplice. () ( ) k Dividind-se () pr (): ( ) ( ) 9,K 96,8 7,6 K 9, 88 K 9,5 6. Dis termômetrs de gás a vlume cnstante sã usads em cnjunt. Um deles usa nitrgêni e utr, hidrgêni. A pressã de gás em ambs s bulbs é p = 8 mmhg. Qual é a diferença da pressã ns dis termômetrs, se clcarms ambs em água fervend? m qual ds termômetrs a pressã será mais alta? (Pág. 8) ste prblema deve ser reslvid cm auxíli d gráfic apresentad na ig. 9-6 (pág. 7). Halliday, esnick, Walker - ísica - 4 a d. - C - 996. Cap. 9 emperatura
(a) A ig. 9-6 mstra que um termômetr de gás a vlume cnstante que usa H cm substância termmétrica a uma pressã de 8 mmhg, mede uma temperatura para a água fervente aprximadamente igual H 7,5 K. Usand-se N à mesma pressã, a medida da temperatura será N 7,5 K. Para um termômetr de gás a vlume cnstante, vale a seguinte relaçã: g: H 7,6 K p p 7,6 K p p H p H p H () 7,6 K De maneira idêntica, tems: p N p N 7,6 K () azend-se () (): p p pn p H N H 7,6 K p 8 mmhg 7,6 K 7,5 K 7,5 K,5857 mmhg p,59 mmhg (b) A pressã será mais alta n termômetr de N, pis N H. Ist se deve a fat de N ter um cmprtament mens ideal d que N. 8. Um termistr é um cmpnente semicndutr cuja resistência elétrica depende da temperatura. Cstuma ser usad em terrmômetrs clínics e também para detectar superaqueciment em equipaments eletrônics. Dentr de uma faixa limitada de temperatura, a resistência é dada pr B / / a e, a Halliday, esnick, Walker - ísica - 4 a d. - C - 996. Cap. 9 emperatura
nde é a resistência d termistr à temperatura e a é a resistência à temperatura a ; B é uma cnstante que depende d material semicndutr utilizad. Para um tip de termistr, B = 4.689 K, e a resistência a 7 K é, 4. Que temperatura termistr mede quand sua resistência é? (Pág. 8) A resistência d termístr () em funçã da temperatura () é dada pr: ( ) a e B(/ / a ) Aplicand-se lgaritm natural, têm-se: ln ( ) a ln ln ln B a ln a B a ln e ln ln 7, 6 K 4 B 4.689 K, 7 K a a 7 K. A que temperatura a escala ahrenheit indica uma leitura igual a (a) duas vezes a da escala Celsius e (b) metade da escala Celsius? (Pág. 8) (a) O enunciad exige que: C A regra de cnversã da escala Celsius para ahrenheit é: g: 9 5 C 9 5 (b) Agra enunciad exige que: g: C 9 5,76 Halliday, esnick, Walker - ísica - 4 a d. - C - 996. Cap. 9 emperatura
4. A que temperatura s seguintes pares de escalas dã a mesma leitura: (a) ahrenheit e Celsius (veja abela 9-), (b) ahrenheit e Kelvin e (c) Celsius e Kelvin? (a) (b) (c) 9 C 5 9 =C 5 =C 4 =C 9 C 5 9 K 5 7,5 9 =K =K 5 7,5 =K 574,5875 =K 575 C K 7,5 C=K C=K 7,5 (Pág. 8) A equaçã acima nã tem sluçã. g, as escalas Celsius e Kelvin nunca apresentam a mesma leitura. 5. Supnha que, numa escala de temperatura X, a água ferva a -5,5 X e cngele a -7 X. Qual valr de 4 K, na escala X? (Pág. 8) Cnsidere seguinte esquema: Halliday, esnick, Walker - ísica - 4 a d. - C - 996. Cap. 9 emperatura 4
scala X scala Kelvin 5,5 7,5 K X 4 K 7 7,5 K Cmparand-se as escalas X e Kelvin, pde-se afirmar que: 5,5 X 7 X 7,5 K 7,5 K 5,5 X 6,5 X K 5,5 X X X,5 K 7,5 K 4 K X X 9,975 X 9, X 6. g depis que a erra se frmu, calr causad pel decaiment de elements radiativs aumentu a temperatura interna média de para. K, que é, aprximadamente, valr atual. Supnd um ceficiente de dilataçã vlumétrica médi de, 5 K, de quant aumentu rai da erra, desde a sua frmaçã? (Pág. 8) A razã entre rai inicial da erra e rai atual pde ser calculad a partir da variaçã d vlume da erra, que é dada pr: g: 4 4 / / 5, K.7 K,6, 6 Halliday, esnick, Walker - ísica - 4 a d. - C - 996. Cap. 9 emperatura 5
