António M. Gonçalves Pinheiro Departamento de Física Covilhã - Portugal pinheiro@ubi.pt
Sumário. Filtro Passa-Baixo Ideal 2. Filtros Passa-Baixo Reais 3. Filtros Analógico de Butterworth 4. Filtros Analógico de Chebyshev e Elípticos
Filtros Filtro - sistema que selecciona, enriquece, ou remove componentes do sinal. Exemplos de Filtros: Filtros que seleccionam bandas de Frequências (passa-baixo, passa-banda, passa-alto e rejeita-banda). G G p passa-baixo B passa-banda B G G p passa-alto B rejeita-banda B Filtros equalizadores (Ex.: de fase). Filtros para remoção de ruído.
Filtro Passa Baixo Ideal Amplitude: H(j) = { < c > c c H Fase: φ H φ H(j) = { t < c > c c
Filtros Passa Baixo Ideal H(j) = { e jt < c > c T F h(t) = sen( c(t t )) π(t t ) h(t) = c π sinc ( c π (t t ) ) Em que sinc(t) = sen(t)/(πt) t o
Filtros Reais Factores de Projecto: Banda de passagem [, p ] Ripple na banda de passagem γ Banda de transição [ p, s ] H -γ Ripple na banda de paragem δ Filtros mais usuais: δ Filtros de Butterworth p s Filtros de Chebyshev Filtros Elípticos banda de passagem banda de transição banda de paragem
Filtros Reais - Filtros de Butterworth Função de Butterworth de ordem K: H(j) 2 = + (/ c ) 2K Im Im Para o Filtro de Butterworth são escolhidos os polos da função de Butterworth que têm parte real negativa, de forma a obtermos um sistema estável. Re K=2 K=3 Re Exemplos ( c = ): K = 2 s = 2/2 ± j 2/2 K = 3 s = e s = /2±j 3/2 K s = e jπ(2n+)/(2k), com n =,,..., 2k
Filtros Reais - Filtros de de Chebyshev e Elípticos Polos dos Filtros de Chebyshev são retirados de elipses em vez do círculo unitário. Os Filtros de Chebyshev apresentam Ripple na banda de passagem. Normalmente os polos são retirados de tabelas apresentadas em função da ordem do filtro e do Ripple na banda de passagem. Exemplo de Filtro de Chebyshev O aumento do Ripple seleccionado vai permitir diminuir a largura da banda de transição. Filtros Elípticos resultam da composição de filtros de Chebyshev e filtros de Chebyshev Invertidos (apresentam riple na banda de paragem). Exemplo de Filtro Elíptico
Filtros Reais Filtros estudados são filtros normalizados (passa-baixos com c =) Passagem para filtros não normalizados:. Passa-Baixo: s s c H c H 2. Passa-Alto: s c s H c c H H H 3. Passa-Banda: s s2 + 2 o Bs o - frequência central; B - largura de banda. - B B
Filtros Reais Bode Diagram.9.8.7.6.5.4.3.2..5.5 2 2.5 3 3.5 Magnitude (db) Phase (deg) 2 4 6 8 2 9 8 27 36 Filtros de Butterworth 45 Frequency (rad/sec) Diagramas de Bode
Filtros Reais Bode Diagram.9.8.7.6.5.4.3.2..5.5 2 2.5 3 3.5 Magnitude (db) Phase (deg) 5 5 9 8 27 36 Filtros de Chebyshev (Ripple db) 45 Frequency (rad/sec) Diagramas de Bode
Filtros Reais Bode Diagram.9.8.7.6.5.4.3.2..5.5 2 2.5 3 3.5 Magnitude (db) Phase (deg) 2 4 6 8 2 9 8 27 36 Filtros de Chebyshev (Ripple db) 45 Frequency (rad/sec) Diagramas de Bode
Filtros Reais.9.8.7.6.5.4.3.2..5.5 2 2.5 3 3.5 Filtros de Chebyshev (Ripple.2dB).9.8.7.6.5.4.3.2..5.5 2 2.5 3 3.5 Comparação de Filtros de ordem 5 Butterworth (Vermelho) e Chebyshev com ripple de.2 (Azul escuro) e db.
Projecto de Filtros Reais Dimensionamento de filtros: Escolha do tipo e da ordem N do filtro Ripple Matlab [z,p,k]=buttap(n) - resulta filtro de Butterworth de ordem N [z,p,k]=chebap(n,r) - resulta filtro de Chebyshev de ordem N com Ripple de R db na banda de passagem [z,p,k]=ellipap(n,rp,rs) - resulta filtro Elíptico de ordem N com Ripple de Rp db na banda de passagem e Rs na banda de paragem zpk(z,p,k) - resulta a função de transferência do filtro Tabelas
Projecto de Filtros Reais Circuito de filtro passa baixo de primeira ordem: C f R f V o (s) V i (s) = R f R ( + sr f C f ) v i R v Circuito de filtro passa baixo de segunda ordem: C 2 V o (s) V i (s) = s 2 R R 3 C 2 C 4 + sc 4 (R + R 3 ) + R v i R 3 v C 4
Projecto de Filtros Reais Circuito de filtro passa alto de primeira ordem: C f R f V o (s) V i (s) = sr fc ( + sr f C f ) v i C v Circuito de filtro passa alto de segunda ordem: V o (s) V i (s) = s 2 R 2 R 4 C C 3 C C 3 v s 2 R 2 R 4 C C 3 + sr 2 (C + C 3 ) + v i R 2 R 4