r = (x 2 + y 2 ) 1 2 θ = arctan y x

Sção 0: Equação d Laplac m coordnadas polars Laplaciano m coordnadas polars. Sja u = ux, y uma função d duas variávis. Dpndndo da rgião m qu a função stja dfinida, pod sr mais fácil trabalhar com coordnadas polars. Para lidar com a quação d Laplac nsta situação, vamos pcisar da xprssão do laplaciano m coordnadas polars. Vamos usar qu x = r cos θ y = r sn θ também r = x + y θ = arctan y x Vamos pnsar na situação m qu a tmpratura u d um ponto s xprssa m trmos das coordnadas polars r, θ dss ponto qu as coordnadas polars, por sua vz, s xprssam m trmos das coordnadas cartsianas através das quaçõs. Tmos, ntão, a função composta x, y r, θ u. Aplicando a rgra da cadia, tmos u x = u r r x + u θ θ x. Drivando novamnt, tmos, pla rgra da drivada do produto, u xx = u r x r x + u r r xx + u θ x θ x + u θ θ xx. Usando a rgra da cadia, obtmos u xx = u rr r x + u rθ θ x rx + u r r xx + u θr r x + u θθ θ x θx + u θ θ xx. Lvando m conta qu u rθ = u θr, pois a ordm d drivação não influi no rsultado, agrupando os trmos, tmos u xx = u rr r x + u rθ r x θ x + u θθ θ x + u r r xx + u θ θ xx. 3 Analogamnt, drivando m rlação a y, obtmos u yy = u rr r y + u rθ r y θ y + u θθ θ y + u r r yy + u θ θ yy. 4 Somando 3 4, sgu qu o laplaciano val u = u xx + u yy = r x + r y u rr + r x θ x + r y θ y urθ + θ y + θ y u θθ + r xx + r yy u r + θ xx + θ yy u θ. 5 Utilizando as xprssõs para calcular as drivadas parciais indicadas m 5, obtmos r x + r y = r x θ x + r y θ y = 0 θ y + θ y = r r xx + r yy = r θ xx + θ yy = 0

Substituindo m 5, obtmos, finalmnt, qu é a xprssão do laplaciano m coordnadas polars. u = u rr + r u r + r u θθ, 6 Exmplo. Rsolva o problma d Dirichlt para o stor circular: u rr + r u r + r u θθ = 0, m D : 0 < r <, 0 < θ < ur, 0 = 0, u θ = 0 isolado D u = u θ r, = 0, no lado θ = u, θ = u = 0 Solução: Comçamos procurando uma função da forma ur, θ = ϕr ψθ. Substituindo na quação d Laplac, obtmos Dividindo plo produto ϕrψθ, sgu qu ϕ r ψθ + r ϕ r ψθ + r ϕr ψ θ = 0. ϕ r ϕr + ϕ r rϕr + ψ θ r ψθ = 0. Multiplicando por r, podmos sparar as variávis, r ϕ r ϕr Sgu daí duas EDO indpndnts + rϕ r ϕr = ψ θ ψθ = λ. r ϕ r + rϕ r λϕr = 0 7 ψ θ + λψθ = 0 8 Da msma forma qu nos problmas rsolvidos nas sçõs antriors, as condiçõs d frontira ur, 0 = 0 u θ r, = 0 implicam qu só ncontrarmos solução não trivial s ψ0 = ψ = 0. 9 Comçamos com a quação 8 com as codiçõs d frontira 9, isto é, com o problma d frontira d ncontrar uma função ψ : [0, ] R não constant igual a 0 um scalar λ satisfazndo ψ θ + λψθ = 0 ψ0 = ψ 0 = 0. Como nos inúmros problmas já considrados, dividimos m três casos. Caso. λ < 0. É trivial. Caso. λ = 0. É trivial. Caso 3. λ > 0. Nst caso, λ = µ, com µ > 0. A EDO fica ψ θ + µ ψθ = 0,

cuja solução é ψθ = A cos µθ + B sn µθ. Como ψ0 = 0, tmos qu A = 0, consqüntmnt, Então, ψθ = B sn µθ. 0 = ψ = B cos µ. Sgu qu B = 0 ou cos µ = 0. S B = 0, ntão tríamos ψθ = 0 para todo θ, o qu nos daria solução trivial. Portanto, só ncontramos solução não trivial trabalhando com a condição cos µ = 0. Sgu qu µ = n +, ou sja, µ = n +. Logo, as soluçõs não triviais do problma 0 são ψ n θ = B n sn n + θ, λ n = n +, n = 0,,, 3,... Passamos a analisar a quação 8, sabndo já qu λ = λ n = n +. Obtmos a quação d Cauchy Eulr r ϕ r + rϕ r n + ϕr = 0. Sabmos qu admit soluçõs da forma ϕr = r k para k raiz da quação algébrica kk + k n + = 0, cujas raízs são k = n + k = n +. Portanto a solução gral da EDO é ϕr = D r n+ + E r n+, 0 < r. Notmos qu a origm faz part da rgião D. Mas na origm, tmos r = 0, portanto, a função r n+ s torna infinita na origm. Logo, dvmos tr E = 0 Multiplicando 3, obtmos Fazndo a suprposição ncontramos ϕ n r = D n r n+, n = 0,,, 3,... 3 u n r, θ = B n r n+ sn n + θ., n = 0,,, 3,... ur, θ = B n r n+ sn n + θ. 4 n=0 Fazndo r = aplicando a condição d frontira, obtmos = u, θ = B n sn n + θ, para 0 θ. 5 n=0 Lvando m conta qu sn n + θ = sn n+ θ, not qu 5 é a xpansão m séri da função constant fθ = no intrvalo [0, ] m rlação ao sistma ortogonal já studado 3