7 km, 6, 6 6 6,7 m 6.5, 74 m 4. Uma caneca de alumíni de cm está cheia de glicerina a C. Quanta glicerina derramará, se a temperatura d sistema subir para 8 C? (O ceficiente de dilataçã da glicerina é = 5, 4 / C.) (Pág. 8) O vlume de líquid derramad crrespnderá à diferença entre seu vlume final e vlume final d recipiente. O vlume final da caneca de alumíni é: O vlume final da glicerina Gli é: Gli Gli O vlume derramad será: Gli Gli Gli Gli 4 5 cm 5, C, C 8 C C, 646 cm,6 cm 6. Uma barra de aç a 5 C tem, cm de diâmetr. Um anel de latã tem diâmetr interir de,99 cm a 5 C. A que temperatura cmum anel se ajustará exatamente à barra? (Pág. 8) A sluçã d prblema baseia-se em calcular separadamente s diâmetrs finais da barra (d b ) e d anel (d a ) e igualá-ls psterirmente. O diâmetr final d anel é: da da a () De frma semelhante, diâmetr final da barra será: db db b () Igualand-se () e (): da a db b eslvend-se a equaçã acima para : d d d d b a a a b b d d a a b b Halliday, esnick, Walker - ísica - 4 a d. - C - 996. Cap. 9 emperatura 6
, cm,99 cm,99 cm 5 C,9 C 5,99 cm,9 C, cm, C 5 5, cm 5 C, C 5,99 cm,9 C, cm, C 5 5 6,4579 C 6 C 7. A área A de uma placa retangular é ab. O ceficiente de dilataçã linear é. Depis de um aument de temperatura, lad a aumentu de a e b de b. Mstre que, desprezand a quantidade pequena a b/ab (veja ig. 9-5), A = A. A grandeza prcurada é: A (Pág. 8) A A () A área da placa expandida, A, é dada pr: A a a b b () nquant que a área da placa riginal, A, é dada pr: A ab () Substituind-se () e () em (): A a a b b ab (4) Os valres de a e b sã dads pr: a a (5) b b (6) Substituind-se (5) e (6) em (4): A a a b b ab Desenvlvend-se a expressã acima, terems: A ab ab ab ab A ab ab O term ab pde ser identificad cm send a b, que crrespnde à área d pequen retângul n extrem inferir direit da placa expandida. sse term é muit pequen em cmparaçã a ab, e pde ser desprezad. Identificand prdut ab cm a área A, chega-se a final da demnstraçã: Halliday, esnick, Walker - ísica - 4 a d. - C - 996. Cap. 9 emperatura 7
A A 49. Um tub de vidr vertical de,8 m está chei até a metade cm um líquid a C. Qual a variaçã da altura da cluna líquida, se aquecerms tub até C? Cnsidere vidr =, 5 / C e líquid = 4, 5 / C. (Pág. 8) Cnsidere seguinte esquema da situaçã: H = / H A variaçã da altura da cluna líquida H vale: Cm é cnhecid, precisams determinar H. ams cmeçar cálcul de H pela expressã d vlume final d líquid, liq : liq H H H H () H liq H Agra dependems de liq, que pde ser btid pela análise da expansã térmica d líquid: liq liq, Na expressã acima, liq, crrespnde a vlume inicial d líquid. g: liq H () Substituind-se () em (): H A razã entre s rais d tub antes ( ) e depis () da variaçã térmica pde ser btida pela análise da dilataçã linear d tub: g: () (4) Halliday, esnick, Walker - ísica - 4 a d. - C - 996. Cap. 9 emperatura 8
