18 de março de 2012
Equações Lineares e Esquema da Assunto 1 Sistema Lineares 2 3 Produto escalar e Multiplicação de 4 Transformações Matriciais 5 Soluções de Sistemas de Equações Lineares 6 Inversa de uma matriz
Definição Uma equação linear é uma equação do tipo a 1 x 1 + a 2 x 2 +... + a n x n = b (1) que expressa b em função de várias variáveis x 1, x 2, x 3,..., x n e das constantes conhecidas a 1, a 2,..., a n. Várias aplicações são modeladas por uma ou mais equações lineares e, o objetivo é encontrar possíveis valores para x 1, x 2,..., x n chamadas de incógnitas que satisfazem a equação (1).
Definição - solução Uma solução de uma equação linear (1) é uma sequência n de números s 1, s 2,..., s n que tem como propriedade satisfazer a expressão (1) quando x 1 = s 1, x 2 = s 2,..., x n = s n são sustituídas nessa expressão.
Definição - solução Uma solução de uma equação linear (1) é uma sequência n de números s 1, s 2,..., s n que tem como propriedade satisfazer a expressão (1) quando x 1 = s 1, x 2 = s 2,..., x n = s n são sustituídas nessa expressão. Podem existir três situações numa equação linear em termos de resolução da mesma: solução única, infinitas soluções ou não ter solução.
Definição Um sistema de equações lineares com m equações e n incógnitas (x 1, x 2,..., x n é um conjunto de equações representado, convenientemente, na forma a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 2 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2. a m1 x 1 + a m2 x 2 + + a mn x n = b m
Os dois índices i e j significam, respectivamente, que estamos lidando com a i-ésima equação associado com a j-ésima variável. Desta forma a i-ésima equação é a i1 x 1 + a i2 x 2 + + a in x n = b i
Os dois índices i e j significam, respectivamente, que estamos lidando com a i-ésima equação associado com a j-ésima variável. Desta forma a i-ésima equação é a i1 x 1 + a i2 x 2 + + a in x n = b i Uma solução de um sistema linear é uma sequência de n s 1, s 2,, s n que satisfazem cada equação do sistema quando as variáveis assumem seus valores respectivamente.
Para encontrar a solução de sistema linear, devemos utilizar uma técnica denominada método de eliminação. Esta técnica permite eliminar gradativamente as incógnitas de um sistema até transformá-lo num sistema equivalente ao sistema original.
Para encontrar a solução de sistema linear, devemos utilizar uma técnica denominada método de eliminação. Esta técnica permite eliminar gradativamente as incógnitas de um sistema até transformá-lo num sistema equivalente ao sistema original. Assim como numa equação, uma sistema linear pode ter solução ou não, bem como infinitas(ou finitas) soluções. E a técnica do método de eliminação nos permite identificar cada situação desta.
Para encontrar a solução de sistema linear, devemos utilizar uma técnica denominada método de eliminação. Esta técnica permite eliminar gradativamente as incógnitas de um sistema até transformá-lo num sistema equivalente ao sistema original. Assim como numa equação, uma sistema linear pode ter solução ou não, bem como infinitas(ou finitas) soluções. E a técnica do método de eliminação nos permite identificar cada situação desta. Um sitema pode ter quantidades diferentes de equações em relação as incógnitas, ou seja, m < n, m > n, ou o caso clássico m = n.
O método de eliminação consiste em realizar repetidamente as seguintes operações: 1 Trocar de posição as duas equações. 2 Multiplicar uma equação por uma constante diferente de zero. 3 Adicionar um múltiplo de uma equação à outra.
Exemplo -1 Considere o sistema linear x + 2y + 3z = 6 2x 3y + 2z = 14 3x + y z = 2 Encontre a solução deste sistema utilizando o método de eliminação.
Exemplo - 2 Considere o sistema linear { x + 2y 3z = 4 2x + y 3z = 4 Encontre a solução deste sistema utilizando o método de eliminação.
Exemplo - 3 Uma refinaria produz combustível com alto e baixo teores de enxofre. Cada tonelada de combustível com baixo teor de enxofre precisa de 5 minutos no setor de mistura e 4 minutos no setor de refino; cada tonelada de combustível com alto teor de enxofre precisa de 4 minutos no setor de mistura e 2 no setor de refino. Se o setor de mistura está disponível por 3 horas e o setor de refino por 2 horas, quantas toneladas de cada tipo de combustível devem ser produzidas para que os setores não fiquem ociosos?
