UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO INSTITUTO POLITÉCNICO Graduação em Engenharia Mecânica Disciplinas: Mecânica dos Materiais 2 6º Período E Dinâmica e Projeto de Máquinas 2-10º Período Professor: Dr. Damiano da Silva Militão.
Tema de aula 1: Transformação da Tensão OBJETIVOS: Mostrar como transformar as componentes de tensão, associados a um sistema de coordenadas particular, em componentes associadas a um sistema de orientação diferente.. Estabelecer as equações de transformação e obter as tensões normal máxima e de cisalhamento máxima determinando a orientação dos elementos sobre os quais atuam. SEQUÊNCIA DE ABORDAGENS: 1.1 Transformação no Estado Plano de Tensões 1.2 Equações Gerais de Transformação de Tensão para o Estado Plano 1.3 Tensões Principais e Tensão de Cisalhamento Máxima no Plano 1.4 Círculo de Mohr Estado Plano de Tensões 1.5 Tensão em Eixos com Carga Axial e Torção 1.6 Tensão de Cisalhamento Máxima Absoluta Não é conhecer muito, mas o que é útil, que torna um homem sábio. THOMAS FULLER, M.D.
O est. plan. é representado, pela combinação de dois componentes de tensão normal, σx e σy, e um componente de tensão de cisalhamento, τxy, que atuam sobre as quatro faces do elemento. 1.1 Transformação no Estado Plano de Tensões O estado geral de tensão em um ponto é caracterizado por seis componentes independentes de tensões, 3 normais (σ) e 3 de cisalhamento (τ), que atuam nas faces de um elemento do material localizado em tal ponto: NOMECLATURA E SINAIS:.σx= σxx (x normal à face que atua e x direção), σy= σyy e σz= σzz;.τxy= τyx (x normal à face que atua e y direção), τzy= τyz, τxz= τzx. Tensão positiva se a normal e direção tem mesmo sinal, e tensão negativa se normal e direção tem sinais contrários. Se por exemplo não houver carga na superfície z do corpo, os componentes das tensões normal e de cisalhamento serão nulos na face de um elemento localizado nessa superfície e em sua face oposta, então o material no ponto estará sujeito ao estado plano de tensões:
1.2 Equações gerais de transformação de tensões para o estado plano Vejamos como transformar e obter os componentes σx, σy, τx y ao longo dos eixos x', y', que representem o mesmo estado de tensão no ponto. Usando a convenção de sinal dada, secionamos o elemento ao longo do plano inclinado e isolamos o segmento mostrado. Supondo a área secionada seja ΔA, as faces horizontal e vertical terão área Δ A sen θ e Δ A cos θ. O diagrama de corpo livre (FORÇAS) do segmento resultante é : Então pelas equações de equilíbrio:
acima; Exemplo: O estado plano de tensões é representado pelo elemento mostrado na Figura. Determinar o estado de tensão no ponto em outro elemento, orientado a 30 no sentido horário em relação à posição mostrada. Resposta:
1.3 Tensões principais e tensão de cisalhamento máxima no plano. Na engenharia, é importante determinar a orientação principal (θp) dos planos de tensão normal máximo e mínimo, e de cisalhamento máximo (θc). Para isso diferenciamos a equação geral de σ em θ e igualamos a zero obtendo; A solução tem duas raízes (2θp1 e 2θp2). θp1 e θp2 são 90 defasados e substituídos na eq. geral dão as tensões principais normais máximas e mínimas (σ1 e σ2 ). Supondo τxy e (σx - σy) ambos positivos ou ambos negativos na eq. acima, podemos construir os triângulos ao lado: Neles: ubstituindo estes na eq. geral de σ, teremos as tensões principais : Elas atuam nos planos principais onde tensão de cisalhamento é nula.
Analogamente para determinar a orientação da tensão de cisalhamento máxima, deriva-se a Eq. Geral de τ em θ e igualamos a zero obtendo: As duas raízes dessa equação, θc1 e θc2, analogamente podem ser determinadas pelos triângulos sombreados; Comparando com o triangulo da tensão normal principal, cada raiz de 2θc está defasada em relação a 90 de 2θp. Assim, θc e θp estão separadas por 45 obtendo o plano de cisalhamento máximo. A tensão de cisalhamento máxima é obtida calculando sen 2θc e cos2θc no triangulo e substituindo na equação geral de τ ; 26c da Figura Substituindo os valores de sen 2θc e cos2θc na equação geral de σ, vemos que também há uma tensão normal nos planos da tensão de cisalhamento máxima.