Substituind-se (5) em (4): H (5) (6) inalmente, pdems substituir (6) em (): H H, 8 mm 5 4, C C 5, C C,79 mm H, mm 5. Uma espessa barra de alumíni e um fi de aç estã ligads em paralel (ig. 9-9). A temperatura é de, C. Ambs têm cmpriment 85, cm e nenhum ds dis está tensinad. O sistema é aquecid até C. Calcule a tensã resultante n fi, supnd que a barra se expande livremente. Cnsidere seguinte esquema: (Pág. 8) O prblema pede para determinar a tensã n fi de aç após a expansã d cilindr de alumíni. Devid à natureza d prblema, sua sluçã requer a utilizaçã d módul de Yung d fi,. eja maires detalhes sbre módul de Yung na seçã-6 - lasticidade. O valr d módul de Yung para aç fi extraíd da ab.., pag.. O módul de Yung () é definid cm a cnstante de prprcinalidade entre /A e /, nde é a frça exercida sbre um bjet, A é a Halliday, esnick, Walker - ísica - 4 a d. - C - 996. Cap. 9 emperatura 9
área da seçã transversal d bjet na direçã de e se refere a cmpriment riginal d bjet, medid na direçã de. Ou seja: A De acrd cm a q. (), a pressã (/A) exercida sbre uma barra, na direçã d seu cmpriment, é diretamente prprcinal à variaçã fracinal d cmpriment ( / ). A pressã ns extrems da barra pde ser n sentid de cmprimi-la u expandi-la. N presente cas, tem-se um fi a invés de uma barra e prcess é de expansã. Cm prblema nã frneceu a área da seçã transversal d fi de aç, smente será pssível determinar a razã /A, e nã, cm fi pedid. Inicialmente, à temperatura, tant fi quant cilindr pssuem cmpriment. Prtant, fi encntra-se inicialmente relaxad. Quand sistema é aquecid, fi e cilindr expandem-se, send que alumíni expande-se mais d que fi de aç (ceficiente de dilataçã térmica mair para alumíni). A diferença entre s cmpriments finais d cilindr e d fi é que gera a tensã n fi, send essa diferença,, que entra em (). Assim, cmpriment d cilindr de alumíni após a expansã térmica será: 5 ( ) 85, cm, C C 85, 55 cm Se fi de aç nã estivesse cnectad a cilindr, seu cmpriment após a expansã térmica seria: ( ) 85, cm, C C 85,85 cm ' 5 m relaçã à situaçã d fi de aç n prblema, a q. () pde ser reescrita da seguinte frma: ' A ' ' Substituind-se pels valres numérics frnecids: A A 9 85,55 cm 85,85 cm 8 N/m, 668 Pa 85,85 cm,64 8 Pa () 5. Duas barras de materiais diferentes, mas cm mesm cmpriment e seçã reta igual à A sã clcadas, cm na ig. 9-a. A temperatura é e nã há tensã inicial. A temperatura é aumentada em. (a) Mstre que a interface entre as barras é deslcada de uma quantidade dada pr nde a e sã s ceficientes de dilataçã linear e e sã s móduls de Yung ds Halliday, esnick, Walker - ísica - 4 a d. - C - 996. Cap. 9 emperatura
materiais. Despreze mudanças nas seções retas. (b) Ache a tensã na interface após aqueciment? (Pág. 8) O esquema a seguir mstra quais seriam s cmpriments finais das barras e, cas elas nã estivessem alinhadas e pudessem expandir-se livremente. + + Barra livre + Barra livre Os terms e crrespndem às cmpressões sfridas pelas barras e, respectivamente. De acrd cm esquema, tems as seguintes relações para estas grandezas: () () A equaçã que define módul de Yung é: A Nesta equaçã, é a tensã aplicada sbre a área A de uma barra, é a variaçã bservada n cmpriment da barra, devid à tensã aplicada, é cmpriment inicial da barra e é módul de Yung d material da barra. N pnt de cntat entre as barras e, na temperatura +, tems: g: A A () Substituind-se () e () em (): Na expressã acima, s terms e pdem ser substituíds pels equivalentes e. Halliday, esnick, Walker - ísica - 4 a d. - C - 996. Cap. 9 emperatura
