REVER Para efetuar a multiplicaçâo de polinómios, utilizase a propliedade distributiva da multiplicaçào em relação à adição. Contudo, há casos especiais em que essa multipticaçáo pode ser realizada de um modo mais rápido. De seguida, apresentany se dois desses casos. Quadrado do binómio: (o b)? a i 2ab b) +36 Diferença de quadrados: (a b)(a + b) = a 2 b 2 e n f;mpt (2v- + 3) = 4x2-9 dc poliiiómio Fatorizar um polinómio é escrevê-lo como um produto de dois ou mais fatores. EXEMPLS 1. 2v2 14xy Polinomio não fatorizado 2. 2r(.v 7y) Polinómio fatorizado Pode fatonzar-se um polinómio através da aplicação da propriedade distributiva da multiplicação em relação à adiçáo ou através da aplicação dos casos notáveis da multiplicação. Considera o polinómio 4x - 8y. Repara que 4x - 8y = 4 xx - 4 x 2 x y. 0 4 é o fator comum aos dois monómios, pelo que pode ser colocado em evidência. Assim, podemos fatorizar o polinómio escrevendo 4x - 8y = 4(x 2y). Considera, agora, o polinómio x2-8.r + 16. Repara que o polinómio corresponde ao desenvolvimento de 4) 2. Assim, podemos fatorizar o polinómio escrevendo x2-8x+ 16 = (x- 4) 2 = (x 4)(x - 4). Considera, agora, o polinómio -r2 25. Repara que o polinómio é uma diferença de quadrados:x 2 25 = x2 5 2 Assim, podemos fatorizar o polinómio escrevendo x2 25 = x2-5 2 = (x 5)(x + 5).
Transforma cada uma das seguintes expressões algébricas num polinómio reduzido. 02 1.2, (x 1.3. 1. I (5a - + 5x) 1.12. 50 Dos polinómios seguintes, quais representam o desenvolvimento de quadrados de binómios? 2.1. x2 4x+4 2.3. 2.4. g 2 5g+6 completa cada uma das seguintes expressões de forma a obteres o desenvolvimento de quadrados de binómios. 3.3,x2+ 3.2. + 24x 3 4 4a2 + 25b2 + Completa as seguintes igualdades. 4.1. (X 4.3, (3a + -36 + 49 402 = 9y2 + 5) = 1692 Transforma cada uma das seguintes expressões algébricas num produto de dois fatores, pondo em evidência o fator comum. 5.1. -6 2a - 3ab 5d2-25d 26h 2-13h 3 Transforma cada uma das seguintes expressões algebricas num produto de dois fatores. 6.1.4x 2 16 a 2 4a +4 100 5h 2-12U5h +36 Sabendo que 100x2 20x+ 1 representa a área de um quadrado, determina uma expressáo que possa representar o comprimento dos seus lados. Sugestão: aplica um dos casos notáveis da multiplicação. De seguida apresenta-se a fatorizaçáo de um polinómio. Completa-a. = 4x2 8x = (4x2 8x) ( - 14) =
restaurante da Joana, que fico à beira mar, tem um terraço com a forma de um retôngulo terraço tem 48 m? de área e o seu comprimento excede o largura em dois metros. comprimento do terraço excede a largura em dois metros. Assim, o esquema seguinte pode repre_ sentar a situação. A sua área pode, então, ser dada pela expressáo lx (l + 2). Como a área do terraço é 48 m 2, temos: 21=48 21-48=0 A equação P + 21 48 = 0, que traduz a situação anterior, é uma equação do 2? grau. Toda a equaçáo que pode ser reduzida a uma equação do tipo + bv+ c = 0, com 0, diz-se uma equação do 2? grau com uma incógnita Diz-se que uma equação do 29 grau escrita na forma ar2 + bv+ c =, com forma canónica G, está Quando numa equação do 29 grau, escrita na sua forma canónica, b = elou c:, a equaçáo diz-se uma equação do 2? grau incompleta. I X (l + 2) = 48 I x (l + 2) = 48 É uma equação do 2? grau, porque pode ser escrita na forma a-v2 + bx+ c = 0, com a 0. P + 21 48 = 0 + Forma canónica 12 48 = + Equação do 2? grau incompleta. 6/2 1521 = 0 i Equação do 2? grau incompleta. Lei do do produto produto de fatores é nulo quando pelo menos um dos fatores é zero: EXEMPL i Nota: símbolo V lê-se "out
Quais das seguintes equações são do 29 grau? Justifica. 1.1. 3x2 12=0 1.2. = -50-12) 16=0 1.4. Escreve cada uma das seguintes equações do 2? grau na forma canónica. 12/2=16 2.2. (w- 13)2 = 100 2.3, 5) = 13 Indica o valor lógico de cada uma das seguintes afirmações, corrigindo as falsas. A. Na equação -2v 2 + x- 1 = 0, o coeficiente do termo em xl é 2. B. A equação x + (-1)2 = 0 é do 29 grau. C. A equação 3x2 1 é completa. De entre as seguintes equações do 29 grau, indica as completas e as incompletas. 4.3. 3x2 = o 4.5.2= 4.4. x = 5 +x2 4 S. xcv Resolve as seguintes equações, utilizando a lei do anulamento do produto. 5,1. 5.2. (3x- 6) = o 3 r -2-5 - Formula um problema que possa ser traduzido pela equação r? 0 Escreve uma equaçao do 2? grau que traduza o seguinte problema: "Um triângulo, cuja medida da altura é o dobro da medida da base, tem 128 mm2 cie área. Quanto mede a base do triângulo?" Considera a equação (x - 4)(x + 4) = 9. A Xi Lu resolveu-a do seguinte modo: e* x = 13 V x = 5 cs = {5, 13} Concordas com a resolução da Xi Lu? Explica porquê.
Equações REVER Para determinar as soluções de algumas equações do 2? grau escritas na forma canónica, basta fato. rizar o primeiro membro da equação e utilizar, de seguida, a lei do anulamento do produto. EXEüVi i} x V x 12 c.s. = {0, 12} EXEMPL 4x2-49 = 0 7 7 EXEMPL 3 o Algumas equações também podem ser resolvidas utilizando a noção de raiz quadrada. x 2 EXEMPL 4 c.s. = {-2, 2} EXEMPL S p + 21 48 12-4-21 = 48 12 + 21 + 1 = 48 + 1 e:} (l + 49 c.s. = 6}
As equações seguintes são equações do 29 grau incompletas, do tipo ar2 = 0, a 0. Resolve-as. -500X2= 2 3 As equações seguintes são equações do 2? grau incompletas, do tipo ar2 + c =, a * e. Resolve-as., e -16=0-17 2,2. 23 As equaçóes seguintes são equações do 2? grau incompletas, do tipo av2 + 0, a # e b 0. Resolve-as. 32. 5x-x2 =o 3 a. 30 2 -x) = o 2(x2 Resolve as equaçóes seguintes. 4.3. 3x2-12 = o 4.5.4x2-12v=-9 40 25 = x2-36=0 A diferença entre o quadrado de um número e o seu quádruplo é 4. De que número se trata? C perímetro de um retángulo é 60 metros e a sua área é 225 m 2. Determina as dimensões deste retângulo. bserva o círculo de centro em C (2t 1) cm Sabendo que o círculo tem 641t cm2 de área, determina o valor de t.