Raciocínio lógico matemático Unidade 2: Introdução à lógica Seção 2.3 Equivalências, contradições e tautologias 1
Proposições compostas Composta de duas ou mais proposições simples Tanto a primeira como a segunda podem assumir valores lógicos (V ou F) diferentes Exemplos: Diego é magro. (p) Camila é inteligente. (q) Dessa forma temos: p q TABELA VERDADE p q V V V F F V F F
Proposições compostas Para saber quantas linhas serão necessárias na tabela verdade, basta calcular 2 n, onde n representa o número de proposições 3
Conjunção A tabela verdade para disjunção fica p q p q V V V V F F F V F F F F
Conjunção - exemplos Exemplo 1: p: 2 > 0 (V) q: 2 1 (V) p q: 2 > 0 e 2 1 (V) Exemplo 2: p: Marcos é terapeuta (V) q: Marcelo é médico (F) p q: Marcos é terapeuta e Marcelo é médico (F) 5
Disjunção A tabela verdade para disjunção fica p q p q V V V V F V F V V F F F
Disjunção - exemplos Exemplo 1: p: 2 > 0 (V) q: 2 1 (V) p q: 2 > 0 ou 2 1 (V) Exemplo 2: p: Marcos é terapeuta (V) q: Marcelo é médico (F) p q: Marcos é terapeuta ou Marcelo é médico (V) 7
Condicional A tabela verdade para disjunção fica p q p q V V V V F F F V V F F V
Condicional - exemplos Exemplo 1: p é V e q é V, então p q é V Se meu PC está quebrado, então a assistência técnica o concerta. Exemplo 2: p é V e q é F, então p q é F Se nasci em São Paulo, então sou carioca. Exemplo 3: p é F e q é V, então p q é V Se nasci em Jundiaí, então sou paulista. 9
Bicondicional A tabela verdade para disjunção fica p q p q V V V V F F F V F F F V
Bicondicional - exemplos Exemplo 1: p é V e q é V, então p q é V 2 12 2 7 12 7 Exemplo 2: p é F e q é F, então p q é F 4 3 4 5 3 5 11
Tautologia Seja v uma proposição formada a partir de outras (p, q, r,...), mediante emprego de conectivos ( ou ), ou de modificador ( ), ou de condicionais ( ou ) dizemos que v é uma tautologia ou proposição logicamente verdadeira quando v tem o valor lógico V (verdadeiro) independentemente dos valores lógicos de p, q, etc. 12
Exemplo - tautologia p q p q p q (p q) (p q) V V V V V V F F V V F V F V V F F F F V p: Marcelo é alto. (V) q: Marcelo joga vôlei. (V) p q: Marcelo é alto e joga vôlei. (V) p q: Marcelo é alto ou joga vôlei. (V) (p q) (p q): Se Marcelo é alto e joga vôlei, então Marcelo é alto ou joga vôlei. (V)
Exemplo - tautologia p q p q (p q) p q p q (p q) ( p q) V V V F F F F V V F F V F V V V F V F V V F V V F F F V V V V V p: 2 < 3 (V) q: 2 2 < 3 2 (V) p q: 2 < 3 e 2 2 < 3 2 (V) (p q): 2 3 e 2 2 3 2 (F) p: 2 3 (F) q: 2 2 3 2 (F) p q: 2 3 ou 2 2 3 2 (F) (p q) ( p q): 2 3 e 2 2 3 2 se, e somente se, 2 3 ou 2 2 3 2 (V)
Proposição equivalente Dada as proposições p e q, dizemos que p é equivalente a q quando p e q têm tabelasverdades iguais, isto é, quando p e q têm sempre o mesmo valor lógico. p q 15
Exemplo proposição equivalente p: João vai a praia (verdade) p: João não vai à praia. (falso) p: Não é verdade que João não vai a praia. (verdade) Mesma coisa que João vai a praia. 16
Exemplo proposição equivalente p: Maria anda de bicicleta. (V) q: Faz atividade física. (V) p q: Se Maria anda de bicicleta, então faz atividade física. (V) p: Maria não anda de bicicleta. (F) p q: Maria não anda de bicicleta ou faz atividade física. (V)
Exemplo p q p q q p q p V V V F F V V F F V F F F V V F V V F F V V V V 18
Contradição ou proposições logicamente falsas Seja v uma proposição formada a partir de outras (p, q, r,...), mediante emprego de conectivos ( ou ), ou de modificador ( ), ou de condicionais ( ou ) dizemos que v é uma contradição quando v tem o valor lógico F (falso) independentemente dos valores lógicos de p, q, etc. 19
Tabela-verdade (contradição) p p p p V F F F V F p: 2 + 2 4 F p: 2 + 2 = 4 V p p: 2 + 2 4 se, e somente se, 2 + 2 =4 F 20
Paradoxo Imagine a seguinte frase dita por Pinquio: Meu nariz vai crescer. 21
Seção 2.3 EXERCÍCIOS DO LIVRO 22
1. Considere a seguinte proposição: Osmar concerta carros e não concerta motos. O conectivo lógico usado é: a) Bicondicional. b) Conjunção. c) Disjunção exclusiva. d) Disjunção inclusiva. e) Condicional. 23
2. Na construção da tabela-verdade, podemos determinar o número de linhas a partir da utilização da seguinte expressão 2n, em que n é o número de proposições simples. Com base no texto, determine o número de linhas da tabelaverdade construída para validar a seguinte proposição (p q) r. a) 4 b) 8 c) 16 d) 32 e) 64 24
3. A tabela-verdade permite verificar a validação das proposições compostas. Verificando os resultados dos valores lógicos da proposição p q, através da construção de sua tabela-verdade, podemos afirmar que o resultado é: a) F, F, F e F. b) F, V, V e V. c) V, V, F e F. d) V, V, V e V. e) V, F, F e F. 25
Seção 2.3 EXERCÍCIOS DO LIVRO - COMENTÁRIOS 26
1. Considere a seguinte proposição: Osmar concerta carros e não concerta motos. O conectivo lógico usado é: a) Bicondicional. b) Conjunção. c) Disjunção exclusiva. d) Disjunção inclusiva. e) Condicional. Comentário: concerta carros e não concerta 27
2. Na construção da tabela-verdade, podemos determinar o número de linhas a partir da utilização da seguinte expressão 2 n, em que n é o número de proposições simples. Com base no texto, determine o número de linhas da tabela-verdade construída para validar a seguinte proposição (p q) r. a) 4 b) 8 c) 16 d) 32 e) 64 Comentário: Temos p, q e r, ou seja, três proposições. Sendo assim verifica que 2 3 = 8. 28
3. A tabela-verdade permite verificar a validação das proposições compostas. Verificando os resultados dos valores lógicos da proposição p q, através da construção de sua tabela-verdade, podemos afirmar que o resultado é: a) F, F, F e F. b) F, V, V e V. c) V, V, F e F. d) V, V, V e V. e) V, F, F e F. Comentário: p q p q V V V V F F F V F F F F 29
DICA 30
Para ajudar no entendimento sobre lógica Link com vídeos sobre lógica proposicional https://www.youtube.com/watch?v=jzzqux7ck Wc&list=PLDt2BFtgxrhusT-pT9iCNrNRCbk4a8X-6 31