} sn n+ θ n = 0,,, 3,.... Sgu qu os coficints B n d 5, qu são os msmos d 4, são dados por B n = / 0 sn n + θ dθ = 4 [ ] n + cosn + θ 0 Substituindo m 4, concluímos qu a solução do problma é ur, θ = 4 n=0 n + rn+ sn n + θ. = 4 n +. Exmplo. Rsolva o problma d Dirichlt para a rgião xtrior ao disco: u rr + r u r + r u θθ = 0, r > U, s 0 < θ < u, θ = 0, s < θ < ur, θ M para algum M isto é, u é limitada. Solução: Comçamos procurando uma função da forma ur, θ = ϕr ψθ. Como no xmplo antrior, obtmos as EDO r ϕ r + rϕ r λϕr = 0 6 ψ θ + λψθ = 0 7 Podmos fazr a cordnada polar θ variar m todo, +. Not qu ur, θ = ur, θ +, pois mantndo a coordnada polar r fixa dando um acréscimo d ao ângulo θ, voltamos ao msmo ponto do plano. Sgu daí qu ϕr ψθ + = ϕr ψθ, ou sja, ϕr ψθ + ψθ = 0. Portanto, ϕr = 0 para todo r qu daria a solução trivial ou ψθ + ψθ = 0 para todo θ qu nos diz qu ψθ é uma função priódica. Concluímos qu para qu para obtr solução não trivial, dvmos trabalhar com a condição ψθ é uma função priódica. 8 Tomando a quação 7 a condição 8, formamos o problma ψ θ + λψθ = 0 ψθ priódica 9 No problma 9, procuramos uma função não idnticamnt nula ψ : R R um scalar λ. A condição 8 dsmpnha um papl análogo ao d condiçõs d frontira. 4

Caso. λ < 0. Nst caso, λ = µ, com µ > 0. Nst caso a EDO do problma 9 é cujas soluçõs são ψ θ µ ψθ = 0, ψθ = A µθ + B µθ. 0 Mas a função ψθ ainda dv sr contínua priódica, portanto, limitada. Fazndo θ + tmos qu as xponnciais lim θ + µθ = + lim θ + µθ = 0 Portanto, A = 0, pois caso contrário a função ψθ não sria limitada. Da msma forma, analisando o comportamnto das funçõs para θ, concluímos qu B = 0. Portanto, ψθ =const.= 0 o Caso é trivial. Caso. λ = 0. Nst caso a EDO do problma 9 é ψ θ = 0, cuja solução é ψθ = Aθ + B. Utilizando qu ψθ + = ψθ, tmos Aθ + A + B = Aθ + B. Sgu qu A = 0 obtivmos a solução não trivial Caso 3. λ > 0. Nst caso, λ = µ, com µ > 0. A EDO do problma 9 é cujas soluçõs são ψ 0 θ = B 0, λ 0 = 0. ψ θ + µ ψθ = 0, ψθ = A cos µθ + B sn µθ. Utilizando a condição d priodicidad ψθ + = ψθ, com ψθ dada por, tmos A cosµθ + µ + B sn µθ + µ = A cos µθ + B sn µθ. Sgu qu µ é um príodo para a snóid ψθ = A cos µθ + B sn µθ. Então, µ = n, para algum intiro positivo n, ou sja, Obtmos assim as soluçõs não triviais µ = nz, n =,, 3,... ψ n θ = A n cos nθ + B n sn nθ, λ n = n, n =,, 3,... 3 A sguir, analisamos a quação d Cauchy Eulr 6, conhcndo já os valors convnints para λ. Para λ = λ n = n, n =,, 3,..., obtmos a quação d Cauchy Eulr r ϕ r + rϕ r n ϕr = 0, 4 cuja solução gral é ϕr = Dr n + Er n, r < +. 5