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SNICK, HAIDAY, KAN, ÍSICA, 4.D., C, IO D JANIO, 996. ÍSICA CAPÍUO MPAUA 9. Observa-se que bjets quentes u fris esfriam u esquentam, respectivamente, para atingir a temperatura d ambiente. Se a diferença de temperatura entre bjet e sua vizinhança( = bj viz ) nã fr grande, a taxa de esfriament u aqueciment d bjet será aprximadamente prprcinal à diferença de temperatura, ist é, d A dt nde A é uma cnstante. O sinal mens aparece prque se fr psitiv, ele decresce cm temp e, se fr negativ, cresce. sta é a lei de Newtn para resfriament. (a) De que fatres A depende? (b) Se n instante t = a diferença de temperatura fr, mstre que num instante t ela será At e (Pág. 76) (a) A cnstante A depende da massa, da área superficial e d calr específic d crp. A unidade de A é s -. (b) Partind-se da funçã frnecida, d A dt pde-se rearranjá-la da seguinte frma: Adt d dt Integrand-se () dentr ds limites aprpriads, btém-se: A At inalmente t t dt ln e At e At d dt ln (). Um termômetr a gás especial cnsiste em dis bulbs que cntém gás, cada um clcad em um reservatóri de água, cm mstra a ig.. A diferença de pressã entre s dis bulbs é medida pr um manômetr de mercúri, também representad na figura. eservatóris aprpriads, que nã sã mstrads na figura, mantém cnstante vlume de gás ns bulbs. Quand s dis banhs estã n pnt tríplice da água, nã há diferença de pressã. Quand um banh está n pnt tríplice e utr n pnt de ebuliçã da água, a diferença de pressã é de mmhg. inalmente, a diferença de pressã é de 9, mmhg, quand um banh está n Halliday esnick, Halliday, Krane - ísica - 4 a d. - C - 996. Cap. emperatura
pnt tríplice da água e utr numa temperatura descnhecida que desejams medir. Que temperatura é esta? (Pág. 76) Cnsiderand-se que a diferença de pressã bservada n manômetr de mercúri seja prprcinal à temperatura, pdems cnstruir seguinte gráfic da dependência entre estas grandezas, em que e p sã a pressã e a temperatura d pnt tríplice da água, e p sã a pressã e a temperatura d pnt de ebuliçã da água, é a temperatura que se quer medir e p é a pressã d bservada para a temperatura : p p Cm a declividade da curva vale / p, pdems escrever: p p p p p p p 7,6 K 7,5 K 7,6 K 9, mmhg mmhg 55,657 K 8,57 C 8,5 C p p p 5. O cmpriment de uma barra, medid cm uma régua de ferr à temperatura ambiente de C, é de,5 cm. A barra e a régua sã clcadas em um frn a 7 C e a medida da barra cm a régua é agra de, cm. Calcule ceficiente de dilataçã térmica d material da barra. (Pág. 77) Cnsidere seguinte esquema da situaçã: Halliday esnick, Halliday, Krane - ísica - 4 a d. - C - 996. Cap. emperatura 4
Barra égua Barra égua égua Para calcular ceficiente de dilataçã da barra, é precis determinar seu cmpriment após a expansã térmica, medind-a cm uma régua que esteja à temperatura. N presente cas, cmpriment final da barra fi medid cm uma régua à temperatura, que resultu na medida. Barra égua Cm cnhecems ceficiente de expansã linear da régua, pdems determinar quant a régua expandiu. Ou seja, à temperatura a marca (, cm)da régua cincide cm cmpriment da barra. Se a régua fr resfriada à temperatura, mas a barra nã, a régua irá marcar cm send cmpriment da barra. Bara égua A expansã térmica da régua é dada pr ( ; ): ' ' ' ' () A expansã térmica da barra é dada pr: B B () Igualand-se () e (): ' ' B ' ' B B ' ( ) 5, cm, C 5 C,5 cm 5 C,5 cm Na expressã acima, utilizu-se ceficiente de dilataçã térmica d aç para ferr, pis sã praticamente iguais. B B 5,9 C, 5 C 8. Uma barra de cmpriment =,77 m e ceficiente de dilataçã térmica 5 6 pr grau C é fixada em seus extrems e tem uma rachadura em seu centr. Cm cnseqüência de um aument de temperatura de C ela se eleva n centr, cm mstra a ig. 5. Determine a elevaçã x. Halliday esnick, Halliday, Krane - ísica - 4 a d. - C - 996. Cap. emperatura 5
