INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE Foto extraída em http://www.alea.pt Profª Maria Eliane Universidade Estadual de Santa Cruz
USO DE PROBABILIDADES EM SITUAÇÕES DO COTIDIANO Escolhas pessoais Previsão do tempo Jogos de Azar
Probabilidades: Conceitos e Elementos Importantes POSSIBILIDADES E PROBABILIDADES PROBABILIDADE: estudo dos fenômenos aleatórios (acaso), que define numericamente a possibilidade de ocorrência de um evento. Ex.: Possibilidade de menina ou menino no nascimento de um bebê. PROVA, OBSERVAÇÃO OU EXPERIMENTO: todo fenômeno ou ação que geralmente pode ser repetido, cujo resultado é casual ou aleatório. Vamos considerar somente experimentos aleatórios cujos resultados são equiprováveis. Ex.: lançamento de um dado não viciado. ESPAÇO AMOSTRAL: é o conjunto universo (U) ou (S) ou (Ω) de todos os resultados possíveis de ocorrer em um determinado experimento. Ex.: O espaço amostral do lançamento de um dado é (U)={1,2,3,4,5,6} EVENTO: é cada subconjunto do espaço amostral (U).
Tipos de Eventos: Simples: Ex.: Resultado par menor que 3 no lance de um dado A={2} Composto: Certo: Impossível: A= φ Ex.: Soma igual a 11 no lance de dois dados A={5,6} ou A={6,5} Ex.: No lançamento de um dado sairá qualquer uma das faces 1,2,3,4,5 ou 6, o espaço amostral. Ex.: Sair a face 7 no lançamento de um dado. Complementar: Ex.: O evento desejado no lançamento de dois dados é A={1,2}, os demais resultados são A c = {3,4,5,6}. Mutuamente exclusivos ou incompatíveis: A B= Ex.:No nascimento de um bebê, se ocorrer menino não ocorre menina. Independentes: Ex.: O lançamento de dois dados, os resultados do experimento são totalmente independentes de um dado para o outro. Condicionados: Ex. : A retirada de duas cartas de um baralho, sem reposição, o resultado da segunda carta dependerá do resultado da primeira carta.
Principais Propriedades: Denota-se probabilidade pela letra P P( ) 0 P(A) 1, A Ω P( ) = 0 e P(Ω)= 1 A soma de todas as probabilidades é 1 (ou 100%). Qualquer que seja o evento A, P(A C ) = 1 - P(A) Quaisquer que sejam os eventos A e B, a P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) Se A e B forem eventos mutuamente exclusivos, então P(A B) = P(A) + P(B) Se A e B são independentes se e somente se P(A B) = P(A) P(B)
Exemplo - Considere o seguinte diagrama, onde representa-se um espaço de resultados S, constituído por resultados igualmente prováveis, e os acontecimentos A, B, C e D.
Probabilidade Condicional Exemplo - Consideremos a experiência aleatória que consiste em lançar três moedas equilibradas. Representando por F a saída de cara e por C a saída de coroa, o espaço de resultados é constituído pelos resultados apresentados no seguinte esquema: Seja A o acontecimento "saída de 2 caras". Então, como o espaço de resultados é constituído por resultados igualmente prováveis, P(A)=3/8. Suponhamos agora, que dispomos da informação de que no último lançamento saiu cara. Qual a probabilidade do acontecimento A?
Probabilidade Condicional Continuação do Exemplo Na figura ao lado apresentamos o espaço de resultados condicional S e o acontecimento A. Então, condicional a que no último lançamento saiu cara, vem que P(A) = 2/4 ou 1/2. Repare-se que esta probabilidade não é mais do que a frequência relativa de A, condicional ao espaço de resultados S e podemos escrever Para distinguir esta probabilidade, da não condicional, utilizamos a notação P(A S ).
Probabilidade Condicional e o Teorema de Bayes Partição C C =, para i j i j U k C i = Ω e i = 1 P( C j A) = P( A Cj) P( Cj), P( A C ) P( C ) k i= 1 i i j = 1,2, K, k. Expressão de Bayes
Probabilidade Condicional e o Teorema de Bayes Exemplo Aplicado Suponha que um fabricante de sorvetes recebe 20% de todo o leite que utiliza de uma fazenda F 1, 30% da fazenda F 2 e 50% da fazenda F 3. Uma inspeção indicou as seguintes adulterações por adição de água no leite: 20% do leite produzido por F 1 5% do leite produzido por F 2 2% do leite produzido por F 3 Nessa indústria de sorvete os galões de leite são armazenados em um refrigerador sem a identificação das fazendas. Um galão escolhido ao acaso, foi analisado e constatou-se a adulteração. Qual é a probabilidade deste leite ter sido produzido por F 1?