Definição Uma matriz A m n é um arranjo retangular de mn números reais (ou complexos) distribuídos em m linhas horizontais e n colunas verticais. A = a 11 a 12 a 1j a 1n a 21 a 22 a 2j a 2n.... a i1 a i2 a ij a in.... a m1 a m2 a mj a mn
Simbologia e dimensão A dimensão ou ordem de uma matriz é dada pelo número de linhas(m) e colunas(n) que esta possui. Geralmente, representamos a ordem de uma matriz na forma m n
Simbologia e dimensão A dimensão ou ordem de uma matriz é dada pelo número de linhas(m) e colunas(n) que esta possui. Geralmente, representamos a ordem de uma matriz na forma m n Uma matriz n 1 ou 1 n são chamadas de matrizes coluna ou linha, respectivamente. A matriz coluna, em especial, é chamada de vetor de dimensão n ou simplesmente vetores. a = a 1 a 2. a n b = [ ] b 1 b 2 b n
especiais Matriz diagonal Uma matriz quadrada A = [a ij ] em que todas as entradas fora da diagonal principal é zero, isto é, a ij = 0 para i j, é chamada matriz diagonal. 3 0 0 A = 0 1 0 0 0 2
especiais Matriz diagonal Uma matriz quadrada A = [a ij ] em que todas as entradas fora da diagonal principal é zero, isto é, a ij = 0 para i j, é chamada matriz diagonal. 3 0 0 A = 0 1 0 0 0 2 Exemplo de aplicação Mecanismos de busca para encontrar informaçõese acessar a Internet utilizam matrizes para rastrear as localizações da informação, tipo de informação em uma localização, palavras-chaves e sites da Web que se interligam.
Matriz Escalar Uma matriz diagonal em que todos os termos da diagonal principal são iguais, ou seja, a ij = c para i = j e a ij = 0 para i j, é chamada matriz escalar. I = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 Matriz Identidade
Operações matriciais Adição de Se A = [a ij ] e B = [b ij ] são matrizes m n, então a soma de A e B é a matriz C = [c ij ], m n, definida por c ij = a ij + b ij (1 i m, 1 j n).
Operações matriciais Adição de Se A = [a ij ] e B = [b ij ] são matrizes m n, então a soma de A e B é a matriz C = [c ij ], m n, definida por c ij = a ij + b ij (1 i m, 1 j n). A = [ 1 2 4 2 1 3 ] B = [ 0 2 4 1 3 1 ]
Operações matriciais Adição de Se A = [a ij ] e B = [b ij ] são matrizes m n, então a soma de A e B é a matriz C = [c ij ], m n, definida por c ij = a ij + b ij (1 i m, 1 j n). A = [ 1 2 4 2 1 3 ] B = [ 0 2 4 1 3 1 ] A + B = [ 1 + 0 2 + 2 4 + ( 4) 2 + 1 1 + 3 3 + 1 ] = [ 1 0 0 3 2 4 ]
Observações importantes A soma matricial só é permitida com matrizes de mesma dimensão. E o resultado, consequentemente, possui a mesma dimensão das matrizes somadas.
Observações importantes A soma matricial só é permitida com matrizes de mesma dimensão. E o resultado, consequentemente, possui a mesma dimensão das matrizes somadas. A adição matricial satisfaz as propriedades: A + (B + C) = (A + B) + C Associatividade A + B = B + A Comutatividade
Multiplicação por um escalar Se A = [a ij ] é uma matriz m n e k é um número real, então a multiplicação por um escalar de A por k, ka, é a matriz B = [b ij ], m n, onde b ij = ka ij (1 i m, 1 j n)
Multiplicação por um escalar Se A = [a ij ] é uma matriz m n e k é um número real, então a multiplicação por um escalar de A por k, ka, é a matriz B = [b ij ], m n, onde b ij = ka ij (1 i m, 1 j n) Pode-se definir a diferença de A e B fazendo A + ( 1)B
Transposta de uma matriz Se A = [a ij ] é uma matriz m n, então a matriz n m, A T = [aij T ], onde a T ij = a ji (1 i n, 1 j m) é chamada de matriz transposta de A.
Exemplos das operações matriciais Adição - Produção Um fabricante de uma determinado produto produz três modelos A, B e C. Cada modelo é produzido parcialmente na fábrica F 1 e finalizado na fábrica F 2. O custo total de cada produto é composto pelo custo de produção e pelo custo de transporte. Portanto, o custo de cada fábrica, em dólares, pode ser descrito pelas matrizes F 1 e F 2, 3 2:
Fábrica 1 - F 1 Custo de Produção Custo de transporte Modelo A 32 40 Modelo B 50 80 Modelo C 70 20
Fábrica 1 - F 1 Custo de Produção Custo de transporte Modelo A 32 40 Modelo B 50 80 Modelo C 70 20 Fábrica 2 - F 2 Custo de Produção Custo de transporte Modelo A 40 60 Modelo B 50 50 Modelo C 130 20
A matriz F 1 + F 2 fornece o total de custos de produção e transporte de cada produto. Por exemplo, o total dos custos de produção e transporte de um produto do modelo B é de $100 e $130 dólares, respectivamente.