O cmpriment final da barra é (Pág. 77) () Aplicand-se terema de Pitágras a triângul indicad na figura abaix: / x / x eslvend-se () para x e substituind-se valr de dad pr (): x 4 4 x 4 x,77 m 5,5 C C, 754 m x 7,5 cm (). A densidade é btida dividind-se a massa pel vlume. Cm vlume depende da temperatura, a densidade também deve depender dela. Mstre que a variaçã da densidade cm a variaçã da temperatura é dada pr =, nde é ceficiente de dilataçã vlumétrica. xplique sinal mens. (Pág. 78) Seja a densidade à temperatura e m m a densidade à temperatura, definidas pr: A variaçã d vlume devida à variaçã de temperatura é dada pr: () A variaçã de densidade devida à variaçã de temperatura será: Halliday esnick, Halliday, Krane - ísica - 4 a d. - C - 996. Cap. emperatura 6
m m m m m Substituind-se () em (): m m () O sinal negativ em () é cnseqüência de uma variaçã psitiva da temperatura resultar numa variaçã negativa da densidade. () 4. O pêndul de um relógi é feit de latã e é prjetad para dar temp cm precisã a C. Qual será err, em segunds pr hra, se relógi funcinar a C? (Pág. 78) Cnsidere seguinte esquema para a situaçã: O err pedid n prblema é a variaçã bservada n períd d relógi de pêndul ( P), durante uma hra. Utilizu-se a abreviaçã P para períd para nã cnfundir cm a temperatura. A variaçã d períd d relógi de pêndul devida à variaçã de temperatura é dada pr: P P () P nde P, períd d relógi de pêndul à temperatura, e P, períd à temperatura, sã definids pr: P g P () g Na equaçã (), g é a aceleraçã lcal da gravidade. O cmpriment da haste d pêndul, à temperatura é: () Substituind-se () em (): P P g g Substituind-se (4) em (): P P P P (4) Halliday esnick, Halliday, Krane - ísica - 4 a d. - C - 996. Cap. emperatura 7
m uma hra, que implica em P = 6 s, err será: P 5.6 s,9 C C, 6846 s P,68 s O sinal negativ de P significa que huve diminuiçã n períd d relógi que, em uma hra, acumulu,68 s. Cm uma diminuiçã n períd faz cm que relógi ande mais rápid, a cnseqüência é que relógi vai adiantar,68 s em uma hra. 45. rês barras retas de alumíni, invar e aç, de mesm cmpriment, frmam a C um triângul equiláter cm articulações ns vértices. A que temperatura ângul pst a lad de invar será de 59,95? (Pág. 78) Cnsidere seguinte esquema para a situaçã: Inv Inv A resluçã deste prblema é gemétrica. Aplicand-se a lei ds cssens a triângul à temperatura : Mas: cs () Inv () Substituind-se a () em (): Inv cs liminand-se e expandind-se s terms entre parênteses: Inv Inv ecnhecend-se que s terms envlvend apenas, pde-se desprezar s primeirs: cs sã muit menres ds que aqueles envlvend Inv cs Inv Inv cs cs cs cs cs cs Halliday esnick, Halliday, Krane - ísica - 4 a d. - C - 996. Cap. emperatura 8
cs cs cs Inv cs cs cs Inv Pr definiçã: cs 59,95, 7 C C C cs 59,95 C 6 6 6 6 cs 59,95 C 6 46, 46497 C C 46, 46497 C 66, 46497 C O valr aprximad de, cm apenas um algarism significativ, é: 7 C Halliday esnick, Halliday, Krane - ísica - 4 a d. - C - 996. Cap. emperatura 9