Exemplo 1: A roda dianteira de um avião está submetida a uma carga de projeto de 12 kn. Determinar as tensões principais que atuam no ponto A do suporte de alumínio da roda. Solução: Façamos o diagrama de corpo livre com os esforços no corte transversal na seção em A: Utilizemos as equações de equilíbrio: Calculemos as tensões em um elemento infinitesimal plano qualquer na seção do corte; A tensão normal é σ=(n/a )+ (My/I), mas na L.N. (A em y=0) o segundo termo (normal por flexão) se anula, logo N A tensão cisalhante transversal devido a força cortante V equivale a = tensão cis longitudinal na flexão (pois são complementares) e dada por τ=vq/it (onde Q=momento de 1 ordem, I=momento de inércia de 2 OBS: A é a área escura acima de y. ordem ou de área) ao longo da espessura t=b=0.03m em A na L.N (y=0), com os dados ao lado fazemos Agora obtenha a inclinação dos planos principais onde Finalmente as tensões principais: atuam σ1 e σ2 e a tensão cis. (0-8.66)/2+Máxima além de sua inclinação.
Exemplo 2: A viga tem seção transversal retangular e está sujeita às cargas mostradas. Determinar as tensões principais e de cisalhamento máxima no plano que se desenvolvem nos pontos A e B. Os pontos estão à esquerda da carga de 2.000 lb. Mostrar os resultados em elementos, adequadamente orientados, localizados nesses pontos. Solução: = Lembrando que; OBS: A é a área escura acima de y. Teremos as propriedades da seção; Diagrama de corpo livre com pois Ya = h/2 = -Yb; as reações dos suportes; Diagrama de corpo livre com os momentos e forças internas na seção à esquerda de A e B; A tensão normal é σ=(n/a )+(My/I), (A e B, Ya = h/2 = -Yb) o segundo termo (normal por flexão) não se anula, logo; A tensão cisalhante transversal devido a força cortante V equivale a tensão cis. longitudinal na flexão (pois são complementares) e dada por τ=vq/it em A e B. Logo, com tensão cisalhante nula estamos no plano principal, teremos respectivamente as tensões normais principais max e min em A e B; No próximo slide obtemos o cis. máximo e o plano em que se desenvolve e mostramos os elementos orientados em A e B;
A B Elementos orientados:
Fazer: A viga tem seção transversal retangular e está submetida às cargas mostradas. Determinar as tensões normais principais desenvolvidas nos pontos A e B, localizados à esquerda da carga de 20 kn. Mostrar os resultados em elementos localizados nesses pontos.
1.4 Circulo de Mohr Estado plano de tensões As equações de transformação para o estado plano de tensões têm uma solução gráfica fácil de usar e lembrar. O parâmetro θ pode ser eliminado elevando-se ao quadrado cada uma das equações e adicionando-as teremos; É a eq. de uma circunferência. Estabelecemos eixos coordenados σ positivo para a direita e τ positivo para baixo, ela forma um círculo de raio R e centro C(σ méd, 0).
Construção do Círculo. 1-Usando a convenção de sinal positiva (Fig.b), marcamos o centro do círculo C(σ méd, 0). e o 'pt de referência' A (σx, τxy) de tensões normal e de cisalhamento na face vertical direita do elemento onde eixo x' coincide com o eixo x, (θ = 0 ) (Fig.e). 2- Determinar raio CA por pitágoras e traçar o círculo. Tensões Principais. 3-As tensões principais (σ1>=σ2) são os pts B e D, onde τ = 0(Fig.a), e atuam sobre ângulos θp1 e θp2 (Fig.c) representados no círculo por 2θp1 e 2θp2 (não mostrado) para as linhas CB e CD respectivamente (calcular apenas um por tg, o outro está 90 defasado anti horário.)(fig.c). Tensão de Cisalhamento Máxima no Plano. 4-São as coordenadas do pt E e F (Fig.a). θc1 e θc2 dão sua orientação (Fig.d). 2θc1 (Fig.a) é o ângulo mais próximo de CE ou CF obtido por tang. e tem rotação horária nesse caso(fig.d). Tensões no Plano Arbitrário. 5-σx e τx y que atuam sobre um plano especificado pelo ângulo θ (Fig.e) são obtidos no círculo usando-se tg para determinar as coordenadas do ponto P a 2θ de CA(Fig.a).
e atuam sobre ângulos θp1 e θp2 representados no círculo por 2θp1 e 2θp2(não mostrado) para as linhas CB e CD respectmt. (calcular apenas um por tg, o outro θp2 =106,8º está à mais 90 horário). Tensão de Cisalhamento Máxima no Plano. 4-São as coordenadas do pt E e F. θc1 e θc2 dão sua orientação, 2θc1 é obtido por tang. e tem rotação anti-horária. até CE neste caso. EXEMPLO: Determinar (a) as tensões principais e (b) a tensão de cisalhamento máxima no plano e a tensão normal média. Especificar a orientação do elemento em cada caso. Solução: Construção do Círculo. 1-Usando a convenção de sinal positiva, marcamos respectivamente o 'pt de referência' A = (σx, τxy) e o centro do círculo em logo: 2- Determinar raio CA por pitágoras e traçar o círculo Tensões Principais. 3-As tensões principais (σ1>=σ2) são os pts B e D, onde τ = 0,
Fazer: O pedal de bicicleta tem a seção transversal mostrada. Se estiver fixo à engrenagem no ponto B e não girar quando submetido a uma força de 75 lb, quais serão as tensões principais no ponto C da seção transversal?