Para tr ϕr limitada bo intrvalo [, +, dvmos tr D = 0. Logo, Para λ = λ 0 = 0, a quação d Cauchy Eulr 4 fica ϕ n r = E n r n. 5 r ϕ r + rϕ r = 0. 6 Para procurar soluçõs da forma ϕr = r k, analisamos a quação algébrica kk + k = 0, qu tm raiz dupla k = k = 0. Logo, duas soluçõs L.I. d 6 são, ln r} a solução gral é ϕr = D + E ln r. Como qurmos soluçõs limitadas, ntão Multiplicando, para obtr u n r, θ = ϕ n r ψ n θ, tmos ϕ 0 r = D 0. 7 u n r, θ = A n cos nθ + B n sn nθ r n, n =,, 3,... 8 Finalmnt, fazndo a suprposição, tmos ur, θ = B 0 + u 0 r, θ = B 0 9 An cos nθ + B n sn nθ r n. 30 Para aplicar a condição d frontira, fazmos r = obtmos qu u, θ = B 0 + An cos nθ + B n sn nθ = u, θ = fθ é a xpansão m séri d Fourir da função priódica f : R R qu satisfaz U, para 0 < θ < fθ = 0, para < θ < Para calcular os coficints d Fourir é útil obsrvar qu sta função não é par nm ímpar, mas qu traçando su gráfico é fácil vr qu, fazndo uma translação vrtical, a função fθ U é ímpar. Então, fθ U = B n sn nθ. Logo fθ = U + B n sn nθ portanto A 0 = U A n = 0, para n. Mas, B n = fθ sn nθ dθ = 0 fθ sn nθ dθ = U 6 0 sn nθ dθ = U [ ] cos nθ n 0

, m consqüência, Finalmnt, B n = U n = n ur, θ = U + U n=0 U n, s n é ímpar 0, s n é par r n+ sn n + nθ n +. Exmplo 3. Rsolva o problma d Dirichlt para um anl circular: u rr + r u r + r u θθ = 0, < r < u, θ = fθ, 0 < θ < u, θ = gθ, 0 < θ < ond fθ gθ são duas funçõs dadas. Solução: O problma, tal como stá, já podria sr rsolvido por sparação d variávis, no ntanto fica bm mais fácil d sr rsolvido s o dcompusrmos m dois problmas. Considrmos os dois problmas v rr + r v r + r v θθ = 0, < r < v, θ = fθ, 0 < θ < v, θ = 0, 0 < θ < w rr + r w r + r w θθ = 0, < r < w, θ = 0, 0 < θ < w, θ = gθ, 0 < θ < A idéia é rsolvr sts dois problmas mais simpls tomar v solução d w solução d. Então, a função u = v + w srá solução do problma. Vamos rsolvr o problma. O outro é análogo. Comçamos procurando a função vr, θ da forma vr, θ = ϕr ψθ. Exatamnt como no Exmplo acima, obtmos as EDO s r ϕ r + rϕ r λϕr = 0 ψ θ + λψθ = 0. Da condição v, θ = 0 sgu qu ϕ ψθ = 0, portanto, ϕ = 0, pois caso contrário tríamos ψθ = 0, para todo θ, a solução trivial. Passamos a considrar o problma ψ θ + λψθ = 0 ψθ priódica Como no Exmplo, considrando os casos λ < 0, λ = 0 λ > 0, ncontramos as soluçõs ψ 0 θ = B 0, λ 0 = 0 ψ n θ = A n cos nθ + B n sn nθ, λ n = n, n =,, 3,... 7

A sguir analisamos a quação d Cauchy-Eulr r ϕ r + rϕ r n ϕr = 0 n = 0,,, 3,... com a condição ϕ = 0. Como vimos no Exmplo, s n = 0, a solução gral da EDO é Mas Portanto, E = D/ ln ϕr = D + E ln r. 0 = ϕ = D + E ln. ϕ 0 r = D 0 ln r. ln Tmos v 0 r, θ = ϕ 0 r ψ 0 θ. Incorporando constant D 0 m B 0, obtmos v 0 r, θ = B 0 ln r. ln S n, a solução gral da EDO é Mas, Portanto E = D n, finalmnt, ϕr = Dr n + Er n. 0 = ϕ = D n + E n, r < + ϕ n r = D n r n n r n. Tmos v n r, θ = ϕ n r ψ n θ. Incorporando constant D n m A n B n, obtmos v n r, θ = r n n r n A n cos nθ + B n sn nθ, n =,, 3,... Fazndo a suprposição das várias v n ncontradas, tmos vr, θ = B 0 ln r ln Aplicando a condição d frontira, v, θ = B 0 + + r n n r n A n cos nθ + B n sn nθ. 3 n A n cos nθ + B n sn nθ = fθ ond a função f pod sr considrada como f : R R priódica. Plas fórmulas d Eulr para os coficins d Fourir, tmos n A n = A intgração pod sr fita ntr 0. Logo, A n = fx cos nx dx. fx cos nx dx. 3 n 0 8

Analogamnt obtém-s B n = O coficint B 0 faz o papl d a 0 ou sja, fx sn nx dx. 33 n 0 na séri d Fourir. Então, B 0 = fx dx, B 0 = fx dx. 34 0 Em rsumo, runindo as conclusõs 3, 3,33 34, tmos qu a solução do problma é vr, θ = B 0 ln r + r n n r n A n cos nθ + B n sn nθ, ln ond A n = fx cos nx dx, B n n = 0 B 0 = fx dx. 0 Analogamnt rsolv-s o problma, ncontrando ond wr, θ = A 0 + fx sn nx dx n 0 r n r n A n cos nθ + B n sn nθ, A n = n n gx cos nx dx, B n = 0 A 0 = gx dx. 0 n n gx sn nx dx. 0 9