A matriz F 1 + F 2 fornece o total de custos de produção e transporte de cada produto. Por exemplo, o total dos custos de produção e transporte de um produto do modelo B é de $100 e $130 dólares, respectivamente. Produto por um escalar - Produção Suponha que a fábrica F 1, por se localizar num local diferente, anuncia que houve um aumento de 20% nos seus custos, com isso seus novos valores de produção e transporte são
A matriz F 1 + F 2 fornece o total de custos de produção e transporte de cada produto. Por exemplo, o total dos custos de produção e transporte de um produto do modelo B é de $100 e $130 dólares, respectivamente. Produto por um escalar - Produção Suponha que a fábrica F 1, por se localizar num local diferente, anuncia que houve um aumento de 20% nos seus custos, com isso seus novos valores de produção e transporte são F 1 = 1.2 32 40 50 80 70 20 = 38, 4 48 60 96 84 24
Fábrica 1 - F 1 Custo de Produção Custo de transporte Modelo A 38,4 48 Modelo B 60 96 Modelo C 84 24
Produto Escalar e Multiplicação matricial Produto Escalar - definição O produto escalar ou produto interno dos vetores de dimensão n a e b é a soma dos produtos dos elementos correspondentes. Logo, se a 1 b 1 a = a 2 e b = b 2.a n.b n
Produto Escalar e Multiplicação matricial Produto Escalar - definição O produto escalar ou produto interno dos vetores de dimensão n a e b é a soma dos produtos dos elementos correspondentes. Logo, se a 1 b 1 a = a 2 e b = b 2.a n.b n então a b = a 1 b 1 + a 2 b 2 + + a n b n = n a i b i i=1
Multiplicação matricial Definição Se A = [a ij ] é uma matriz m p e B = [b ij ] é uma matriz p n, então o produto de A e B, representado por AB, é a matriz m n C = [c ij ], definida por c ij = a i1 b 1j +a i2 b 2j + +a ip b pj = p a ip b pj (1 i m, 1 j n) k=1
Multiplicação matricial Definição Se A = [a ij ] é uma matriz m p e B = [b ij ] é uma matriz p n, então o produto de A e B, representado por AB, é a matriz m n C = [c ij ], definida por c ij = a i1 b 1j +a i2 b 2j + +a ip b pj = Observações importantes p a ip b pj (1 i m, 1 j n) k=1 Nem sempre AB = BA, isso acontece quando n m. Mesmo quando BA é definida, AB e BA podem ter tamanhos diferentes. Se AB e BA são do mesmo tamanho, elas podem ser diferentes.
Exemplo -Produto matricial Ecologia/Poluição Um fabricante produz dois tipos de produtos, P e Q, em cada uma das duas fábricas, X e Y. Ao fabricar estes produtos, os poluentes dióxido de enxofre, óxido nítrico e material particulado são produzidos. As quantidades de poluentes produzidas são dadas (em quilogramas) pela tabela seguinte:
Exemplo -Produto matricial Ecologia/Poluição Um fabricante produz dois tipos de produtos, P e Q, em cada uma das duas fábricas, X e Y. Ao fabricar estes produtos, os poluentes dióxido de enxofre, óxido nítrico e material particulado são produzidos. As quantidades de poluentes produzidas são dadas (em quilogramas) pela tabela seguinte: Tabela 1 Poluentes Dióxido S 2 Óxido Nítrico Mat. part Produto P 300 100 150 Produto Q 200 250 400
Leis estaduais e federais exigem que estes poluentes sejam removidos. O custo diário da remoção de cada quilograma de poluente é dado (em dólares) pela tabela seguinte:
Leis estaduais e federais exigem que estes poluentes sejam removidos. O custo diário da remoção de cada quilograma de poluente é dado (em dólares) pela tabela seguinte: Tabela 2 Custo Fábrica X Fábrica Y Dióxido S 2 8 12 Óxido nítrico 7 9 Mat. part 15 10
Leis estaduais e federais exigem que estes poluentes sejam removidos. O custo diário da remoção de cada quilograma de poluente é dado (em dólares) pela tabela seguinte: Tabela 2 Custo Fábrica X Fábrica Y Dióxido S 2 8 12 Óxido nítrico 7 9 Mat. part 15 10 Qual o significado dos elementos de AB?