Eixos na região linear-elástico, usamos o princípio de superposição e obtemos separadamente as 2-carga não mudar a geometria significativamente para não alterar braços de momento, como 1.5 Tensão em eixos com Carga Axial e Torção tensões a partir das componentes de carga, quando: 1- carga for equação linear à tensão (e é, pois e são tensões lineares as cargas P e T). por exemplo:, porém, O que não é o caso em pequenas deformações. Exemplo1: Uma força axial de 900 N e um torque de 2,50 N m estão aplicados ao eixo mostrado na Figura a. Supondo que o eixo tenha diâmetro de 40 mm, determinar as tensões principais no ponto P de sua superfície. Sol: Vamos obter as cargas no DCL abaixo de P: Obtemos o cis.devido a torção; ele depende do momento de inércia polar J da seção de raio ρ do tubo maciço Tensões princ. (Mohr): Centro C=(358.l ; 0) Pt de referência A = (σx, τxy)=(0 ; 198.9)(Fig d). Logo, graficmt R=409.7 e tensões princ B e D: ão há normal por flexão, penas tensão normal em y: O ângulo horário 2θp2 entre AC e CD por tg é: 2θp2=29,1. Logo à θp2 =14,5º horário de x está x' de tensão normal mínima:
Exemplo2: O vaso de pressão cilíndrico tem raio interno de 1,25 m e espessura da parede de 15 mm. E feito de chapas de aço soldadas ao longo da costura a 45. Determinar os componentes da tensão normal e de cisalhamento ao longo da costura se o vaso estiver sujeito a uma pressão interna p de8 MPa. Sol: Trata-se de um vaso de pressão de r > 10t (paredes finas) onde; A tensão normal mínima ocorre longitudinalmente em x; A tensão normal máxima ocorre circunferêncialmente em y; (dobro da em x) Nesta orientação x-y temos cisalhamento nulo (planos principais) e o elemento, representa tensões normais máx e mín. A 45º horário (x ) temos o cisalhamento máximo, logo haverá tensão normal igual à média σ méd = (σ x+ σ y)/2 = (σ x ); com ela obtemos o centro C=(σ méd,0) em Mohr: Graficamente em Mohr temos; (Cis. Máximo em x à 45º)
Fazer: O tubo de paredes finas tem diâmetro interno de 0,5 pol e espessura de 0,025 pol. Se for submetido a uma pressão interna de 500 psi, bem como as cargas de tração axial e torção como as mostradas, quais serão as tensões principais em um ponto da superfície?
1.6 Tensão de Cisalhamento Máxima Absoluta m elemento submetido a um estado de tensão tridimensional xyz; erá uma orientação x y z onde atuam as tensões rincipais (triaxiais) Analisando separadamente os planos x y, y z e x z ; construímos um único círculo de Mohr com estas tensões principais; O circulo mostra o valor da tensão de cisalhamento máxima em cada plano, orientado a 45º; ATENÇÂO:Planos que não tiverem cisalhamento as tensões normais já são as principais. Como vemos, a tensão de cisalhamento máxima absoluta será será obtida girando 45º em torno de y (σ int). E temos ainda a tensão normal média; como ocorre em x z, ela
Exemplo: Em virtude do carregamento aplicado, o elemento no ponto da estrutura na figura está sujeito ao estado plano de tensões mostrado. Determinar as tensões principais e a tensão de cisalhamento máxima absoluta nesse ponto. Sol: Inicialmente obtemos as tensões principais pelo círculo de Mohr de centro -10psi, com ; Teremos o raio ; Logo as tensões principais serão: No circulo 2θ anti-horário de CA para a tensão mínima em x ; logo é a defasagen do eixo x onde atua σmín; Não há tensão principal na direção z, o estado triaxial é; são as principais. Para obter tensão cisalhante máxima absoluta fazemos Mohr com o estado triaxial acima; x ATENÇÂO:Planos que não tiverem cisalhamento as tensões normais já A ten. cis. máx. abs. é a ten. cis. máx. no plano x - y que como sabemos atua em um novo x -y 45º defasado em relação a x -y (45+38=83º defasado de y
Fazer: O ponto na superfície do vaso de pressão cilíndrico está submetido a um estado plano de tensões em x-y. Determinar a tensão de cisalhamento máxima absoluta nesse ponto.
Bibliografia: R. C. Hibbeler Resistência dos materiais 5º Edição. MUITO OBRIGADO PELA ATENÇÃO!