SNICK, HAIDAY, KAN, ÍSICA, 5.D., C, IO D JANIO,. ÍSICA CAPÍUO - MPAUA 6. Quand a temperatura de um cilindr de metal é aumentada de 6 para C, seu cmpriment aumenta em,9%. (a) ncntre a variaçã percentual na massa específica. (b) Identifique metal. (Pág. ) Cnsidere seguinte esquema da situaçã: (a) O enunciad d prblema pede para calcular a razã ( )/. m m m Aplicand-se a expansã vlumétrica d cilindr: Agra precisams determinar valr d ceficiente de expansã térmica α d metal d cilindr para cmpletar cálcul. Iss é feit pr mei da infrmaçã sbre a expansã linear d cilindr, frnecida pel enunciad.,9, 9, 9, 9 Substituind-se () em ():, 9, 76, 9, 76, 754 () (),8 esnick, Halliday, Krane - ísica - 5 a d. - C -. Cap. emperatura
Ou:,8% O sinal negativ indica que huve diminuiçã na variaçã percentual da massa específica d cilindr. (b) A identificaçã d metal é feita pela cmparaçã d valr d ceficiente de expansã térmica d metal cm valres tabelads. A quaçã () permite cálcul de α., 9, 9 C 6 C, C 5 A abela -, Pág., indica que cilindr é feit de alumíni.. (a) Prve que a variaçã da inércia rtacinal I de um sólid cm a temperatura é dada pr I = αi. (b) Uma haste fina de latã, girand livremente a rev/s em trn de um eix perpendicular à haste e passand pel seu centr, é aquecida sem sem cntat mecânic até que sua temperatura aumente para 7 C. Calcule a variaçã na velcidade angular. (Pág. ) (a) ams supr que mment de inércia inicial é I e final, após aqueciment, é I. ams supr também que I = km, em que k é uma fraçã que depende d crp e d eix em relaçã a qual I é calculad. I I I km km km I km km O term α é, em geral, muit menr d que α. Neste cas, α, enquant que α 5. ams, prtant desprezar α. I km km I I (b) A variaçã da velcidade angular é calculada pr mei da aplicaçã da cnservaçã d mment angular (), dada a ausência de trques externs atuand sbre a haste. I I Usand-se resultad btid n Item (a): g: I I I rev/s 9 C 7 C 6 8,57 rev/s 8,57 rev/s rev/s,476 rev/s,45 rev/s O sinal negativ indica que há uma diminuiçã na velcidade angular da haste cm cnseqüência d aument de temperatura. esnick, Halliday, Krane - ísica - 5 a d. - C -. Cap. emperatura
4. Gás xigêni cm um vlume de cm a 4, C e à pressã de kpa expande até que seu vlume seja 5 cm e a sua pressã seja 6 kpa. Determine (a) númer de mles de xigêni n sistema e (b) a sua temperatura final. (Pág. ) (a) cnsiderand-se que xigêni nessas cndições apresente cmprtament ideal, terems: p n n n p,46 ml Pa, m 5 5 8,4 J/K.ml 5,5 K, 4558 ml (b) Cmparand-se s estads inicial e final d sistema terems: p p p p 448 K 5 6 Pa 5 cm 5,5 K Pa cm 5 447,86 K. Cnsidere um termômetr de vidr de mercúri. Supnha que a seçã transversal d capilar A é cnstante e que é vlume d bulb de mercúri a, C. Mstre que cmpriment da cluna de mercúri n capilar a uma temperatura, em C,, A ist é, prprcinal à temperatura, nde é ceficiente de dilataçã vlumétrica d mercúri e é ceficiente de dilataçã linear d vidr. (Pág. ) A variaçã d vlume d vidr é dada pr: vidr A variaçã d vlume d mercúri é dada pr: Hg O vlume de mercúri na cluna de vidr é dad pela dilataçã aparente d mercúri. Para iss, está implícit que na temperatura, C nível de mercúri está na base da cluna ( = ). Hg, ap Hg vidr A Cm =, C: A esnick, Halliday, Krane - ísica - 5 a d. - C -. Cap. emperatura